Prüfungsaufgaben Mathematik 2023

Dreisatz:

$4 ~\text{km}\mathop{\widehat{=}}25 ~\text{Minuten}$

$1~\text{km}\mathop{\widehat{=}} 25:4=6{,}25 ~\text{Minuten}$

$6~\text{km}\mathop{\widehat{=}}6{,}25\cdot 6=37{,}5~\text{Minuten}$

Nora benötigt bei gleicher Geschwindigkeit 37,5 Minuten für 6 km.

Grundwert:

$\mathrm{G = \dfrac{W}{p}}$

$\mathrm{G = \dfrac{200}{0{,}25}=800}$

Die Gewinnsumme beträgt $800\ €$.

Flächeninhalt

$\mathrm{A_{Rechteck}=l\cdot b}$

$42000=\text{l}\cdot 400\qquad|:400$

$\text{l}=42000:400=105$

Die Länge des Rechtecks ist $105\mm$.

Veranschaulichung

Teile die Figur einmal in der Mitte längs und einmal quer. Jedes der so entstandenen Viertel beinhaltet $25\ \%$ der Fläche.

Beispiel:

Die Lösung der Gleichung lautet $\mathbb{L}=\{8\}$.

Kleinster Wert

Potenz: $0{,}4^2=0{,}16$

Prozent: $44\ \%=0{,}44$

$0{,}4^2<0{,}44<4{,}4$

Der kleinste Wert ist $0{,}4^2$.

Gleichschenkliges Dreieck:

Da in dem Dreieck die Basiswinkel gleich sind, handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck.

$\Rightarrow$ $\mathrm{\overline{BC}=\overline{AC}}$, $\ \mathrm{\overline{BC}=6\cm}$

Winkelsumme im Dreieck

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt $180°.$

$\gamma=180°-70°-70°=40°$

• $\mathrm{3 \cdot(2a-13)}$ Die Differenz aus dem Doppelten einer Zahl $\text{a}$ und 13 wird verdreifacht. Dies ist der Term, der zu der Aussage in der Aufgabe passt.

Die anderen Terme werden durch folgende Handlungen beschrieben:

• $\mathrm{(2a-13): 3}$ Die Differenz aus dem Doppelten einer Zahl $\text{a}$ und $13$ wird durch $3$ dividiert.

• $\mathrm{2a: 13 \cdot 3}$ Das Doppelte einer Zahl wird durch $13$ dividiert und dann verdreifacht.

• $\mathrm{2a-13 \cdot 3}$ Die Differenz aus dem Doppelten einer Zahl $\text{a}$ und dem Dreifachen der Zahl $13$.

$\mathrm{f(-1)=-7\cdot (-1)+3=10}$ $\Rightarrow$ Der Punkt $(-1|10)$ liegt auf der Geraden $\text{f}$.

$\mathrm{f(3)=-7\cdot 3+3=18\ne -24}$ $\Rightarrow$ Der Punkt $(3|-24)$ liegt nicht auf der Geraden $\text{f}.$

$\mathrm{f(-4)=-7\cdot (-4)+3=31}$ $\Rightarrow$ Der Punkt $(-4|31)$ liegt auf der Geraden $\text{f}.$

Wert des Winkels

$\gamma=180°-56°=124°$

$\gamma=124°$

$\mathrm{A_{Trapez}=\dfrac{\left(a+c\right)}2\cdot h}$

$\mathrm{A_{Trapez}=\dfrac{\left(25{,}80+15\right)}2\cdot 8}$

$\mathrm{A_{Trapez}=20{,}40\cdot 8}$

$\mathrm{A_{Trapez}=163{,}20}$

Die Fläche des Trapezes beträgt $163{,}20\m^2$.

Berechne die Länge der Trapezseite $x$. Betrachte das rechtwinklige Dreieeck im Trapez links uns verwende den Sinus.

Sinus

$\sin (\alpha )=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\mathrm{\sin (56° )=\dfrac{8}{x}}$

$\mathrm{x\approx 9{,}65}$

Die Seitenlänge der linken Seite beträgt $9{,}65\m$. Da das Trapez gleichschenklig ist, ist die rechte Seite gleich lang.

Trapezumfang

$\mathrm{U_{Trapez}=25{,}80+9{,}65+15+9{,}65=60{,}10}$

Der Umfang des Trapezes beträgt $60{,}10\m$.

Angebot 1:

Die Kosten für einen Tag betragen $27\ €$. Bis zum Kilometer $350$ bleiben die Kosten gleich (waagrechter Strich). Anschließend steigen die Kosten linear an mit $0{,}36\ €$ pro Kilometer. $\Rightarrow$ Diagramm $C$ gibt den Sachverhalt passend wieder.

Angebot 2:

Die Kosten für einen Tag betragen $120\ €$, da es nur eine Wochenpauschale gibt. Ab dem ersten Kilometer steigen die Kosten linear an mit $0{,}09\ €$ pro Kilometer. $\Rightarrow$ Diagramm $B$ gibt den Sachverhalt passend wieder.

Gegeben:

Mietdauer: $5$ Tage

Streckenlänge: $470\km$

Angebot 1:

$\underbrace{27\cdot 5}_{\text{Mietpreis 5 Tage}}+\underbrace{(470-350)\cdot 0{,}36}_{\text{Ab 250 km wird pro km bezahlt}}=135+43{,}20=178{,}20$

Das erste Angebot kostet $178{,}20~€$.

