Aufgaben zu Graphen linearer Funktionen

1
Zeichne den Graphen der linearen Funktionen in ein Koordinatensystem ein!
1. $f(x)=-2x+4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterm linearer Funktionen
  Zeichnen der linearen Funktion
  Lese zunächst $y$ -Achsenabschnitt und die Steigung aus dem Funktionsterm der linearen Funktion ab.
  In diesem Fall:
  $f(x)=-2x+4$
  Du erhältst für den $y$ -Achsenabschnitt $t=4$ und für die Steigung $m=-2$ .
  Zeichne zuerst den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse ein, der sich durch den $y$ -Achsenabschnitt ergibt. Dieser lautet also $A(0/4)$ .
  Zeichne anschließend mithilfe der Steigung ein Steigungsdreieck. Gehe dafür eine Längeneinheit nach rechts und zwei Längeneinheiten nach unten. Dadurch erhältst du den Punkt $B=(1/2)$ . Ziehe nun die Gerade durch die Punkte $A$ und $B$ .
  Du erhältst den Graphen $G_f$ von $f(x)$ .
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2. $g(x)=\dfrac{1}{2} x -2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterm der linearen Funktion
  Zeichnen der linearen Funktion
  Lese zunächst $y$ -Achsenabschnitt und die Steigung aus dem Funktionsterm der linearen Funktion ab.
  In diesem Fall:
  $f(x)=\dfrac{1}{2}x-2$
  Du erhältst für den $y$ -Achsenabschnitt $t=-2$ und für die Steigung $m=\dfrac{1}{2}$ .
  Zeichne zuerst den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse ein, der sich durch den $y$ -Achsenabschnitt ergibt. Dieser lautet also $C(0/-2)$ .
  Zeichne anschließend mithilfe der Steigung ein Steigungsdreieck. Gehe dafür zwei Längeneinheiten nach rechts und eine Längeneinheit nach oben. Du erhältst den Punkt $D=(2/-1)$ .
  Zeichne die Gerade durch die Punkte $C$ und $D$ .
  Du erhältst den Graphen $G_g$ von $g(x)$ .
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3. $h(x)=5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterm der linearen Funktion
  Zeichnen der linearen Funktion
  Die Funktion $h(x)=5$ stellt einen Spezialfall der linearen Funktionen dar. Die Steigung von $h(x)$ ist gleich $0$ .
  Das bedeutet, dass sich der Funktionswert unabhängig der Variable $x$ nicht ändert.
  Wenn du also für jeden $x$ Wert den Funktionswert $h(x)=5$ in ein Koordinatensystem einzeichnest erhältst du eine Gerade, die parallel zur $x$ -Achse auf der Höhe $y=5$ verläuft.
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2
Zeichne die Graphen der Funktionen mit folgender Funktionsgleichung:
1. $y=3x-2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Einen Punkt ermitteln
  $y=3x-2$
  $-2$ entspricht $t$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Schnittpunkt mit der y-Achse .
  $\;\;\Rightarrow\;\;P\left(0\vert-2\right)$
  Steigung ermitteln
  Bestimme die Steigung $m$ der Funktion
  $y=3x-2$
  $3$ entspricht $m$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.
  $m=3$
  Gerade zeichnen
  Gehe von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und 3 nach oben, da m gleich 3 ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion.
  Verbinde anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden.
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2. $y=2-x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Gleichung umstellen
  $y=2-x$
  Die Gleichung wird umgestellt, damit sie das Format der allgemeinen Geradengleichung hat.
  $y=-x+2$
  Einen Punkt ermitteln
  $y=-x+2$
  $+2$ entspricht $t$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Schnittpunkt mit der y-Achse .
  $\;\;\Rightarrow\;\;P\left(0\vert2\right)$
  Steigung ermitteln
  Bestimme nun die Steigung.
  $y=-x+2$
  $-1$ entspricht $m$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.
  $m=-1$
  Gerade zeichnen
  Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend m, $1$ nach unten gehen, da m negativ ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion .
  Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.
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3. $y=-\frac34x-1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Ein Punkt ermitteln
  $y=-\frac34x-1$
  $-1$ entspricht $t$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Schnittpunkt mit der y-Achse .
  $\;\;\Rightarrow\;\;P\left(0\vert-1\right)$
  Steigung ermitteln
  Bestimme nun die Steigung.
  $y=-\frac34x-1$
  $-\frac34$ entspricht $m$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.
  $m=-\frac34$
  Gerade zeichnen
  Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend $m$ , $\frac34$ nach unten gehen, da m negativ ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion.
  Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.
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4. $y=-\frac12x+2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Einen Punkt ermitteln
  $y=-\frac12x+2$
  $+2$ entspricht $t$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Schnittpunkt mit der y-Achse .
  $\;\;\Rightarrow\;\;P\left(0\vert2\right)$
  Steigung ermitteln
  Bestimme nun die Steigung.
  $y=-\frac12x+2$
  $-\frac12$ entspricht $m$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.
  $m=-\frac12$
  Gerade zeichnen
  Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend $m$ , $\frac12$ nach unten gehen, da m negativ ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion .
  Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.
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5. $\mathrm y=\frac34\mathrm x+1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Einen Punkt ermitteln
  $\mathrm y=\frac34\mathrm x+1$
  $1$ entspricht $t$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Schnittpunkt mit der y-Achse .
  $\;\;\Rightarrow\;\;P\left(0\vert1\right)$
  Steigung ermitteln
  Bestimme nun die Steigung.
  $\mathrm y=\frac34\mathrm x+1$
  $\frac34$ entspricht m der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.
  $m=\frac34$
  Gerade zeichnen
  Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend m, $\frac34$ nach oben gehen, da m positiv ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion .
  Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.
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Zeichne die Graphen folgender Geraden mit dem Schnittpunkt mit der y-Achse und dem Steigungsdreieck. Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse und überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen.

