Aufgaben

Bestimme den maximal möglichen Definitionsbereich und berechne Nullstellen und Extrema der folgenden Funktion: %%f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^3}%%.

%%f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^3}%%

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

%%\textstyle(x-0,5)^3=0%%

Definitionslücke (0,5) ablesen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;D_f=\mathbb{R}\backslash\left\{0,5\right\}%%

%%f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^3}%%

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

%%x^2=0%%

%%x=0%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;NST=\left(0\;\left|\;0\right.\right)%%

1. Ableitung

%%f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^3}%%

Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v).

Für v wird die Kettenregel verwendet.

%%u`=2x,\;v`=3\cdot\left(x-0,5\right)^2%%

Quotientenregel anwenden.

%%f`\left(x\right)=\frac{2x\cdot\left(x-0,5\right)^3-x^2\cdot3\cdot\left(x-0,5\right)^2}{\left(x-0,5\right)^6}%%

Mit %%\left(x-0,5\right)^2%% kürzen .

            %%=\frac{2x\cdot\left(x-0,5\right)-x^2\cdot3}{\left(x-0,5\right)^4}%%

            %%=\frac{2x^2-x-3x^2}{\left(x-0,5\right)^4}%%

Zusammenfassen

            %%=\frac{-x-x^2}{\left(x-0,5\right)^4}%%

            %%=-\frac{x^2+x}{\left(x-0,5\right)^4}%%

 

2. Ableitung

%%f`\left(x\right)=-\frac{x^2+x}{\left(x-0,5\right)^4}%%

Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v).

Für v wird die Kettenregel verwendet.

%%u`=2x+1,\;v`=4\cdot\left(x-0,5\right)^3%%

Quotientenregel anwenden.

%%f``\left(x\right)=-\frac{\left(2x+1\right)\cdot\left(x-0,5\right)^4-\left(x^2+x\right)\cdot4\cdot\left(x-0,5\right)^3}{\left(x-0,5\right)^8}%%

Mit %%\left(x-0,5\right)^3%% kürzen .

             %%=-\frac{\left(2x+1\right)\cdot\left(x-0,5\right)-\left(x^2+x\right)\cdot4}{\left(x-0,5\right)^5}%%

             %%=-\frac{2x^2-x+x-0,5-4x^2-4x}{\left(x-0,5\right)^5}%%

Gleiche Elemente zusammenfassen.

             %%=\frac{2x^2+4x+0,5}{\left(x-0,5\right)^5}%%

 

x-Werte bestimmen

%%f`\left(x\right)=-\frac{x^2+x}{\left(x-0,5\right)^4}%%

Es wird nur der Zähler der ersten Ableitung gleich 0 gesetzt, da mit dem Nenner multipliziert werden kann und dieser dann wegfällt.

%%x^2+x=0%%

%%x\cdot\left(x+1\right)=0%%

x Werte ablesen.

%%x_1=-1,\;x_2=0%%

 

Art der Extrema bestimmen

%%f``\left(x\right)=\frac{2x^2+4x+0,5}{\left(x-0,5\right)^5}%%

Gefundenes %%x_1=-1%% einsetzen.

%%f``\left(-1\right)=\frac{2\cdot\left(-1\right)^2+4\cdot\left(-1\right)+0,5}{\left(\left(-1\right)-0,5\right)^5}%%

                 %%=\frac{2-4+0,5}{\left(-1,5\right)^5}%%

                 %%=\frac{-1,5}{-7,59375}\approx0,1975%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Da %%f``\left(-1\right)>0:%% Tiefpunkt

%%f``\left(x\right)=\frac{2x^2+4x+0,5}{\left(x-0,5\right)^5}%%

 Gefundenes %%x_2=0%% einsetzen.

%%f``\left(0\right)=\frac{2\cdot0^2+4\cdot0+0,5}{\left(0-0,5\right)^5}%%

             %%=\frac{0,5}{\left(-0,5\right)^5}=-16%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Da %%f``\left(0\right)<0;%% Hochpunkt

y-Wert bestimmen

 

%%f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^3}%%

 Gefundenes %%x_1=-1%% einsetzen.

%%f(-1)=\frac{\left(-1\right)^2}{(-1-0,5)^3}%%

             %%=\frac1{(-1,5)^3}=-\frac8{27}%%

Die y-Koordinate des zweiten Extremums ist bereits bekannt, da dieses zusätzlich auch eine Nullstelle ist.

%%\;\;\Rightarrow\;\;TP\left(-1\;\left|\;-\frac8{27}\right.\right),\;HP\left(0\;\left|\;0\right.\right)%%

Führe bei den folgenden Funktionen eine Kurvendiskussion durch.

(Definitionsbereich, Nullstellen, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs, Asymptoten, Extrempunkte)

Skizziere dann die Graphen.

%%f\left( x\right)=\dfrac{2 x+2}{ x^2-3 x}%%

%%f\left( x\right)=\dfrac{2 x+2}{ x^2-3 x}%%

Betrachte für den Definitionsbereich die Nullstellen des Nenners.

%%\begin{array}{rl} &x^2-3x&=0\\ \Leftrightarrow&x\left(x-3\right)&=0\\ \Leftrightarrow &x&=0\\ \vee &x&=3 \end{array}%%

Die Nullstellen von %%x%% sind also %%0%% und %%3%%. Daher ist der Defintionbereich von %%f%%:

%%\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{0;3\}%% .

