2021

Löse die Determinante nach der $2x2$ Formel.

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=$$\ ad-bc\$ setze die entsprechenden Werte in die Formel ein.

$\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 5 & 8 \end{vmatrix}=$$\ \ 2\cdot8-(-3)\cdot5\ =\ 16\ -\ (-15)\ =\ 16\ +\ 15\ =\ 31$

Damit hast du$\ \ \begin{vmatrix}2&-3\\5&8\end{vmatrix}\ =\ 31$

$8{,}7\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=870000$ $\Rightarrow$

$8{,}7\cdot 10^5=870000$

$\overrightarrow{DA}=\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}=- \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}=-\overrightarrow{BC}$ $\Rightarrow$

$\overrightarrow{DA}$ ist der Gegenvektor zu $\overrightarrow{BC}$. Die beiden Vektoren sind parallel und gleich lang. $\Rightarrow$

Das Viereck $ABCD$ ist ein Parallelogramm.

$L\ =\{\ 2\ \}$

$\overrightarrow{{AB}}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}$ $\Rightarrow$ $\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}-\overrightarrow{{AB}}$

Setze nun die Werte ein. $B(b_1|b_2)$ kannst du aus der Zeichnung ablesen.

$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}$ $\Rightarrow$ $A(1|4)$

Verbinde nun den Punkt $A$ mit dem Punkt $B$ durch den Pfeil $\overrightarrow{{AB}}$.

Die Winkel $\alpha$ und der Winkel $50^{\circ}$ sind Wechselwinkel. Wechselwinkel (auch Z-Winkel genannt) an parallelen Geraden sind gleich groß.

Also ist: $\alpha\ =\ 50^{\circ}$

Da die Winkelsumme im Dreieck $180^{\circ}$ beträgt ist:

$\alpha\ +\ \beta\ +\ 70^{\circ}\ =\ 180^{\circ}\quad\Rightarrow\quad\beta\ =\ 180^{\circ}\ -\ 70^{\circ}\ -\ 50^{\circ}\ =\ 60^{\circ}$

$\beta\ =\ 60^{\circ}$

Ergänze die Lücken in der Determinante entsprechend. (siehe Skizze)

$A= \begin{vmatrix} \color{blue}1 & \fbox{\color{red}-4} \\ \color{blue}2 & \fbox{\color{red}-1} \end{vmatrix}$FE

Warum nicht $\begin{vmatrix} \color{blue}1 & \fbox{\color{red}4} \\ \color{blue}2 & \fbox{\color{red}1} \end{vmatrix}$?

Die Vektoren werden gegen den Uhrzeigersinn aufgezählt. Da der Vektor $\begin{pmatrix} 1\\2\end{pmatrix}$ zuerst genannt wird, befinden wir uns sozusagen im Punkt $B$, mit den Richtungsvektoren $\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} 1\\2\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix} -4\\-1\end{pmatrix}$.

Die grau markierte Fläche, ohne die Kreislinien, beinhaltet die gesuchten Punkte.

Bei einer Parallelverschiebung bleiben die Größen und Formen der ursprünglichen Figuren erhalten. In der Aufgabe sehen wir allerdings, dass aus einem Kreis ein Oval geworden ist. Außerdem ist das rechte Rechteck kleiner als das ursprüngliche Rechteck links. Die Kreistreue und die Größentreue sind also verletzt.

Da die Winkelsumme im Dreieck $180^\circ$ ist, ist $\alpha=180^\circ-50^\circ-70^\circ=60^\circ$.

Beachte, die Seite $\ c\$ ist nicht maßgetreu.

Die Bezeichnungen der Seiten und Winkel in einem Dreieck kannst du der Zeichnung entnehmen.

Im Dreieck gilt: Der größte Winkel liegt immer der größten Seite gegenüber.

Der größte Winkel ist $\gamma=80°$. Die längste Seite ist $a=7{,}5cm$.

Die längste Seite liegt nicht dem größten Winkel gegenüber.

Ein Dreieck mit den genannten Maßen kann es also nicht geben.

Die Bezeichnungen im Dreieck kannst du dem Bild entnehmen.

Die beiden Dreiecke sind kongruent nach dem SWS Satz (Seite, Winkel, Seite) in folgender Reihenfolge:

Dreieck $A_1B_1C_1$: $a_1,\gamma_1,b_1$

Dreieck $A_2B_2C_2$: $b_2,\alpha_2, c_2$

Konstruiere zu den Dreiecksseiten die Mittelsenkrechten.

Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist Mittelpunk $M$ des Kreises $k$.

Anmerkung:

Bei der Bestimmung des Umkreismittelpunktes reicht es aus, wenn man nur zwei Mittelsenkrechten konstruiert. Zur Kontrolle, ob man richtig konstruiert hat, kann man auch noch die dritte Mittelsenkrechte konstruieren.

Die allgemeine Geradengleichung lautet:

$\hspace{5cm}y=\textcolor{ff6600}{m}\cdot x+\textcolor{009999}{t}$

Berechne die Steigung m:

$\ m=\dfrac{\Delta y}{\ \Delta x}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$. Setzte je zwei entsprechende Werte aus der Tabelle in die Formel ein.

$\ m=\ \dfrac{7-5}{4-3}\ =\ \dfrac{2}{1}\ = 2$

Setze $m$ und einen beliebigen Punkt aus der Tabelle in die Geradengleichung ein, um $t$ zu bestimmen, z. B. $x=1, y=1$

$1\ =2\cdot 1+t\ \Rightarrow\ t=-1$

Ein möglicher Term zu der dargestellten Wertetabelle ist:

$\ T_{(x)}\ =\ 2x-1$

Die richtige Ungleichung lautet: $-4+12\ge3x$

Da die Jeans um 20 % billiger wurde, kostet sie also nur noch 80 % des Ausgangspreises.

$80$%  $\mathop{\widehat{=}}$  $48$ €

$1$% $\mathop{\widehat{=}}$ $0{,}60$€

$100$% $\mathop{\widehat{=}}$ $60$€

Der ursprüngliche Preis der Hose betrug 60 €.

Bei einem Graphen, der eine indirekte Proportionalität darstellt, ist das Produkt von zusammenhängenden Werten immer konstant.

Das kann nur für den letzten Graphen infrage kommen, da alle anderen einen Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen besitzen, wo das Produkt $x\cdot y=0$ ist.

A,D,H oder A,D,E liegen in einer Ebene, die senkrecht auf der Grundfläche steht und die Strecke $\overline{AD}$ beinhaltet.

Zeichne zunächst die beiden Diagonalen der Grundfläche $ABCD$. Der Schnittpunkt der Diagonalen ist der Punkt $M$. Trage nun einen $90°$ Winkel in $M$ auf der Diagonalen $\overline{AC}$ an. Wenn du auf dem freien Schenkel dieses Winkels 5cm abmisst, erhältst du den Punkt $S$. Verbinde $S$ nun noch mit den Punkten $A,B,C$ und $D$.