Aufgaben zu Graphen von linearen Funktionen

Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|0)$, also $y=0$.

Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|3)$, also $y=3$.

Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|-4)$, also $y=-4$.

Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|-3)$, also $y=-3$.

Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|4)$, also $y=4$.

Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|5)$, also $y=5$.

Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|2)$, also $y=2$.

Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|3)$, also $y=3$.

Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|-1)$, also $y=-1$.

Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|-4)$, also $y=-4$.

Du gehst vom y-Achsenabschnitt (hier $y=0$) um $1$ nach rechts und um $3$ nach oben.

Deine Steigung lautet also: $m = \dfrac{3}{1}=3$

Du gehst vom y-Achsenabschnitt (hier $y=3$) um $1$ nach rechts und um $3$ nach unten.

Deine Steigung lautet also: $m=\dfrac{-3}{1}=-3$

Du gehst vom y-Achsenabschnitt (hier $y=-3$) um $2$ nach rechts und um $3$ nach oben.

Deine Steigung lautet also: $m=\dfrac{3}{2}=1{,}5$

Du gehst vom y-Achsenabschnitt (hier $y=4$) um $1$ nach rechts und um $1$ nach unten.

Deine Steigung lautet also: $m=\dfrac{-1}{1}=-1$

Du gehst vom y-Achsenabschnitt (hier $y=-3$) um $1$ nach rechts und um $2$ nach oben.

Deine Steigung lautet also: $m=\dfrac{2}{1}=2$

$y$-Achsenabschnitt bestimmen

Den $y$-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Gerade mit der $y$-Achse betrachtest.

In diesem Fall:

Der $y$-Achsenabschnitt ist der $y$-Wert des Schnittpunkts $(0/4)$, also $4$.

Steigung bestimmen

Die Steigung einer Geraden bestimmt man am einfachsten mithilfe eines Steigungsdreiecks.

Im Fall von $G_a$:

Du kannst ablesen, dass du eine Längeneinheit nach unten und eine Längeneinheit nach rechts gehst.

Du erhältst für die Steigung: $m=-1$

Funktionsterm aufstellen

Der Funktionsterm einer linearen Funktion hat die Form:

Dabei steht $m$ für die Steigung und $t$ für den $y$-Achsenabschnitt.

Setzt du die Werte aus den vorigen Teilaufgaben ein erhältst du:

Vereinfacht ist das:

Die Funktionsgleichung von $G_a$ ist also:

.

$y$-Achsenabschnitt bestimmen

Den $y$-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Gerade mit der $y$-Achse betrachtest.

In diesem Fall:

Der $y$-Achsenabschnitt von $G_c$ ist also $-3$.

Steigung bestimmen

Die Steigung einer Geraden bestimmt man am einfachsten mithilfe eines Steigungsdreiecks.

Im Fall von $G_c$:

Du kannst ablesen, dass du eine Längeneinheit nach rechts und zwei Längeneinheiten nach oben gehst.

Du erhältst für die Steigung: $m=2$

Funktionsterm aufstellen

Der Funktionsterm einer linearen Funktion hat die Form:

Dabei steht $m$ für die Steigung und $t$ für den $y$-Achsenabschnitt.

Setzt du die Werte aus den vorigen Teilaufgaben ein erhältst du:

Die Funktionsgleichung von $G_c$ ist also:

Der Graph ist steigend. Also können nur Antwortmöglichkeiten 2,5 und 1 richtig sein. Wenn du vom y-Achsenabschnitt (hier $y=-2{,}5$) um $1$ nach rechts gehst, musst du etwa eins noch nach oben, um die Gerade wieder zu erreichen.

Deine Steigung lautet also: $m=\dfrac{1}{1}=1$.

Du sucht dir im Koordinatensystem zwei Punkte, deren Koordianten du leicht ablesen kannst. Hier z.B. $(1|3)$ und $(3|0)$. Um von $(1|3)$ zu $(3|0)$ zu kommen, gehst du $2$ nach rechts und um $3$ nach unten.

Deine Steigung lautet also: $m=\frac{-3}{2}=-1{,}5$

Die Gerade ist fallend. Daher kann die Steigung nur negativ sein. als mögliche richtige Lösungen kommen also nur noch $-0{,}8$ oder $-1{,}2$ in Frage.

Wenn du im Koordinatensystem vom y-Achsenabschnitt um $1$ nach rechts gehst, musst du weniger als $1$ nach unten, um die Gerade wieder zu treffen. Also kann die Antwort $m=-1{,}2$ nicht stimmen.

Wenn man den Graphen sehr sehr genau ansieht, kommt man auf das Ergebnis:

$m=\dfrac{-0{,}8}{1}=-0{,}8$

Der Graph ist steigend, also kann die Steigung nur positiv sein. Die Antwortmöglichkeiten $2$ oder $1{,}8$ oder $2{,}2$ stehen also noch zur Wahl.