%%f\left( x\right)=\dfrac{2 x+2}{ x^2-3 x}%%

Betrachte für die Nullstellen von %%f%% die Nullstellen des Zählers.

%%2x+2=0 \Leftrightarrow x=-1%%

Es gibt nur eine Nullstelle bei %%x=-1%%.

Betrachte den Grenzwert an den Rändern des Definitionsbereichs (Intervallgrenzen, Lücken, im Unendlichen).

$$\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{2x+2}{x^2-3x}= \lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{\overbrace{2+\frac{2}{x}}^{\rightarrow 2}}{\underbrace{x-3}_{ \rightarrow -\infty}}=0\\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x+2}{x^2-3x}= \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\overbrace{2+\frac{2}{x}}^{\rightarrow 2}}{\underbrace{x-3}_{ \rightarrow \infty}}=0\\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{2x+2}{x^2-3x}= \lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{\overbrace{2x+2}^{\rightarrow 2}}{\underbrace{x^2-3x}_{ \rightarrow 0^-}}=-\infty\\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^-}\frac{2x+2}{x^2-3x}= \lim_{x \rightarrow 0^-}\frac{\overbrace{2x+2}^{\rightarrow 2}}{\underbrace{x^2-3x}_{ \rightarrow 0^+}}=\infty \\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 3^+}\frac{2x+2}{x^2-3x}= \lim_{x \rightarrow 3^+}\frac{\overbrace{2x+2}^{\rightarrow 8}}{\underbrace{x^2-3x}_{ \rightarrow 0^+}}=\infty\\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 3^-}\frac{2x+2}{x^2-3x}= \lim_{x \rightarrow 3^-}\frac{\overbrace{2x+2}^{\rightarrow 8}}{\underbrace{x^2-3x}_{ \rightarrow 0^-}}=-\infty \\ \end{array}$$

Diese Grenzwerte geben dir waagerechte Tangenten bei %%x=0%% und senkrechte Tangenten bei %%y=0%% und %%y=3%%.

Extrempunkte

Leite die Funktion mit der Quotientenregel ab und setze sie gleich null.

%%\displaystyle f(x)=\frac{2x+2}{x^2-3x}%%

%%\displaystyle\begin{align} f'(x)&=\frac{2\cdot(x^2-3x)-(2x+2)(2x-3)}{(x^2-3x)^2} \end{align}%%

%%\displaystyle\begin{array}{lll} &f'(x)&=0\\ \Leftrightarrow &2\cdot(x^2-3x)-(2x+2)(2x-3) &=0\\ \Leftrightarrow &2x^2-6x-4x^2-4x+6x+6 &=0\\ \Leftrightarrow &-2x^2-4x+6&=0 \end{array}%%

%%\displaystyle \begin{align} x_{1;2}&=\frac{4\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot(-2)\cdot(6)}}{2\cdot(-2)}\\ &= \frac{4\pm \sqrt{64}}{-4}\\ \Rightarrow x_1&=\frac{12}{-4}=-3\\ \Rightarrow x_2&=\frac{-4}{-4}=1 \end{align}%%

Setze die Ergebnisse in die Funktion ein, um die ganzen Koordinaten zu erhalten.

%%\displaystyle \begin{array}{ll} f(x_1)&=\frac{2\cdot(-3)+2}{(-3)^2-3\cdot(-3)}=\frac{-4}{9+9}=-\frac{2}{9} &\Rightarrow E_1\left(-3\left|-\frac{2}{9}\right)\right.\\ f(x_2)&=\frac{2\cdot1+2}{1^2-3\cdot1}=\frac{4}{-2}=-2 &\Rightarrow E_2\left(1\left|-2\right)\right. \end{array}%%

Skizze

Plot der Funktionen mit den Ergebnissen der Kurvendiskussion

Führe bei den folgenden Funktionen eine Kurvendiskussion durch.

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

%%x^2+4=0%%

%%|{-4}%%

%%x^2=-4%%

Da diese Gleichung keine Lösungen hat, hat der Definitionsbereich der Funktion keine Lücken.

%%\Rightarrow D_f=\mathbb{R}%%  

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

%%\Rightarrow x_1=0%%

Da %%x_1=0%% im Definitionsbereich %%D_f%% enthalten ist, ist es die einzige Nullstelle des Graphen der Funktion.

1. Ableitung

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

Berechne die Ableitung von %%f%%,

z.B. mit Hilfe der Quotientenregel.

$$f^\prime(x)=\frac{(x^2+4)\cdot1-x\cdot2x}{(x^2+4)^2}=\frac{x^2+4-2x^2}{(x^2+4)^2}$$

$$=\frac{-x^2+4}{(x^2+4)^2}$$

2. Ableitung

$$f^\prime\left(x\right)=\frac{-x^2+4}{\left(x^2+4\right)^2}$$

Berechne die Ableitung von %%f^\prime%%,

z.B. mit Hilfe der Quotientenregel.

