Aufgaben zur Ermittlung der Gleichung von Parabeln

1
Bestimme jeweils die Scheitelform der unten abgebildeten Parabeln.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterme aufstellen
Funktionsterme angeben
Mittels der Graphen kannst du die jeweiligen Funktionsterme aufstellen.
Lese dafür zunächst die Scheitelpunkte der drei Funktionen aus dem Koordinatensystem ab.
$S_{G_f}(-1\vert-3)$
$S_{G_g}(0{,}5\vert-1)$
$S_{G_h}(2\vert-3)$
Gib mithilfe der Scheitelpunkte die allgemeine Scheitelform der jeweiligen Funktion an.
$\Rightarrow{f(x)=a(x+1)^2-3}$
$\Rightarrow{g(x)=a(x-0{,}5)^2-1}$
$\Rightarrow{h(x)=a(x-2)^2-3}$
$f(x)=a(x+1)^2-3$
Setzte nun einen weiteren Punkt ein um $a$ zu berechnen. Hier wurde der Punkt $(-0{,}5\vert0)$ gewählt.
$\hphantom{*0fffff} 0=a(\frac12)^2-3$ $|+3,:\frac{1}{4}$
Löse nun nach $a$ auf.
$\hphantom{*0fffff} \dfrac{3}{\frac{1}{4}}=a$
Löse nun den Doppelbruch, indem du mit dem Kehrbruch multiplizierst.
$\hphantom{*0fffff} 12=a$
$\Rightarrow f(x)=12(x+1)^2-3$
$g(x)=a(x-0{,}5)^2-1$
Setze nun einen weiteren Punkt ein um $a$ zu berechnen. Hier wurde der Punkt $(0\vert-3)$ verwendet.
$\hphantom{*0fffff}-3=a(\frac{-1}2)^2-1$ $|+1,:\frac{1}{4}$
Löse nun nach $a$ auf.
$\hphantom{*0fffff}\dfrac{-2}{\frac14}=a$
$\hphantom{*0fffff} -8=a$
$\Rightarrow g(x)=-8(x-0{,}5)^2-1$
$h(x)=a(x-2)^2-3$
Setzte nun einen weiteren Punkt ein um $a$ zu berechnen. Hier wurde der Punkt $(0\vert-1)$ gewählt.
$\hphantom{*0fffff}-1=a(-2)^2-3$ $|+3,:4$
Löse nun nach $a$ auf.
$\hphantom{*0fffff}\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}=a$
$\Rightarrow h(x)=0{,}5(x-2)^2-3$
2
Bestimme die Funktionsgleichungen der quadratischen Funktionen mit den gegebenen Informationen.
1. Der Graph der Funktion verläuft durch die Punkte A(1|1), B(3|4), C(5|-1)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion aufstellen
  Aufstellen einer quadratischen Funktion
  Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.
  $f\left(x\right)={ax}^2+{bx}+ c$
  Setze A, B und C in die allgemeine Gleichung für quadratische Funktionen ein.
  $\left(1\right)\quad a+ b+ c=1$
  $\left(2\right)\quad 9 a+3 b+ c=4$
  $\left(3\right)\quad 25 a+5 b+ c=-1$
  Wende das Additionsverfahren an.
  $\left(2\right)+\left(1\right)\cdot(-1)$ : $\left(1\right)'\quad 8a+2b=3$
  $\left(3\right)+\left(2\right)\cdot\left(-1\right)$ : $\left(2\right)'\quad 16 a+2 b=-5$
  $\left(2\right)'+\left(1\right)'\cdot\left(-1\right)$ : $8 a=-8$
  $\left|:8\right.$
  $a=-1$
  Setze $a$ in $\left(1\right)'$ ein.
  $-8+2 b=3$
  $\left|+8\right.$
  $2 b=11$
  $\left|:2\right.$
  $b=\frac{11}2$
  Setze $a$ und $b$ in $\left(1\right)$ ein.
  $-1+5{,}5+ c=1$
  $\left|-4{,}5\right.$
  $c=-3{,}5$
  $\;\;\Rightarrow\;\; f\left( x\right)=- x^2+5{,}5 x-3{,}5$
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2. Die Funktion besitzt eine doppelte Nullstelle bei x=3 und geht durch den Punkt P(2|0,3).
  
  Aufstellen einer quadratischen Funktion
  Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.
  Da die gesuchte Funktion quadratisch ist, handelt es sich bei der doppelten Nullstelle bei $x=3$ um den Scheitel der Parabel. Damit ist $f$ von der Form $f(x)=a\cdot(x-3)^2$ . Der Parameter $a$ lässt sich nun durch Einsetzen des Punktes $P$ bestimmen:
  $0{,}3=a\cdot(2-3)^2=a$
  $\Rightarrow f(x)=0{,}3\cdot(x-3)^2$
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3. Die nach unten geöffnete Normalparabel hat den Scheitelpunkt S(2|6).
  
