Aufgaben zu den Potenzgesetzen

1

Fasse so weit wie möglich zusammen.

$a^{3} : a^{6}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
1. Darstellung
$\frac{a \cdot a \cdot a}{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}$ $=$
↓
Kürze die Faktoren, die sowohl im Nenner als auch im Zähler vorkommen
$=$ $\frac{1}{a \cdot a \cdot a}$
$=$ $\frac{1}{a^{3}} = a^{- 3}$
2. Darstellung
$a^{3} : a^{6}$ $=$
↓
Potenzgesetze anwenden
$=$ $a^{3 - 6}$
$=$ $a^{- 3}$
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$2 x^{- 2} \cdot 3 x^{3}$

$10^{- 12} : 10^{- 3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Potenzgesetze
$10^{- 12} : 10^{- 3}$ $=$
↓
Wende die Potenzgesetze (Division bei gleicher Basis) an.
$=$ $10^{- 12 - (- 3)}$
↓
Fasse den Exponenten zusammen.
$=$ $10^{- 9}$
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$6 : 2^{3} - 9 \cdot 3^{- 2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$6 : 2^{3} - 9 \cdot 3^{- 2}$ $=$
↓
9 als $3^{2}$ schreiben
$=$ $6 : 2^{3} - 3^{2} \cdot 3^{- 2}$
↓
Wende die Potenzrechengesetze bei gleicher Basis an.
$=$ $6 : 8 - 3^{2 + (- 2)}$
↓
Vereinfache die Exponenten
$=$ $6 : 8 - 3^{0}$
↓
Ausrechnen
$=$ $0,75 - 1$
$=$ $- 0,25$
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$x^{- n} \cdot x$

$0,5 x^{2} + 1,5 x^{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Dieser Term kann nicht weiter zusammengefasst werden, da unterschiedliche Potenzen auftreten. Man kann lediglich den Term anders darstellen, indem ausgeklammert wird. Hier kann $0,5 x^{2}$ ausgeklammert werden.
$0,5 x^{2} + 1,5 x^{3}$ $=$
↓
$0,5 x^{2}$ ausklammern.
$=$ $0,5 x^{2} (1 + 3 x)$
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${(\frac{x^{3} y^{- 4}}{y^{- 5} y^{2}})}^{- 2}$

${(2 x^{3})}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
${(2 x^{3})}^{2}$ $=$
↓
Potenzgesetz : ${(a \cdot b)}^{x} = a^{x} \cdot b^{x}$
$=$ $2^{2} \cdot x^{3 \cdot 2}$
$=$ $4 \cdot x^{6}$
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2

Vereinfach die folgenden Terme.

$10 \cdot 10^{- 2} : 10^{4} + 10^{0}$

$x^{- 1} \cdot x^{2} \cdot x^{0} \cdot x^{- 3} \cdot x^{4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
$x^{- 1} \cdot x^{2} \cdot x^{0} \cdot x^{- 3} \cdot x^{4}$ $=$
↓
Potenzgesetze anwenden.
$=$ $x^{- 1 + 2 + 0 - 3 + 4}$
$=$ $x^{2}$
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$10^{- 1} + 10^{- 2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$10^{- 1} + 10^{- 2}$ $=$
↓
In Bruchform umwandeln
$=$ $\frac{1}{10} + \frac{1}{100}$
↓
Den Hauptnenner bilden (100) und den 1. Bruch auf diesen erweitern.
$=$ $\frac{10}{100} + \frac{1}{100}$
$=$ $\frac{11}{100}$
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$x^{- 1} + x^{- 2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
$x^{- 1} + x^{- 2}$ $=$
↓
Potenzgesetze anwenden
$=$ $\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$
↓
Hauptnenner ( $x^{2}$ ) bilden.
$=$ $\frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$
$=$ $\frac{1 + x}{x^{2}}$
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$x^{- 2} - \frac{x^{2}}{x^{4}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
$x^{- 2} - \frac{x^{2}}{x^{4}}$ $=$
↓
Potenzgesetz anwenden
$=$ $x^{- 2} - x^{2 - 4}$
$=$ $x^{- 2} - x^{- 2}$
$=$ $0$
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$(\frac{1}{x} + x^{- 2}) \cdot 2 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
$(\frac{1}{x} + x^{- 2}) \cdot 2 x$ $=$
↓
Schreibweise als Bruch
$=$ $(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}) \cdot 2 x$
↓
Ausmultiplizieren
$=$ $\frac{2 x}{x} + \frac{2 x}{x^{2}}$
$=$ $\frac{2 \cdot x}{x} + \frac{2 \cdot x}{x \cdot x}$
↓
Kürzen
$=$ $2 + \frac{2}{x}$
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3

Vereinfache folgenden Term unter Verwendung der Potenzgesetze

a^{4} \cdot d^{- 2} \cdot c^{9} \cdot a^{2} \cdot b^{6} \cdot d^{- 9} \cdot c^{5}

4

Vereinfache die folgenden Ausdrücke mit ganzzahligen Exponenten so weit wie möglich.