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac{(x^2+4)^2\cdot(-2x)-(-x^2+4)\cdot2(x^2+4)\cdot2x}{\left((x^2+4)^2\right)^2}$$

$$=\frac{-2x(x^2+4)^2-4x(-x^2+4)(x^2+4)}{(x^2+4)^4}$$

Im Zähler %%(x^2+4)%% ausklammern.

$$=\frac{(x^2+4)\cdot\left[-2x(x^2+4)-4x(-x^2+4)\right]}{(x^2+4)^4}$$

%%(x^2+4)%% kürzen und ausmultiplizieren.

$$=\frac{-2x^3-8x+4x^3-16x}{(x^2+4)^3}=\frac{2x^3-24x}{(x^2+4)^3}$$

$$=\frac{2x(x^2-12)}{(x^2+4)^3}$$

$$f^\prime\left(x\right)=\frac{-x^2+4}{\left(x^2+4\right)^2}$$

Bestimme die Nullstellen von %%f^\prime%% durch Nullsetzen des Zählers.

%%0=-x^2+4%%

%%\mid+x^2%%

%%x^2=4%%

%%\mid\sqrt{}%%

%%x_{2,3}=\pm\sqrt{4}%%

%%\Rightarrow x_2=2%%

%%x_3=-2%%

Extremum %%x_2=2%%

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

%%x_2%% einsetzen.

$$f(2)=\frac2{(2^2+4)}=\frac2{8}=\frac14$$

Überprüfen ob das Extremum ein Maximum oder ein Minimum ist:

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac{2x(x^2-12)}{(x^2+4)^3}$$

%%x_2%% einsetzen.

$$f^{\prime\prime}(2)=\frac{2\cdot2\cdot(2^2-12)}{(2^2+4)^3}=\frac{-32}{512}=-\frac{1}{16}$$

Da %%f^{\prime\prime}(x_2)<0%% folgt %%P_2=(2\mid\frac14)%% ist ein Maximum.

Extremum %%x_3=-2%%

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

%%x_3%% einsetzen.

$$f(-2)=\frac{-2}{\left((-2)^2+4\right)}=\frac{-2}{8}=-\frac14$$

Überprüfen ob das Extremum ein Maximum oder ein Minimum ist:

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac{2x(x^2-12)}{(x^2+4)^3}$$

%%x_3%% einsetzen.

$$f^{\prime\prime}(-2)=\frac{2\cdot(-2)\cdot\left((-2)^2-12\right)}{\left((-2)^2+4\right)^3}=\frac{32}{512}=\frac{1}{16}$$

Da %%f^{\prime\prime}(x_3)>0%% folgt %%P_3=(-2\mid-\frac14)%% ist ein Minimum.

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac{2x(x^2-12)}{(x^2+4)^3}$$

Bestimme die Nullstellen von %%f^{\prime\prime}%% durch Nullsetzen des Zählers.

%%0=2x(x^2-12)%%

Ablesen der ersten Nullstelle.

%%\Rightarrow x_4=0%%

Klammer gleich 0 setzen.

%%0=x^2-12%%

%%\mid+12%%

%%12=x^2%%

%%\mid\sqrt{}%%

%%\Rightarrow x_{5,6}=\pm\sqrt{12}=\pm2\sqrt3%%

Wendepunkt %%x_4=0%%

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

%%x_4%% einsetzen.

$$f(0)=\frac0{0^2+4}=0$$

Der erste Wendepunkt der Funktion ist %%P_4(0\mid0)%%.

Wendepunkt %%x_5=2\sqrt3%%

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

%%x_4%% einsetzen.

$$f(2\sqrt3)=\frac{2\sqrt3}{(2\sqrt3)^2+4}=\frac{2\sqrt3}{16}=\frac{\sqrt3}8$$

Der zweite Wendepunkt der Funktion ist %%P_5(2\sqrt3\mid\frac{\sqrt3}{8})%%.

Wendepunkt %%x_6=-2\sqrt3%%

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

%%x_4%% einsetzen.

$$f(-2\sqrt3)=\frac{-2\sqrt3}{(-2\sqrt3)^2+4}=\frac{-2\sqrt3}{16}=-\frac{\sqrt3}8$$

Der dritte Wendepunkt der Funktion ist %%P_6(-2\sqrt3\mid-\frac{\sqrt3}{8})%%.

%%D_f=ℝ%%

Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen  %%\pm\infty%% betrachtet werden.

Grenzwert gegen %%+\infty%%

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac x{x^2+4}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2\cdot\frac1x}{x^2\cdot(1+\frac4{x^2})}$$

%%x^2%% kürzen.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\overbrace{\frac1x}^{\rightarrow0^+}}{\underbrace{1+\frac4{x^2}}_{\rightarrow1^+}}=0^+$$

Grenzwert gegen %%-\infty%%

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac x{x^2+4}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2\cdot\frac1x}{x^2\cdot(1+\frac4{x^2})}$$

%%x^2%% kürzen.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\overbrace{\frac1x}^{\rightarrow0^-}}{\underbrace{1+\frac4{x^2}}_{\rightarrow1^-}}=0^-$$

%%\Rightarrow%% die Funktion %%f(x)%% hat die waagrechte Asymptote %%y=0%%.

