2023

1
Berechne
1. ${(\frac{3}{4})}^{2} =$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  ${(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$
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  Schreibe die Potenz als Produkt um und multipliziere die Brüche.
2. $| \begin{array}{cc} 4 & - 5 \\ 3 & 2,5 \end{array} | =$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante
  $| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - b c$
  $| \begin{array}{cc} 4 & - 5 \\ 3 & 2,5 \end{array} | = 4 \cdot 2,5 - (- 5) \cdot 3 = 10 + 15 = 25$
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2
Kreuze den Term an, der zum Term $x^{10}$ äquivalent ist ( $𝔾$ = $ℚ^{+}$ ).
$x^{15} : x^{5}$
$x^{5} + x^{5}$
$x^{15} - x^{5}$
$x^{2} \cdot x^{5}$
$(x^{5})^{5}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
$x^{15} : x^{5} = x^{15 - 5} = x^{10}$
$x^{5} + x^{5} = 2 x^{5}$
$x^{15} - x^{5}$
$x^{2} \cdot x^{5} = x^{2 + 5} = x^{7}$
$(x^{5})^{5} = x^{5 \cdot 5} = x^{25}$
3
Verena soll den Mittelpunkt $M$ der Strecke $A B$ mit $A (5 | 3)$ und $B (4 | 8)$ berechnen. Sie rechnet:
$M (5 + 4 | 3 + 8) = M (9 | 11)$
Beschreibe, was sie bei ihrer Rechnung falsch gemacht hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mittelpunkt einer Strecke
$M_{A B} (\frac{x_{A} + x_{B}}{2} | \frac{y_{A} + y_{B}}{2}) .$
$M_{A B} (\frac{5 + 4}{2}, \frac{3 + 8}{2})$
$M_{A B} (\frac{9}{2}, \frac{11}{2})$
Verena hat die Summe der x-Koordinaten und die Summe der y-Koordinaten nicht durch 2 geteilt.
4
Gegeben ist der Pfeil $\vec{A B} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \end{array})$
Gib geeignete Koordinaten für die Punkte $A$ und $B$ an.
$A$ ( ____ | ____ ) und $B$ ( ____ | ____ ).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren
z.B.
$A (0 | 0)$ und $B (4 | - 2)$
Wähle als ersten Punkt. den Koordinatenursprung
5
Gib das Winkelmaß $α$ an. Es gilt: $g | | h$ .
$α =$ ____°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
Der Winkel neben $α$ , unterhalb der Geraden $g$ , hat ebenfalls $60 °$ , da er ein Stufenwinkel zu dem eingezeichneten 60° Winkel ist. Somit sind die drei Winkel $α$ , $50 °$ und $60 °$ Nebenwinkel. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.
$α + 50 ° + 60 ° = 180 °$
$= > α = 70 °$
6
Begründe, warum es kein Dreieck mit den Winkelmaßen $α = 110 °$ und $β = 70 °$ geben kann.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkelsumme im Dreieck
Ein Dreieck hat die 3 Winkel $α$ , $β$ und $γ$ .
Es gilt: $α + β + γ = 180 °$ .
Wenn $α = 110 °$ und $β = 70 °$ wären, dann wäre $γ = 0 °$
Ein solches Dreieck gibt es nicht.
7
Gegeben ist ein Dreieck (siehe Abbildung 1).
Ergänze die Strecke in Abbildung 2 so zu einem Dreieck, dass die Dreiecke in beiden Abbildungen kongruent sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kongruenz
Miss die Länge der beiden fehlenden Dreiecksseiten ab und zeichne an den Eckpunkten der Strecke jeweils einen Kreis mit der Länge einer der Seiten. Die Schnittpunkte der beiden Kreise ergeben den fehlenden Dreieckspunkt. Ein Beispiel siehe unten.
8
Begründe, dass die Seite $B C$ die längste Seite des Dreiecks $A B C$ ist

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Seiten-Winkelbeziehung im Dreieck
Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt 180°. => Der 120° Winkel ist der größte Winkel im Dreieck.
In einem Dreieck gilt außerdem: Dem größten Winkel liegt immer die längste Seite gegenüber.
Da die Seite $B C$ im Dreieck $A B C$ dem größten Winkel gegenüber liegt, ist sie die längste Seite.
9
Gegeben ist der Quader $A B C D E F G H$ mit den Streckenlängen $| A D | = 4 c m$ und $| A E | = 3 c m .$
1. Ermittle zeichnerisch die Länge der Strecke $E D$ in wahrer Größe.
  Die Länge der Strecke $E D$ beträgt ___ cm.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
  ${A E}^{2} + {A D}^{2} = {E D}^{2}$
  $3^{2} + 4^{2} = {E D}^{2}$
  $9 + 16 = {E D}^{2}$
  $25 = {E D}^{2}$
  $= > E D = 5$
  Die Länge der Strecke $E D$ beträgt 5cm.
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  Zeichne das Dreieck ADE und berechne die Strecke $E D$ mit dem Satz des Pythagoras
2. Gib zwei zueinander windschiefe Geraden an, die jeweils durch zwei Eckpunkte des Quaders $A B C D E F G H$ verlaufen.
  Die Geraden _______ und _______ sind zueinander windschief.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zweier Geraden
  z.B. Die Geraden $A B$ und $H E$ sind windschief zueinander, da sie sich nicht berühren und auch nicht parallen zueinander sind.
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10
Markiere alle Punkte $P_{n}$ , die von der Gerade $g$ den Abstand $2 c m$ haben.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallele Geraden mit dem Geodreieck zeichnen
Zeichne oberhalb und unterhalb der Geraden $g$ mit dem Geodreieck eine Gerade im Abstand 2cm.
11
Beschreibe, wie man den Mittelpunkt $M$ des Inkreises eines Dreiecks $A B C$ ermitteln kann.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Inkreis eines Dreiecks
Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
Konstruiere zwei Winkelhalbierende des Dreiecks.
12
Gib einen Term $u (x)$ an, der die Maßzahl des Umfangs des Dreiecks $A B C$ darstellt $(𝔾 = ℚ^{+}) .$
u(x) = _______________