$(z^{2 k - 5} : z^{3}) : z^{k}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Wende die Potenzgesetze an.
$(z^{2 k - 5} : z^{3}) : z^{k}$ $=$ $(z^{2 k - 5 - 3}) : z^{k}$
$=$ $z^{2 k - 8} : z^{k}$
$=$ $z^{2 k - 8 - k}$
$=$ $z^{k - 8}$
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$90 \cdot 3^{n - 2} - 3^{n}$

${[{(\frac{x}{4})}^{3}]}^{5} : {(\frac{x}{2})}^{6}$ für $x \neq 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Wende die Potenzgesetze an.
${[{(\frac{x}{4})}^{3}]}^{5} : {(\frac{x}{2})}^{6}$ $=$ ${(\frac{x}{4})}^{3 \cdot 5} : (\frac{x^{6}}{2^{6}})$
$=$ ${(\frac{x}{4})}^{15} : (\frac{x^{6}}{2^{6}})$
$=$ $(\frac{x^{15}}{4^{15}}) : (\frac{x^{6}}{2^{6}})$
$=$ $(\frac{x^{15}}{4^{15}}) \cdot (\frac{2^{6}}{x^{6}})$
↓
$2^{6}$ in $4^{3}$ umwandeln damit kürzen möglich ist.
$=$ $(\frac{x^{15}}{4^{15}}) \cdot (\frac{4^{3}}{x^{6}})$
↓
Kürze die Potenzen.
$=$ $\frac{x^{9}}{4^{12}}$
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$\frac{{(3 a - 1)}^{2 k - 1}}{{(1 - 3 a)}^{2 k + 1}}$ für $a \neq \frac{1}{3}$

${(\frac{6 a^{2} b^{- 2}}{c^{n + 1} d^{2 n}})}^{3} : {[\frac{2 {(cd)}^{n}}{{ab}^{- 1}} \cdot \frac{c^{n} d^{2 n}}{3 {ab}^{- 2}}]}^{- 2}$ für $a, b, c, d \neq 0$

\frac{x^{2 a + 5}}{{(- y^{3})}^{2 b + 5} \cdot {[{(- z)}^{4}]}^{3 b + 3}} : \frac{x^{2 a}}{{(yz)}^{6 b + 10} \cdot {[{(- z)}^{3}]}^{2 b - 1}}

Annahme: $x, y, z > 0$ , $b \in ℤ$

${(\frac{2 a^{- 1} b^{2}}{3 {ac}^{- 2}})}^{- 3}$ für $a, b, c \neq 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Potenzgesetze anwenden.
${(\frac{2 a^{- 1} b^{2}}{3 {ac}^{- 2}})}^{- 3}$ $=$ $\frac{2^{- 3} a^{3} b^{- 6}}{3^{- 3} a^{- 3} c^{6}}$
$=$ $\frac{a^{3} 3^{3} a^{3}}{2^{3} c^{6} b^{6}}$
$=$ $\frac{a^{3} \cdot 27 a^{3}}{8 c^{6} b^{6}}$
↓
Potenzgesetze im Zähler anwenden.
$=$ $\frac{27 a^{6}}{8 b^{6} c^{6}}$
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${(\frac{u}{v})}^{n} \cdot {(\frac{v}{u})}^{3 n + 4} : {(\frac{- v}{u})}^{2 n + 1}$ für $u, v \neq 0$

$\frac{x^{5} + 1}{x^{m + 2}} - \frac{2 x^{2} - 2}{x^{m}} + \frac{2 - x}{x^{m - 2}}$ für $x \neq 0$

${(\frac{z - 3}{z + 5})}^{2 p + 1} \cdot {(\frac{5 + z}{z - 3})}^{p + 1} : {(\frac{z - 3}{z + 5})}^{4 p}$ für $z \in̸ {- 5; 3}$

${(1 + \frac{2}{t})}^{2} \cdot {[\frac{1}{t} - {(\frac{t}{2} - 1)}^{- 1}]}^{- 2}$ für $t \in̸ {- 2; 0; 2}$

Gib die Lösung so an, dass sie keine negative Exponenten enthält.