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

Ersetze %%x%% durch %%-x%%.

$$f(-x)=\frac{-x}{(-x)^2+4}$$

Umformen.

$$=-\frac x{x^2+4}=-f(x)$$

%%\Rightarrow%% Da  %%f\left(-x\right)=-f\left(x\right)%% ist die Funktion Punktsymetrisch zum Ursprung.

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Monotonietabelle bestimmt.

x

%%]-\infty;-2[%%

%%-2%%

%%]-2;2[%%

%%2%%

%%]2;+\infty[%%

VZ von %%f^\prime%%

%%-%%

0

%%+%%

0

%%-%%

%%G_f%%

%%\searrow%%

TP

%%\nearrow%%

HP

%%\searrow%%

Grafik Funktion Wendepunkte Kurvendiskussion

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2+16}$$

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2+16}$$

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

%%x^2+16=0%%

%%\mid-16%%

%%x^2=-16%%

Da diese Gleichung keine Lösungen hat, hat der Definitionsbereich der Funktion keine Lücken.

%%\Rightarrow D_f=\mathbb{R}%%  

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2+16}$$

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

%%x^2=0%%

%%\Rightarrow x_1=0%%

Da %%x_1=0%% im Definitionsbereich %%D_f%% enthalten ist, ist es die einzige Nullstelle des Graphen der Funktion.

Außerdem ist %%x_1=0%% eine doppelte Nullstelle.

1. Ableitung

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2+16}$$

Berechne die Ableitung von %%f%%,

z.B. mit Hilfe der Quotientenregel.

$$f^\prime(x)=\frac{(x^2+16)\cdot2x-x^2\cdot2x}{(x^2+16)^2}=\frac{2x^3+32x-2x^3}{(x^2+16)^2}$$

$$=\frac{32x}{(x^2+16)^2}$$

2. Ableitung

$$f^\prime(x)=\frac{32x}{(x^2+16)^2}$$

Berechne die Ableitung von %%f^\prime%%,

z.B. mit Hilfe der Quotientenregel.

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac{(x^2+16)^2\cdot32-32x\cdot2(x^2+16)\cdot2x}{\left((x^2+16)^2\right)^2}$$

$$=\frac{32(x^2+16)^2-128x^2(x^2+16)}{(x^2+16)^4}$$

Im Zähler %%(x^2+16)%% ausklammern.

$$=\frac{(x^2+16)\cdot\left[32(x^2+16)-128x^2\right]}{(x^2+16)^4}$$

%%(x^2+16)%% kürzen und ausmultiplizieren.

$$=\frac{32x^2+512-128x^2}{(x^2+16)^3}$$

$$=\frac{-96x^2+512}{(x^2+16)^3}$$

$$f^\prime(x)=\frac{32x}{(x^2+16)^2}$$

Bestimme die Nullstellen von %%f^\prime%% durch Nullsetzen des Zählers.

%%0=32x%%

%%\left|{:32}\right.%%

%%x_2=0%%

Extremum %%x_2=0%%

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2+16}$$

%%x_2%% einsetzen.

$$f(0)=\frac0{0^2+16}=\frac0{16}=0$$

Überprüfen ob das Extremum ein Maximum oder ein Minimum ist:

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac{-96x^2+512}{(x^2+16)^3}$$

%%x_2%% einsetzen.

$$f^{\prime\prime}(0)=\frac{-96\cdot0^2+512}{(0^2+16)^3}=\frac{2^9}{2^{12}}=\frac18$$

Da %%f^{\prime\prime}(x_2)>0%% folgt %%P_2=(0\mid0)%% ist ein Minimum.

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac{-96x^2+512}{(x^2+16)^3}$$

Bestimme die Nullstellen von %%f^{\prime\prime}%% durch Nullsetzen des Zählers.

%%0=-96x^2+512%%

%%\left|+96x^2\right.%%

%%96x^2=512%%

%%\mid:96%%

$$x^2=\frac{512}{96}=\frac{2^9}{2^5\cdot3}=\frac{2^4}{3}$$

$$\mid\sqrt{}$$

$$\Rightarrow x_{3,4}=\pm\sqrt{\frac{2^4}3}=\pm\frac4{\sqrt3}$$

Wendepunkt %%x_3=\frac4{\sqrt3}%%

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2+16}$$

%%x_3%% einsetzen.

$$f(\frac4{\sqrt3})=\frac{\left(\frac4{\sqrt3}\right)^2}{\left(\frac4{\sqrt3}\right)^2+16}=\frac{\frac{16}3}{\frac{16}3+\frac{48}3}=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$

Der erste Wendepunkt der Funktion ist %%P_3(\frac4{\sqrt3}\mid\frac14)%%.

Wendepunkt %%x_4=-\frac4{\sqrt3}%%

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2+16}$$

%%x_4%% einsetzen.

$$f(-\frac4{\sqrt3})=\frac{\left(-\frac4{\sqrt3}\right)^2}{\left(-\frac4{\sqrt3}\right)^2+16}=\frac{\frac{16}3}{\frac{16}3+\frac{48}3}=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$

Der zweite Wendepunkt der Funktion ist %%P_4(-\frac4{\sqrt3}\mid\frac14)%%.

%%D_f=ℝ%%

Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen  %%\pm\infty%% betrachtet werden.