  Aufstellen einer quadratischen Funktion
  Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.
  Die Normalparabel ist um zwei Einheiten nach rechts und um sechs Einheiten nach oben verschoben. Zudem ist sie nach unten geöffnet. Damit gilt:
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4. Die Funktion hat den Scheitelpunkt S(0|-3) und geht durch den Punkt P(1,5|2).
  
  Aufstellen einer quadratischen Funktion
  Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.
  $f\left(x\right)=a\left(x-b\right)^2+c$
  Bestimme $b$ und $c$ durch den Scheitel $S\left(0|-3\right)$ .
  $f\left(\mathrm x\right)=ax^2-3$
  Setze P in die Funktion ein.
  $2=a\left(1{,}5\right)^2-3$
  $\left|+3\right.$
  $a\left(1{,}5\right)^2=5$
  Quadriere $1{,}5$
  $a=\frac5{1{,}5^2}=\frac{5\cdot4}9=\frac{20}9$
  Setze $a$ in die Funktion ein.
  $\;\;\Rightarrow\;\;f\left(x\right)=\frac{20}9x^2-3$
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5. Die Funktion geht durch die Punkte A(2|4), B(3|5), C(-1|13).
  
  Aufstellen einer quadratischen Funktion
  Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.
  Hier solltest du wissen, wie du eine Parabel durch drei gegebene Punkte legst. Außerdem brauchst du das Einsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen.
  $A(2\vert4),\;B(3\vert5),\;C(-1\vert13)$
  Setze die gegebenen Punktepaare in die Funktionsgleichung $f(x)=ax^2+bx+c$
  Als erstes solltest du die Potenzen ausrechnen.
  Löse das Gleichungssystem. Hier wird die Lösung mittels Einsetzungsverfahren verwendet.
  Löse als erstes zum Beispiel Gleichung $(I)$ nach $c$ auf.
  $(I') \;c=4-4a-2b$
  Setze dieses Ergebnis in die beiden anderen Gleichungen ein.
  $(II')\; 5=9a+3b+(4-4a-2b)$
  $(III')\; 13=a-b+(4-4a-2b)$
  Vereinfache die beiden Gleichungen.
  $(II')\; 1=5a+b$
  $(III')\; 9=-3a-3b$
  Löse beispielsweise Gleichung $(III')$ nach $a$ auf.
  $(III'')\; -3a=9+3b\qquad |:(-3)$
  $(III'')\; a=-3-b$
  Setze $a$ in Gleichung $(II')$ ein und vereinfache.
  $(II'')\; 1=5(-3-b)+b)$
  $(II'')\; 1=-15-5b+b\qquad |+15$
  $(II'')\; 16=-4b\qquad|:(-4)$
  $b=-4$
  Setze das Ergebnis für $b$ in Gleichung $(III'')$ ein, also die Gleichung für $a$ ein.
  $a=-3-(-4)=-3+4=1$
  Setze dein Ergebnis für $a$ und $b$ in die Gleichung für $c$ (I') ein.
  $c=4-4\cdot 1-2\cdot(-4)=4-4+8=8$
  Deine Ergebnisse sind:
  $a=1,\;b=-4,\;c=8$
  Setze in die allgemeine Funktionsgleichung ein und erhalte die Lösung.
  $\Rightarrow\;f(x)=x^2-4x+8$
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3
Für eine Schulaufgabe soll eine quadratische Gleichung mit den Lösungen $x_1=-3$ und $x_2=2$ entworfen werden; die Gleichung $x^2+x-6=0$ erfüllt diese Vorgabe. Beschreibe, wie man – ausgehend von den Lösungen – auf diese Gleichung kommt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearfaktoren
Quadratische Gleichung
Die Gleichung hat nur die Lösungen
$x_1=-3$ und $x_2=2$ .
Als Ansatz wählt man eine Darstellung in Linearfaktoren.
$a\cdot(x-(-3))\cdot(x-2)=0$
$a$ muss 1 sein, da sonst in der Gleichung, die sich am Schluss ergibt, vor $x^2$ eine Zahl $a\neq1$ stehen würde.
$(x-(-3))\cdot(x-2)=0$
Klammern ausmultiplizieren
$x^2-2x+3x-6=0$
Zusammenfassen.
$\Rightarrow\;x^2+x-6=0$
4
Lies aus nachstehender Abbildung mögliche Funktionsterme der Funktionen $f$ , $g$ und $h$ ab.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung $f(x) = g(x)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bestimmen der Funktionsgleichung
Bestimmen der Funktionsgleichung und der Schnittpunkte
Der Scheitel befindet sich bei (-1/3).
Den Scheitel und den Streckfaktor (-1, weil nach unten geöffnet) aus der Zeichnung ablesen und in die Scheitelform übertragen.
$f(x)=-(x+1)^2+3$
Scheitel befindet sich bei (1/-1).
Den Scheitel und den Streckfaktor (0,5) aus der Zeichnung ablesen und in die Scheitelform übertragen.
$g(x)=\frac12\cdot(x-1)^2-1$
Scheitel befindet sich bei (1,5/0).
Den Scheitel und den Streckfaktor (1) aus der Zeichnung ablesen und in die Scheitelform übertragen.
$h(x)=(x-1{,}5)^2$
Schnittpunkte
$f(x)=g(x)$
$-(x+1)^2+3=\frac12\cdot(x-1)^2-1$
Binomische Formel anwenden
$-\left(\mathrm x^2+2\mathrm x+1\right)+3=\frac12\left(\mathrm x^2-2\mathrm x+1\right)-1$
Klammern auflösen und vereinfachen.
$-\mathrm x^2-2\mathrm x-1+3=\frac12\mathrm x^2-\mathrm x+\frac12-1$
Gleichung umstellen.
$-\mathrm x^2-\frac12\mathrm x^2-2\mathrm x+\mathrm x+2\frac12=0$
Vereinfachen.
$-\frac32\mathrm x^2-\mathrm x+2\frac12=0$
Mitternachtsformel anwenden.
$x_1=\frac{1-\sqrt{1-4\cdot(-{\displaystyle\frac32})\cdot\displaystyle\frac52}}{2\cdot\left(-\displaystyle\frac32\right)}=\frac{1-4}{-3}=1$
$x_2=\frac{1+\sqrt{1-4\cdot(-{\displaystyle\frac32})\cdot\displaystyle\frac52}}{2\cdot\left(-\displaystyle\frac32\right)}=\frac{1+4}{-3}=-\frac53$
5
Der Punkt $A(1{,}5|-0{,}25)$ liegt auf der Parabel der Form $x\mapsto x^2+e$ . Gib $e$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterm aufstellen
Setze den Punkt A in die Funktionsvorschrift ein:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}-0{,}25&=&1{,}5^2+e&\\-0{,}25&=&2{,}25+e\;&\vert-2{,}25\\-2{,}5&=&e&\end{array}$

