2016

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Berechne.
1. $2{,}5 ⋅ 0{,}25 =$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplikation von Dezimalzahlen
  $2{,}5\cdot0{,}25=0{,}625$
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2. $1{,}6 + 0{,}4⋅5 =$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkt vor Strich
  $1{,}6+0{,}4⋅5=1{,}6+2=3{,}6$
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3. $−5 + (−2) − (−4) =$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Vorzeichen
  $-5+(-2)-(-4)=-5-2+4=-3$
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4. $\dfrac5{4}-\dfrac12=$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hauptnenner bilden
  $\dfrac54-\dfrac12=\dfrac54-\dfrac24=\dfrac34$
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2
Wähle aus den folgenden Brüchen zwei so aus, dass deren Produkt den größtmöglichen Wertbesitz
Wähle die beiden passenden Brüche aus.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hauptnenner
Der Hauptnenner von $2{,}3,5{,}10$ ist $30$ .
Erweitere die Brüche auf den Hauptnenner.
$\frac13=\frac{10}{30}$
$\frac25=\frac{12}{30}$
$\frac35=\frac{18}{30}$
$\frac3{10}=\frac9{30}$
$\frac12=\frac{15}{30}$
Die beiden Brüche mit dem größten Zähler ergeben das Produkt mit dem größtmöglichen Wert.
$\frac{18}{30}\cdot\frac{15}{30}=\frac{270}{900}=\frac{27}{90}=\frac3{10}$
3
$\frac34+\frac18=\frac78$ soll mithilfe von Kreisen dargestellt werden. Färbe dazu die fehlenden Anteile in den jeweiligen Kreisen ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graphische Veranschaulichung von Brüchen
Im Nenner eines Bruches steht, in wie viele Teile ein Ganzes aufgeteilt wurde. Im Zähler steht, wie viele von diesen Teilen ausgewählt wurden.
Zur Darstellung von $\frac{3}{4}$ ist der erste Kreis bereits in $4$ Teile aufgeteilt worden. $3$ Teile davon sind ausgewählt und eingefärbt.
Zur Darstellung von $\frac{1}{8}$ teilst du den Kreis in $8$ Teile und färbst ein Teil davon ein.
Zur Darstellung der Summe von $\frac{7}{8}$ führst du die beiden ersten Kreise zusammen.
Alternativ kannst du auch den Kreis in $8$ Teile teilen und $7$ Teile davon einfärben.
Überlege, wie ein Bruch zur Angabe der Größe eines Anteils verwendet werden kann.
4
Eine Brücke besteht aus drei Stockwerken mit jeweils unterschiedlich großen Bögen(s. Skizze). In der unteren Etage beträgt die Entfernung zwischen den Bogenenden jeweils 5 m, in der mittleren jeweils 3 m und in der oberen jeweils 2 m.
Stützpfeiler sind immer dann gesetzt, wenn die Enden der Bögen in allen drei Etagen genau übereinander liegen.Bestimme die Anzahl der kleinsten Bögen zwischen zwei benachbarten Pfeilern.
Die Anzahl der kleinsten Bögen zwischen zwei benachbarten Pfeilern ist