Grenzwert gegen %%+\infty%%

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2+16}$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{x^2+16}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{x^2\cdot(1+\frac{16}{x^2})}$$

%%x^2%% kürzen.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac1{\underbrace{1+\frac{16}{x^2}}_{\rightarrow1^+}}=1^-$$

Grenzwert gegen %%-\infty%%

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2+16}$$

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2}{x^2+16}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2}{x^2\cdot(1+\frac{16}{x^2})}$$

%%x^2%% kürzen.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac1{\underbrace{1+\frac{16}{x^2}}_{\rightarrow1^+}}=1^-$$

%%\Rightarrow%% die Funktion %%f(x)%% hat die waagrechte Asymptote %%y=1%%.

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2+16}$$

Ersetze %%x%% durch %%-x%%.

$$f(-x)=\frac{(-x)^2}{(-x)^2+16}$$

Umformen.

$$=\frac{x^2}{x^2+16}=f(x)$$

%%\Rightarrow%% Da %%f\left(-x\right)=f\left(x\right)%% ist die Funktion Achsensymmetrisch zur y-Achse.

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Monotonietabelle bestimmt.

x

%%]-\infty;0[%%

%%0%%

%%]0;+\infty[%%

VZ von %%f^\prime%%

%%-%%

0

%%+%%

%%G_f%%

%%\searrow%%

TP

%%\nearrow%%

Graph Funktion Kurvendiskussion Wendepunkt Nullstelle

$$f(x)=\frac x{x^2-4}$$

$$f(x)=\frac x{x^2-4}$$

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

%%x^2-4=0%%

%%\left|{+4}\right.%%

%%x^2=4%%

%%\mid\sqrt{}%%

%%x_{1,2}=\pm2%%

%%\Rightarrow D_f=\mathbb{R}\backslash\{-2;2\}%%  

$$f(x)=\frac x{x^2-4}$$

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

%%\Rightarrow x_3=0%%

Da %%x_3=0%% im Definitionsbereich %%D_f%% enthalten ist, ist es die einzige Nullstelle des Graphen der Funktion.

1. Ableitung

$$f(x)=\frac x{x^2-4}$$

Berechne die Ableitung von %%f%%,

z.B. mit Hilfe der Quotientenregel.

$$f^\prime(x)=\frac{(x^2-4)\cdot1-x\cdot2x}{(x^2-4)^2}=\frac{x^2-4-2x^2}{(x^2-4)^2}$$

$$=-\frac{x^2+4}{(x^2-4)^2}$$

2. Ableitung

$$f^\prime(x)=-\frac{x^2+4}{(x^2-4)^2}$$

Berechne die Ableitung von %%f^\prime%%,

z.B. mit Hilfe der Quotientenregel.

$$f^{\prime\prime}(x)=-\frac{(x^2-4)^2\cdot2x-(x^2+4)\cdot2(x^2-4)\cdot2x}{\left((x^2-4)^2\right)^2}$$

$$=-\frac{2x(x^2-4)^2-4x(x^2+4)(x^2-4)}{(x^2-4)^4}$$

Im Zähler %%(x^2-4)%% ausklammern.

$$=-\frac{(x^2-4)\cdot\left[2x(x^2-4)-4x(x^2+4)\right]}{(x^2-4)^4}$$

%%(x^2-4)%% kürzen und ausmultiplizieren.

$$=-\frac{2x^3-8x-4x^3-16x}{(x^2-4)^3}=-\frac{-2x^3-24x}{(x^2-4)^3}$$

$$=\frac{2x(x^2+12)}{(x^2-4)^3}$$

$$f^\prime(x)=-\frac{x^2+4}{(x^2-4)^2}$$

Bestimme die Nullstellen von %%f^\prime%% durch Nullsetzen des Zählers.

%%0=x^2+4%%

%%\mid-4%%

%%-4=x^2%%

%%-4=x^2%%

%%\Rightarrow%% Da diese Gleichung keine Lösungen hat, hat die Funktion keine Extrema.

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac{2x(x^2+12)}{(x^2-4)^3}$$

Bestimme die Nullstellen von %%f^{\prime\prime}%% durch Nullsetzen des Zählers.

%%0=2x(x^2-12)%%

Ablesen der ersten Nullstelle.

%%\Rightarrow x_4=0%%

Klammer gleich 0 setzen.

%%x^2+12=0%%

%%\mid-12%%

%%x^2=-12%%

%%\Rightarrow%% Da diese Gleichung keine Lösungen hat, hat die Funktion nur den Wendepunkt %%x_4=0%%.

Wendepunkt %%x_4=0%%

$$f(x)=\frac x{x^2-4}$$

%%x_4%% einsetzen.

$$f(0)=\frac0{0^2-4}=0$$

Der erste Wendepunkt der Funktion ist %%P_4(0\mid0)%%.

%%D_f=\mathbb{R}\backslash\{-2;2\}%%

Da die Funktion zwei Definitionslücken hat, muss man das Verhalten gegen  %%\pm2%% und %%\pm\infty%% betrachten.