$\frac{4 a^{- 1} z^{2}}{{(x^{2} y)}^{3}} : \frac{{(2 a)}^{- 3}}{{({xy}^{2} z)}^{- 2}}$

$A$	$=$	$\frac{x^{2 a + 5}}{{(- y^{3})}^{2 b + 5} \cdot {[{(- z)}^{4}]}^{3 b + 3}} : \frac{x^{2 a}}{{(yz)}^{6 b + 10} \cdot {[{(- z)}^{3}]}^{2 b - 1}}$
	↓	Potenzen ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{x^{2 a + 5}}{{(- y^{3})}^{2 b + 5} \cdot {[{(- z)}^{4}]}^{3 b + 3}} \cdot \frac{{(yz)}^{6 b + 10} \cdot {[{(- z)}^{3}]}^{2 b - 1}}{x^{2 a}}$
	$=$	$\frac{x^{2 a + 5}}{{(- y^{3})}^{2 b + 5} \cdot {(- z)}^{4 (3 b + 3)}} \cdot \frac{{(yz)}^{6 b + 10} \cdot {(- z)}^{3 (2 b - 1)}}{x^{2 a}}$
	$=$	$\frac{x^{2 a + 5}}{{(- y)}^{6 b + 15} \cdot {(- z)}^{12 b + 12}} \cdot \frac{{(yz)}^{6 b + 10} \cdot {(- z)}^{6 b - 3}}{x^{2 a}}$
	↓	Aus allen negativen Werten -1 ausklammern.
	$=$	$\frac{x^{2 a + 5}}{{(- 1)}^{6 b + 15} \cdot y^{6 b + 15} \cdot {(- 1)}^{12 b + 12} \cdot z^{12 b + 12}} \cdot \frac{{(yz)}^{6 b + 10} \cdot {(- 1)}^{6 b - 3} \cdot z^{6 b - 3}}{x^{2 a}}$
	↓	Faktorenzerlegung von ${(yz)}^{6 b + 10}$
	$=$	$\frac{x^{2 a + 5}}{{(- 1)}^{6 b + 15} \cdot y^{6 b + 15} \cdot {(- 1)}^{12 b + 12} \cdot z^{12 b + 12}} \cdot \frac{y^{6 b + 10} \cdot z^{6 b + 10} \cdot {(- 1)}^{6 b - 3} \cdot z^{6 b - 3}}{x^{2 a}}$
	$=$	$\frac{x^{2 a + 5 - 2 a}}{{(- 1)}^{6 b + 15} \cdot {(- 1)}^{12 b + 12}} \cdot y^{6 b + 10 - (6 b + 15)} \cdot z^{6 b + 10} \cdot {(- 1)}^{6 b - 3} \cdot z^{6 b - 3 - (12 b + 12)}$
	↓	Klammern auflösen.
	$=$	$\frac{x^{2 a + 5 - 2 a}}{{(- 1)}^{6 b + 15} \cdot {(- 1)}^{12 b + 12}} \cdot y^{6 b + 10 - 6 b - 15} \cdot z^{6 b + 10} \cdot {(- 1)}^{6 b - 3} \cdot z^{6 b - 3 - 12 b - 12}$
	$=$	$\frac{x^{5}}{{(- 1)}^{6 b + 15} \cdot {(- 1)}^{12 b + 12}} \cdot y^{- 5} \cdot z^{6 b + 10} \cdot {(- 1)}^{6 b - 3} \cdot z^{- 6 b - 15}$
	↓	Weiter vereinfachen.
	$=$	$\frac{x^{5} \cdot y^{- 5} \cdot z^{6 b + 10 - 6 b - 15} \cdot {(- 1)}^{6 b - 3}}{{(- 1)}^{6 b + 15} \cdot {(- 1)}^{12 b + 12}}$
	$=$	$\frac{x^{5} \cdot y^{- 5} \cdot z^{- 5} \cdot {(- 1)}^{6 b - 3}}{{(- 1)}^{6 b + 15} \cdot {(- 1)}^{12 b + 12}}$
	↓	Nenner zusammenfassen.
	$=$	$\frac{x^{5} \cdot y^{- 5} \cdot z^{- 5} \cdot {(- 1)}^{6 b - 3}}{{(- 1)}^{6 b + 15 + 12 b + 12}}$
	$=$	$\frac{x^{5} \cdot y^{- 5} \cdot z^{- 5} \cdot {(- 1)}^{6 b - 3}}{{(- 1)}^{18 b + 27}}$
	↓	Potenzen mit der Basis -1 zusammenfassen.
	$=$	$\frac{x^{5} \cdot y^{- 5} \cdot z^{- 5} \cdot {(- 1)}^{6 b - 3 - (18 b + 27)}}{1}$
	$=$	$\frac{x^{5} \cdot y^{- 5} \cdot z^{- 5} \cdot {(- 1)}^{- 12 b - 30}}{1}$
	$=$	$x^{5} \cdot y^{- 5} \cdot z^{- 5} \cdot {(- 1)}^{- 12 b - 30}$
	↓	Negative Exponenten in einen Bruch umwandeln.
	$=$	$\frac{x^{5}}{y^{5} \cdot z^{5}} \cdot {(- 1)}^{- 12 b - 30}$

