Aufgaben zu linearen Ungleichungen

…

Löse die folgenden Ungleichungen.

123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann

$\frac13x-5\leq\frac14x+3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen

$\displaystyle \frac{1}{3}x-5$	$≤$	$\displaystyle \frac{1}{4}x+3$	$\displaystyle +5$
$\displaystyle \frac{1}{3}x$	$≤$	$\displaystyle \frac{1}{4}x+8$	$\displaystyle -\frac{1}{4}x$
$\displaystyle \frac{1}{3}x-\frac{1}{4}x$	$≤$	$\displaystyle 8$
	↓	Brüche auf denselben Hauptnenner bringen.
$\displaystyle \frac{4}{12}x-\frac{3}{12}x$	$≤$	$\displaystyle 8$
	↓	Zusammenfassen
$\displaystyle \frac{1}{12}x$	$≤$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle \cdot\frac{12}{1}$
	↓	Durch einen Bruch zu dividieren, bedeutet mit seinem Kehrbruch zu multiplizieren.
$\displaystyle x$	$≤$	$\displaystyle 96$

$x \in ]- \infty; 96]$

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$\frac{2-x}3+5\geq\frac x2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen

Ungleichungen

$\displaystyle \frac{2-x}{3}+5$	$≥$	$\displaystyle \frac{x}{2}$
	↓	Brüche auf denselben Hauptnenner bringen.
$\displaystyle \frac{2\left(2-x\right)}{6}+5$	$≥$	$\displaystyle \frac{3x}{6}$	$\displaystyle \cdot6$
$\displaystyle 2\left(2-x\right)+5\cdot6$	$≥$	$\displaystyle 3x$
$\displaystyle 2\left(2-x\right)+30$	$≥$	$\displaystyle 3x$
	↓	Klammern ausmultiplizieren.
$\displaystyle 4-2x+30$	$≥$	$\displaystyle 3x$	$\displaystyle +2x$
$\displaystyle 34$	$≥$	$\displaystyle 5x$	$\displaystyle :5$
$\displaystyle \frac{34}{5}$	$≥$	$\displaystyle x$

$x\in]-\infty;\frac{34}{5}]$

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$-\frac12\cdot\left(x-6\right)<6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen

$\displaystyle -\frac{1}{2}\cdot\left(x-6\right)$	$<$	$\displaystyle 6$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
$\displaystyle -\frac{x}{2}+3$	$<$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle +\frac{x}{2}$
$\displaystyle 3$	$<$	$\displaystyle 6+\frac{x}{2}$	$\displaystyle -6$
$\displaystyle -3$	$<$	$\displaystyle \frac{x}{2}$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle -6$	$<$	$\displaystyle x$

$x\in]-6;\infty[$

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$3\left(x-3\right)\geq5\left(1-\frac x2\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen

$\displaystyle 3\left(x-3\right)$	$≥$	$\displaystyle 5\left(1-\frac{x}{2}\right)$
	↓	Multipliziere aus
$\displaystyle 3x-9$	$≥$	$\displaystyle 5-\frac{5}{2}x$	$\displaystyle +9+\frac{5}{2}x$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle \frac{11}{2}x$	$≥$	$\displaystyle 14$	$\displaystyle \cdot\frac{2}{11}$
	↓	Multipliziere
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle \frac{28}{11}$

Die Ungeichung ist für $x\ge\frac{28}{11}\approx2{,}55$ erfüllt, die Lösungsmenge ist also $[\dfrac{28}{11}; \infty[$ .

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$\frac12\left(x-5\right)>0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen

$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x-5\right)$	$>$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
$\displaystyle \frac{1}{2}x-2{,}5$	$>$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2{,}5$
$\displaystyle \frac{1}{2}x$	$>$	$\displaystyle 2{,}5$
$\displaystyle \frac{1}{2}x$	$>$	$\displaystyle 2{,}5$	$\displaystyle \cdot2$
	↓	Durch einen Bruch zu dividieren bedeutet mit seinem Kehrbruch zu multiplizieren.
$\displaystyle x$	$>$	$\displaystyle 5$

$x \in ]5; \infty[$

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$2x+\frac52<-(3+4x)-3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen

$\displaystyle 2x+\frac{5}{2}$	$<$	$\displaystyle -\left(3+4x\right)-3$
	↓	Klammer auflösen.
$\displaystyle 2x+2{,}5$	$<$	$\displaystyle -3-4x-3$
	↓	Zusammenfassen.
$\displaystyle 2x$	$<$	$\displaystyle -8{,}5-4x$	$\displaystyle +4x$
$\displaystyle 6x$	$<$	$\displaystyle -8{,}5$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle x$	$<$	$\displaystyle -\frac{17}{12}$

