Aufgaben zu Graphen von linearen Funktionen

Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|0)$, also $y=0$.

Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|3)$, also $y=3$.

Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|-4)$, also $y=-4$.

Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|-3)$, also $y=-3$.

Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|4)$, also $y=4$.

Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|5)$, also $y=5$.

Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|2)$, also $y=2$.

Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|3)$, also $y=3$.

Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|-1)$, also $y=-1$.

Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|-4)$, also $y=-4$.

Du gehst vom y-Achsenabschnitt (hier $y=0$) um $1$ nach rechts und um $3$ nach oben.

Deine Steigung lautet also: $m={\displaystyle \frac{3}{1}}=3$

Du gehst vom y-Achsenabschnitt (hier $y=3$) um $1$ nach rechts und um $3$ nach unten.

Deine Steigung lautet also: $m={\displaystyle \frac{-3}{1}}=-3$

Du gehst vom y-Achsenabschnitt (hier $y=-3$) um $2$ nach rechts und um $3$ nach oben.

Deine Steigung lautet also: $m={\displaystyle \frac{3}{2}}=\mathrm{1,5}$

Du gehst vom y-Achsenabschnitt (hier $y=4$) um $1$ nach rechts und um $1$ nach unten.

Deine Steigung lautet also: $m={\displaystyle \frac{-1}{1}}=-1$

Du gehst vom y-Achsenabschnitt (hier $y=-3$) um $1$ nach rechts und um $2$ nach oben.

Deine Steigung lautet also: $m={\displaystyle \frac{2}{1}}=2$

$y$-Achsenabschnitt bestimmen

Den $y$-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Gerade mit der $y$-Achse betrachtest.

In diesem Fall:

Der $y$-Achsenabschnitt ist der $y$-Wert des Schnittpunkts $(0/4)$, also $4$.

Steigung bestimmen

Die Steigung einer Geraden bestimmt man am einfachsten mithilfe eines Steigungsdreiecks.

Im Fall von $G_a$:

Du kannst ablesen, dass du eine Längeneinheit nach unten und eine Längeneinheit nach rechts gehst.

Du erhältst für die Steigung: $m=-1$

Funktionsterm aufstellen

Der Funktionsterm einer linearen Funktion hat die Form:

Dabei steht $m$ für die Steigung und $t$ für den $y$-Achsenabschnitt.

Setzt du die Werte aus den vorigen Teilaufgaben ein erhältst du:

Vereinfacht ist das:

Die Funktionsgleichung von $G_a$ ist also:

.

$y$-Achsenabschnitt bestimmen

Den $y$-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Gerade mit der $y$-Achse betrachtest.

In diesem Fall:

Der $y$-Achsenabschnitt von $G_c$ ist also $-3$.

Steigung bestimmen

Die Steigung einer Geraden bestimmt man am einfachsten mithilfe eines Steigungsdreiecks.

Im Fall von $G_c$:

Du kannst ablesen, dass du eine Längeneinheit nach rechts und zwei Längeneinheiten nach oben gehst.

Du erhältst für die Steigung: $m=2$

Funktionsterm aufstellen

Der Funktionsterm einer linearen Funktion hat die Form:

Dabei steht $m$ für die Steigung und $t$ für den $y$-Achsenabschnitt.

Setzt du die Werte aus den vorigen Teilaufgaben ein erhältst du:

Die Funktionsgleichung von $G_c$ ist also:

Der Graph ist steigend. Also können nur Antwortmöglichkeiten 2,5 und 1 richtig sein. Wenn du vom y-Achsenabschnitt (hier $y=-\mathrm{2,5}$) um $1$ nach rechts gehst, musst du etwa eins noch nach oben, um die Gerade wieder zu erreichen.

Deine Steigung lautet also: $m={\displaystyle \frac{1}{1}}=1$.

Du sucht dir im Koordinatensystem zwei Punkte, deren Koordianten du leicht ablesen kannst. Hier z.B. $(1|3)$ und $(3|0)$. Um von $(1|3)$ zu $(3|0)$ zu kommen, gehst du $2$ nach rechts und um $3$ nach unten.

Deine Steigung lautet also: $m=\frac{-3}{2}=-\mathrm{1,5}$

Die Gerade ist fallend. Daher kann die Steigung nur negativ sein. als mögliche richtige Lösungen kommen also nur noch $-\mathrm{0,8}$ oder $-\mathrm{1,2}$ in Frage.

Wenn du im Koordinatensystem vom y-Achsenabschnitt um $1$ nach rechts gehst, musst du weniger als $1$ nach unten, um die Gerade wieder zu treffen. Also kann die Antwort $m=-\mathrm{1,2}$ nicht stimmen.

Wenn man den Graphen sehr sehr genau ansieht, kommt man auf das Ergebnis:

$m={\displaystyle \frac{-\mathrm{0,8}}{1}}=-\mathrm{0,8}$

Der Graph ist steigend, also kann die Steigung nur positiv sein. Die Antwortmöglichkeiten $2$ oder $\mathrm{1,8}$ oder $\mathrm{2,2}$ stehen also noch zur Wahl.