$\frac{a \cdot a \cdot a}{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}$	$=$
	↓	Kürze die Faktoren, die sowohl im Nenner als auch im Zähler vorkommen
	$=$	$\frac{1}{a \cdot a \cdot a}$
	$=$	$\frac{1}{a^{3}} = a^{- 3}$

$a^{3} : a^{6}$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden
	$=$	$a^{3 - 6}$
	$=$	$a^{- 3}$

$2 x^{- 2} \cdot 3 x^{3}$	$=$
	↓	Verwende das Kommutativgesetz, damit du vorne die Zahlen multiplizieren kannst.
	$=$	$2 \cdot 3 \cdot x^{- 2} \cdot x^{3}$
	↓	Wende das Potenzgesetze zur Multiplikation mit gleicher Basis an.
	$=$	$2 \cdot 3 \cdot x^{- 2 + 3}$
	↓	Verrechne im Exponenten
	$=$	$6 x$

$10^{- 12} : 10^{- 3}$	$=$
	↓	Wende die Potenzgesetze (Division bei gleicher Basis) an.
	$=$	$10^{- 12 - (- 3)}$
	↓	Fasse den Exponenten zusammen.
	$=$	$10^{- 9}$

$6 : 2^{3} - 9 \cdot 3^{- 2}$	$=$
	↓	9 als $3^{2}$ schreiben
	$=$	$6 : 2^{3} - 3^{2} \cdot 3^{- 2}$
	↓	Wende die Potenzrechengesetze bei gleicher Basis an.
	$=$	$6 : 8 - 3^{2 + (- 2)}$
	↓	Vereinfache die Exponenten
	$=$	$6 : 8 - 3^{0}$
	↓	Ausrechnen
	$=$	$0,75 - 1$
	$=$	$- 0,25$

$x^{- n} \cdot x$	$=$
	↓	$x$ entspricht $x^{1}$
	$=$	$x^{- n} \cdot x^{1}$
	↓	Wende die Potenzrechengesetze an.
	$=$	$x^{- n + 1}$

$x^{- n} \cdot x$	$=$
	↓	Negative Potenzen werden als Bruch mit $1$ im Zähler und mit der Basis der Potenz und positivem Exponent im Nenner dargestellt.
	$=$	$\frac{1}{x^{n}} \cdot x^{1}$
	↓	Multiplizieren
	$=$	$\frac{x^{1}}{x^{n}}$
	↓	Potenzgesetz: Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert
	$=$	$x^{1 - n}$

$0,5 x^{2} + 1,5 x^{3}$	$=$
	↓	$0,5 x^{2}$ ausklammern.
	$=$	$0,5 x^{2} (1 + 3 x)$

${(\frac{x^{3} y^{- 4}}{y^{- 5} y^{2}})}^{- 2}$	$=$	${(\frac{y^{- 5} y^{2}}{x^{3} y^{- 4}})}^{2}$
	↓	Potenzgesetz anwenden. Beim Multiplizieren die beiden Exponenten addieren.
	$=$	${(\frac{y^{- 5 + 2}}{x^{3} y^{- 4}})}^{2}$
	$=$	${(\frac{y^{- 3}}{x^{3} y^{- 4}})}^{2}$
	↓	Kürzen mit $y^{- 3}$
	$=$	${(\frac{1}{x^{3} y^{- 1}})}^{2}$
	↓	Potenzgesetz anwenden. Das Minus im Exponent von y in Plus setzen, indem der Bruch in einen Kehrbruch umgewandelt wird.
	$=$	${(\frac{y}{x^{3}})}^{2}$
	$=$	$\frac{y^{2}}{x^{6}}$