$x \in ]- \infty;-\frac{17}{12} [$

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann

$\frac x5+3\geq\frac x2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen

$\displaystyle \frac{x}{5}+3$	$≥$	$\displaystyle \frac{x}{2}$
	↓	Brüche auf denselben Hauptnenner bringen.
$\displaystyle \frac{2x}{10}+3$	$≥$	$\displaystyle \frac{5x}{10}$	$\displaystyle -\frac{2x}{10}$
$\displaystyle 3$	$≥$	$\displaystyle \frac{3x}{10}$	$\displaystyle \cdot10$
$\displaystyle 30$	$≥$	$\displaystyle 3x$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle 10$	$≥$	$\displaystyle x$

$x \in ]- \infty; 10]$

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
$-3<2(x-2)<5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen
$-3<2(x-2)<5$
Klammer ausmultiplizieren.
$-3<2x-4<5$
Addiere 4.
$1<2x<9$
Dividiere durch 2.
$\frac12<x<\frac92$
$x \in ]\frac 12; \frac 92[$
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Löse folgende Ungleichungen

raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch

$\frac12-3x>x+2{,}75$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen lösen

$\displaystyle \frac{1}{2}-3x$	$>$	$\displaystyle x+2{,}75$
	↓	Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um
$\displaystyle 0{,}5-3x$	$>$	$\displaystyle x+2{,}75$	$\displaystyle +3x$
$\displaystyle 0{,}5$	$>$	$\displaystyle 4x+2{,}75$	$\displaystyle -2{,}75$
$\displaystyle -2{,}25$	$>$	$\displaystyle 4x$	$\displaystyle :4$
	↓	Vertausche die linke und rechte Seite
$\displaystyle x$	$<$	$\displaystyle -0{,}5625$

Antwort: $x\in]-\infty;-0{,}5625[$

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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch

$\frac58\cdot\left(x-0{,}4\right)-2<x-10$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen lösen

$\displaystyle \frac{5}{8}\cdot\left(x-0{,}4\right)-2$	$<$	$\displaystyle x-10$
	↓	Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um
$\displaystyle 0{,}625\cdot\left(x-0{,}4\right)-2$	$<$	$\displaystyle x-10$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 0{,}625\cdot\left(x-0{,}4\right)$	$<$	$\displaystyle x-8$
	↓	Klammer ausmultiplizieren
$\displaystyle 0{,}625x-0{,}25$	$<$	$\displaystyle x-8$	$\displaystyle +8$
$\displaystyle 0{,}625x+7{,}75$	$<$	$\displaystyle x$	$\displaystyle -0{,}625$
$\displaystyle 7{,}75$	$<$	$\displaystyle 0{,}375x$	$\displaystyle :0{,}375$
	↓	Vertausche die linke und rechte Seite
$\displaystyle x$	$>$	$\displaystyle 20{,}67$

Antwort: $x\in]20{,}67;\infty[$

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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch

$\frac37\cdot\left(2-3x\right)-1\geq\frac12\cdot\left(3x-5\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen lösen

$\displaystyle \dfrac{3}{7}\cdot\left(2-3x\right)-1$	$≥$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\left(3x-5\right)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$\displaystyle \dfrac{6}{7}-\dfrac{9}{7}x-1$	$≥$	$\displaystyle \dfrac{3}{2}x-\dfrac{5}{2}$
	↓	Umwandeln von 1 in einen Scheinbruch
$\displaystyle \dfrac{6}{7}-\dfrac{9}{7}x-\dfrac{7}{7}$	$≥$	$\displaystyle \dfrac{3}{2}x-\dfrac{5}{2}$
	↓	Linke Seite zusammenfassen
$\displaystyle -\dfrac{1}{7}-\dfrac{9}{7}x$	$≥$	$\displaystyle \dfrac{3}{2}x-\dfrac{5}{2}$	$\displaystyle \cdot\text{HN}\; 14$
	↓	Mit dem Hauptnenner $14$ multiplizieren.
$\displaystyle -2-18x$	$≥$	$\displaystyle 21x-35$	$\displaystyle +35$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 33-18x$	$≥$	$\displaystyle 21x$	$\displaystyle +18x$
$\displaystyle 33$	$≥$	$\displaystyle 39x$	$\displaystyle :39$
$\displaystyle \dfrac{33}{39}$	$≥$	$\displaystyle x$
	↓	Kürzen des Bruches auf der linken Seite.
$\displaystyle \dfrac{11}{13}$	$≥$	$\displaystyle x$
	↓	Vertausche die linke und rechte Seite
$\displaystyle x$	$≤$	$\displaystyle \dfrac{11}{13}$