$f(x)\;=\;2x-5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$\mathrm{f}(\mathrm{x})=2\mathrm{x}-5$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;-5\right.\right)$
$\Rightarrow\;m_f=2$
Berechne nun den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$\displaystyle 2x-5$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle + 5$
$\displaystyle 2x$ $=$ $\displaystyle 5$ $\displaystyle \colon 2$
$\displaystyle x_0$ $=$ $\displaystyle 2{,}5$
$\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(2{,}5\;\left|\;0\right.\right)$
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$f(x)=-x-3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$\mathrm f(\mathrm x)=-\mathrm x-3$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;-3\right.\right)$
$\Rightarrow\;m_f=-1$
$\displaystyle -x - 3$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle + x$
$\displaystyle -3$ $=$ $\displaystyle x_0$
$\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(-3\;\left|\;0\right.\right)$
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$f\left(x\right)=\frac12x+1$

$f\left(x\right)=-\frac12x-2$

$f\left(x\right)=\frac13x-\frac12$

$f\left(x\right)=-\frac14x+\frac32$

$f\left(x\right)=\frac23x+2$

$f\left(x\right)=-\frac34x-1$

$f\left(x\right)=-3x+\frac5{10}$

$f\left(x\right)=\frac57x-\frac{12}4$

4
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Zeichnen Sie die Graphen folgender Funktionen jeweils in ein Koordinatensystem.
1. $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-\frac23\mathrm x+2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen
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  Zeichne den y-Achsenabschnitt als Punkt ein (hier A(0|2)).
  Gehe entsprechend der Steigung 3 nach rechts und 2 nach unten und zeichne den Punkt ein (hier B(3|0)).
  Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.
2. $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=2\mathrm x-4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen
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  Zeichne den y-Achsenabschnitt als Punkt ein (hier A(0|-4)).
  Gehe entsprechend der Steigung 1 nach rechts und 2 nach oben und zeichne den Punkt ein (hier B(1|-2)).
  Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.
3. $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-\frac54\mathrm x+1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen
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  Zeichne den y-Achsenabschnitt als Punkt ein (hier A(0|1)).
  Gehe entsprechend der Steigung 4 nach rechts und 5 nach unten und zeichne den Punkt ein (hier B(4|-4)).
  Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.
4. $\mathrm f(\mathrm x)=-4\mathrm x+5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen
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  Zeichne den y-Achsenabschnitt als Punkt ein (hier A(0|5)).
  Gehe entsprechend der Steigung 1 nach rechts und 4 nach unten und zeichne den Punkt ein (hier B(1|1)).
  Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.
5. $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-0{,}3\mathrm x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen
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  Der Vergleich mit der allgemeinen Form der Geradengleichung $y=mx+t$ , ergibt: Achsenabschnitt $t=0$ und Steigung $m=-\frac{3}{10}$
  Aus dem Wert des y-Achsenabschnitt $t=0$ folgt, dass es sich um eine Ursprungsgerade handelt. Der eine Geradenpunkt ist deshalb der Ursprung: $\text{A}(0|0)$ .
  Schreibe die Steigung als Bruch: $-0{,}3=-\frac{3}{10}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ . Gehe entsprechend der Steigung 10 nach rechts und 3 nach unten. Dort ist der zweiten Geradenpunkt $\text{B}(10|-3)$ .
  Die Gerade verläuft durch die beiden Punkte $\text{A}$ und $\text{B}$ .
6. $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=2{,}5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen
  Der y-Wert der Gerade ist immer 2,5. Darum ist die Gerade eine Parallele zur x-Achse.
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5
Bestimmung von Schnittpunkten
Gegeben ist eine Gerade g und eine Gerade h.
1. Bestimme die Geradengleichungen von g und h.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Der Parameter $m$ ist die Steigung der Geraden. Der Parameter $t$ ist der y-Achsenabschnitt.
  Gerade g:
  $y = m_gx + t_g$
