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Aufgaben

Berechnen Sie die reelen Zahlen x und y, die das folgende Gleichungssystem erfüllen: (2 BE)

%%\begin{array}{rllll}I &x &+ &2y &= &3 \\ II &4x &+ &5y &= &6\end{array}%%

Gleichung mit Einsetzungsverfahren lösen

%%\begin{align} \begin{array}{cccccc} I & x & + & 2y & =&3 \\ II & 4x & + & 5y &=&6 \end{array} \end{align}%%

Zum Lösen der Gleichung mithilfe des Einsetzungsverfahrens, stelle Gleichung %%I%% nach %%x%% um. Nenne die neue Gleichung %%I'%%.

%%\begin{align} \begin{array}{cccccc cccl} I & x & + & 2y & =&3 &&&|-2y \\I'&x&&&=&3&-&2y \end{array} \end{align}%%

Setze nun %%x%% aus der umgestellten %%I'%% in %%II%% ein.

%%\begin{align} \begin{array}{cccccc cccl} I'&x&&&=&3&-&2y \\ II & 4\color{red}{\left( 3-2y\right)} & + & 5y &=&6 \end{array} \end{align}%%

Löse nun Gleichung %%II%% nach %%y%%.

%%\begin{align} \begin{array}{cccccc llll} II & 4\left( 3-2y\right) & + & 5y &=&6 \\II&12-8y&+&5y&=&6&|-6\\II'&6&-&3y&=&0 &|+3y \\II''&6&&&=&3y&|:3 \\II'''&2&&&=&y\end{array} \end{align}%%

Setze %%y%% in Gleichung %%I'%% ein .

%%\begin{align} \begin{array}{cccccc ccll} I'&x&=&3&-&2y&=&3&-&2\cdot2 \\&&=&3&-&4&=&-1 \\II'''&y&=&2\end{array} \end{align}%%

Die Gleichung wird von %%x=-1%% und %%y=2%% gelöst.

Die Abbildung zeigt für das Jahr 2010, welcher Anteil der Bergbau-Jahresproduktion von Gold bzw. Palladium für die Herstellung von Mobiltelefonen, PC und Laptops aufgewendet wurde. Außerdem ist für die beiden Edelmetalle jeweils der Wert pro Kilogramm in Euro angegeben.

a) Im Jahr 2010 wurden weltweit für die Herstellung von ungefähr zwei Milliarden Mobiltelefonen, PC und Laptops 40 Tonnen Palladium verwendet. Kreuzen Sie an, wie viele Tonnen Palladium im Jahr 2010 durch Bergbau gewonnen wurden. (1 BE)

b) Man geht davon aus, dass sich in Deutschland in den Haushalten 100 Millionen Mobiltelefone befinden, die nicht mehr verwendet werden. Durchschnittlich enthält ein Mobiltelefon 20 Milligramm Gold. Berechnen Sie den Gesamtwert (in Euro) des in diesen Mobiltelefonen enthaltenen Golds. (2 BE)

Teilaufgabe a)

Für diese Aufgabe musst du die Prozentrechnung beherrschen.

Für die Herstellung von 2 Milliarden Mobiltelefonen, PC und Laptops wurden 40t Palladium verwendet. Laut dem Diagramm entspricht dies 20% der Palladium Jahresproduktion.

%%40t\widehat=20\% %%

|%%:20%%

%%2t\widehat=1\% %%

|%%\cdot100%%

%%200t\widehat=100\% %%

Im Jahr 2010 wurden %%200t%% Palladium durch Bergbau gewonnen.

Teilaufgabe b)

Für diese Aufgabe benötigst Du Kenntnisse über die Umrechnung von Gewichtseinheiten.

%%1g=1000mg%%

%%1kg=1000g%%

Berechne zuerst das Gewicht des Goldes, das sich in 100 Millionen Mobiltelefonen befindet, wenn jedes Mobiltelefon durchschnittlich 20mg Gold enthält.

%%100.000.000\cdot20mg=2.000.000.000mg=2.000.000g=2.000kg%%

Ermittle nun den Gesamtwert des in den 100 Millionen Mobiltelefonen enthaltenen Goldes, wenn 1kg Gold 40000€ wert ist.

%%2.000\cdot40.000€=80.000.000€=80%% Millionen %%€%%.

Der Gesamtwert des in 100 Millionen Mobiltelefonen enthaltenen Goldes beträgt %%80%% Millionen %%€%%.

Die Abbildung zeigt einen Kreis mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r. Der Punkt P hat von M die Entfernung s. Eine durch P verlaufende Tangente an den Kreis berührt diesen im Punkt Q.

a) Beschreiben Sie in Kurzform, wie man den Punkt Q konstruieren kann, wenn nur der Kreis mit dem Mittelpunkt M sowie der Punkt P gegeben sind. (2 BE)

Hinweis: In der geforderten Kurzform müsste z. B. die Konstruktion einer Parallelen nicht beschrieben werden.

b) Geben Sie einen Term an, mit dem %%\overline{PQ}%% aus r und s berechnet werden kann. (1 BE)

c) Durch den Punkt P wird eine zweite Tangente an den Kreis gezeichnet. Sie berührt den Kreis im Punkt R, der mit P, Q und M die Eckpunkte eines Drachenvierecks bildet. Geben Sie einen Term an, mit dem man den Flächeninhalt dieses Drachenvierecks aus r und %%\overline{PQ}%% berechnen kann. (1 BE)

d) Entscheiden Sie für jede der folgenden Gleichungen, ob sie richtig oder falsch ist. Kreuzen Sie nur die richtigen Gleichungen an. (2 BE)

Teilaufgabe a)

Für diese Aufgabe musst du den Thaleskries kennen.