${(2 x^{3})}^{2}$	$=$
	↓	Potenzgesetz : ${(a \cdot b)}^{x} = a^{x} \cdot b^{x}$
	$=$	$2^{2} \cdot x^{3 \cdot 2}$
	$=$	$4 \cdot x^{6}$

$10^{- 1} + 10^{- 2}$	$=$
	↓	In Bruchform umwandeln
	$=$	$\frac{1}{10} + \frac{1}{100}$
	↓	Den Hauptnenner bilden (100) und den 1. Bruch auf diesen erweitern.
	$=$	$\frac{10}{100} + \frac{1}{100}$
	$=$	$\frac{11}{100}$

$(z^{2 k - 5} : z^{3}) : z^{k}$	$=$	$(z^{2 k - 5 - 3}) : z^{k}$
	$=$	$z^{2 k - 8} : z^{k}$
	$=$	$z^{2 k - 8 - k}$
	$=$	$z^{k - 8}$

${[{(\frac{x}{4})}^{3}]}^{5} : {(\frac{x}{2})}^{6}$	$=$	${(\frac{x}{4})}^{3 \cdot 5} : (\frac{x^{6}}{2^{6}})$
	$=$	${(\frac{x}{4})}^{15} : (\frac{x^{6}}{2^{6}})$
	$=$	$(\frac{x^{15}}{4^{15}}) : (\frac{x^{6}}{2^{6}})$
	$=$	$(\frac{x^{15}}{4^{15}}) \cdot (\frac{2^{6}}{x^{6}})$
	↓	$2^{6}$ in $4^{3}$ umwandeln damit kürzen möglich ist.
	$=$	$(\frac{x^{15}}{4^{15}}) \cdot (\frac{4^{3}}{x^{6}})$
	↓	Kürze die Potenzen.
	$=$	$\frac{x^{9}}{4^{12}}$

${(\frac{2 a^{- 1} b^{2}}{3 {ac}^{- 2}})}^{- 3}$	$=$	$\frac{2^{- 3} a^{3} b^{- 6}}{3^{- 3} a^{- 3} c^{6}}$
	$=$	$\frac{a^{3} 3^{3} a^{3}}{2^{3} c^{6} b^{6}}$
	$=$	$\frac{a^{3} \cdot 27 a^{3}}{8 c^{6} b^{6}}$
	↓	Potenzgesetze im Zähler anwenden.
	$=$	$\frac{27 a^{6}}{8 b^{6} c^{6}}$

$10 \cdot 10^{- 2} : 10^{4} + 10^{0}$	$=$
	↓	Da die Basen des Dividenden 10 sind, wende dort das 1. Potenzgesetz an. Achtung, Potenzgesetze bei dem Divisor nicht anwendbar, da es keine Potenzgesetze für Addition und Subtraktion gibt.
	$=$	$10^{1 - 2} : 10^{4} + 10^{0}$
	↓	Berechne die Differenz der ersten Potenz.
	$=$	$10^{- 1} : 10^{4} + 1$
	↓	Wende nun das 2. Potenzgesetz an, da Dividend und Divisor die gleiche Basis besitzen
	$=$	$10^{- 1 - 4} + 1$
	↓	Berechne die Differenz der Potenz.
	$=$	$10^{- 5} + 1$
	↓	Potenziere und addiere.
	$=$	$1,00001$

$x^{- 1} \cdot x^{2} \cdot x^{0} \cdot x^{- 3} \cdot x^{4}$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$x^{- 1 + 2 + 0 - 3 + 4}$
	$=$	$x^{2}$

$x^{- 1} + x^{- 2}$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden
	$=$	$\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$
	↓	Hauptnenner ( $x^{2}$ ) bilden.
	$=$	$\frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$
	$=$	$\frac{1 + x}{x^{2}}$

$x^{- 2} - \frac{x^{2}}{x^{4}}$	$=$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$x^{- 2} - x^{2 - 4}$
	$=$	$x^{- 2} - x^{- 2}$
	$=$	$0$

$(\frac{1}{x} + x^{- 2}) \cdot 2 x$	$=$
	↓	Schreibweise als Bruch
	$=$	$(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}) \cdot 2 x$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\frac{2 x}{x} + \frac{2 x}{x^{2}}$
	$=$	$\frac{2 \cdot x}{x} + \frac{2 \cdot x}{x \cdot x}$
	↓	Kürzen
	$=$	$2 + \frac{2}{x}$