  Die Gerade g hat die Steigung $-\frac{3}{2}$ , das heißt $m_g = -\frac{3}{2}$ .
  $y = -\frac{3}{2}x + t_g$
  Sie schneidet die y-Achse bei $\frac{9}{2}$ , das heißt $t_g = \frac{9}{2}$ .
  $y = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2}$
  Gerade h:
  $y = m_hx + t_h$
  Die Gerade h hat die Steigung $2$ , das heißt $m_h = 2$
  $y = 2x + t_h$
  Die Gerade schneidet die y-Achse bei $1$ , das heißt $t_h = 1$ .
  $y = 2x + 1$
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2. Lies den Schnittpunkt ab.
  Gib den Punkt in das Eingabefeld ein. Beispiel: "(-2;1)" oder "(-2|1)"
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt
  Schnittpunkte ablesen
  Wir lesen aus der Zeichnung den Schnittpunkt $\text{SP} (1|3)$ ab.
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6
Lies aus dem Graphen die Steigung ab.
1. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
  Du gehst vom y-Achsenabschnitt (hier $y=0$ ) um $1$ nach rechts und um $3$ nach oben.
  Deine Steigung lautet also: $m = \dfrac{3}{1}=3$
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  Überlege dir, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnen könntest.
2. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
  Du gehst vom y-Achsenabschnitt (hier $y=3$ ) um $1$ nach rechts und um $3$ nach unten.
  Deine Steigung lautet also: $m=\dfrac{-3}{1}=-3$
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  Überlege dir, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnen könntest.
3. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
  Du gehst vom y-Achsenabschnitt (hier $y=-3$ ) um $2$ nach rechts und um $3$ nach oben.
  Deine Steigung lautet also: $m=\dfrac{3}{2}=1{,}5$
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  Überlege dir, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnen könntest.
4. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
  Du gehst vom y-Achsenabschnitt (hier $y=4$ ) um $1$ nach rechts und um $1$ nach unten.
  Deine Steigung lautet also: $m=\dfrac{-1}{1}=-1$
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  Überlege dir, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnen könntest.
5. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
  Du gehst vom y-Achsenabschnitt (hier $y=-3$ ) um $1$ nach rechts und um $2$ nach oben.
  Deine Steigung lautet also: $m=\dfrac{2}{1}=2$
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  Überlege dir, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnen könntest.
7
Bestimme die Steigung der folgenden Geraden.
1. $-1$
  $2{,}5$
  $1$
  $-2{,}5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
  Der Graph ist steigend. Also können nur Antwortmöglichkeiten 2,5 und 1 richtig sein. Wenn du vom y-Achsenabschnitt (hier $y=-2{,}5$ ) um $1$ nach rechts gehst, musst du etwa eins noch nach oben, um die Gerade wieder zu erreichen.
  Deine Steigung lautet also: $m=\dfrac{1}{1}=1$ .
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  Überlege dir, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnen könntest.
2. $-\frac 23$
  $-1{,}5$
  $3$
  $4{,}5$
  $\frac 32$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
  Du sucht dir im Koordinatensystem zwei Punkte, deren Koordianten du leicht ablesen kannst. Hier z.B. $(1|3)$ und $(3|0)$ . Um von $(1|3)$ zu $(3|0)$ zu kommen, gehst du $2$ nach rechts und um $3$ nach unten.
  Deine Steigung lautet also: $m=\frac{-3}{2}=-1{,}5$
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  Überlege dir, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnen könntest.
3. $-1{,}2$
  $0{,}8$
  $3$
  $-0{,}8$
  $2{,}4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
  Die Gerade ist fallend. Daher kann die Steigung nur negativ sein. als mögliche richtige Lösungen kommen also nur noch $-0{,}8$ oder $-1{,}2$ in Frage.
  Wenn du im Koordinatensystem vom y-Achsenabschnitt um $1$ nach rechts gehst, musst du weniger als $1$ nach unten, um die Gerade wieder zu treffen. Also kann die Antwort $m=-1{,}2$ nicht stimmen.
  Wenn man den Graphen sehr sehr genau ansieht, kommt man auf das Ergebnis:
  $m=\dfrac{-0{,}8}{1}=-0{,}8$
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  Überlege dir, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnen könntest.
4. $2$
  $1{,}8$
  $-3{,}6$
  $-1{,}8$
  $2{,}2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