Gegeben:

Ein Kreis mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r.

Der Punkt P hat von M die Entfernung s.

Eine durch P verlaufende Tangente an den Kreis berührt diesen im Punkt Q.

Konstruktion:

Schlage um %%M%% einen Kreis mit dem Radius %%s%%. Verbinde %%M%% mit einem beliebigen Punkt auf diesem Kreis. Du erhälst den Punkt %%P%%. Schlage um %%P%% einen Kreis mit dem Radius %%\frac s2%%. Dieser schneidet %%\overline{PQ}%% in %%T%%. Der Thaleskreis um T mit dem Radius %%\frac s2%% schneidet den Kreis um %%M%% mit dem Radius %%r%% in %%Q%%.

Teilaufgabe b)

Für diese Aufgabe benötigst du den Satz des Pythagoras.

%%\begin{array}{l}r²+(\overline{PQ})²=s²\\\overline{PQ}=\sqrt{s²-r²}\\\end{array}%%

Teilaufgabe c)

Für diese Aufgabe muss du wissen, wie man die Fläche eines Dreiecks berechnet.

Die Fläche des Dreiecks %%\bigtriangleup PQM%% ist gleich der Fläche des Dreiecks %%\bigtriangleup PMR%%.

Berechne also 2 mal die Fläche des Dreiecks %%\bigtriangleup PQM%%.

%%A_{Drachenviereck}=2\cdot(\frac12\cdot\overline{PQ}\cdot r)%%

Teilaufgabe d)

Für diese Aufgabe muss du wissen, wie man sin, cos, tan berechnet.

%%\begin{array}{l}sin\varphi=\frac{Gegenkathede}{Hypothenuse}=\frac r{PQ}\\\\\cos\varphi=\frac{Ankathede}{Hypothenuse}=\frac{\overline{PQ}}s\\\\\tan\varphi=\frac{Gegenkathede}{Ankathede}=\frac r{\overline{PQ}}\end{array}%%

Eine von Gehwegen begrenzte Rasenfläche hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten acht Meter bzw. fünf Meter lang sind. Für die Rasenfläche ist ein Sandkasten in der Form eines Rechtecks vorgesehen, dessen Eckpunkte wie abgebildet auf den Seiten des Dreiecks liegen. Dieses Rechteck ist x Meter lang und a Meter breit.

a) Mithilfe des Strahlensatzes wurde eine Gleichung aufgestellt, die den Zusammenhang zwischen a und x richtig beschreibt. Kreuzen Sie diese Gleichung an. (1 BE)

b) Der Flächeninhalt des abgebildeten Rechtecks lässt sich in Abhängigkeit von x durch die Funktion A mit

%%\;A(x)=x\;\cdot\;(8\;-\frac85x)\;%% und %%\;0\leq x\leq 5%% beschreiben. Geben Sie die Nullstellen der Funktion A und mithilfe dieser Nullstellen die x-Koordinate des Scheitels der zu A gehörenden Parabel an. (2 BE)

c) Deuten Sie im Sachzusammenhang die x-Koordinate des Scheitels der zu A gehörenden Parabel. (1 BE)

Teilaufgabe a)

Für diese Aufgabe muss du den Strahlensatz kennen.

Verwende den 2. Strahlensatz.

Die Gleichung %%\frac5x=\frac8{8-a}%% beschreibt den Zusammenhang zwischen a und x richtig.

Teilaufgabe b)

Für diese Aufgabe musst du die Berechnung von Nullstellen beherrschen.

Berechne die Nullstellen von

%%\begin{array}{l}A(x)=x\cdot(8-\frac85\cdot x)\\\end{array}%% im Bereich %%0\leq x\leq5%%.

%%x\cdot(8-\frac85\cdot x)=0%%

Die Gleichung hat den Wert %%0%%, wenn einer der beiden Faktoren den Wert %%0%% hat.

%%x_{1}=0%%

%%x_{2}=5%%

Die beiden Nullstellen sind %%x_1=0%% und %%x_2=5%%.

Die x Koordinate des Scheitels ist %%x=2,5%%, da die x Koordinate des Scheitels in der Mitte der beiden Nulstellen liegt.

Teilaufgabe c)

Für diese Aufgabe musst du die Berechnung des Scheitelpunktes beherrschen.

Bringe die Funktion A in die Scheitelformel.

%%A(x)=-\frac85x²+8x%%

%%S(\;-\frac8{\displaystyle\frac{-16}5}\;\vert\;\;-\frac{64}{\displaystyle\frac{-32}5}\;)=S(2,5\vert10)%%

Der Scheitel der Parabel hat die Koordinaten %%S(2,5|10)%%.

