2016

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Berechne:

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzrechnung
$-2+4^4=-2+4\cdot4\cdot4\cdot4=-2+256=254$
Die Lösung der Gleichung lautet $254$ .
2
Berechne $0{,}2\cdot\dfrac{1}{2}+0{,}2\cdot\dfrac{1}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Brüchen
$0{,}2\cdot\dfrac{1}{2}+0{,}2\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{0{,}2}{2}+\dfrac{0{,}2}{2}=\dfrac{0{,}4}{2}=0{,}2$
Alternativer Lösungsweg:
$\ 0{,}2\cdot\dfrac{1}{2}+0{,}2\cdot\dfrac{1}{2}\ \$ klammere $\ 0{,}2\$ aus:
$\ \ 0{,}2\cdot\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right)=0{,}2\cdot1=0{,}2$
Erstmal rechnen wir Punkt vor Strich. Dann steht nur noch $\ 0{,}1 + 0{,}1\$ da,
oder auch $\left(\dfrac{0{,}2}{2} + \dfrac{0{,}2}{2}\right)$ . Dann addieren wir die Zahlen
und bekommen als Ergebnisse : $\ 0{,}2$
3
Setze ein Rechenzeichen ein, so dass eine wahre Aussage entsteht.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition und Subtraktion von Brüchen
Setze ein Rechenzeichen ein, so dass eine wahre Aussage entsteht.
$\frac12\cdot(-\frac14)\_\_\_\_\_(-\frac18)=-\frac14$
$-\frac18+(-\frac18)=-\frac14$
$-\frac28=-\frac14$
Das fehlende Rechenzeichen ist $+$ .
Probe mit $-$
$-\frac18-(-\frac18)=-\frac14$
$0\ne-\frac14$
Probe mit $\cdot$
$-\frac18\cdot(-\frac18)=-\frac14$
$\frac{1}{64}\ne-\frac14$
Probe mit $:$
$-(\frac18)\_\_\_\_(-\frac18)=-\frac14$
$-\frac18:(-\frac18)=-\frac14$
$1\ne-\frac14$
Um die Aufgabe zu lösen kannst du erstmal $\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)\$ rechnen.
Dann sollte die Rechnung jetzt so aussehen: $-\frac{1}{8}\$ _____ $\left(-\frac{1}{8}\right)=\ -\frac{1}{4}$ .
Da du es jetzt vereinfacht hast siehst du dir die Rechnung genauer an. Jetzt setzt du verschiedene Zeichen ein und prüfst welches der Zeichen angewendet werden muss um auf das Ergebnis zu kommen.
4
Gib eine natürliche Zahl für $x$ an, so dass der Wert des Terms $\left(-2\right)^x$ positiv ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Ein möglicher Wert für $x$
Du kannst hier gut die Regel "Minus mal Minus ergibt Plus" verwenden. Diese besagt: Wenn du zwei Zahlen mit negativem Vorzeichen miteinander multiplizierst, ist das Ergebnis positiv. Das funktioniert zum Beispiel, wenn du $-2$ mit $-2$ multiplizierst:
Jetzt hast du herausgefunden, dass für $x = 2$ der Term $(-2)^x$ einen positiven Wert hat. $x = 2$ ist also eine mögliche Lösung.
Damit ist die Aufgabe bereits gelöst. Aber es gibt noch viel mehr Lösungen als nur $x = 2$ . Welche Lösungen das sind, kannst du hier nachlesen:
Alle möglichen Werte für $x$
Die $2$ ist nicht die einzige natürliche Zahl, die du für $x$ einsetzen kannst. Wenn du $(-2)^x$ berechnest, also $(-2)$ $x$ -mal mit sich selbst multiplizierst, sieht das so aus:
Es ist egal, in welcher Reihenfolge du die Zahlen miteinander Multiplizierst (Assoziativgesetz). Daher kannst du die Faktoren in Paare aufteilen:
Die beiden Faktoren eines Paares miteinander multipliziert ergeben wieder eine positive Zahl (nämlich $4$ ), denn Minus mal Minus ergibt Plus. Nun gibt es zwei Möglichkeiten:
$x$ ist gerade. Dann bleibt am Ende keine $-2$ mehr übrig. Das sieht dann so aus: $(-2)^x = \underbrace{\underbrace{(-2)\cdot(-2)}_{+}\cdot\underbrace{(-2)\cdot(-2)}_{+}\cdot\ldots\cdot \underbrace{(-2)\cdot(-2)}_{+}}_+.$ Also stehen in dem Produkt, sobald du die Paare zusammengerechnet hast, keine negativen Vorzeichen mehr. Damit ist der Wert von $(-2)^x$ positiv.
$x$ ist ungerade. Dann bleibt am Ende eine $-2$ übrig. Das sieht dann so aus: $(-2)^x = \underbrace{\underbrace{(-2)\cdot(-2)}_{=+4}\cdot\underbrace{(-2)\cdot(-2)}_{=+4}\cdot\ldots\cdot \underbrace{(-2)\cdot(-2)}_{=+4}}_+ \cdot \underbrace{(-2)}_-.$ Wenn du die Paare zusammengerechnet hast, steht da also eine positive Zahl mal eine negative Zahl. Und aufgrund der Regel "Plus mal Minus ergibt Minus." hat damit $(-2)^x$ einen negativen Wert.
Fassen wir also zusammen: Der Wert von $(-2)^x$ ist positiv, wenn $x$ gerade ist, und negativ, wenn $x$ ungerade ist. Die möglichen Werte für $x$ sind also:
5
Ein 130 m langer Zug fährt durch einen 220 m langen Tunnel. Unter der Durchfahrtzeit des Zuges wird die Zeit zwischen dem Beginn der Einfahrt der Lok in den Tunnel und der vollständigen Ausfahrt des letzten Wagens aus dem Tunnel verstanden.
Wie viele Sekunden benötigt der Zug für die Durchfahrt, wenn er in einer Minute 700 m zurücklegt?