Such dir einen Punkt auf der Geraden, dessen Koordinaten du leicht ablesen kannst. Hier eignet sich zum Beispiel der Punkt $(3|0)$. Von hier gehts du um $1$ nach rechts und weniger als 2 nach oben, um die Gerade wieder zu erreichen. Daher bleibt nur noch die Antwortmöglichkeit $m=1{,}8$ übrig.

Deine Steigung lautet also: $m=\dfrac{1{,}8}{1}=1{,}8$

Du gehst vom y-Achsenabschnitt (hier $y=3$) um $7$ nach rechts und um $3$ nach unten.

Deine Steigung lautet also: $m=\dfrac{-3}{7}=-\dfrac{3}{7}$

Lineare Funktion $f(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$f(x)=m \cdot x+t$

Lies den y-Achsenabschnitt an der Abbildung ab.

$t = 2$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab und berechne die Steigung:

Du kannst zum Beispiel diese Punkte verwenden:

$P_1(-3|0)$ $x_1= -3$ und $y_1 = 0$

$P_2(0|2)$ $x_2= 0$ und $y_2 = 2$

Für die Steigung erhältst du dann durch einsetzen:

$\displaystyle m = \frac{2 - 0}{0 - (-3)} = \frac{2}{3}$

Setze die berechneten Werte von $m$ und $t$ nun in die allgemeine Form ein:

$f(x) = \dfrac{2}{3}\cdot x + 2$

Lineare Funktion $g(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$g(x)=m \cdot x+t$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um die Steigung zu berechnen.

$\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Beispielsweise kannst du diese beiden Punkte verwenden:

$P_1(2|-4)$ $x_1= 2$ und $y_1=-4$

$P_2(3{,}5|0)$ $x_2=3{,}5$ und $y_2 = 0$

Die Steigung ist dann:

$\displaystyle m = \frac{0 - (-4)}{3{,}5 - 2} = \frac{4}{1{,}5} = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$

Da der y-Achsenabschnitt nicht sichtbar ist, musst du ihn berechnen. Stelle dafür die Geradengleichung auf.

$\displaystyle g(x) = \frac{8}{3} \cdot x + t$

Setze einen der Punkte ein, zum Beispiel $(2|-4)$.

$\displaystyle -4 = \frac{8}{3} \cdot 2 + t$

Löse nun nach $t$ auf.

$\displaystyle t = -4- \frac{8}{3} \cdot 2 = -\frac{12}{3}- \frac{16}{3} = -\frac{28}{3}$

Setze die Werte von $m$ und $t$ in die allgemeine Form der linearen Funktion ein und du bekommst die Geradengleichung:

$\displaystyle g(x)=\frac{8}{3} \cdot x - \frac{28}{3}$

Lineare Funktion $h(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$h(x)=m \cdot x+t$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um die Steigung zu berechnen.

$\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:

$P_1(0|-2)$ $x_1= 0$ und $y_1 = -2$

$P_2(4|-3)$ $x_2= 4$ und $y_2=-3$

Mit ihnen kannst du nun die Steigung berechnen:

$\displaystyle m = \frac{-3 - (-2)}{4 - 0} = \frac{-3 + 2}{4} = -\frac{1}{4}$

Lies entweder $t=-2$ ab oder berechne den Wert. Um ihn zu berechnen, stelle die Geradengleichung auf.

$\displaystyle h(x) = -\frac{1}{4} \cdot x + t$

Setze einen Punkt ein, der auf der Gerade liegt, zum Beispiel $(4|-3)$.

$\displaystyle -3 = -\frac{1}{4} \cdot 4 + t$

Löse nun noch nach $t$ auf.

$t = -3 + 1 = -2$

Setze $m = -\dfrac14$ und $t = -2$ in die allgemeine Form ein und du erhältst die Geradengleichung:

$\displaystyle h(x) = -\frac{1}{4} \cdot x -2$

Lineare Funktion $f(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$f(x)=m \cdot x+t$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um mit ihnen die Steigung zu berechnen:

$\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:

$P_1(2|4)$ $x_1= 2$ und $y_1=4$

$P_2(2{,}5|0)$ $x_2= 2{,}5$ und $y_2=0$

Als Steigung ergibt sich:

$\displaystyle m = \frac{0 - 4}{2{,}5 - 2} = \frac{-4}{0{,}5} = -4 \cdot \frac{2}{1} = -8$

Da der y-Achsenabschnitt nicht sichtbar ist, musst du ihn berechnen. Stelle daher die Geradengleichung auf:

$\displaystyle f(x) = -8 \cdot x + t$

Setze einen der Punkte, zum Beispiel $(2|4)$, ein:

$\displaystyle 4 = -8 \cdot 2 + t$

Löse nach $t$ auf.