$a^{4} \cdot d^{- 2} \cdot c^{9} \cdot a^{2} \cdot b^{6} \cdot d^{- 9} \cdot c^{5}$	$=$
	↓	Da hier nur multipliziert wird, kannst du das 1. Potenzgesetz, bei gleichen Basen, immer anwenden
	$=$	$a^{4 + 2} \cdot b^{6} \cdot c^{9 + 5} \cdot d^{(- 2) + (- 9)}$
	↓	rBerechne durch Addition nun die jeweiligen Potenzen.
	$=$	$a^{6} \cdot b^{6} \cdot c^{14} \cdot d^{- 11}$
	↓	Die Basen sind zwar unterschiedlich, aber da die Potenzen gleich sind, kannst du hier das 3. Potenzgesetz anwenden.
	$=$	${(a b)}^{6} \cdot c^{14} \cdot d^{- 11}$

$90 \cdot 3^{n - 2} - 3^{n}$	$=$	$10 \cdot 3^{2} \cdot 3^{n - 2} - 3^{n}$
	↓	Wende die Potenzgesetze an.
	$=$	$10 \cdot 3^{2 + n - 2} - 3^{n}$
	$=$	$10 \cdot 3^{n} - 3^{n}$
	↓	Klammere $3^{n}$ aus.
	$=$	$3^{n} \cdot (10 - 1)$
	$=$	$9 \cdot 3^{n}$
	↓	Schreibe 9 in eine 3er Potenz um
	$=$	$3^{2} \cdot 3^{n}$
	↓	Wende die Potenzgesetze an.
	$=$	$3^{2 + n}$

$\frac{{(3 a - 1)}^{2 k - 1}}{{(1 - 3 a)}^{2 k + 1}}$	$=$	$\frac{{(- 1)}^{2 k - 1} {(- 3 a + 1)}^{2 k - 1}}{{(- 3 a + 1)}^{2 k + 1}}$
	↓	Dividiere und wende die Potenzgesetze an.
	$=$	${(- 1)}^{2 k - 1} {(- 3 a + 1)}^{2 k - 1 - (2 k + 1)}$
	↓	Klammer auflösen. Nicht vergessen: Vorzeichenänderung
	$=$	${(- 1)}^{2 k - 1} {(- 3 a + 1)}^{2 k - 1 - 2 k - 1}$
	$=$	${(- 1)}^{2 k - 1} {(- 3 a + 1)}^{- 2}$
	↓	Die Klammer mit negativem Exponenten als Bruch schreiben.
	$=$	${(- 1)}^{2 k - 1} \cdot \frac{1}{{(- 3 a + 1)}^{2}}$
	$=$	$\frac{{(- 1)}^{2 k - 1}}{{(- 3 a + 1)}^{2}}$
	$=$	$- \frac{1}{(- 3 a + 1)^{2}}$

${(\frac{6 a^{2} b^{- 2}}{c^{n + 1} d^{2 n}})}^{3} : {[\frac{2 {(cd)}^{n}}{{ab}^{- 1}} \cdot \frac{c^{n} d^{2 n}}{3 {ab}^{- 2}}]}^{- 2}$	$=$	$(\frac{6^{3} a^{6} b^{- 6}}{c^{3 n + 3} d^{6 n}}) : {(\frac{{ab}^{- 1} \cdot 3 {ab}^{- 2}}{2 {(cd)}^{n} \cdot c^{n} d^{2 n}})}^{2}$
	$=$	$(\frac{6^{3} a^{6}}{c^{3 n + 3} d^{6 n} \cdot b^{6}}) : (\frac{a^{2} b^{- 2} \cdot 3^{2} a^{2} b^{- 4}}{2^{2} {(cd)}^{2 n} \cdot c^{2 n} d^{4 n}})$
	↓	Mit dem Kehrbruch multiplizieren.
	$=$	$(\frac{6^{3} a^{6}}{c^{3 n + 3} d^{6 n} \cdot b^{6}}) \cdot (\frac{2^{2} {(cd)}^{2 n} \cdot c^{2 n} d^{4 n}}{a^{2} b^{- 2} \cdot 3^{2} a^{2} b^{- 4}})$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{216 a^{6} 4 c^{4 n} d^{6 n}}{9 a^{4} c^{3 n + 3} d^{6 n}}$
	↓	Kürze.
	$=$	$\frac{216 a^{2} 4 c^{n - 3}}{9}$
	$=$	$96 a^{2} c^{n - 3}$