Für diese Aufgabe musst du die Umrechnung von Zeiteinheiten beherrschen.
Der Zug legt bis zur Ausfahrt des letzten Wagens insgesamt eine Strecke von
$130m+220m=350m$ zurück.
Der Zug legt in einer Minute $700m$ zurück.
Der Zug benötigt 30 Sekunden für die Durchfahrt des Tunnels.
6
Der Punkt $P (x|y)$ wurde durch Parallelverschiebung mit dem Vektor $\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}$ auf den Punkt $P'(5|11)$ abgebildet. Gib die Koordinaten des Punktes $P$ an.
[Trenne die Einträge des Punktes $P$ mit einem kleinen L (l) bei der Eingabe deines Ergebnisses.]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung
Die Lösung in der Koordinatenform lautet
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{pmatrix}5\\11\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}\\\\5=x+3\\x=2\\\\11=y+7\\y=4\end{array}$
Der Punkt $P$ hat die Koordinaten $(2|4)$ .
7
Vervollständige den Satz.
Ein Rechteck ist dann ein Quadrat, wenn…
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Eigenschaften eines Quadrates
Ein Rechteck ist dann ein Quadrat, wenn:
alle Seiten gleich lang sind
Vier rechte winkel hat
8
Die „Rolling Bridge“ in London kann zu einer Brücke ausgerollt werden (siehe Foto). Der Umfang des Achtecks entspricht der Länge der Brücke. Schätze die Länge der Brücke im ausgerollten Zustand.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umfang von Vielecken
Dies ist eine Schätzaufgabe, daher gibt es nicht nur eine Lösung, sondern einen Lösungsbereich. Folgende Lösungen wären daher akzeptiert worden:
Wie kommt man auf diesen Umfang?
1) Zunächst musst du die Länge einer Seite des Achtecks schätzen.
Rechts neben einem "Bodenteil" der Brücke steht ein Mann, der wahrscheinlich etwa 1,70 oder 1,80 m groß ist.
Da das "Bodenteil" der Brücke etwas kürzer erscheint als die Körpergröße des Mannes, schätzt du seine Länge vielleicht auf 1,50 m.
2) Daraufhin kannst du den Umfang der Brücke wie folgt berechnen:
9
Berechne das Winkelmaß $\beta$ , wenn gilt: $\overline{AC} = \overline{CD} = \overline{DB}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenklige Dreiecke
Die beiden Dreiecke $ADC$ und $DBC$ sind gleichschenklige Dreiecke. In gleichschenkligen Dreiecken sind die Basiswinkel gleich.
Das Winkelmaß für die beiden Winkel $\angle CAD$ und $\angle ADC$ ist
Die beiden Winkel $\angle ADC$ und $\angle CDB$ sind Nebenwinkel.
Nebenwinkel ergänzen sich zu $180^\circ$ .
Der Winkel $\angle CDB=180^\circ-80^\circ=100^\circ$ .
Das Winkelmaß ist: $\beta=40^\circ$
10
Zerlege folgende Figur durch genau eine gerade oder gekrümmte Linie in zwei kongruente (deckungsgleiche) Teilfiguren.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kongruenzabbildung
Miss die Länge der Grundseite und unterteile sie in $4$ gleiche Abstände.
Punkte $A$ , $B$ , $C$ , $D$ und $E$ . Die Länge der Strecke $[AB]$ ist der Radius $r$ des Viertelkreises.
Zeichne im Punkt $D$ einen Viertelkreis mit dem Radius $r$ , der in $C$ beginnt (hier in rot). Die Figur wird so in zwei Teile zerlegt.
Diese beiden Teile sind kongruente (deckungsgleiche) Teilfiguren.
11
Ergänze in der Zeile eine passende Ungleichung $(\mathbb{G}=\mathbb{Q})$ :