Such dir einen Punkt auf der Geraden, dessen Koordinaten du leicht ablesen kannst. Hier eignet sich zum Beispiel der Punkt $(3|0)$. Von hier gehts du um $1$ nach rechts und weniger als 2 nach oben, um die Gerade wieder zu erreichen. Daher bleibt nur noch die Antwortmöglichkeit $m=\mathrm{1,8}$ übrig.

Deine Steigung lautet also: $m={\displaystyle \frac{\mathrm{1,8}}{1}}=\mathrm{1,8}$

Du gehst vom y-Achsenabschnitt (hier $y=3$) um $7$ nach rechts und um $3$ nach unten.

Deine Steigung lautet also: $m={\displaystyle \frac{-3}{7}}=-{\displaystyle \frac{3}{7}}$

Lineare Funktion $f(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$f(x)=m\cdot x+t$

Lies den y-Achsenabschnitt an der Abbildung ab.

$t=2$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab und berechne die Steigung:

Du kannst zum Beispiel diese Punkte verwenden:

$P_1(-3|0)$ $x_1=-3$ und $y_1=0$

$P_2(0|2)$ $x_2=0$ und $y_2=2$

Für die Steigung erhältst du dann durch einsetzen:

$${\displaystyle m=\frac{2-0}{0-(-3)}=\frac{2}{3}}$$

Setze die berechneten Werte von $m$ und $t$ nun in die allgemeine Form ein:

$f(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot x+2$

Lineare Funktion $g(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$g(x)=m\cdot x+t$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um die Steigung zu berechnen.

$${\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$$

Beispielsweise kannst du diese beiden Punkte verwenden:

$P_1(2|-4)$ $x_1=2$ und $y_1=-4$

$P_2(\mathrm{3,5}|0)$ $x_2=\mathrm{3,5}$ und $y_2=0$

Die Steigung ist dann:

$${\displaystyle m=\frac{0-(-4)}{\mathrm{3,5}-2}=\frac{4}{\mathrm{1,5}}=4\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{3}}$$

Da der y-Achsenabschnitt nicht sichtbar ist, musst du ihn berechnen. Stelle dafür die Geradengleichung auf.

$${\displaystyle g(x)=\frac{8}{3}\cdot x+t}$$

Setze einen der Punkte ein, zum Beispiel $(2|-4)$.

$${\displaystyle -4=\frac{8}{3}\cdot 2+t}$$

Löse nun nach $t$ auf.

$${\displaystyle t=-4-\frac{8}{3}\cdot 2=-\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{28}{3}}$$

Setze die Werte von $m$ und $t$ in die allgemeine Form der linearen Funktion ein und du bekommst die Geradengleichung:

$${\displaystyle g(x)=\frac{8}{3}\cdot x-\frac{28}{3}}$$

Lineare Funktion $h(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$h(x)=m\cdot x+t$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um die Steigung zu berechnen.

$${\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$$

Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:

$P_1(0|-2)$ $x_1=0$ und $y_1=-2$

$P_2(4|-3)$ $x_2=4$ und $y_2=-3$

Mit ihnen kannst du nun die Steigung berechnen:

$${\displaystyle m=\frac{-3-(-2)}{4-0}=\frac{-3+2}{4}=-\frac{1}{4}}$$

Lies entweder $t=-2$ ab oder berechne den Wert. Um ihn zu berechnen, stelle die Geradengleichung auf.

$${\displaystyle h(x)=-\frac{1}{4}\cdot x+t}$$

Setze einen Punkt ein, der auf der Gerade liegt, zum Beispiel $(4|-3)$.

$${\displaystyle -3=-\frac{1}{4}\cdot 4+t}$$

Löse nun noch nach $t$ auf.

$t=-3+1=-2$

Setze $m=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ und $t=-2$ in die allgemeine Form ein und du erhältst die Geradengleichung:

$${\displaystyle h(x)=-\frac{1}{4}\cdot x-2}$$

Lineare Funktion $f(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$f(x)=m\cdot x+t$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um mit ihnen die Steigung zu berechnen:

$${\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$$

Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:

$P_1(2|4)$ $x_1=2$ und $y_1=4$

$P_2(\mathrm{2,5}|0)$ $x_2=\mathrm{2,5}$ und $y_2=0$

Als Steigung ergibt sich:

$${\displaystyle m=\frac{0-4}{\mathrm{2,5}-2}=\frac{-4}{\mathrm{0,5}}=-4\cdot \frac{2}{1}=-8}$$

Da der y-Achsenabschnitt nicht sichtbar ist, musst du ihn berechnen. Stelle daher die Geradengleichung auf:

$${\displaystyle f(x)=-8\cdot x+t}$$

Setze einen der Punkte, zum Beispiel $(2|4)$, ein:

$${\displaystyle 4=-8\cdot 2+t}$$

Löse nach $t$ auf.

$${\displaystyle t=4+8\cdot 2=4+16=20}$$

Setze $m=-8$ und $t=20$ in die allgemeine Form ein und du bekommst als Ergebnis die Geradengleichung:

$f(x)=-8\cdot x+20$

Lineare Funktion $g(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$g(x)=m\cdot x+t$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um mit ihnen die Steigung zu berechnen:

$${\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$$

Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:

$P_1(0|-2)$ $x_1=0$ und $y_1=-2$

$P_2(-4|-3)$ $x_2=-4$ und $y_2=-3$

Berechne mit ihnen nun die Steigung:

$${\displaystyle m=\frac{-3-(-2)}{-4-0}=\frac{-3+2}{-4}=\frac{1}{4}}$$

Lies den y-Achsenabschnitt an der Abbildung ab.

