Aufgaben zur Bestimmung von Stammfunktionen

Vereinfache die folgenden Funktionen so weit wie möglich und bilde eine Stammfunktion.

$h (x) = \frac{4}{x^{- 2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

$k (x) = \frac{3}{x^{4}} \cdot \frac{2}{x^{- 2}}$

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$h (x)$	$=$	$\frac{4}{x^{- 2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$
	↓	Fasse die Brüche zu einem Bruch zusammen.
	$=$	$\frac{4 \cdot 3}{x^{- 2} \cdot x^{2}}$
	↓	Vereinfache den Zähler.
	$=$	$\frac{12}{x^{- 2} \cdot x^{2}}$
	↓	Berechne den Nenner mit Hilfe der Potenzgesetze.
	$=$	$\frac{12}{x^{- 2 + 2}}$
	↓	Vereinfache den Exponenten im Nenner.
	$=$	$\frac{12}{x^{0}}$
	↓	Beachte: $x^{0} = 1$ .
	$=$	$\frac{12}{1}$
	$=$	$12$

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$f (x)$	$=$	$\frac{7}{x^{- 2}}$
	↓	Wende nun das Potenzgesetz für negative Exponeneten an.
	$=$	$7 \cdot x^{- (- 2)}$
	↓	Vereinfache den Exponenten.
	$=$	$7 x^{2}$

$g (x)$	$=$	$\frac{6}{x^{- 3}} + \frac{2}{x^{- 1}}$
	↓	Wende das Potenzgesetz für negative Exponenten an.
	$=$	$6 \cdot x^{- (- 3)} + 2 \cdot x^{- (- 1)}$
	↓	Vereinfache die Exponenten.
	$=$	$6 \cdot x^{3} + 2 \cdot x^{1}$
	$=$	$6 x^{3} + 2 x$

$G (x)$	$=$	$6 \cdot \frac{1}{4} \cdot x^{4} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{2} + C$
	↓	mit $C \in ℝ$
	$=$	$\frac{3}{2} x^{4} + x^{2} + C$

$h (x)$	$=$	$\frac{4}{x^{- 2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$
	↓	Benutze das Potenzgesetz zu negativen Exponenten um $\frac{4}{x^{- 2}}$ umzuformen.
	$=$	$4 x^{- (- 2)} \cdot \frac{3}{x^{2}}$
	↓	Vereinfache den Exponenten.
	$=$	$4 x^{2} \cdot \frac{3}{x^{2}}$
	↓	Schreibe $4 x^{2}$ in den Zähler.
	$=$	$\frac{4 \cdot x^{2} \cdot 3}{x^{2}}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\frac{12 \cdot x^{2}}{x^{2}}$
	↓	Kürze den Faktor $x^{2}$ .
	$=$	$12$

$k (x)$	$=$	$\frac{3}{x^{4}} \cdot \frac{2}{x^{- 2}}$
	↓	Wende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten an.
	$=$	$\frac{3}{x^{4}} \cdot 2 x^{- (- 2)}$
	↓	Vereinfache den Exponenten.
	$=$	$\frac{3}{x^{4}} \cdot 2 x^{2}$
	↓	Schreibe $2 x^{2}$ in den Zähler.
	$=$	$\frac{3 \cdot 2 x^{2}}{x^{4}}$
	↓	Vereinfache den Zähler.
	$=$	$\frac{6 x^{2}}{x^{4}}$
	↓	Kürze mit $x^{2}$ .
	$=$	$\frac{6}{x^{2}}$
	↓	Wende wieder das Potenzgesetz zu negativen Exponenten an.
	$=$	$6 x^{- 2}$