Grenzwert gegen %%+\infty%%

$$f(x)=\frac x{x^2-4}$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{x^2-4}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2\cdot\frac1x}{x^2\cdot(1-\frac4{x^2})}$$

%%x^2%% kürzen.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\overbrace{\frac1x}^{\rightarrow0^+}}{\underbrace{1-\frac4{x^2}}_{\rightarrow1^-}}=0^+$$

Grenzwert gegen %%-\infty%%

$$f(x)=\frac x{x^2-4}$$

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x}{x^2-4}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2\cdot\frac1x}{x^2\cdot(1-\frac4{x^2})}$$

%%x^2%% kürzen.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\overbrace{\frac1x}^{\rightarrow0^-}}{\underbrace{1-\frac4{x^2}}_{\rightarrow1^-}}=0^-$$

%%\Rightarrow%% die Funktion %%f(x)%% hat die waagrechte Asymptote %%y=0%%.

Grenzwert gegen %%-2%%

$$f(x)=\frac x{x^2-4}$$

Grenzwert gegen %%-2%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow(-2)^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow(-2)^-}\frac x{x^2-4}=\lim_{x\rightarrow(-2)^-}\frac{\overbrace{x}^{\rightarrow(-2)^-}}{\underbrace{x^2-4}_{\rightarrow0^+}}=-\infty$$

Grenzwert von rechts:

$$\lim_{x\rightarrow(-2)^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow(-2)^+}\frac x{x^2-4}=\lim_{x\rightarrow(-2)^+}\frac{\overbrace{x}^{\rightarrow(-2)^+}}{\underbrace{x^2-4}_{\rightarrow0^-}}=+\infty$$

%%\Rightarrow%% die Funktion %%f(x)%% hat die senkrechte Asymptote %%x=-2%%.

Grenzwert gegen %%2%%

$$f(x)=\frac x{x^2-4}$$

Grenzwert gegen %%2%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow2^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow2^-}\frac x{x^2-4}=\lim_{x\rightarrow2^-}\frac{\overbrace{x}^{\rightarrow2^-}}{\underbrace{x^2-4}_{\rightarrow0^-}}=-\infty$$

Grenzwert von rechts:

$$\lim_{x\rightarrow2^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow2^+}\frac x{x^2-4}=\lim_{x\rightarrow2^+}\frac{\overbrace{x}^{\rightarrow2^+}}{\underbrace{x^2-4}_{\rightarrow0^+}}=+\infty$$

%%\Rightarrow%% die Funktion %%f(x)%% hat die senkrechte Asymptote %%x=2%%.

$$f(x)=\frac x{x^2-4}$$

Ersetze %%x%% durch %%-x%%.

$$f(-x)=\frac{-x}{(-x)^2-4}$$

Umformen.

$$=-\frac x{x^2-4}=-f(x)$$

%%\Rightarrow%% Da  %%f\left(-x\right)=-f\left(x\right)%% ist die Funktion Punktsymetrisch zum Ursprung.

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Monotonietabelle bestimmt.

x

%%]-\infty;-2[%%

%%-2%%

%%]-2;2[%%

%%2%%

%%]2;+\infty[%%

VZ von %%f^\prime%%

%%-%%

Def.-lücke

%%-%%

Def.-lücke

%%-%%

%%G_f%%

%%\searrow%%

%%\searrow%%

%%\searrow%%

Graph Funktion Kurvendiskussion Hyperbel Nullstelle

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2-16}$$

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2-16}$$

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

%%x^2-16=0%%

%%\left|{+16}\right.%%

%%x^2=16%%

%%\mid\sqrt{}%%

%%x_{1,2}=\pm4%%

%%\Rightarrow D_f=\mathbb{R}\backslash\{-4;4\}%%

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2-16}$$

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

%%x^2=0%%

%%\Rightarrow x_3=0%%

Da %%x_3=0%% im Definitionsbereich %%D_f%% enthalten ist, ist es die einzige Nullstelle des Graphen der Funktion.

Außerdem ist %%x_3=0%% eine doppelte Nullstelle.

1. Ableitung

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2-16}$$

Berechne die Ableitung von %%f%%,

z.B. mit Hilfe der Quotientenregel.

$$f^\prime(x)=\frac{(x^2-16)\cdot2x-x^2\cdot2x}{(x^2-16)^2}=\frac{2x^3-32x-2x^3}{(x^2-16)^2}$$

$$=-\frac{32x}{(x^2-16)^2}$$

2. Ableitung

$$f^\prime(x)=-\frac{32x}{(x^2-16)^2}$$

Berechne die Ableitung von %%f^\prime%%,

z.B. mit Hilfe der Quotientenregel.

$$f^{\prime\prime}(x)=-\frac{(x^2-16)^2\cdot32-32x\cdot2(x^2-16)\cdot2x}{\left((x^2-16)^2\right)^2}$$

$$=-\frac{32(x^2-16)^2-128x^2(x^2-16)}{(x^2-16)^4}$$

Im Zähler %%(x^2-16)%% ausklammern.

$$=-\frac{(x^2-16)\cdot\left[32(x^2-16)-128x^2\right]}{(x^2-16)^4}$$

%%(x^2-16)%% kürzen und ausmultiplizieren.

$$=-\frac{32x^2-512-128x^2}{(x^2-16)^3}=\frac{96x^2+512}{(x^2-16)^3}$$

$$=\frac{32(3x^2+16)}{(x^2-16)^3}$$

$$f^\prime(x)=-\frac{32x}{(x^2-16)^2}$$

Bestimme die Nullstellen von %%f^\prime%% durch Nullsetzen des Zählers.