${(\frac{u}{v})}^{n} \cdot {(\frac{v}{u})}^{3 n + 4} : {(\frac{- v}{u})}^{2 n + 1}$	$=$	$\frac{u^{n}}{v^{n}} \cdot \frac{v^{3 n + 4}}{u^{3 n + 4}} : \frac{- v^{2 n + 1}}{u^{2 n + 1}}$
	↓	Division in Bruchschreibweise darstellen.
	$=$	$\frac{\frac{u^{n}}{v^{n}} \cdot \frac{v^{3 n + 4}}{u^{3 n + 4}}}{\frac{- v^{2 n + 1}}{u^{2 n + 1}}}$
	↓	Wandle den Doppelbruch um.
	$=$	$\frac{u^{n}}{v^{n}} \cdot \frac{v^{3 n + 4}}{u^{3 n + 4}} \cdot \frac{u^{2 n + 1}}{- v^{2 n + 1}}$
	↓	Zu einem Bruch zusammenfassen.
	$=$	$\frac{u^{n} \cdot v^{3 n + 4} \cdot u^{2 n + 1}}{v^{n} \cdot u^{3 n + 4} \cdot (- v^{2 n + 1})}$
	$=$	$\frac{u^{n + 2 n + 1} \cdot v^{3 n + 4}}{u^{3 n + 4} \cdot (- 1) \cdot v^{n + 2 n + 1}}$
	↓	Exponenten zusammenfassen.
	$=$	$\frac{u^{3 n + 1} \cdot v^{3 n + 4}}{u^{3 n + 4} \cdot (- 1) \cdot v^{3 n + 1}}$
	↓	Kürze mithilfe der Regeln für Potenzgesetze.
	$=$	$u^{3 n + 1 - (3 n + 4)} \cdot (- 1) \cdot v^{3 n + 4 - (3 n + 1)}$
	$=$	$u^{- 3} \cdot (- 1) \cdot v^{3}$
	↓	$u^{- 3} = \frac{1}{u^{3}}$
	$=$	$\frac{(- 1) \cdot v^{3}}{u^{3}}$
	$=$	$\frac{- v^{3}}{u^{3}}$
	$=$	$- {(\frac{v}{u})}^{3}$

1. Darstellung

2. Darstellung

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Potenzgesetze

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Potenzgesetze

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Alternativer Lösungsweg

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$\frac{x^{5} + 1}{x^{m + 2}} - \frac{2 x^{2} - 2}{x^{m}} + \frac{2 - x}{x^{m - 2}}$	$=$	$\frac{x^{5} + 1}{x^{m + 2}} - \frac{2 x^{4} - 2 x^{2}}{x^{m + 2}} + \frac{2 - x}{x^{m} \cdot x^{- 2}}$
	↓	$x^{- 2}$ mit Hilfe der Potenzgesetze mit dem Zähler multiplizieren.
	$=$	$\frac{x^{5} + 1}{x^{m + 2}} - \frac{2 x^{4} - 2 x^{2}}{x^{m + 2}} + \frac{2 x^{2} - x^{3}}{x^{m}}$
	↓	Den dritten Bruch mit $x^{2}$ erweiteren.
	$=$	$\frac{x^{5} + 1}{x^{m + 2}} - \frac{2 x^{4} - 2 x^{2}}{x^{m + 2}} + \frac{2 x^{4} - x^{5}}{x^{m + 2}}$
	$=$	$\frac{x^{5} + 1 - 2 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{4} - x^{5}}{x^{m + 2}}$
	$=$	$\frac{1 + 2 x^{2}}{x^{m + 2}}$

${(\frac{z - 3}{z + 5})}^{2 p + 1} \cdot {(\frac{5 + z}{z - 3})}^{p + 1} : {(\frac{z - 3}{z + 5})}^{4 p}$	$=$	${(\frac{z - 3}{z + 5})}^{2 p + 1 - 4 p} \cdot {(\frac{5 + z}{z - 3})}^{p + 1}$
	$=$	${(\frac{z - 3}{z + 5})}^{1 - 2 p} \cdot {(\frac{5 + z}{z - 3})}^{p + 1}$
	$=$	${(\frac{z - 3}{z + 5})}^{1 - 2 p} \cdot {(\frac{z - 3}{z + 5})}^{- (p + 1)}$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	${(\frac{z - 3}{z + 5})}^{1 - 2 p} \cdot {(\frac{z - 3}{z + 5})}^{- p - 1}$
	↓	Potenzgesetz anweden.
	$=$	${(\frac{z - 3}{z + 5})}^{1 - 2 p + (- p) - 1}$
	$=$	${(\frac{z - 3}{z + 5})}^{- 3 p}$
	$=$	${(\frac{z + 5}{z - 3})}^{3 p}$

