Aufgaben zur Berechnung von Kreisringen und Kreissektoren
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WĂ€hle die richtige Antwort aus.
In welchem Bild ist der Radius rot markiert?
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Radius
Der Radius ist die LĂ€nge einer Strecke vom Mittelpunkt bis zum Rand des Kreises.
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Informiere dich genau ĂŒber die Begriffe: Umfang, Durchmesser, Radius.
Sobald du die Definitionen kennst, weiĂt du die Antwort.
Wie berechnet man den FlÀcheninhalt von einem Kreis mit Radius ?
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Radius
Die richtige Antwort ist . Sie ist die einzige Formel unter den Antwortmöglichkeiten, bei der du eine FlÀche als Ergebnis erhÀltst. Rechne zum Beispiel mit . Dann erhÀltst du . In den anderen Formeln kommt der Radius ohne Quadrat vor und dein Ergebnis wird keine FlÀche.
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Denke zuerst logisch nach, welche Formel am sinnvollsten fĂŒr dich erscheint. Wenn du dir nicht weiter helfen kannst, benutze deine Formelsammlung! Wenn du keine hast, recherchiere im Internet.
Welche Formel stimmt? (Mit ist der FlÀcheninhalt vom Kreis gemeint.)
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Formeln zum Kreis
Die richtige Antwort ist .
Um zu ĂŒberprĂŒfen, dass die Antwort stimmt, kannst du die Formel fĂŒr den Umfang einsetzen.
KĂŒrze den Bruch.
Das ist die richtige Formel fĂŒr den FlĂ€cheninhalt. Es wurden nur Ăquivalenzumformungen verwendet. Deshalb ist auch die Ausgangsformel richtig.
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Denke zuerst logisch nach, welche Formel am sinnvollsten fĂŒr dich erscheint. Wenn du dir nicht weiter helfen kannst, benutze deine Formelsammlung! Wenn du keine hast, recherchiere im Internet.
Auf welchem Bild ist ein Kreissegment dargestellt?
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Bestimme den FlÀcheninhalt der folgenden Kreissektoren. Gib deine Lösungen auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet ein.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Formel fĂŒr die Berechnung der KreissektorflĂ€che
Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den FlĂ€cheninhalt zu bestimmen. Rechne anschlieĂend den Term aus:
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FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: FlĂ€cheninhalt eines Kreissektors
Setze die BogenlÀnge und den Radius in die Formel ein, um den FlÀcheninhalt zu bestimmen.
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FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: FlĂ€cheninhalt eines Kreissektors
Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den FlÀcheninhalt zu bestimmen.
Rechne aus und runde auf zwei Stellen nach dem Komma.
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FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: FlĂ€cheninhalt eines Kreissektors
1. Möglichkeit: Mit dem Radius und dem Mittelpunktswinkel
Benutze die Formel, in der und vorkommen:
Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den FlÀcheninhalt zu bestimmen.
Berechne.
2. Möglichkeit: Mit dem Radius und der LÀnge des Kreisbogens
Benutze die Formel, in der und vorkommen:
Setze die BogenlÀnge und den Radius in die Formel ein, um den FlÀcheninhalt zu bestimmen.
Die kleine Abweichung zum vorherigen Ergebnis kommt vom Runden der LĂ€nge des Kreisbogens.
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- 3
Der abgebildete Rasensprenger schwenkt um 40° und besprĂŒht so eine RasenflĂ€che von .
Wie groĂ ist seine Reichweite?
Gib das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet ein.
Quelle: Sebastian & Kari, CC BY-SA 2.0, Wikimedia Commons
mFĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreissektor
Bei dieser Aufgabe musst du den Radius eines Kreissektors berechnen.
Die besprĂŒhte RasenflĂ€che bildet einen Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel und dem gesuchten Radius r.
Setze den Wert in die Formel ein.
KĂŒrze die Winkel
Löse die Gleichung nach r auf.
Der Rasensprenger reicht also weit.