Es soll ein Dreieck ABC gezeichnet werden, für das der Umfang %%u=a+b+c%% sowie die Winkelgrößen %%\alpha=60^\circ%% und %%\beta=80^\circ%% gegeben sind; dazu soll die abgebildete, nicht maßstabsgetreue Überlegungsfigur genutzt werden.

a) Begründen Sie, dass %%\delta=30^\circ%% gilt. (2 BE)

b) Zeichnen Sie das Dreieck ABC, wenn sein Umfang u durch die unten gezeichnete Strecke gegeben ist. Beschriften Sie Ihre Zeichnung so, dass der Lösungsweg erkennbar wird. (2 BE) Wenn du die Aufgabe mit Stift und Blatt bearbeiten möchtest dann drücke auf "gezeichnete Strecke".

gezeichnete Strecke

 gezeichnete Strecke

Teilaufgabe a)

Aus der Aufgabenstellung ist bereits bekannt, dass %%\alpha=60°%% beträgt. Mit Hilfe dieser Angabe kannst du den Winkel %%\sphericalangle CAD%% bestimmen. Wende dafür die Regel für den Nebenwinkel an.

%%\sphericalangle CAD+\alpha=180°%%

Stelle nach %%\sphericalangle CAD%% um und setze für %%\alpha=60°%% ein.

%%\sphericalangle CAD=120°%%

Das Dreieck %%\triangle ADC%% ist ein gleichschenkliges Dreieck, da die Seiten %%\overline{AC}=\overline{AD}=b%% sind. Für die Innenwinkelsumme im Dreieck %%\triangle ADC%% ergibt sich:

%%\sphericalangle DCA+\delta+ \sphericalangle CAD =180°%%

In diesem Dreieck gilt, wegen der Gleichschenkligkeit %%\sphericalangle DCA=\delta%%. Du kannst also vereinfacht schreiben:

%%2\cdot\delta+ \sphericalangle CAD =180°%%

Setze den Wert von %%\sphericalangle CAD%% ein und forme nach %%2\cdot\delta%% um.

%%2\cdot\delta =60°%% %%\;%% %%\;%% %%\;%% %%\;%% %%\;%% %%\;%% %%\;%% %%\;%% %%|:2%%

%%\delta=30°%%

Teilaufgabe b)

Betrachte zunächst das Dreieck %%\triangle BCE%%. Den Winkel %%\sphericalangle EBC%% erhältst du, wenn du den Nebenwinkel %%\beta%% zur Hilfe nimmst.

%%\sphericalangle EBC+\beta=180°%%

Stelle nach %%\sphericalangle EBC%% um und setze für %%\beta =80°%% ein.

%%\sphericalangle EBC=100°%%

Wie bei Teilaufgabe a) musst du auch hier alle Winkel im Dreieck %%\triangle BCE%% bestimmen, um das Dreieck zeichnen zu können. %%\triangle BCE%% ist wieder ein gleichschenkliges Dreieck. Wir können also wieder mit der Innenwinkelsumme für Dreiecke %%\varepsilon%% bestimmen.

%%2\cdot\varepsilon+ \sphericalangle EBC =180°%%

Setze den Wert von %%\sphericalangle EBC%% ein und forme nach %%2\cdot\varepsilon%% um.

%%2\cdot\varepsilon =80°%% %%\;%% %%\;%% %%\;%% %%\;%% %%\;%% %%\;%% %%\;%% %%\;%% %%|:2%%

%%\varepsilon =40°%%

Die unten gekennzeichnete Strecke beschreibt die Strecke %%\overline{DE}%%. Wir wollen zunächst den Punkt %%C%% konstruieren und messen deswegen, mit dem Geodreieck %%\delta%% ab.

BMT 10. Klasse 2013 Aufgabe 6 b) 1.Bild

Zeichne eine Halbgerade ab dem Punkt %%D%%.

BMT 10. Klasse 2013 Aufgabe 6 b) 2.Bild

Mache nun das Gleiche mit %%\varepsilon%%. Der Schnittpunkt beider Halbgeraden ist unser Punkt %%C%%.

BMT 10. Klasse 2013 Aufgabe 6 b) 4.Bild

Mit Hilfe des Geodreiecks kannst du jetzt den Punkt %%A%% konstruieren. Trage dazu %%30°%% von der Strecke %%\overline{DC}%% ab.

BMT 10. Klasse 2013 Aufgabe 6 b) 7.Bild

Mache das Gleiche auch für den %%40°%% Winkel bei %%\sphericalangle EBC%%.

BMT 10. Klasse 2013 Aufgabe 6 b) 9.Bild

Zeichne zuletzt noch die Winkel %%\alpha%% und %%\beta%% ein. Das Dreieck ist fertig gezeichnet.

Die Zeichnung ist nun vollständig. Du kannst dich selber kontrollieren, indem du %%\alpha%% und %%\beta%% misst. Wenn %%\alpha=60°%% und %%\beta =80°%% sind,ist deine Zeichnung richtig.

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