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umfang eines Dreiecks
$u (x) = x + x + 3 + 2 x = 4 x + 3$
Umfang des Dreiecks: $u (x) = 4 x + 3$
13
Zeichne das Dreieck $A B C$ mit den Maßen $a = 3 c m$ , $c = 5 c m$ , $β = 50 °$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck konstruieren
Zeichne die Seite $c$ . Trage im Punkt $B$ einen $50 °$ Winkel an. Zeichne um $B$ einen Kreis mit Radius $a$ . Der Schnittpunkt des Kreises mit dem freien Schenkel des 50° Winkels ist der Punkt C des Dreiecks ABC.
14
Max hat die Gleichung, siehe unten, mit der Grundmenge $𝔾 = ℕ$ richtig gelöst. Begründe, warum er als Lösungsmenge L die leere Menge angibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: natürliche Zahlen
Die Zahl $- 5$ gehört nicht zu der Menge der natürlichen Zahlen.
15
Bestimme die Lösungsmenge $L$ der folgenden Gleichung $(𝔾 = ℕ)$ .
$6 - 4 x - 2 x + 3 = - 3$
$L$ = ${$ _____ $}$

$6 - 4 x - 2 x + 3 =$ $=$ $- 3$
↓
fasse zusammen
$9 - 6 x$ $=$ $- 3$ $- 9$
↓
subtrahiere
$- 6 x$ $=$ $- 12$ $: (- 6)$
↓
dividiere
$x$ $=$ $2$
$𝕃 =$ {2}
16
Der Preis eines Elektrofahrrads wurde zum Vorjahr um $20$ % erhöht und beträgt jetzt $3000$ €. Berechne, wie viel das Fahrrad vor der Preiserhöhung gekostet hat.
Das Fahrrad hat vor der Preiserhöhung __________ € gekostet.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreisatz
$3000 \hat{=} 120$ %
$25 \hat{=} 1$ %
$2500 \hat{=} 100$ %
Vor der Preiserhöhung hat das Fahrrad $2500$ € gekostet.
Alternative Lösung mit Prozentrechnung
$G = \frac{W}{P}$
$G = \frac{3000}{1,2} = 2500$
17
Zwei baugleiche Bagger können in zwei Stunden $1000 m^{3}$ Erde bewegen. Kreuze an, wie viel Erde vier dieser baugleichen Bagger in drei Stunden bewegen können.
$3000 m^{3}$
$1500 m^{3}$
$4000 m^{3}$
$6000 m^{3}$
$8000 m^{3}$
Zwei baugleiche Bagger können in zwei Stunden $1000 m^{3}$ Erde bewegen.
=> zwei baugleiche Bagger bewegen pro Stunde $500 m^{3}$ .
=> vier baugleiche Bagger bewegen pro Stunde $1000 m^{3} .$
=> vier baugleiche Bagger bewegen in 3 Stunden $3000 m^{3} .$
Vier baugleiche Bagger bewegen in 3 Stunden $3000 m^{3}$ Erde.
18
Gib den Wert von $x$ an, so dass man $100$ als arithmetisches Mittel aller 5 Zahlen erhält.
$x$ =_____

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Arithmetisches Mittel
Sei $x$ die gesuchte Zahl.
$(93 + 96 + 95 + 102 + x) : 5$ $=$ $100$
↓
fasse zusammen
$(386 + x) : 5$ $=$ $100$ $\cdot 5$
↓
dividiere
$386 + x$ $=$ $500$ $- 386$
↓
subtrahiere
$x$ $=$ $114$
19
Das Diagramm zeigt, wie viele vegetarische und nicht vegetarische Menüs in einer Schulmensa in den ersten beiden Schulwochen verkauft wurden. Jona sagt: „Der Anteil der vegetarischen Menüs ist in der 1. Woche genauso groß wie in der 2. Woche. “Begründe, dass Jona Recht hat.

1. Woche: Anteil der vegetarischen Menüs $\frac{40}{60} = \frac{20}{30}$
2. Woche: Anteil der vegetarischen Menüs $\frac{80}{120} = \frac{20}{30}$
Der Anteil der vegetarischen Menüs ist in der 1. Woche genauso groß wie in der 2. Woche.