- 4
Berechne den Umfang der abgebildeten Figuren.
Beachte bei der Eingabe der Ergebnisse ins entsprechende Eingabefeld auf Folgendes:
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang
Bei der Figur handelt es sich um einen rechtwinkligen Kreisausschnitt, also einen Kreisausschnitt mit .
Du kannst demnach diese Gleichung durch 4 teilen bzw. mal ein Viertel nehmen, um den Umfang des Kreisbogens zu bestimmen.
Alternativ
Alternativ kannst du aber auch gleich die Formel fĂŒr die KreisbogenlĂ€nge mit dem Winkel verwenden.
Jetzt fehlen noch die 2 geraden StĂŒcke. Diese haben gerade jeweils die LĂ€nge des Radius des Kreises. Also musst du noch zwei Mal den Radius des Kreises addieren, um den gesamten Umfang der Figur zu bekommen.
Jetzt muss nur noch fĂŒr eingesetzt werden.
Das Ergebnis ist gerundet.
Der Umfang betrÀgt ..
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FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang
Der Umfang der Figur besteht aus der LĂ€nge eines Kreisbogens mit dem Winkel und den 2 geraden StĂŒcken.
Diese geraden StĂŒcke haben gerade jeweils die LĂ€nge des Radius des Kreissektors. Also musst du noch zwei Mal den Radius des Kreissektors addieren, um den gesamten Umfang der Figur zu erhalten.
Der Umfang betrÀgt .
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FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang
Der Umfang dieser Figur besteht aus zwei geraden StĂŒcken jeweils der LĂ€nge und aus dem Umfang der zwei Halbkreise mit jeweils dem Radius .
Wenn du die zwei Halbkreise nebeneinander legst, erkennst du, dass ein Kreis mit dem Radius entsteht.
Du kannst folglich gleich den Umfang des Kreises () mit dem Radius statt die UmfÀnge der zwei Halbkreise hernehmen.
Ingesamt erhÀlt man
Der Umfang betrÀgt .
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- 5
In einem Kreis mit Radius ist ein Sektor mit Mittelpunktswinkel eingezeichnet.
Gib die FlÀche des Sektors und die LÀnge des zugehörigen Bogens an.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreissektor
Thema dieser Aufgabe ist der Kreissektor.
Formel fĂŒr die BogenlĂ€nge anwenden um die LĂ€nge des Bogens zu berechnen.
â Setze und ein.
â Fasse zusammen.
Formel fĂŒr den KreissektorflĂ€cheninhalt anwenden.
â Setze und ein.
â Fasse zusammen.
Alternativ kann auch mit der Gleichung gerechnet werden.
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Berechne bei den einzelnen Figuren jeweils den Umfang und den FlÀcheninhalt.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang der Figur setzt sich aus zwei geraden langen Strecken und einem Viertel Kreisumfang zusammen.
Die Formel fĂŒr den Kreisumfang lautet:
Ein Viertel des Kreisumfangs kann dann mit berechnet werden. Der Kreisradius betrÀgt bei dieser Figur , so
dass du fĂŒr folgenden Wert erhĂ€ltst:
â Damit kannst du den gesamten Umfang der Figur berechnen:
Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa .
Berechnung des FlÀcheninhaltes
Die KreisflÀche berechnest du mit der Formel .
Die abgebildete Figur ist ein Viertel eines Kreises mit dem Radius . Den FlÀcheninhalt dieser Figur kannst du demnach mit berechnen:
â Antwort: Die Figur hat einen FlĂ€cheninhalt von etwa .
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Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des FlÀcheninhaltes suche nach bekannten geometrischen Figuren.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang der Figur setzt sich aus vier Vierteln eines Kreisumfangs zusammen. Somit ist der Umfang genau der Umfang eines Kreises mit dem Radius .
Die Formel fĂŒr den Kreisumfang lautet:
FĂŒr den Umfang der Figur gilt:
â Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa .