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen lösen
12
Ein Glücksrad wird 100-mal gedreht. Dabei tritt 60-mal eine Niete und 30-mal ein Trostpreis auf. Der Hauptgewinn wird 10-mal erzielt.
Welche der folgenden Aussagen treffen auf die 100 Drehungen des Glückrads zu?
A. Die relative Häufigkeit für den Trostpreis liegt bei 0,3.
B. Es werden doppelt so viele Trostpreise wie Hauptgewinne erzielt.
C. Bei den nächsten hundert Drehungen sind sicher 10 Hauptpreisedabei.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: relative Häufigkeit
Gegeben:
Ein Glücksrad wird 100-mal gedreht.
60-mal eine Niete
30-mal ein Trostpreis
10-mal ein Hauptgewinn
Berechne die relative Häufigkeit eines Trostpreises.
$h=\frac{30}{100}=\frac3{10}=0{,}3$
Die Aussage A, die relative Häufigkeit für den Trostpreis liegt bei 0,3 ist richtig.
Die Aussage B, es werden doppelt so viele Trostpreise wie Hauptgewinne erzielt, ist falsch, da $2\cdot10<30$ .
Die Aussage C, bei den nächsten 100 Drehungen sind $sicher$ 10 Hauptgewinne dabei, ist falsch. Es ist lediglich wahrscheinlich, dass 10 Hauptgewinne dabei sind.
13
Auf dem Oktoberfest waren 2015 rund 5,9 Millionen Besucher. 20 % der Besucher reisten aus dem Ausland an.
Gib an, wie viele Besucher aus dem Ausland anreisten.
Mio.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Auf dem Oktoberfest waren 2015 rund 5,9 Millionen Besucher. 20 % der Besucher reisten aus dem Ausland an. Gib an, wie viele Besucher aus dem Ausland anreisten.
$100$ % $\mathop{\widehat{=}}$ $5{,}9$ Millionen Besucher.
$1$ % $\mathop{\widehat{=}}$ $5{,}9:100=0{,}059$ Millionen Besucher.
$20$ % $\mathop{\widehat{=}}$ $0{,}059\cdot20=1{,}18$ Millionen Besucher.
$1{,}18$ Millionen Besucher sind aus dem Ausland angereist.
14
Ein Trinkglas kann bis zum oberen Rand mit 200 ml gefüllt werden kann. Welches der folgenden Bilder zeigt den Füllstand des Glases an, wenn sich genau 100 ml in dem Glas befinden?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen
Das Trinkglas hat insgesamt 200 ml Volumen oder "möglichen Inhalt".
Nun sollst du das Glas wählen, das mit genau 100 ml Flüssigkeit gefüllt ist, also genau mit der Hälfte des möglichen Volumens.
Da das Glas im oberen Bereich einen größeren Durchmesser (und damit ein größeres Volumen) aufweist als im unteren Bereich, wäre es bei einer Füllung bis zur Hälfte der Höhe oder darunter nicht mit 100 ml gefüllt. Daher fallen schon einmal die Lösungen 2 und 4 weg.
Das Glas bei der Lösung 3 ist weit über die Hälfte gefüllt, das wäre zu viel.
Daher kann nur Lösung 1 richtig sein.