Gib die Funktionsterme der gezeichneten Graphen an.

Überlege dir alle drei Funktionsterme, bevor du die Lösung öffnest, da dort alle drei Lösungen sofort erscheinen.

7
Gib den Funktionsterm an, der die verschobene Normalparabel mit Scheitel $S(13|0)$ beschreibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterm aufstellen
Bei der Verschiebung der Normalparabel $x^2$ verändert sich der Faktor a nicht. Es verändert sich nur der Scheitelpunkt. Eingesetzt in die Scheitelform ergibt sich:
$f\left(x\right)=\left(x-13\right)^2$
8
Gib zu den jeweiligen Scheiteln von verschobenen Normalparabeln den Funktionsterm an.
1. $S( -2 | 2 )$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterm aufstellen
  Funktionsterm aufstellen
  Bei der Verschiebung der Normalparabel $x^2$ verändert sich der Faktor a nicht. Es verändert sich nur der Scheitelpunkt. Eingesetzt in die Scheitelform ergibt sich:
  $f\left(x\right)=\left(x+2\right)^2+2$
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2. $S\left(\left.\frac34\;\right|\;-\frac53\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterm aufstellen
  Funktionsterm aufstellen
  Bei der Verschiebung der Normalparabel $x^2$ verändert sich der Faktor a nicht. Es verändert sich nur der Scheitelpunkt. Eingesetzt in die Scheitelform ergibt sich:
  $f\left(x\right)=\left(x-\frac34\right)^2-\frac53$
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9
Auf dem Graph der Funktion $ax^2$ liegen die folgenden Punkte. Gib für jeden Punkt den Funktionsterm an.
1. $P\left(\left.2\right|3\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterm aufstellen
  Setze $P$ in die Funktionsgleichung ein:
  $\displaystyle 3$ $=$ $\displaystyle a\cdot2^2$ $\displaystyle :4$
  $\displaystyle \frac{3}{4}$ $=$ $\displaystyle a$
  $f\left(x\right)=\frac34x^2$
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2. $Q\left(\left.1\right|-4\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterm aufstellen
  Setze $Q$ in die Funktionsgleichung an:
  $\displaystyle -4$ $=$ $\displaystyle a\cdot1^2$
  $\displaystyle -4$ $=$ $\displaystyle a$
  $f\left(x\right)={\textstyle-}{\textstyle4}x^2$
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10
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Wie lautet die Gleichung einer nach unten geöffneten Normalparabel mit Scheitel $S\left(5|2\right)$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform
Man kann den Faktor a schon an der Angabe ablesen: eine nach unten geöffnete Normalparabel hat den Faktor -1. In die Scheitelform eingesetzt ergibt sich also :
$y=-\left(x-5\right)^2+2$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 4\cdot a$
	↓	Löse nun nach a auf.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle a$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 1\cdot a-1$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 1\cdot a$
$\displaystyle \Rightarrow f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2-1$

$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle a\cdot2^2$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle \frac{3}{4}$	$=$	$\displaystyle a$

$\displaystyle -4$	$=$	$\displaystyle a\cdot1^2$
$\displaystyle -4$	$=$	$\displaystyle a$

Aufgaben zur Ermittlung der Gleichung von Parabeln

Funktionsterme angeben

Aufstellen einer quadratischen Funktion

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Quadratische Gleichung

Bestimmen der Funktionsgleichung und der Schnittpunkte

Schnittpunkte

Funktionsterm aufstellen

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