$\displaystyle t = 4 + 8 \cdot 2 = 4 + 16 = 20$

Setze $m=-8$ und $t = 20$ in die allgemeine Form ein und du bekommst als Ergebnis die Geradengleichung:

$f(x) = -8\cdot x + 20$

Lineare Funktion $g(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$g(x)=m \cdot x+t$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um mit ihnen die Steigung zu berechnen:

$\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:

$P_1(0|-2)$ $x_1= 0$ und $y_1=-2$

$P_2(-4|-3)$ $x_2= -4$ und $y_2=-3$

Berechne mit ihnen nun die Steigung:

$\displaystyle m = \frac{-3 - (-2)}{-4 - 0} = \frac{-3 +2}{-4} = \frac{1}{4}$

Lies den y-Achsenabschnitt an der Abbildung ab.

$t = -2$

Setze $m = \dfrac14$ und $t = -2$ in die allgemeine Form der linearen Funktion ein und du erhältst die Geradengleichung von $g$:

$\displaystyle g(x)=\frac{1}{4} \cdot x - 2$

Zeichnen der linearen Funktion

Lese zunächst $y$-Achsenabschnitt und die Steigung aus dem Funktionsterm der linearen Funktion ab.

In diesem Fall:

$f(x)=-2x+4$

Du erhältst für den $y$-Achsenabschnitt $t=4$ und für die Steigung $m=-2$.

Zeichnen der linearen Funktion

Lese zunächst $y$-Achsenabschnitt und die Steigung aus dem Funktionsterm der linearen Funktion ab.

In diesem Fall:

$f(x)=\dfrac{1}{2}x-2$

Du erhältst für den $y$-Achsenabschnitt $t=-2$ und für die Steigung $m=\dfrac{1}{2}$.

Zeichnen der linearen Funktion

Die Funktion $h(x)=5$ stellt einen Spezialfall der linearen Funktionen dar. Die Steigung von $h(x)$ ist gleich $0$.

Das bedeutet, dass sich der Funktionswert unabhängig der Variable $x$ nicht ändert.

Wenn du also für jeden $x$ Wert den Funktionswert $h(x)=5$ in ein Koordinatensystem einzeichnest erhältst du eine Gerade, die parallel zur $x$-Achse auf der Höhe $y=5$ verläuft.

Einen Punkt ermitteln

Steigung ermitteln

Bestimme die Steigung $m$ der Funktion

Gerade zeichnen

Gehe von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und 3 nach oben, da m gleich 3 ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion.

Verbinde anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden.

Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend m, $1$ nach unten gehen, da m negativ ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion .

Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.

Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend $m$,  $\frac34$ nach unten gehen, da m negativ ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion.

Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.

Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend $m$,  $\frac12$ nach unten gehen, da m negativ ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion .

Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.

Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend m,  $\frac34$ nach oben gehen, da m positiv ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion .

Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.

Der y-Wert der Gerade ist immer 2,5. Darum ist die Gerade eine Parallele zur x-Achse.

Vorgegebene Graphengleichung: $y=\frac54x-1$

Du kannst die Steigung und den y-Achsenabschnitt dieses Graphen an der Gleichung ablesen.

$m=\frac{5}{4}​$

$​t=-1$

Überprüfe zuerst bei welchen Funktionen der y-Achsenabschnitt $t=-1$ beträgt, indem du den y-Wert jedes Graphen abliest, indem die y-Achse geschnitten wird.

Nur Graph I und II haben den y-Achsenabschnitt $-1$ also kannst du jeden anderen Graphen ausschließen.

Überprüfe nun welcher der beiden Graphen die Steigung $m=\frac54$ besitzt, indem du vom Punkt $x=0$ ausgehend eins nach rechts gehst und überprüfst, welcher der beiden y-Werte sich um  $\frac54$ erhöht.

Beide Graphen beginnen beim Punkt $P\left(0;-1\right)$. Da die gesuchte Gerade die Steigung $\frac54$ hat, geht sie auch durch den Punkt $(0+4|-1 +5)=(4|4)$.

Durch diesen Punkt läuft nur die Gerade II.

$\Rightarrow$   Der Graph II ist der Graph, der zu der vorgegebenen Gleichung gehört.

zu überprüfende Gerade: Graph III

Lies zuerst wo der Graph die y-Achse schneidet, um den y-Achsenabschnitt zu ermitteln.

Der y-Wert des Punktes, indem die  y-Achse geschnitten wird, beträgt $y=1{,}25$. Somit ist $t=1{,}25$ .

Lies nun ab um wieviel sich der y-Wert verändert, wenn du ausgehend von $x=0$, eins nach rechts gehst. Dadurch ermittelst du die Steigung.

Der y-Wert erhöht sich von $y=1{,}25$ auf $y=2{,}25$. Somit beträgt die Steigung $m=\frac{2{,}25-1{,}25}{1}=\frac11=1$ .

Stelle die Gleichung auf.

⇒   Der Graph III hat die Gleichung $y=x+1{,}25$