Beim Geburtstagsfest von Oma Ilse hat jeder der Anwesenden 8 Minikrapfen gegessen. Wären auch noch Tante Gerda und Onkel Wolfgang gekommen, dann hätte jeder nur 6 Minikrapfen bekommen. Es wäre in beiden Fällen nichts übrig geblieben. Gib an, wie viele Personen bei Oma Ilses Geburtstagsfest insgesamt anwesend waren.

16
Kathrin löst eine Gleichung mit $\mathbb{G}=\mathbb{Q}$ so:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc} 3x+6&=&27&|−6\\3x&=&21&|−3\\x&=&18&\\L=\{18\} \end{array}$
Jenny sagt: „Wenn du die Probe machst, stimmt etwas nicht, denn es kommt $3\cdot 18+6=60$ heraus und nicht $27$ .
Beschreibe was Kathrin falsch gemacht hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösung von Gleichungen
Kathrin hat in der 2. Zeile ihrer Rechnung $-3$ subtrahiert, statt durch $3$ zu dividieren.
Falsch: $3x=21|-3$
Richtig: $3x=21 |:3$
$x=7$
$L=\{7\}$
17
Gegeben ist das nebenstehende rechtwinklige Dreieck. Wie viele dieser Dreiecke sind notwendig, um eine quadratische Fläche vollständig auszulegen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrate
Z. B.: 12 Dreiecke
Alle Seiten müssen gleich lang sein. Wenn wir also 12 Dreiecke benutzten, können wir die Dreiecke so auslegen, dass ein Quadrat entsteht.
Eine Möglichkeit zur Anordnung der Dreiecke zu einem Quadrat :
18
Welcher Satz passt zu den folgendem Term: $x+(x+2)+(x+4)$ mit $x\;\in\;\mathbb{N}$ ?
Die Summe von drei aufeinanderfolgenden geraden oder drei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen.
Die Summe aller Vielfachen von 2.
Die Summe von drei aufeinanderfolgenden Zahlen
Die Summe von einer Zahl, ihrem Doppelten und ihrem Vierfachen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: natürliche Zahlen
Gegeben ist folgender Term
$x+(x+2)+(x+4)$ mit $x\in\mathbb{N}$
Setze für $x$ eine ungerade Zahl ein, z.B. die $1$ . Du erhältst dann den folgenden Term:
$1+(1+2)+(1+4)=1+3+5$
Setze für $x$ eine gerade Zahl ein, z.B. die $2$ . Du erhältst dann den folgenden Term:
$2+(2+2)+(2+4)=2+4+6$
Die Aussage der Term stellt die Summe von 3 aufeinanderfolgenden geraden oder 3 aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen dar, ist richtig.
19
Einem Kreis ist ein regelmäßiges Sechseck mit einer Seitenlänge von 1 cm einbeschrieben (siehe Skizze). Berechne, um wie viel Zentimeter der Umfang des Kreises länger ist als der des Sechsecks.
cm ist der Umfang des Kreises länger.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umfang eines Kreises
$U_\text{{Kreis}}=2\cdot1\ \text{cm}\cdot3{,}14$
$U_\text{{Kreis}}=6{,}28\ \text{cm}$
$U_\text{{Sechseck}}=6\ \text{cm}$
Der Umfang des Kreises ist um $0{,}28\;\text{cm}$ länger als der des Sechsecks.
20
Folgendes Weg-Zeit-Diagramm beschreibt Fynns (F) und Lars' (L) Weg von der Schule nach Hause. Fynn fährt mit dem Fahrrad und Lars mit seinem Longboard.