%%32x=0%%

%%\mid:32%%

%%x_4=0%%

%%\left|:32\right.%%

Extremum %%x_4=0%%

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2-16}$$

%%x_4%% einsetzen.

$$f(0)=\frac{0^2}{0^2-16}=0$$

Überprüfen ob das Extremum ein Maximum oder ein Minimum ist:

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac{32(3x^2+16)}{(x^2-16)^3}$$

%%x_4%% einsetzen.

$$f^{\prime\prime}(0)=\frac{32(3\cdot0^2+16)}{(0^2-16)^3}=\frac{32\cdot16}{(-16)^3}=-\frac18$$

Da %%f^{\prime\prime}(x_4)<0%% folgt %%P_4=(0\mid0)%% ist ein Maximum.

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac{32(3x^2+16)}{(x^2-16)^3}$$

Bestimme die Nullstellen von %%f^{\prime\prime}%% durch Nullsetzen des Zählers.

%%32(3x^2+16)=0%%

%%\mid:32%%

%%3x^2+16=0%%

%%\mid-16%%

%%3x^2=-16%%

Da diese Gleichung keine Lösungen hat, hat die Funktion %%f(x)%% keine Wendepunkte.

%%D_f=\mathbb{R}\backslash\left\{-4;4\right\}%%

Da die Funktion zwei Definitionslücken hat, muss man das Verhalten gegen %%\pm4%% und %%\pm\infty%% betrachten.

Grenzwert gegen %%+\infty%%

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2-16}$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{x^2-16}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{x^2\cdot(1-\frac{16}{x^2})}$$

%%x^2%% kürzen.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{\underbrace{1-\frac{16}{x^2}}_{\rightarrow1^-}}=1^+$$

Grenzwert gegen %%-\infty%%

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2-16}$$

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2}{x^2-16}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2}{x^2\cdot(1-\frac{16}{x^2})}$$

%%x^2%% kürzen.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{\underbrace{1-\frac{16}{x^2}}_{\rightarrow1^-}}=1^+$$

%%\Rightarrow%% Die Funktion %%f(x)%% hat die waagrechte Asymptote %%y=1%%.

Grenzwert gegen %%-4%%

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2-16}$$

Grenzwert gegen %%-4%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow(-4)^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow(-4)^-}\frac{x^2}{x^2-16}=\lim_{x\rightarrow(-4)^-}\frac{\overbrace{x^2}^{\rightarrow16^+}}{\underbrace{x^2-16}_{\rightarrow0^+}}=+\infty$$

Grenzwert von rechts:

$$\lim_{x\rightarrow(-4)^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow(-4)^+}\frac{x^2}{x^2-16}=\lim_{x\rightarrow(-4)^+}\frac{\overbrace{x^2}^{\rightarrow16^-}}{\underbrace{x^2-16}_{\rightarrow0^-}}=-\infty$$

%%\Rightarrow%% Die Funktion %%f(x)%% hat die senkrechte Asymptote %%x=-4%%.

Grenzwert gegen %%4%%

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2-16}$$

Grenzwert gegen %%4%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow4^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow4^-}\frac{x^2}{x^2-16}=\lim_{x\rightarrow4^-}\frac{\overbrace{x^2}^{\rightarrow16^-}}{\underbrace{x^2-16}_{\rightarrow0^-}}=-\infty$$

Grenzwert von rechts:

$$\lim_{x\rightarrow4^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow4^+}\frac{x^2}{x^2-16}=\lim_{x\rightarrow4^+}\frac{\overbrace{x^2}^{\rightarrow16^+}}{\underbrace{x^2-16}_{\rightarrow0^+}}=+\infty$$

%%\Rightarrow%% Die Funktion %%f(x)%% hat die senkrechte Asymptote %%x=4%%.

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2-16}$$

Ersetze %%x%% durch %%-x%%.

$$f(-x)=\frac{(-x)^2}{(-x)^2-16}$$

Umformen.

$$=\frac{x^2}{x^2-16}=f(x)$$

%%\Rightarrow%% Da  %%f\left(-x\right)=f\left(x\right)%% ist die Funktion Achsensymmetrisch zur y-Achse.

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Monotonietabelle bestimmt.

x

%%]-\infty;-4[%%

%%-4%%

%%]-4;0[%%

%%0%%

%%]0;4[%%

%%4%%

%%]4;+\infty[%%

VZ von %%f^\prime%%

%%+%%

Def.-lücke

%%+%%

0

%%-%%

Def.-lücke

%%-%%

%%G_f%%

%%\nearrow%%

%%\nearrow%%

HP

%%\searrow%%

%%\searrow%%

Graph Funktion Kurvendiskussion Hyperbel Nullstelle

$$f(x)=\frac{2x^2}{2x-1}$$

$$f(x)=\frac{2x^2}{2x-1}$$

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

%%2x-1=0%%

%%\mid+1%%

%%2x=1%%

%%\mid:2%%

%%x=\frac12%%

$$\Rightarrow D_f=\mathbb{R}\backslash\left\{\frac12\right\}$$

$$f(x)=\frac{2x^2}{2x-1}$$

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

%%2x^2=0%%

%%\mid:2%%

%%x^2=0%%

%%\mid\sqrt{}%%

%%\Rightarrow x_1=0%%

Da %%x_1=0%% im Definitionsbereich %%D_f%% enthalten ist, ist es die einzige Nullstelle des Graphen der Funktion.