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: kleinste gemeinsame Vielfache
Das kgV von $2{,}3,5$ ist $30$ .
Der Abstand zwischen 2 Stützpfeilern beträgt also $30m$ . Da die kleinen Bögen eine Spannweite von $2m$ haben, beträgt die Anzahl der kleinen Bögen zwischen 2 Stützpfeilern $15$ .
5
Die Abbildung zeigt das Netz eines Quaders. Berechne das Volumen V des Quaders.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Quaders
$V=l\cdot b\cdot h$
$V=5cm\cdot2cm\cdot2cm=20cm³$
Das Volumen des Quaders beträgt $20cm³$ .
6
Bei einer Busfahrt mit einer Gesamtfahrzeit von 12 h 18 min wechselten sich zwei Fahrer am Steuer ab. Der erste Fahrerwechsel erfolgte nach einem Sechstel der gesamten Fahrzeit.
Zu welcher Uhrzeit erfolgte der erste Fahrerwechsel, wenn der Bus um 8:57 Uhr losgefahren ist?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Zeit
Die Gesamtfahrzeit des Busses beträgt $12$ h $18$ min.
Ein Sechstel der Fahrzeit sind somit $2$ h $3$ min.
Wenn der Bus um $8:57$ Uhr gestartet ist, erfolgte der erste Fahrerwechsel
um $11:00$ Uhr.
7
1. Bestimme das kleinste Winkelmaß imDreieck ABC durch Messung.
  Das kleinste Winkelmaß imDreieck ABC beträgt. . .
2. Zeichne den Mittelpunkt M der Strecke[AC] sowie die Gerade MB ein.
  Bilde sodann das Dreieck ABC durch Achsenspiegelung an MB ab.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Achsenspiegelung
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8
Die abgebildete Figur ist aus lauter gleichen Quadraten zusammengesetzt. Der Umfang der Figur beträgt 28 cm.
Gib den Flächeninhalt A eines Quadrates an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung eines Quadrates
Die Figur besteht aus lauter gleichen Quadraten. Der Umfang ist aus 14 gleich langen Kanten $a$ zusammengesetzt. Der Gesamtumfang beträgt 28cm.
Die Länge einer Kante beträgt somit $a=2cm$ .
Der Flächeninhalt $A$ eines Quadrates ist $A=a\cdot a$
$A=2cm\cdot2cm=4cm²$
Der Flächeninhalt eines Quadrates ist $A=4cm²$
9
Fritz hat 50-mal mit einem Würfel mit den Ziffern 1 bis 6 gewürfelt, dabei betrug die relative Häufigkeit eines „Sechsers“ 24%.
Wie oft hat Fritz einen „Sechser“ gewürfelt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: relative Häufigkeit
Gegeben:
relative Häufigkeit: $24\;\%$
Anzahl Versuche: $50$
absolute Häufigkeit = $\frac{24\cdot50}{100}=12$
Fritz hat $12$ mal einen "Sechser" gewürfelt.
10
Hat Uli recht? Begründe.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Dreisatz
Gegeben:
$120$ Zuschauer wurden erwartet. $120$ $\mathop{\widehat{=}}$ $100\;\%$
$360$ Zuschauer sind gekommen.
$360-120=240$
$240$ Zuschauer mehr als erwartet sind gekommen. $240$ $\mathop{\widehat{=}}$ $200\;\%$
Uli hat nicht recht. Es waren nur $200\;\%$ mehr Zuschauer als erwartet.
11
Die vier Geraden schneiden sich in einem Punkt.Gib das Winkelmaß $\alpha$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
Scheitelwinkel sind gleich.
Nebenwinkel ergänzen sich zu $180^\circ$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\alpha+30^\circ+(\alpha+10^\circ)=90^\circ\\2\alpha+40^\circ=90^\circ\\\alpha=\frac{50^\circ}2=25^\circ\end{array}$
Das Winkelmaß von $\alpha=25^\circ$ .

x und y sind direkt proportional zueinander. Vervollständige die Tabelle.

13
In einer Konzerthalle darf die Anzahl der Zuschauer aus Sicherheitsgründen einen bestimmten Höchstwert nicht überschreiten.
Im Zuschauerraum dürfen sich deswegen höchstens vier Zuschauer pro Quadratmeter aufhalten.
Der abgebildete Plan zeigt den maßstabsgetreuen Grundriss der Konzerthalle mit Bühne und Zuschauerraum. Wie viele Zuschauer dürfen höchstens in die Konzerthalle eingelassen werden? Gib deinen Lösungsweg an.
Zuschauer

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab
Fläche des Zuschauerraums: 600 m² => Es dürfen maximal 2400 Zuschauer eingelassen werden.

Trage in jede Lücke eine passende Zahl ein.

$. . .\cdot x+5=$ . . . $\quad\quad\mathbb{G}=\mathbb{Q} ^{+}_{0}$

$\Leftrightarrow. . .\cdot x= 30$

$\Leftrightarrow x= 10$

$\mathbb{L}=\left\{10\right\}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Äquivalente Gleichungen

Es werden für die beiden oberen Gleichungen passende Zahlen gesucht, sodass die Lösungsmenge der Gleichungen jeweils $\mathbb{L}=\left\{10\right\}$ ist. Das bedeutet, es werden für die Lücken Zahlen gesucht, sodass sich beim Auflösen der Gleichungen für $x$ der Wert $10$ ergibt.

Zweite Gleichung

Bei der zweiten Gleichung kannst du folgendermaßen vorgehen: Benenne die gesuchte Zahl mit $y$ und setze $x=10$ in die Gleichung ein. Dann kannst du die Gleichung nach $y$ auflösen und erhältst die gesuchte Zahl für die Lücke.

$\displaystyle y \cdot 10$	$=$	$\displaystyle 30$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 3$

Die gesuchte Zahl für die Lücke ist $3$ .

$3 \cdot x=30$

Erste Gleichung

In der ersten Gleichung werden zwei Zahlen gesucht. Nennen wir die beiden Zahlen $y$ und $z$ . Hier ist die Methode, die für die zweite Gleichung verwendet wurde, nicht anwendbar, weil wir zwei unbekannte Zahlen suchen.