Welche Aussagen passen zum folgendem Diagramm?
Fynn ist mit dem Fahrrad schneller als Lars.
Fynn und Lars haben kurz nach13:10 Uhr jeweils ca. 1200 m zurückgelegt.
Lars hat einen längeren Wegnach Hause als Fynn.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diagramme
Das Weg-Zeit-Diagramm beschreibt Fynns (F) und Lars' (L) Weg von der Schule nach Hause. Fynn fährt mit dem Fahrrad und Lars mit seinem Longboard.
Fynn und Lars haben kurz nach 13:10 Uhr jeweils 1200m zurückgelegt.
Lars hat einen längeren Weg nach Hause als Fynn.
Fynn ist mit dem Fahrrad schneller als Lars.
Fynn und Lars haben kurz nach 13:10 jeweils 1200m zurückgelegt, wie Du an dem Schnittpunkt der beiden Geraden F und L ablesen kannst.
Der Heimweg von Lars und Fynn ist mit 2400m gleich lang.
Fynn benötigt für den Heimweg etwas mehr als $10$ Minuten, Lars etwas mehr als $15$ Minuten. Somit ist Fynn schneller als Lars.
21
An einer Realschule findet ein Wintersporttag statt. Dafür haben sich alle Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 8 in eine Liste für eine der angebotenen Sportarten eingetragen.
Sportart
Skifahren
Snowboarden
Schlittschuhlaufen
Wandern
Anzahl
50
25
15
10
Welche der Aussagen sind wahr?
A. 50% der Achtklässler wählten Skifahren.
B. Jeder 5. Achtklässler wählte Wandern.
C. $\frac{2}{5}$ der Achtklässler wählten Snowboarden oder Schlittschuhlaufen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Für den Wintersporttag haben sich alle Schülerinnen und Schüler wie folgt für 4 Sportarten angemeldet.
$50_{ }$ für Skifahren,
$25$ für Snowboarden,
$15$ für Schlittschuhlaufen,
$10$ für Wandern.
Du berechnest erst einmal die Anzahl aller Schüler und Schülerinnen:
$50+25+15+10=100$
Die Jahrgangsstufe 8 hat also insgesamt $100$ Schüler.
$50$ % von $100$ Schülern sind $50$ Schüler. $50$ Schüler haben Skifahren gewählt. Daher ist diese Aussage wahr.
Wenn jeder 5. Schüler Wandern gewählt hätte, wären dies $20$ Schüler und nicht $10$ , wie angegeben. Diese Aussage ist also falsch.
$\frac25$ der Schüler haben entweder Snowboarden oder Schlittschuhlaufen gewählt.
$\frac{40}{100}=\frac25$ . Die Aussage ist also richtig.

Sportart	Skifahren	Snowboarden	Schlittschuhlaufen	Wandern
Anzahl	50	25	15	10

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 8\cdot x$	$=$	$\displaystyle 6\cdot(x+2)$
	↓	Klammer ausmultiplizieren
$\displaystyle 8x$	$=$	$\displaystyle 6x+12$	$\displaystyle -6x$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 12$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 6$

2016

Probe mit −-−

Probe mit ⋅\cdot ⋅

Probe mit :::

Ein möglicher Wert für xxx

Alle möglichen Werte für xxx

Wie kommt man auf diesen Umfang?

Probe mit $-$

Probe mit $\cdot$

Probe mit $:$

Ein möglicher Wert für $x$

Alle möglichen Werte für $x$