$t=-2$

Setze $m={\displaystyle \frac{1}{4}}$ und $t=-2$ in die allgemeine Form der linearen Funktion ein und du erhältst die Geradengleichung von $g$:

$${\displaystyle g(x)=\frac{1}{4}\cdot x-2}$$

Zeichnen der linearen Funktion

Lese zunächst $y$-Achsenabschnitt und die Steigung aus dem Funktionsterm der linearen Funktion ab.

In diesem Fall:

$f(x)=-2x+4$

Du erhältst für den $y$-Achsenabschnitt $t=4$ und für die Steigung $m=-2$.

Zeichnen der linearen Funktion

Lese zunächst $y$-Achsenabschnitt und die Steigung aus dem Funktionsterm der linearen Funktion ab.

In diesem Fall:

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}x-2$

Du erhältst für den $y$-Achsenabschnitt $t=-2$ und für die Steigung $m={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Zeichnen der linearen Funktion

Die Funktion $h(x)=5$ stellt einen Spezialfall der linearen Funktionen dar. Die Steigung von $h(x)$ ist gleich $0$.

Das bedeutet, dass sich der Funktionswert unabhängig der Variable $x$ nicht ändert.

Wenn du also für jeden $x$ Wert den Funktionswert $h(x)=5$ in ein Koordinatensystem einzeichnest erhältst du eine Gerade, die parallel zur $x$-Achse auf der Höhe $y=5$ verläuft.

Einen Punkt ermitteln

Steigung ermitteln

Bestimme die Steigung $m$ der Funktion

Gerade zeichnen

Gehe von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und 3 nach oben, da m gleich 3 ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion.

Verbinde anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden.

Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend m, $1$ nach unten gehen, da m negativ ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion .

Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.

Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend $m$,  $\frac{3}{4}$ nach unten gehen, da m negativ ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion.

Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.

Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend $m$,  $\frac{1}{2}$ nach unten gehen, da m negativ ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion .

Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.

Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend m,  $\frac{3}{4}$ nach oben gehen, da m positiv ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion .

Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.

Der y-Wert der Gerade ist immer 2,5. Darum ist die Gerade eine Parallele zur x-Achse.

Vorgegebene Graphengleichung: $y=\frac{5}{4}x-1$

Du kannst die Steigung und den y-Achsenabschnitt dieses Graphen an der Gleichung ablesen.

$m=\frac{5}{4}\text{}$

$\text{}t=-1$

Überprüfe zuerst bei welchen Funktionen der y-Achsenabschnitt $t=-1$ beträgt, indem du den y-Wert jedes Graphen abliest, indem die y-Achse geschnitten wird.

Nur Graph I und II haben den y-Achsenabschnitt $-1$ also kannst du jeden anderen Graphen ausschließen.

Überprüfe nun welcher der beiden Graphen die Steigung $m=\frac{5}{4}$ besitzt, indem du vom Punkt $x=0$ ausgehend eins nach rechts gehst und überprüfst, welcher der beiden y-Werte sich um  $\frac{5}{4}$ erhöht.

Beide Graphen beginnen beim Punkt $P(0;-1)$. Da die gesuchte Gerade die Steigung $\frac{5}{4}$ hat, geht sie auch durch den Punkt $(0+4|-1+5)=(4|4)$.

Durch diesen Punkt läuft nur die Gerade II.

$\Rightarrow$   Der Graph II ist der Graph, der zu der vorgegebenen Gleichung gehört.

zu überprüfende Gerade: Graph III

Lies zuerst wo der Graph die y-Achse schneidet, um den y-Achsenabschnitt zu ermitteln.

Der y-Wert des Punktes, indem die  y-Achse geschnitten wird, beträgt $y=\mathrm{1,25}$. Somit ist $t=\mathrm{1,25}$ .

Lies nun ab um wieviel sich der y-Wert verändert, wenn du ausgehend von $x=0$, eins nach rechts gehst. Dadurch ermittelst du die Steigung.

Der y-Wert erhöht sich von $y=\mathrm{1,25}$ auf $y=\mathrm{2,25}$. Somit beträgt die Steigung $m=\frac{\mathrm{2,25}-\mathrm{1,25}}{1}=\frac{1}{1}=1$ .

Stelle die Gleichung auf.

⇒   Der Graph III hat die Gleichung $y=x+\mathrm{1,25}$