$\displaystyle y\cdot 10+5$	$=$	$\displaystyle z$	$\displaystyle -5$
$\displaystyle y\cdot 10$	$=$	$\displaystyle z-5$

Nach dieser Umformung siehst du, dass $(z-5)$ zehnmal so groß sein muss wie $y$ , d.h. man kann beliebige positive Zahlen $y$ mit $10$ multiplizieren und dann $5$ subtrahieren, um einen passenden Wert für $z$ zu erhalten. Damit gibt es also verschiedene Zahlenkombinationen, die man in die Lücken einsetzen kann. Zum Beispiel erfüllt die Zahlenkombination $3$ und $35$ ( $y=3$ und $z=40 \Rightarrow 40-5=35$ ) die Bedingung.

Die gesuchten Zahlen für die beiden Lücken sind zum Beispiel $3$ und $35$

$3\cdot x+5=35$

Vervollständigung der Lücken

$\displaystyle \text{\textbf{z.B.:\ }}\boldsymbol{\underline{3}}\cdot x +5$	$=$	$\displaystyle 35\quad\quad\quad \mathbb{G}=\mathbb{Q}^+_0$
$\displaystyle \Leftrightarrow \boldsymbol{\underline{3}}\cdot x$	$=$	$\displaystyle 30$
$\displaystyle \Leftrightarrow\quad x$	$=$	$\displaystyle 10$
$\displaystyle \mathbb{L}$	$=$	$\displaystyle \left\{10\right\}$

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15
Runde jeweils auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. $18{,}087 ≈$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden von Zahlen
  Runde $18{,}087$ auf 2 Stellen nach dem Komma.
  Sieh dir die 3. Stelle nach dem Komma an. Die 3. Stelle ist eine 7. Hier musst du aufrunden, da man Ziffern von 5 bis 9 aufrundet.
  $18{,}087\ \approx$ $18{,}09$ .
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2. $3{,}7549 ≈$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden von Zahlen
  Runde $3{,}7549$ auf 2 Stellen hinter dem Komma.
  Sieh dir die 3. Stelle nach dem Komma an. Die dritte Ziffer ist eine 4. Hier musst du abrunden, da Ziffern zwischen 0 und 4 abgerundet werden.
  $3{,}7549 \approx 3{,}75$
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Sabine möchte eine silberfarbene Kette gestalten, die aus einem Verschlussteil sowie gleichartigen Kettengliedern besteht.

Nebenstehend ist der Zusammenhang zwischen der Gesamtlänge möglicher Ketten(einschließlich Verschlussteil) und der Anzahl ihrer Kettenglieder dargestellt.

Ermittle mithilfe der Darstellung, wie lang das Verschlussteil ist.

Für eine Freundin gestaltet Sabine eine andere, goldfarbene Kette, deren Verschlussteil 3 cmlang ist und deren Kettenglieder jeweils eine Länge von 1,5 cm haben.Kreuze an, welcher Term die Länge einer solchen Kette (in cm) beschreibt, die aus einemVerschlussteil und x Kettengliedern besteht $(\mathbb{G }= \mathbb{N}).$
- T $(x)=1{,}5\cdot x+3$
- T $(x)=(3\cdot1{,}5)\cdot x$
- T $(x)= 1{,}5\cdot x+3\cdot x$
- T $(x)=3\cdot x+1{,}5$
- T $(x)=1{,}5+ x\cdot3$
Gegeben:
Kettenglied $x$ :
Länge $1{,}5cm$
Länge Verschlußteil: $y=3cm$
Die richtige Lösung lautet
$T(x)=1{,}5x+3$
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17
Ergänze die folgende Figur zu einem Sechseck ABCDEF mit genau zwei Symmetrieachsen
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Achsensymmetrie
Eine Möglichkeit für ein Sechseck ABCDEF mit genau zwei Symmetrieachsen:
Lege Geraden durch einzelne Punkte
Überlege durch taktisches Probieren, durch welche Punkte die zwei Symmetrieachsen gehen müssen
18
Gib alle natürlichen Zahlen mit zwei Stellen an, die größer als 60 sind und bei denen die Ziffer an der Zehnerstelle kleiner ist als die Ziffer an der Einerstelle.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stellenwertsystem
67; 68; 69; 78; 79; 89

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \dfrac{x}{y}$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	$x$ einsetzen
$\displaystyle \dfrac{1}{y}$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	nach $y$ auflösen
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{4} = 0{,}25$

$\displaystyle \dfrac{x}{y}$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	$y$ einsetzen
$\displaystyle \dfrac{x}{7{,}5}$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	nach $x$ auflösen
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 30$

$\displaystyle 15(\frac{24-y}{10})+y$	$=$	$\displaystyle 34$
	↓	Fasse zusammen,
$\displaystyle \frac{360-15y}{10}+y$	$=$	$\displaystyle 34$	$\displaystyle \cdot10$
$\displaystyle 360-15y+10y$	$=$	$\displaystyle 340$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 20$	$=$	$\displaystyle 5y$	$\displaystyle :5$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 4$