Berechnung des FlÀcheninhaltes
FĂŒr die Berechnung des FlĂ€cheninhaltes denke dir ein Quadrat mit der SeitenlĂ€nge um die Figur gezeichnet. So wie in der folgenden Abbildung.
Die QuadratflÀche besteht aus vier und der FlÀche der Figur . Die vier lassen sich zu einer ganzen KreisflÀche zusammensetzen, die du mit der Formel berechnen kannst. Dabei betrÀgt der Radius . Somit erhÀltst du den FlÀcheninhalt der Figur als Differenz der QuadratflÀche und der KreisflÀche :
â Antwort: Die Figur hat einen FlĂ€cheninhalt von etwa .
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Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des FlÀcheninhaltes suche nach bekannten geometrischen Figuren.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang der Figur setzt sich aus zwei geraden langen Strecken und zwei HĂ€lften eines Kreisumfangs zusammen. Das ist genau der Umfang eines Kreises mit dem Radius . Die Formel fĂŒr den Kreisumfang lautet:
FĂŒr den Umfang der Figur gilt:
â Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa .
Berechnung des FlÀcheninhaltes
Die Figur setzt sich aus zwei Teilen zusammen, einem Kreis mit dem Radius (zwei Halbkreise ergeben einen ganzen Kreis) und einem Rechteck mit den SeitenlÀngen und . Den FlÀcheninhalt dieser Figur berechnest du als Summe einer KreisflÀche und einer RechteckflÀche mit:
Antwort: Die Figur hat einen FlÀcheninhalt von etwa .
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Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des FlÀcheninhaltes suche nach bekannten geometrischen Figuren.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang der Figur ist die Summe aus zwei KreisumfĂ€ngen. Der eine Kreis hat einen Radius von und der andere Kreis hat einen Radius von . Die Formel fĂŒr den Kreisumfang lautet:
FĂŒr den Umfang der Figur ergibt sich somit:
â 3,14
Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa .
Berechnung des FlÀcheninhaltes
Den FlÀcheninhalt dieser Figur berechnest du als Differenz von zwei KreisflÀchen.
Antwort: Die Figur hat einen FlÀcheninhalt von etwa .
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Beachte: Bei dieser Figur geht es nur um den gefÀrbten Bereich.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang der Figur ist die Summe aus vier halben KreisumfĂ€ngen, das heiĂt aus insgesamt zwei KreisumfĂ€ngen. Der Kreis hat einen Radius von . Die Formel fĂŒr den Kreisumfang lautet:
FĂŒr den Umfang der Figur ergibt sich somit:
â 3,14
Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa .
Berechnung des FlÀcheninhaltes
Damit es deutlich wird, kannst du dir die Mitte der Figur ohne Farbe vorstellen. Du siehst hier nun ein Quadrat mit der SeitenlÀnge . Die vier Halbkreise ergeben zwei ganze Kreise. Den FlÀcheninhalt dieser Figur berechnest du als Summe zweier und einer QuadratflÀche mit:
Antwort: Die Figur hat einen FlÀcheninhalt von etwa .
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Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des FlÀcheninhaltes suche nach bekannten geometrischen Figuren.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang der Figur besteht aus einem groĂen Halbkreis mit dem Radius und zwei kleinen Halbkreisen mit gleichem Radius . Die zwei Halbkreise kannst du zu einem ganzen Kreis zusammensetzen. FĂŒr den Umfang der Figur gilt demnach:
â Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa .
Berechnung des FlÀcheninhaltes
Die Figur kannst du geschickt zerlegen und wieder zusammensetzen. Wie es geht zeigt das nÀchste Bild.
Denke dir den Durchmesser im groĂen Halbkreis eingezeichnet. LĂ€ngs dieser Linie kannst du den Halbkreis abschneiden und in den unteren kleinen Halbkreis einfĂŒgen. Der FlĂ€cheninhalt der Figur ist nun genau der FlĂ€cheninhalt des groĂen Halbkreises.