  Der Graph ist steigend, also kann die Steigung nur positiv sein. Die Antwortmöglichkeiten $2$ oder $1{,}8$ oder $2{,}2$ stehen also noch zur Wahl.
  Such dir einen Punkt auf der Geraden, dessen Koordinaten du leicht ablesen kannst. Hier eignet sich zum Beispiel der Punkt $(3|0)$ . Von hier gehts du um $1$ nach rechts und weniger als 2 nach oben, um die Gerade wieder zu erreichen. Daher bleibt nur noch die Antwortmöglichkeit $m=1{,}8$ übrig.
  Deine Steigung lautet also: $m=\dfrac{1{,}8}{1}=1{,}8$
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  Überlege dir, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnen könntest.
5. $3$
  $-\frac{3}{7}$
  $7$
  $\frac{3}{7}$
  $-\frac{7}{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
  Du gehst vom y-Achsenabschnitt (hier $y=3$ ) um $7$ nach rechts und um $3$ nach unten.
  Deine Steigung lautet also: $m=\dfrac{-3}{7}=-\dfrac{3}{7}$
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  Überlege dir, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnen könntest.
8
Betrachte die Graphen der Funktionen $a(x)$ und $c(x)$ . Lies den $y$ -Achsenabschnitt und die Steigung der Geraden ab und trage sie in die Felder ein! Kannst du daraus den Funktionsterm aufstellen?
1. Welchen $y$ -Achsenabschnitt hat $a(x)$ ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden
  $y$ -Achsenabschnitt bestimmen
  Den $y$ -Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Gerade mit der $y$ -Achse betrachtest.
  In diesem Fall:
  Der $y$ -Achsenabschnitt ist der $y$ -Wert des Schnittpunkts $(0/4)$ , also $4$ .
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  Achte darauf, wo die Gerade $G_a$ die y-Achse schneidet.
  Bestimme dann den Schnittpunkt!
2. Welche Steigung hat $a(x)$ ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung der Geraden
  Steigung bestimmen
  Die Steigung einer Geraden bestimmt man am einfachsten mithilfe eines Steigungsdreiecks.
  Im Fall von $G_a$ :
  Du kannst ablesen, dass du eine Längeneinheit nach unten und eine Längeneinheit nach rechts gehst.
  Du erhältst für die Steigung: $m=-1$
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  Kreiere dafür ein Steigungsdreieck (siehe unten).
  Bestimme dann die Steigung.
3. Welchen Funktionsterm hat $a(x)$ ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
  Funktionsterm aufstellen
  Der Funktionsterm einer linearen Funktion hat die Form:
  Dabei steht $m$ für die Steigung und $t$ für den $y$ -Achsenabschnitt.
  Setzt du die Werte aus den vorigen Teilaufgaben ein erhältst du:
  Vereinfacht ist das:
  Die Funktionsgleichung von $G_a$ ist also:
  .
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  Schau dir das Grundwissen zu der linearen Funktion an.
  Setze deine bisherigen Werte in die Funktion ein (siehe unten für eine ausführlichere Erklärung).
4. Welchen $y$ -Achsenabschnitt hat $c(x)$ ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden
  $y$ -Achsenabschnitt bestimmen
  Den $y$ -Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Gerade mit der $y$ -Achse betrachtest.
  In diesem Fall:
  Der $y$ -Achsenabschnitt von $G_c$ ist also $-3$ .
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  Achte darauf, wo die Gerade $G_c$ die y-Achse schneidet.
  Bestimme dann den Schnittpunkt!
5. Welche Steigung hat $c(x)$ ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung der Geraden
  Steigung bestimmen
  Die Steigung einer Geraden bestimmt man am einfachsten mithilfe eines Steigungsdreiecks.
  Im Fall von $G_c$ :
  Du kannst ablesen, dass du eine Längeneinheit nach rechts und zwei Längeneinheiten nach oben gehst.
  Du erhältst für die Steigung: $m=2$
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  Kreiere dafür ein Steigungsdreieck (siehe unten).
  Bestimme dann die Steigung.
6. Welchen Funktionsterm hat $c(x)$ ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
  Funktionsterm aufstellen
  Der Funktionsterm einer linearen Funktion hat die Form:
  Dabei steht $m$ für die Steigung und $t$ für den $y$ -Achsenabschnitt.
  Setzt du die Werte aus den vorigen Teilaufgaben ein erhältst du:
  Die Funktionsgleichung von $G_c$ ist also:
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  Schau dir das Grundwissen zur linearen Funktion an.
  Setze deine bisherigen Werte in die Funktion ein (siehe unten für eine ausführlichere Erklärung).
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Bestimme die Gleichung folgender Gerade:

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Die allgemeine Geradengleichung ist:
$\mathrm y=\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t$
Lese den y-Achsenabschnitt $t$ , also die Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet, aus der Zeichnung ab.
$t=-1$
Suche zwei Punkte mit (bestenfalls) ganzzahligen Koordinaten.
$P\left(2 \;|\;2\right)$ und $Q(4\;| \;5)$ liegen auf der Gerade.
Um die Steigung $m$ zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten:
1. $\;m=\displaystyle\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}$
Setze die Koordinaten von $P$ und $Q$ ein!
$m=\displaystyle\frac{5-2}{4-2}=\frac32=1{,}5$
2.
Zeichne ein Steigungsdreieck zwischen den Punkten. Der senkrechte Abstand ist der Zähler, der waagerechte Abstand ist der Nenner des Bruches, der die Steigung beschreibt.
$m=\displaystyle\frac{\text{senkrecht}}{\text{waagerecht}}=\frac32=1{,}5$
Die Geradengleichung ist also gegeben durch:
$\mathrm g\left(\mathrm x\right)=\frac32\cdot\mathrm x-1=1{,}5x-1$
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Folgende Abbildungen enthalten Graphen von linearen Funktionen.
Bestimme die Funktionsterme.
1. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Lineare Funktion $f(x)$
  Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.
  $f(x)=m \cdot x+t$
  Lies den y-Achsenabschnitt an der Abbildung ab.
  $t = 2$
  Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab und berechne die Steigung:
  Du kannst zum Beispiel diese Punkte verwenden:
  $P_1(-3|0)$ $x_1= -3$ und $y_1 = 0$
  $P_2(0|2)$ $x_2= 0$ und $y_2 = 2$
  Für die Steigung erhältst du dann durch einsetzen:
  $\displaystyle m = \frac{2 - 0}{0 - (-3)} = \frac{2}{3}$
  Setze die berechneten Werte von $m$ und $t$ nun in die allgemeine Form ein:
  $f(x) = \dfrac{2}{3}\cdot x + 2$
  Lineare Funktion $g(x)$
  Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.
  $g(x)=m \cdot x+t$
  Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um die Steigung zu berechnen.
  $\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
  Beispielsweise kannst du diese beiden Punkte verwenden:
  $P_1(2|-4)$ $x_1= 2$ und $y_1=-4$
  $P_2(3{,}5|0)$ $x_2=3{,}5$ und $y_2 = 0$
  Die Steigung ist dann:
  $\displaystyle m = \frac{0 - (-4)}{3{,}5 - 2} = \frac{4}{1{,}5} = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$
  Da der y-Achsenabschnitt nicht sichtbar ist, musst du ihn berechnen. Stelle dafür die Geradengleichung auf.
  $\displaystyle g(x) = \frac{8}{3} \cdot x + t$
  Setze einen der Punkte ein, zum Beispiel $(2|-4)$ .
  $\displaystyle -4 = \frac{8}{3} \cdot 2 + t$
  Löse nun nach $t$ auf.
  $\displaystyle t = -4- \frac{8}{3} \cdot 2 = -\frac{12}{3}- \frac{16}{3} = -\frac{28}{3}$
  Setze die Werte von $m$ und $t$ in die allgemeine Form der linearen Funktion ein und du bekommst die Geradengleichung:
  $\displaystyle g(x)=\frac{8}{3} \cdot x - \frac{28}{3}$
  Lineare Funktion $h(x)$
  Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.
  $h(x)=m \cdot x+t$
  Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um die Steigung zu berechnen.
  $\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
  Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:
  $P_1(0|-2)$ $x_1= 0$ und $y_1 = -2$
  $P_2(4|-3)$ $x_2= 4$ und $y_2=-3$
  Mit ihnen kannst du nun die Steigung berechnen:
  $\displaystyle m = \frac{-3 - (-2)}{4 - 0} = \frac{-3 + 2}{4} = -\frac{1}{4}$
  Lies entweder $t=-2$ ab oder berechne den Wert. Um ihn zu berechnen, stelle die Geradengleichung auf.
  $\displaystyle h(x) = -\frac{1}{4} \cdot x + t$
  Setze einen Punkt ein, der auf der Gerade liegt, zum Beispiel $(4|-3)$ .
  $\displaystyle -3 = -\frac{1}{4} \cdot 4 + t$
  Löse nun noch nach $t$ auf.
  $t = -3 + 1 = -2$
  Setze $m = -\dfrac14$ und $t = -2$ in die allgemeine Form ein und du erhältst die Geradengleichung:
  $\displaystyle h(x) = -\frac{1}{4} \cdot x -2$
