$f(x)=g(x)$

In diese Gleichung setzt du die Definitionsgleichungen $f(x)=1+\mathrm e^{1-x}$ und $g(x)=2\mathrm e^{x-1}$ von $f$ und $g$ ein.

$\Leftrightarrow 1+\mathrm e^{1-x} = 2\mathrm e^{x-1}$

Nun kannst du $x-1$ durch $-(1-x)$ ersetzen.

$\Leftrightarrow 1+\mathrm e^{1-x} = 2\mathrm e^{-(1-x)}$

Anschließend kannst du beide Seiten der Gleichung mit $\mathrm e^{1-x}$ multiplizieren, um die rechte Seite der Gleichung zu vereinfachen: Dabei ist aufgrund der Potenzgesetze $\mathrm e^{1-x} \cdot\mathrm e^{-(1-x)} = \mathrm e^0 = 1$.

$\Leftrightarrow\mathrm e^{1-x} + (\mathrm e^{1-x})^2 = 2$

Vertausche die Summanden (Kommutativgesetz der Addition).

$\Leftrightarrow (\mathrm e^{1-x})^2 + \mathrm e^{1-x} = 2$

$y^2 + y = 2$

Hier kannst du $2$ auf die linke Seite der Gleichung bringen.

$\Leftrightarrow y^2 + y - 2 = 0$

Nun hast du eine quadratische Gleichung erhalten, die der Theorie gemäß höchstens zwei reelle Lösungen (d. h. Nullstellen) hat. Diese kannst du mit der $pq$-Formel berechnen:

$\Leftrightarrow y \in \{-2, 1\}$

(Hier gilt der Äquivalenzpfeil, da die Gleichung genau zwei reelle Lösungen hat.)

$\mathrm e^{1-x} = 1$

Wie du vielleicht schon weißt, ist $\operatorname{exp}(0) = \mathrm e^0 = 1$. Also ist $x = 1$ eine mögliche Lösung. Durch Anwendung der natürlichen Logarithmusfunktion $\operatorname{ln}$ auf beide Seiten der Gleichung erhältst du

$\Leftrightarrow \operatorname{ln}(\mathrm e^{1-x}) = \operatorname{ln}(1)$

Da $\operatorname{ln}$ die Umkehrfunktion von $\operatorname{exp}$ auf ganz $\mathbb{R}$ ist (deswegen bleibt der Äquivalenzpfeil gültig), gilt $\operatorname{ln}(\mathrm e^x) = x$. Aus dem Artikel zur $\operatorname{ln}$-Funktion könntest du dir gemerkt haben, dass $\operatorname{ln}(1) = 0$ ist.

$\Leftrightarrow 1-x = 0$

Hier kannst du $x$ auf die andere Gleichungsseite bringen und bekommst die gesuchte Lösung der Gleichung $f(x) = g(x)$.

$\Leftrightarrow x = 1$

$f(1)=1+\mathrm e^{1-1}=1+\mathrm e^0=1+1=2$

$f'(1) = -e^{1-1} = -e^0 = -1$

$g'(1) = 2 \cdot e^{1-1} = 2 \cdot e^0 = 2$

Anschließend kannst du die gesuchten Geraden bestimmen, indem du $k_{1} = f'(1)$ und $k_{2} = g'(1)$ setzt (damit ist 1. erfüllt). Wenn du weiterhin noch 2. forderst, erhältst du durch Einsetzen von $\tilde x = 1, f(1), g(1), k_{1}$ und $k_{2}$ zwei Gleichungen. Diese Gleichungen formst du um, um die fehlenden Werte $d_{1}$ und $d_{2}$ zu berechnen:

und

Nach diesen Schritten hast du die Geradengleichungen von $g_{1}$ und $g_{2}$ ermittelt:

$g_{1}: y = (-1) \cdot x + 3$

$g_{2}: y = 2 \cdot x$

(siehe auch: (*) Alternativer Lösungsweg)

Du kannst sofort die Normalform der Geraden angeben,

$g_{1}: x + y = 3$

$g_{2}: (-2) \cdot x + y = 0$

sowie deren Normalenvektoren $\overrightarrow{n}_{g_{1}}$ und $\overrightarrow{n}_{g_{2}}$ ablesen: $\binom{1}{1}$ und $\binom{-2}{1}$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\Rightarrow \varphi &= cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{10}})\\&\approx 108{,}4°\end{aligned}$

Unter Verwendung eines Taschenrechners ist es dir möglich, den Wert von $cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{10}})$ (in $°$ Winkelmaß) zu berechnen.

Achtung: Versichere dich davor in dessen Einstellungsmenü davon, dass du dein Ergebnis nicht in $°$ Radiant angegeben erhältst.

Steigungswinkel von $g_1$: $\alpha_1=\tan^{-1}\left(m_1\right)=\tan^{-1}\left(-1\right)=-45^\circ$

Steigungswinkel von $g_2$: $\alpha_2=\tan^{-1}\left(m_2\right)=\tan^{-1}\left(2\right)\approx63{,}4^\circ$

Berechne den Schnittwinkel. Ziehe dazu die Winkel voneinander ab und bilde deren Betrag.

$\varphi=\left|\alpha_2-\alpha_1\right|\approx\left|63{,}4^\circ-(-45^\circ)\right|=108{,}4^\circ$