FĂŒr diesen FlĂ€cheninhalt gilt:
â Antwort: Die Figur hat einen FlĂ€cheninhalt von etwa .
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Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des FlÀcheninhaltes nutze die Strategie "Zerlegen" und "ErgÀnzen"
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang der Figur besteht aus zwei mit dem Radius und zwei der LĂ€nge . Die zwei kannst du zu einem ganzen Kreis zusammensetzen.
FĂŒr den Umfang der Figur gilt demnach:
â Berechnung des FlĂ€cheninhaltes
Bei der Berechnung des FlĂ€cheninhaltes kannst du die Strategie "Zerlegen" und "ErgĂ€nzen" anwenden. Denke dir den linken Halbkreis abgeschnitten und auf der rechten Seite wieder eingefĂŒgt. Der FlĂ€cheninhalt der Figur ist nun genau der FlĂ€cheninhalt eines Rechtecks mit den SeitenlĂ€ngen
und .
FĂŒr den FlĂ€cheninhalt der Figur gilt demnach:
Antwort: Die Figur hat einen FlÀcheninhalt von .
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Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des FlÀcheninhaltes suche nach bekannten geometrischen Figuren.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Zur Verdeutlichung sind in der obigen Abbildung alle Strecken und Halbkreise farbig gekennzeichnet. Der Umfang der Figur â setzt sich aus waagrechten Teilstrecken und senkrechten Strecken sowie halben KreisumfĂ€ngen zusammen. Den Kreisumfang berechnest du mit:
ï»ż waagrechte Teilstrecken: ï»ż
senkrechte Strecken:
Halbkreise (Nr. 1 und 5) ergeben einen ganzen Kreis mit dem Radius
Halbkreise (Nr. 2 und 4) ergeben einen ganzen Kreis mit dem Radius
Halbkreis (Nr. 3) mit dem Radius
Damit erhĂ€ltst du fĂŒr den gesamten Umfang der Figur:
â Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa .
Berechnung des FlÀcheninhaltes
Zur Verdeutlichung sind in der obigen Abbildung die 5 Quadrate nicht mehr farbig gekennzeichnet. Der FlĂ€cheninhalt der Figur setzt sich aus der FlĂ€che der 5 weiĂen Quadrate und der FlĂ€che von Halbkreisen zusammen. Bei den Quadraten sind jeweils 2 gleich groĂ. Je 2 Halbkreise lassen sich zu einem ganzen Kreis ergĂ€nzen.
Den FlĂ€cheninhalt eines Quadrates berechnest du mit . Berechne nun den FlĂ€cheninhalt der 5 weiĂen Quadrate:
â und
Den FlÀcheninhalt eines Kreises kannst du mit berechnen. Berechne nun den FlÀcheninhalt der Halbkreise:
Halbkreise (Nr. 1 und 5) ergeben einen ganzen Kreis mit dem Radius
Halbkreise (Nr. 2 und 4) ergeben einen ganzen Kreis mit dem Radius
Halbkreis (Nr. 3) mit dem Radius
â Damit erhĂ€ltst du fĂŒr den gesamten FlĂ€cheninhalt der Figur:
Antwort: Die Figur hat einen FlÀcheninhalt von etwa .
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Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des FlÀcheninhaltes suche nach bekannten geometrischen Figuren.
- 7
Eine Firma produziert runde Tischdecken. Jede Tischdecke erhÀlt um ihren Rand ein gemustertes Band (dieses Band wird auch Borte genannt). Berechne jeweils die LÀnge des gemusterten Bandes. Gib die LÀnge in Metern () gerundet auf zwei Stellen nach dem Komma an.
Der Durchmesser betrĂ€gt .  Â
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel berechnen.
â â Umrechnung 100 cm sind 1 m
Antwort: Die LÀnge des gemusterten Bandes betrÀgt etwa .
