Teil 2 Image Title

Teilaufgabe a)

$$f\left(x\right)=2x\cdot e^{-0,5x^2}$$

Setze für %%x%%, in die Funktion %%-x%% ein.

$$f\left(-x\right)=2(-x)\cdot e^{-0,5(-x)^2}$$

Beim Quadrieren bleibt der Term immer Positiv.

$$f\left(-x\right)=-2x\cdot e^{-0,5(x)^2}=-f\left(x\right)$$

Bestimmte den Grenzwert gegen %%+\infty%% .

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\;2x\cdot e^{-0,5x^2}$$

Forme die Potenz um.

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\;\frac{2x}{e^{0,5x^2}}$$

Der Zähler geht gegen %%+\infty%%.

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\;\frac{\overbrace{\;2x\;}^{+\infty}}{\underbrace{e^{0,5x^2}}_{+\infty}}$$

Der Nenner geht ebenfalls %%+\infty%%. Jedoch wegen der e-Funktion wächst der Nenner viel schneller und somit geht die Funktion insgesamt gegen Null.

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\;\frac{\overbrace{\;2x\;}^{+\infty}}{\underbrace{e^{0,5x^2}}_{+\infty}}=0$$

Teilaufgabe b)

%%f'\left(x\right)=\left(2x\cdot e^{-0,5x^2}\right)'%%

Bilde die erste Ableitung. Wende dafür die Produktregel an. Achte dabei bei der e-Funktion die Kettenregel anzuwenden.

%%f'\left(x\right)=2\cdot e^{-0,5x^2}+2x\cdot e^{-0,5x^2}\cdot(-x)%%

Faktorisiere um auf das Zwischenergebnis zu kommen.

$$f'\left(x\right)=2\cdot e^{-0,5x^2}\cdot(1-x^2)$$

Setze die Ableitungsfunktion Null um die Extrema zu berechnen.

$$0=2\cdot e^{-0,5x^2}\cdot(1-x^2)$$

Da die e-Funktion keine Nullstellen hat muss nur der zweite Faktor Null werden.

$$0=1-x^2$$

$$\left|+x^2\right.$$

$$x^2=1$$

Ziehe die Wurzel.

$$x_{1,2}=\pm\sqrt1$$

Setze in %%f(x)%% ein

%%H\left(1\vert2\cdot1\cdot e^{-0,5\cdot1^2}\right)=H\left(1\vert\frac2{\sqrt e}\right)%%

%%T\left(-1\vert2\cdot(-1)\cdot e^{-0,5\cdot(-1)^2}\right)=T\left(-1\vert-\frac2{\sqrt e}\right)%%

Teilaufgabe c)

Änderungsrate

%%m_s%% von %%f%% im Intervall %%[-0,5;0,5]%%

Für die mittlere Änderungsrate musst du die Steigung zwischen den beiden Punkten der Intervalle berechen.

%%m_s=\frac{f\left(0,5\right)-f(-0,5)}{0,5-(-0,5)}%%

Setze die Werte in die Funktion ein und fasse zusammen.

%%m_s\approx1,76%%

%%m_T=?%%

Um die lokale Änderungsrate zu berechnen, setze 0 in die Ableitung %%f'%% ein.

$$f'\left(0\right)=2\cdot e^{-0,5\cdot0^2}\cdot(1-0^2)$$

Fasse zusammen.

$$m_T=2$$

Berechne den prozentualen Anteil.

$$\frac{m_S}{m_T}=\frac{1,765}2=0,882\;\;\widehat{=\;}\;88,2\%$$

Daher ist die prozentuale Abweichung %%100\%-88,2\%=11,8\% %%.

Teilaufgabe d)

$$f\left(x\right)=2x\cdot e^{-0,5x^2}$$ $$A(u)=2-2e^{-0,5\cdot u^2}$$

Das Integral beschreibt die Fläche zwischen der x-Achse und eines Graphen. Du müsstest das bestimmte Integral im Intervall %%[0;u]%% berechnen und hierfür die Stammfunktion von %%f_{(x)}%% heraus finden.Da jedoch in der Aufgabenstellung nur verlangt ist, dass man zeigt ob %%A(u)%% diese Fläche beschreibt ist es ausreichend nachzuweisen ob die angegebene Funktion %%A(u)%% tatsächlich die Stammfunktion %%F(u)%% von der Funktion %%f(u)%% ist.

Leite die Funktion %%A(u)%% ab.

$$A(u)'=\left(2-2e^{-0,5\cdot u^2}\right)'$$

Wende die Kettenregel an

$$=-2e^{-0,5\cdot u^2}\cdot-u$$

$$=2ue^{-0,5\cdot u^2}=f(u)$$

$$\lim_{u\rightarrow\infty}\;A(u)$$

Bestimmte den Grenzwert gegen %%+\infty%% .

$$\lim_{u\rightarrow\infty}\;2-2x\cdot e^{-0,5u^2}$$

Forme die Potenz um.

$$\lim_{u\rightarrow\infty}\;2-\frac{2x}{e^{0,5u^2}}$$

Der Bruch geht gegen %%0%%.

$$\lim_{u\rightarrow\infty}\;2-\frac{2x}{\underbrace{e^{0,5u^2}}_{+\infty}}$$

Somit geht die Funktion gegen 2.

$$\lim_{u\rightarrow\infty}\;2-\textstyle0\textstyle=\textstyle2$$

Die Fläche unterhalb des Graphen nimmt immer zu, wird jedoch nie größer oder gleich %%2FE%%.

Teilaufgabe e)

$$h:y=\frac2{e^2}\cdot x$$ $$f(x)=2x\cdot e^{-0,5x^2}$$

Berechne die Schnittpunkte der Funktionen.

$$\frac2{e^2}\cdot x=2x\cdot e^{-0,5x^2}$$

$$\left|:2\right.$$

$$\frac1{e^2}\cdot x=x\cdot e^{-0,5x^2}$$

$$\left|-\frac x{e^2}\right.$$

$$0=x\cdot e^{-0,5x^2}-\frac x{e^2}$$

Faktorisiere die Gleichung.

$$0=x\cdot\left(e^{-0,5x^2}-\frac1{e^2}\right)$$

Der erste Faktor wird für %%x=0%% Null. Setzte den zweiten Faktor ebenfalls Null.

%%x_1=0;%% $$0=\frac1{e^{0,5x^2}}-\frac1{e^2}$$

Dafür muss nur die Potenz des ersten Zählers 2 werden da %%\frac1{e^2}-\frac1{e^2}=0%%.

$$\textstyle0,5x^2=2$$

$$\left|:0,5\right.$$

$$\textstyle x^2=4$$

Ziehe die Wurzel.

$$\textstyle x_{2,3}=\pm2$$

Zeichne die Gerade h.

Gesucht ist noch die Fläche %%B%%. Dafür kannst du die Fläche, die die Gerade h im Intervall %%[0,2]%% mit der x-Achse einschließt (die in der Zeichnung oben markierte Fläche) von der Fläche abziehen, die die Funktion f im Intervall %%[0,2]%% mit der x-Achse einschließt (%%A(u)%% aus Teilaufgabe (d)).

$$\boldsymbol B=A{(2)}-\int_0^2(h{(x)})\;dx$$

Finde die Stammfunktion von %%h_{(x)}%% heraus.

%%=2-2e^{-0,5\cdot2^2}-\left[\frac{x^2}{e^2}\right]_0^2%%

%%=2-2e^{-0,5\cdot2^2}-\left(\frac4{e^2}-\frac0{e^2}\right)%%

Fasse zusammen.

%%B=1,19\mathrm{FE}%%