Antwort: $x\in]-\infty;\frac{11}{13}]$

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$\frac{12-5x}7\leq3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen lösen

$\displaystyle \frac{12-5x}{7}$	$≤$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle \cdot7$
$\displaystyle 12-5x$	$≤$	$\displaystyle 21$	$\displaystyle -12$
$\displaystyle -5x$	$≤$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle :\left(-5\right)$
	↓	Beim Dividieren durch eine negative Zahl ändert sich die Richtung des Ungleichheitszeichens
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle -\frac{9}{5}$

Antwort: $x\in[-\frac{9}{5};\infty[$

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$\frac{8-3x}5\geq5-2x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen lösen

$\displaystyle \frac{8-3x}{5}$	$≥$	$\displaystyle 5-2x$	$\displaystyle \cdot5$
	↓	Weil auf der rechten Seite der Ungleichung ein Term steht, muss eine Klammer gesetzt werden
$\displaystyle 8-3x$	$≥$	$\displaystyle 5\cdot\left(5-2x\right)$
	↓	Klammer auflösen
$\displaystyle 8-3x$	$≥$	$\displaystyle 25-10x$	$\displaystyle +10x$
$\displaystyle 8+7x$	$≥$	$\displaystyle 25$	$\displaystyle -8$
$\displaystyle 7x$	$≥$	$\displaystyle 17$	$\displaystyle :7$
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle \frac{17}{7}$

Für die Lösung der Gleichung gilt also: $x\in[\frac{17}{7};\infty[$

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$\frac{x-0{,}3}5\leq\frac{7-x}2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen lösen

$\displaystyle \frac{x-0{,}3}{5}$	$≤$	$\displaystyle \frac{7-x}{2}$	$\displaystyle \cdot2$
	↓	Weil im Zähler der linken Seite ein Term steht, muss dieser in Klammern gesetzt werden
$\displaystyle \frac{2\cdot\left(x-0{,}3\right)}{5}$	$≤$	$\displaystyle 7-x$	$\displaystyle \cdot5$
	↓	Weil im Zähler der rechten Seite ein Term steht, muss dieser in Klammern gesetzt werden
$\displaystyle 2\cdot\left(x-0{,}3\right)$	$≤$	$\displaystyle 5\cdot\left(7-x\right)$
	↓	Klammern auflösen
$\displaystyle 2x-0{,}6$	$≤$	$\displaystyle 35-5x$	$\displaystyle +5x$
$\displaystyle 7x-0{,}6$	$≤$	$\displaystyle 35$	$\displaystyle +0{,}6$
$\displaystyle 7x$	$≤$	$\displaystyle 35{,}6$	$\displaystyle :7$
	↓	Runde den Quotienten auf der rechten Seite auf zwei Nachkommastellen
$\displaystyle x$	$≤$	$\displaystyle 5{,}09$

Für die Lösung der Gleichung gilt also: $x\in]-\infty;5{,}09]$

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$\frac35\cdot\frac{2-x}4>\frac{0{,}4\cdot\left(x-1\right)}{15}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen lösen

$\displaystyle \frac{3}{5}\cdot\frac{2-x}{4}$	$>$	$\displaystyle \frac{0{,}4\cdot\left(x-1\right)}{15}$
	↓	Multipliziere die Brüche der linken Seite
$\displaystyle \frac{3\cdot\left(2-x\right)}{20}$	$>$	$\displaystyle \frac{0{,}4\cdot\left(x-1\right)}{15}$	$\displaystyle \cdot15$
$\displaystyle \frac{45\cdot\left(2-x\right)}{20}$	$>$	$\displaystyle 0{,}4\cdot\left(x-1\right)$
	↓	Bruch der linken Seite kürzen
$\displaystyle \frac{9\cdot\left(2-x\right)}{4}$	$>$	$\displaystyle 0{,}4\cdot\left(x-1\right)$	$\displaystyle \cdot4$
$\displaystyle 9\cdot\left(2-x\right)$	$>$	$\displaystyle 1{,}6\cdot\left(x-1\right)$
	↓	Klammern auflösen
$\displaystyle 18-9x$	$>$	$\displaystyle 1{,}6x-1{,}6$	$\displaystyle +1{,}6$
$\displaystyle 19{,}6-9x$	$>$	$\displaystyle 1{,}6x$	$\displaystyle +9x$
$\displaystyle 19{,}6$	$>$	$\displaystyle 10{,}6x$	$\displaystyle :10{,}6$
	↓	Vertausche die linke und rechte Seite
$\displaystyle x$	$<$	$\displaystyle 1{,}849$

Für die Lösung der Gleichung gilt also: $x\in]-\infty;1{,}849[$

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