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2. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Lineare Funktion $f(x)$
  Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.
  $f(x)=m \cdot x+t$
  Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um mit ihnen die Steigung zu berechnen:
  $\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
  Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:
  $P_1(2|4)$ $x_1= 2$ und $y_1=4$
  $P_2(2{,}5|0)$ $x_2= 2{,}5$ und $y_2=0$
  Als Steigung ergibt sich:
  $\displaystyle m = \frac{0 - 4}{2{,}5 - 2} = \frac{-4}{0{,}5} = -4 \cdot \frac{2}{1} = -8$
  Da der y-Achsenabschnitt nicht sichtbar ist, musst du ihn berechnen. Stelle daher die Geradengleichung auf:
  $\displaystyle f(x) = -8 \cdot x + t$
  Setze einen der Punkte, zum Beispiel $(2|4)$ , ein:
  $\displaystyle 4 = -8 \cdot 2 + t$
  Löse nach $t$ auf.
  $\displaystyle t = 4 + 8 \cdot 2 = 4 + 16 = 20$
  Setze $m=-8$ und $t = 20$ in die allgemeine Form ein und du bekommst als Ergebnis die Geradengleichung:
  $f(x) = -8\cdot x + 20$
  Lineare Funktion $g(x)$
  Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.
  $g(x)=m \cdot x+t$
  Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um mit ihnen die Steigung zu berechnen:
  $\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
  Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:
  $P_1(0|-2)$ $x_1= 0$ und $y_1=-2$
  $P_2(-4|-3)$ $x_2= -4$ und $y_2=-3$
  Berechne mit ihnen nun die Steigung:
  $\displaystyle m = \frac{-3 - (-2)}{-4 - 0} = \frac{-3 +2}{-4} = \frac{1}{4}$
  Lies den y-Achsenabschnitt an der Abbildung ab.
  $t = -2$
  Setze $m = \dfrac14$ und $t = -2$ in die allgemeine Form der linearen Funktion ein und du erhältst die Geradengleichung von $g$ :
  $\displaystyle g(x)=\frac{1}{4} \cdot x - 2$
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11
Gegeben sind die folgenden Funktionsgraphen:
1. Welcher der vier Graphen gehört zur Gleichung $y=\frac{5}{4}x-1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichungen
  Vorgegebene Graphengleichung: $y=\frac54x-1$
  Du kannst die Steigung und den y-Achsenabschnitt dieses Graphen an der Gleichung ablesen.
  $m=\frac{5}{4}$
  $t=-1$
  Überprüfe zuerst bei welchen Funktionen der y-Achsenabschnitt $t=-1$ beträgt, indem du den y-Wert jedes Graphen abliest, indem die y-Achse geschnitten wird.
  Nur Graph I und II haben den y-Achsenabschnitt $-1$ also kannst du jeden anderen Graphen ausschließen.
  Überprüfe nun welcher der beiden Graphen die Steigung $m=\frac54$ besitzt, indem du vom Punkt $x=0$ ausgehend eins nach rechts gehst und überprüfst, welcher der beiden y-Werte sich um $\frac54$ erhöht.
  Beide Graphen beginnen beim Punkt $P\left(0;-1\right)$ . Da die gesuchte Gerade die Steigung $\frac54$ hat, geht sie auch durch den Punkt $(0+4|-1 +5)=(4|4)$ .
  Durch diesen Punkt läuft nur die Gerade II.
  $\Rightarrow$ Der Graph II ist der Graph, der zu der vorgegebenen Gleichung gehört.
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2. Wie lautet die Gleichung zum Graphen III?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichungen
  zu überprüfende Gerade: Graph III
  Lies zuerst wo der Graph die y-Achse schneidet, um den y-Achsenabschnitt zu ermitteln.
  Der y-Wert des Punktes, indem die y-Achse geschnitten wird, beträgt $y=1{,}25$ . Somit ist $t=1{,}25$ .
  Lies nun ab um wieviel sich der y-Wert verändert, wenn du ausgehend von $x=0$ , eins nach rechts gehst. Dadurch ermittelst du die Steigung.
  Der y-Wert erhöht sich von $y=1{,}25$ auf $y=2{,}25$ . Somit beträgt die Steigung $m=\frac{2{,}25-1{,}25}{1}=\frac11=1$ .
  Stelle die Gleichung auf.
  ⇒ Der Graph III hat die Gleichung $y=x+1{,}25$
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \frac12x+1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle \frac12x$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle \cdot 2$
$\displaystyle x_0$	$=$	$\displaystyle -2$

