Teil A

Gleichungen lösen

Hier musst du wissen, wie du lineare Gleichungen lösen kannst.

1. Gleichung

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} 66x +8 &= & 20x-15 &|?? \\ 66x &= & 20x - 23 \end{array}$

Du siehst, dass von der ersten zur zweiten Gleichung die $8$ auf der linken Seite verschwunden ist. Also musst du $8$ auf beiden Seiten subtrahieren:

$66x +8 = 20x-15\quad |-8$

2. Gleichung

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} 66x +8 &= & 20x-15 &|-8 \\ 66x &= & 20x - 23&|??\\ 46x &= &-23 \end{array}$

Von der zweiten zur dritten Gleichung sind die $20x$ auf der rechten Seite verschwunden, subtrahiere also $20x$ auf beiden Seiten:

$66x = 20x - 23\qquad|-20x$

3. Gleichung

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} 66x +8 &= & 20x-15 &|-8 \\ 66x &= & 20x - 23&|-20x\\ 46x &= &-23 &|??\\ x &= &-0{,}5 \end{array}$

Von der dritten zur vierten Gleichung verschwindet der Faktor vor dem $x$ auf der linken Seite, also wurde auf beiden Seiten durch $46$ geteilt.

$46x = -23 \qquad|:46$

Gesamte Lösung

Die vollständige Lösung ist deshalb:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} 66x +8 &= & 20x-15 &|-8 \\ 66x &= & 20x - 23&|-20x\\ 46x &= &-23 &|:46 \\ x &= &-0{,}5 \end{array}$

Fülle die Tabelle aus

Suche zuerst Felder bei denen die Lösung eindeutig ist.

Im Kasten oben Rechts fehlt nur noch ein Symbol. In jedem 4er-Block soll jedes Symbol einmal vorkommen, also fehlt hier noch das Rechteck.

Lösung

Ein 5€ Schein ist ca. $10$ cm breit und $5$ cm hoch. Berechne die Fläche des Rechtecks mit der Formel $a \cdot b$

$10cm \cdot 5cm = 50 cm²$

$\Rightarrow$ Das Ergebnis mit der gleichen Größenordnung (also gleichen Einheit) ist richtig. Ein 5€ Schein ist deshalb ca. 74cm² groß.

Es handelt sich um ein gleichschenkliges Dreieck. Das heißt die beiden Basiswinkel sind gleich groß ($70°$). Außerdem entsteht durch die Senkrechte auf der Basis ein rechter Winkel. Zeichne diese ein.

$180°-70°-90°= 20°$ $\Rightarrow \delta$ ist 20° groß.

Prozentrechnung

Wenn du bei dieser Aufgabe noch Hilfe benötigst, kannst du dir die Artikel zur Prozentrechnung mittels Dreisatz oder zur Prozentrechnung mittels Formeln anschauen.

Rechne zuerst alle Größen in die gleiche Einheit um. In diesem Fall kannst du also z.B Gramm in Kilogramm umrechnen, hierbei musst du den Umrechnungsfaktor 1000 benutzen.

Für das weitere Vorgehen gibt es zwei Möglichkeiten, die nacheinander vorgestellt werden:

• Prozentrechnung mittels Formeln

• Prozentrechnung mittels Dreisatz

Prozentrechnung mittels Formeln

Du suchst den Prozentsatz. Schreibe die Formel auf:

• $p$ steht hierbei für den Prozentsatz

• $P$ für den Prozentwert

• $G$ für den Grundwert

Überlege dir, welche Angabe der Grundwert und welche der Prozentwert ist.

Setze die vorgegebenen Werte in die Formel ein:

Sein Gewicht als Baby sind also $5\;\%$ seines Gewichtes heute.

Prozentrechnung mittels Dreisatz

Sein heutiges Gewicht sind $100\;\%$. Berechne, wie viel Prozent ein Kilo sind, indem du $100\;\%$ durch $70$ teilst. Danach berechnest du, wie viel Prozent $3{,}5$ kg sind.

Sein Gewicht als Baby sind also $5\;\%$ seines Gewichtes heute.

Flächeninhalt des Segels

Schreibe die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks auf.

$A_{Dreieck}=\frac12\cdot6\, m\cdot8\, m= 24\,m^2$

$\Rightarrow$ Die Fläche des Segels beträgt $24\;m^2$.

Für diese Aufgabe brauchst du die Formel zur Flächenberechnung in Quadraten. Außerdem solltest du Prozentrechnung mittels Dreisatz beherrschen.

Berechne zuerst den Flächeninhalt der Quadrate.

$25 : 100 = 0{,}25 = 25\%$ $\Rightarrow$ Die Fläche des kleinen Quadrats nimmt 25% der Fläche des großen Quadrats ein.

Suche dir zwei gegenüberliegende Punkte der Figur 1 (E) und der Figur 2(H). Zeichne um diese Punkte jeweils einen Kreis mit dem gleichen Radius.

Ein Würfel hat $6$ Zahlen, die du Würfeln kannst: $\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}$ . Dafür, dass Markus ins Ziel kommt, gibt es $3$ Möglichkeiten: $A=\{4;5;6 \}$.

Teile nun die Anzahl der Möglichkeiten, bei denen Markus ins Ziel kommt (siehe $A$) durch die Anzahl der Möglichkeiten, die man würfeln kann (siehe $\Omega$).

$3 : 6 = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\%$ $\Rightarrow$ Die Wahrscheinlichkeit, dass Markus mit dem nächsten Wurf ins Ziel kommt liegt bei $50\%$.

Wir rechnen für jedes Kästchen den Proportionalitätsfaktor für die erste, zweite und dritte Angabe. Wenn diese übereinstimmen liegt direkte Proportionalität vor, da der Preis gleichmäßig steigt.

1.Bananen

$2{,}30 : 1 = 2{,}30$ $6{,}50 : 3 = 2{,}1\overline6$ $10{,}00 : 5 = 2$

$\Rightarrow$ Stimmt nicht überein $\Rightarrow$ Keine direkte Proportionalität

2.Trüffel

$20 : 0{,}5 = 40$ $40 : 1 = 40$ $80 : 2 = 40$ $\Rightarrow$ Stimmt überein $\Rightarrow$ Direkte Proportionalität

3.Ananas

$2 : 1 = 2$ $4 : 2 = 2$ $5 : 3 = 1,\overline6$ $\Rightarrow$ Stimmt nicht überein $\Rightarrow$ Keine direkte Proportionalität

Hier brauchst du zusätzlich die Umrechnung von Flächeneinheiten und die Schreibweise als Zehnerpotenz.

Berechne die Fläche rechts.

$1km \widehat= 1000m$ $1km² \widehat= 1 000 000m²$

Wende nun den Dreisatz an, um die Weizenpflanzen auf $1000000m²$ zu erhalten.

$1m² \widehat = 500$ Weizenpflanzen $1000000m² \widehat = x$ Weizenpflanzen $1000000 \cdot 500 = 500000000$

Du weißt nun, dass auf 1km² $500000000$ Weizenpflanzen wachsen. Schreibe diese Zahl nun als Zehnerpotenz.

Die Zahl $500000000$ hat $8$ Nullen. $\Rightarrow5\cdot10^8$