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Berechne mit dem gegebenen Durchmesser den Umfang des Kreises.
Der Durchmesser betrÀgt .
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel berechnen.
â â Umrechnung 1000 mm sind 1 m
â auf zwei Nachkommastellen runden
Antwort: Die LÀnge des gemusterten Bandes betrÀgt etwa .
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Berechne mit dem gegebenen Durchmesser den Umfang des Kreises.
Der Durchmesser betrÀgt .
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel berechnen.
â â auf zwei Nachkommastellen runden
Antwort: Die LÀnge des gemusterten Bandes betrÀgt etwa .
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Berechne mit dem gegebenen Durchmesser den Umfang des Kreises.
- 8
Eine NÀherin hat ein gemustertes Band mit einer bestimmten LÀnge abgeschnitten. Dieses Band soll um den Rand einer runden Tischdecke genÀht werden. Welchen Durchmesser hat die jeweils dazugehörende runde Tischdecke. Gib den Durchmesser in Metern gerundet auf zwei Stellen nach dem Komma an.
Das gemustertes Band hat eine LĂ€nge von .
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Die Umfangsformel wird nach aufgelöst:
â Antwort: Die Tischdecke hat einen Durchmesser von etwa .
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Die LÀnge des Bandes entspricht dem Umfang des Kreises. Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel berechnen. Löse die Umfangsformel nach auf.
Das gemustertes Band hat eine LĂ€nge von .
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Die Umfangsformel wird nach aufgelöst:
â â Rechne in um
Antwort: Die Tischdecke hat einen Durchmesser von etwa .
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Die LÀnge des Bandes entspricht dem Umfang des Kreises. Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel berechnen. Löse die Umfangsformel nach auf.
Das gemustertes Band hat eine LĂ€nge von .
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Die Umfangsformel wird nach aufgelöst:
â â Rechne in um
Antwort: Die Tischdecke hat einen Durchmesser von etwa .
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Die LÀnge des Bandes entspricht dem Umfang des Kreises. Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel berechnen. Löse die Umfangsformel nach auf.
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Wie lang ist der Weg, den du mit einer Radumdrehung deines Fahrrades zurĂŒcklegst? Berechne den Weg in Metern gerundet auf zwei Stellen nach dem Komma.
Du fĂ€hrst mit einem Kinderrad. Das Rad hat einen AuĂendurchmesser von .
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel berechnen.
â Antwort: Mit einer Radumdrehung deines Kinderrades kannst du einen Weg von etwa zurĂŒcklegen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Der Weg, den du mit einer Radumdrehung deines Fahrrades zurĂŒcklegst, entspricht dem Umfang deines Rades. Berechne mit dem gegebenen Durchmesser den Kreisumfang. Wandle den Umfang in die geforderte Einheit Meter um und runde auf zwei Stellen nach dem Komma.
Du fĂ€hrst mit einem Jugendrad. Das Rad hat einen AuĂendurchmesser von .
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel berechnen.
â Antwort: Mit einer Radumdrehung deines Jugendrades kannst du einen Weg von etwa zurĂŒcklegen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Der Weg, den du mit einer Radumdrehung deines Fahrrades zurĂŒcklegst, entspricht dem Umfang deines Rades. Berechne mit dem gegebenen Durchmesser den Kreisumfang. Wandle den Umfang in die geforderte Einheit Meter um und runde auf zwei Stellen nach dem Komma.
Du fĂ€hrst mit einem Tourenrad. Das Rad hat einen AuĂendurchmesser von .
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel berechnen.
â Antwort: Mit einer Radumdrehung deines Tourenrades kannst du einen Weg von etwa zurĂŒcklegen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Der Weg, den du mit einer Radumdrehung deines Fahrrades zurĂŒcklegst, entspricht dem Umfang deines Rades. Berechne mit dem gegebenen Durchmesser den Kreisumfang. Wandle den Umfang in die geforderte Einheit Meter um und runde auf zwei Stellen nach dem Komma.
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