🎓 Ui, fast schon Prüfungszeit? Hier geht's zur Mathe-Prüfungsvorbereitung.
Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

Gegeben sind die Punkte P(4519)P(4|5|-19)Q(5918)Q(5|9|-18) und R(3717)R(3|7|-17), die in der Ebene EE liegen, sowie die Gerade g:X=(12110)+λ(120)g: \vec X=\begin{pmatrix}-12 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda\cdot \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}​λR\lambda \in \mathbb R.

  1. Bestimmen Sie die Länge der Strecke [PQ][PQ]. Zeigen Sie, dass das Dreieck PQRPQR bei RR rechtwinklig ist, und begründen Sie damit, dass die Strecke [PQ][PQ] Durchmesser des Umkreises des Dreiecks PQRPQR ist. (4 P)

    (zur Kontrolle: PQ=32\overline{PQ}=3\cdot\sqrt{2})

  2. Bestimmen Sie eine Gleichung von EE in Koordinatenform und zeigen Sie, dass die Gerade gg in EE liegt. (5 P)

    (zur Kontrolle: E:2x1x2+2x3+35=0 E: 2x_1-x_2+2x_3+35=0)

  3. Begründen Sie ohne Rechnung, dass g in der x1x2x_1x_2​-Ebene liegt. (1 P)

  4. Wasseroberfläche und Meeresboden

    In einem Modell für einen Küstenabschnitt am Meer beschreibt die x1x2x_1x_2​-Ebene die horizontale Wasseroberfläche und die Gerade gg die Uferlinie. Die Ebene EE stellt im betrachteten Abschnitt den Meeresboden dar. Eine Boje schwimmt auf der Wasseroberfläche an der Stelle, die dem Koordinatenursprung O O\ entspricht (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit entspricht einem Meter in der Realität.

    Bestimmen Sie die Größe des Winkels, unter dem der Meeresboden gegenüber der Wasseroberfläche abfällt. (3 P)

    °
  5. Ein Fotograf soll für ein Reisemagazin Unterwasserfotos aufnehmen.

    Der Fotograf schwimmt entlang der kürzestmöglichen Strecke von der Uferlinie zur Boje. Ermitteln Sie die Länge dieser Strecke. (4 P)

    m
  6. Von der Boje aus taucht der Fotograf senkrecht bezüglich der Wasseroberfläche nach unten bis zu einer Stelle, deren Abstand zum Meeresboden genau drei Meter beträgt und im Modell durch den Punkt KK dargestellt wird.

    Bestimmen Sie rechnerisch, welche Tiefe unter der Wasseroberfläche der Fotograf bei diesem Tauchvorgang erreicht. (5 P)

    m
  7. Drei kleine farbenfrohe Seesterne befinden sich am Meeresboden und werden im Modell durch die Punkte PPQQ und RR dargestellt. Der Fotograf bewegt sich für seine Aufnahmen von der Stelle aus, die im Modell durch den Punkt KK beschrieben wird, parallel zum Meeresboden. Das Kameraobjektiv zeigt dabei senkrecht zum Meeresboden und hat ein kegelförmiges Sichtfeld mit einem Öffnungswinkel von 9090^ \circ (vgl. Abbildung).

    Beurteilen Sie, ob der Fotograf auf diese Weise eine Stelle erreichen kann, an der er alle drei Seesterne gleichzeitig im Sichtfeld der Kamera sehen kann. (3 P)