Angebot 2:

$\underbrace{120}_{\text{Mietpreis pauschal}}+\underbrace{470\cdot 0{,}09}_{\text{Preis pro km}}=120+42{,}30=162{,}30$

Das zweite Angebot kostet $162{,}30~€$.

Entscheidung

Angebot 2 ist günstiger.

Lineare Funktion:

$\mathrm{f(x) = m \cdot x + b}$

$\mathrm{f(x) = 0{,}09 \cdot x + 120}$

Diese Funktion kann auch zur Berechnung für $\mathrm{f(470)=162{,}30~€}$ verwendet werden.

Darstellung der Graphen

Ein Schnittpunkt ist $S(1|2)$.

Steigung der Funktion $f$

$f(x)=m\cdot x+b$

$f(x)=4x-2$

Steigung: $m=4$

Die Aussage "Die Steigung der linearen Funktion $f$ ist negativ" ist falsch.

Schnittpunkte von Parabel und Gerade

Parabel: $p(x)=-x^{2}-2x+5$

Gerade: $f(x)=4x-2$

Mitternachtsformel:

$x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x_{1{,}2}=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+28}}{2}$

$x_{1{,}2}=\dfrac{-6\pm8}{2}$

$x_1=1$

$x_2=-7$

Die Aussage "Die Gerade und die Parabel schneiden sich in zwei Punkten" ist richtig.

Schnittpunkt der Funktion f mit der y-Achse

Die Gerade $f$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $(0|-2)$

Die Aussage "Die Gerade $f$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $(−2∣0)$ ist falsch.

Scheitelpunkt aus dem Graphen ablesen

Der Scheitelpunkt ist $S(-1|6)$.

Verwendung der Scheitelform zur Bestimmung der Gleichung der Parabel

$p(x)=-(x+1)^2+6$

Achte dabei auf das Minuszeichen vor der Klammer, da die Parabel nach unten geöffnet ist.

Skizzierung der Mantelfläche

Länge der Mantelfläche

Die Länge $a$ der Mantelfläche entspricht dem Umfang des Bodens der Konservendose.

Zur Berechnung von $a$ verwenden wir die Formel zur Berechnung des Kreisumfangs.

Höhe der Mantelfläche

Die Höhe der Mantelfläche $b$ entspricht der Höhe des Zylinders:

$b = 8$

Volumenberechnung

Die Konservendose hat einen Inhalt von $402{,}12 \mathrm{~cm}^{3}$

Vergleich mit der Angabe des Herstellers

$402{,}12 \mathrm{~cm}^{3} \approx 400 \mathrm{~ml}$

Die Angabe des Herstellers ist korrekt.

Anzahl der Deckel pro Blechstreifen

Die Deckel haben einen Durchmesser von $8$ cm.

$100 : 8 = 12{,}5$

Aus einem Blechstreifen können $12$ Deckel hergestellt werden.

Fläche des Blechstreifens

$\mathrm{8 \cdot 100 = 800 \mathbb{\cm}{^2}}$

Fläche aller Deckel

$\mathrm{12 \cdot \pi \cdot 4^2 = 603{,}19 \mathbb{\cm}{^2}}$

Prozentualer Anteil des Abfalls

Vergleich des Materialverlusts mit der Vorgabe

$24{,}6\ \% \lt 25\ \%$

Die Vorgabe des Materialverlusts ist erfüllt.

Höhe der Konservendose

Die Höhe der großen Konservendose muss etwa 20 cm betragen.

Prozentsatz

$\mathrm{p = \dfrac{W}{G}}$

$\mathrm{p = \dfrac{1{,}25}{7{,}8}\approx 0{,}16}$

Im Jahr 2020 waren rund $16$ % aller Menschen weltweit Jungendliche.

Aussagen beurteilen

$\mathrm{p = \dfrac{W}{G}}$

$\mathrm{p = \dfrac{3{,}9}{7{,}8}=0{,}50}$

2020 waren $50\ \%$, also jeder zweite Mensch auf der Erde im mittleren Alter.

$\mathrm{p = \dfrac{1{,}95}{7{,}8}=0{,}25}$

2020 waren $25\ \%$, also ein Viertel der Weltbevölkerung Kinder.

Datenreihe

Das Minimum ist der kleinste Wert der Datenreihe.

Minimum: $290$ Millionen

Das Maximum ist der größte Wert der Datenreihe.

Maximum: $1300$ Millionen

Die Spannweite ist der Abstand zwischen dem größten und kleinsten Wert einer Datenreihe.

$1300-290=1010$

Spannweite: $1010$ Millionen

Vollständiges Diagramm

Gleichschenkliges Dreieck

Da die beiden Basiswinkel gleich groß sind, ist das Dreieck $ABF$gleichschenkelig.

Länge der Strecken berechnen

Das Dreieck $AFB$ ist rechtwinkelig. Deshalb gilt nach dem Satz des Pythagoras

$131{,}5=\sqrt{93^2+93^2}$

Die Strecke $\overline{BC}$ ist die Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks. Ihre Länge berechnest du durch Anwendung einer trigonometrischen Funktion.