${(1 + \frac{2}{t})}^{2} \cdot {[\frac{1}{t} - {(\frac{t}{2} - 1)}^{- 1}]}^{- 2}$	$=$	${(1 + \frac{2}{t})}^{2} \cdot {[\frac{1}{t} - {(\frac{t - 2}{2})}^{- 1}]}^{- 2}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	${(1 + \frac{2}{t})}^{2} \cdot {[\frac{1}{t} - (\frac{2}{t - 2})]}^{- 2}$
	↓	Hauptnenner bilden. $\to t (t - 2)$
	$=$	${(1 + \frac{2}{t})}^{2} \cdot {[\frac{1 (t - 2)}{t (t - 2)} - \frac{t \cdot 2}{t (t - 2)}]}^{- 2}$
	$=$	${(1 + \frac{2}{t})}^{2} \cdot {[\frac{t - 2 - 2 t}{t (t - 2)}]}^{- 2}$
	$=$	${(1 + \frac{2}{t})}^{2} \cdot {[\frac{- t - 2}{t (t - 2)}]}^{- 2}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	${(1 + \frac{2}{t})}^{2} \cdot {[\frac{t (t - 2)}{- t - 2}]}^{2}$
	↓	Runde Klammer: Hauptnenner bilden. $\to t$
	$=$	${(\frac{t}{t} + \frac{2}{t})}^{2} \cdot {[\frac{t (t - 2)}{- t - 2}]}^{2}$
	$=$	${(\frac{2 + t}{t})}^{2} \cdot {[\frac{t (t - 2)}{- t - 2}]}^{2}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	${(\frac{(2 + t) \cdot t (t - 2)}{t \cdot (- t - 2)})}^{2}$
	↓	$t$ kürzen.
	$=$	${(\frac{(2 + t) \cdot (t - 2)}{(- t - 2)})}^{2}$
	↓	Im Nenner (-1) ausklammern.
	$=$	${(\frac{(2 + t) \cdot (t - 2)}{- 1 (t + 2)})}^{2}$
	↓	mit $2 + t$ kürzen.
	$=$	${(\frac{t - 2}{- 1})}^{2}$
	$=$	$(- (t - 2))^{2}$
	$=$	${(t - 2)}^{2}$

$\frac{4 a^{- 1} z^{2}}{{(x^{2} y)}^{3}} : \frac{{(2 a)}^{- 3}}{{({xy}^{2} z)}^{- 2}}$	$=$	$\frac{4 \cdot \frac{1}{a} \cdot z^{2}}{x^{6} \cdot y^{3}} : \frac{\frac{1}{{(2 a)}^{3}}}{\frac{1}{{({xy}^{2} z)}^{2}}}$
	↓	Wegen Division Bruch umkehren.
	$=$	$\frac{4 \cdot \frac{1}{a} \cdot z^{2}}{x^{6} \cdot y^{3}} \cdot \frac{\frac{1}{{({xy}^{2} z)}^{- 2}}}{\frac{1}{{(2 a)}^{3}}}$
	↓	Wegen Division Bruch umkehren.
	$=$	$\frac{4 \cdot \frac{1}{a} \cdot z^{2}}{x^{6} \cdot y^{3}} \cdot \frac{1}{{({xy}^{2} z)}^{2}} \cdot \frac{{(2 a)}^{3}}{1}$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$\frac{\frac{4 z^{2}}{a}}{x^{6} \cdot y^{3}} \cdot \frac{8 a^{3}}{x^{2} \cdot y^{4} \cdot z^{2}}$
	↓	Brüche multiplizieren.
	$=$	$\frac{\frac{4 z^{2} \cdot 8 a^{3}}{a}}{x^{6 + 2} \cdot y^{3 + 4} \cdot z^{2}}$
	↓	Kürzen.
	$=$	$\frac{4 \cdot 8 a^{2}}{x^{8} y^{7}}$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$\frac{32 a^{2}}{x^{8} y^{7}}$