$\displaystyle -\frac12 x -2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle -\frac12x$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle \cdot (-2)$
$\displaystyle x_0$	$=$	$\displaystyle -4$

$\displaystyle \frac13x -\frac12$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +\frac12$
$\displaystyle \frac13x$	$=$	$\displaystyle \frac12$	$\displaystyle \cdot3$
$\displaystyle x_0$	$=$	$\displaystyle \frac32$

$\displaystyle -\frac14 x + \frac32$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -\frac32$
$\displaystyle -\frac14x$	$=$	$\displaystyle -\frac32$	$\displaystyle \cdot (-4)$
$\displaystyle x_0$	$=$	$\displaystyle 6$

$\displaystyle -\frac34x - 1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle -\frac34x$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \colon (-\frac34)$
$\displaystyle x_0$	$=$	$\displaystyle -\frac43$

$\displaystyle 2x-5$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle + 5$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle \colon 2$
$\displaystyle x_0$	$=$	$\displaystyle 2{,}5$

$\displaystyle -x - 3$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle + x$
$\displaystyle -3$	$=$	$\displaystyle x_0$

$\displaystyle \frac23x + 2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle \frac23x$	$=$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle \colon\frac23$
$\displaystyle x_0$	$=$	$\displaystyle -3$

$\displaystyle -3x+\frac{5}{10}$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle - \frac{5}{10}$
$\displaystyle -3x$	$=$	$\displaystyle -\frac12$	$\displaystyle \colon (-3)$
$\displaystyle x_0$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{6}$

$\displaystyle \frac57x - 3$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +3$
$\displaystyle \frac57 x$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle \colon \frac57$
$\displaystyle x_0$	$=$	$\displaystyle \frac{21}{5}$

Aufgaben zu Graphen linearer Funktionen

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$y$ -Achsenabschnitt bestimmen

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