Außerdem ist %%x_1=0%% eine doppelte Nullstelle des Graphen der Funktion %%f%%.

1. Ableitung

$$f(x)=\frac{2x^2}{2x-1}$$

Berechne die Ableitung von %%f%%,

z.B. mit Hilfe der Quotientenregel.

$$f^\prime(x)=\frac{(2x-1)\cdot4x-2x^2\cdot2}{(2x-1)^2}=\frac{8x^2-4x-4x^2}{(2x-1)^2}$$

$$=\frac{4x^2-4x}{(2x-1)^2}$$

2. Ableitung

$$f^\prime(x)=\frac{4x^2-4x}{(2x-1)^2}$$

Berechne die Ableitung von %%f^\prime%%,

z.B. mit Hilfe der Quotientenregel.

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac{(2x-1)^2\cdot(8x-4)-(4x^2-4x)\cdot2(2x-1)\cdot2}{\left((2x-1)^2\right)^2}$$

$$=\frac{(2x-1)^2\cdot(8x-4)-(2x-1)\cdot4(4x^2-4x)}{(2x-1)^4}$$

Im Zähler %%(2x-1)%% ausklammern.

$$=\frac{(2x-1)\cdot\left[(2x-1)\cdot(8x-4)-(16x^4-16x)\right]}{(2x-1)^4}$$

%%(2x-1)%% kürzen und ausmultiplizieren.

$$=\frac{16x^2-8x-8x+4-16x^2+16x}{(2x-1)^3}$$

$$=\frac4{(2x-1)^3}$$

$$f^\prime(x)=\frac{4x^2-4x}{(2x-1)^2}$$

Bestimme die Nullstellen von %%f^\prime%% durch Nullsetzen des Zählers.

%%4x^2-4x=0%%

Ausklammern von %%4x%%.

%%4x(x-1)=0%%

%%\mid:4%%

%%x(x-1)=0%%

%%\Rightarrow x_2=0%%

%%x_3=1%%

Extremum %%x_2=0%%

$$f(x)=\frac{2x^2}{2x-1}$$

%%x_2%% einsetzen.

$$f(0)=\frac{2\cdot0^2}{2\cdot 0-1}=\frac{0}{-1}=0$$

Überprüfen ob das Extremum ein Maximum oder ein Minimum ist:

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac4{(2x-1)^3}$$

%%x_2%% einsetzen.

$$f^{\prime\prime}(0)=\frac4{(2\cdot0-1)^3}=\frac4{-1}=-4$$

Da %%f^{\prime\prime}(x_2)<0%% folgt %%P_2=(0\mid-4)%% ist ein Maximum.

Extremum %%x_3=1%%

$$f(x)=\frac{2x^2}{2x-1}$$

%%x_3%% einsetzen.

$$f(1)=\frac{2\cdot1^2}{2\cdot1-1}=\frac{2}{1}=2$$

Überprüfen ob das Extremum ein Maximum oder ein Minimum ist:

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac4{(2x-1)^3}$$

%%x_3%% einsetzen.

$$f^{\prime\prime}(1)=\frac4{(2\cdot1-1)^3}=\frac4{1}=4$$

Da %%f^{\prime\prime}(x_3)>0%% folgt %%P_3=(1\mid2)%% ist ein Minimum.

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac4{(2x-1)^3}$$

Bestimme die Nullstellen von %%f^{\prime\prime}%% durch Nullsetzen des Zählers.

$$\Rightarrow 4=0$$

%%f^{\prime\prime}(x)%% besitzt also keine Nullstellen, also gibt es keine Wendepunkte.

$$\Rightarrow D_f=\mathbb{R}\backslash\left\{\frac12\right\}$$

Da die Funktion eine Definitionslücke hat, muss man das Verhalten gegen %%\frac12%% und %%\pm\infty%% betrachten.

Grenzwert gegen %%+\infty%%

$$f(x)=\frac{2x^2}{2x-1}$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x^2}{2x-1}$$

Da der Zählergrad um eins größer ist als der Nennergrad existiert eine schräge Asymptote.

Man klammer also die größte Potenz im Nenner aus.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x^2}{x\cdot(2-\frac1x)}$$

%%x%% kürzen.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x}{\underbrace{2-\frac1x}_{\rightarrow2^-}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}x$$

Grenzwert gegen %%-\infty%%

$$f(x)=\frac{2x^2}{2x-1}$$

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x^2}{2x-1}$$

Da der Zählergrad um eins größer ist als der Nennergrad existiert eine schräge Asymptote.

Man klammer also die größte Potenz im Nenner aus.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x^2}{x\cdot(2-\frac1x)}$$

%%x%% kürzen.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x}{\underbrace{2-\frac1x}_{\rightarrow2^+}}=\lim_{x\rightarrow-\infty}x$$

%%\Rightarrow%% Die Funktion %%f(x)%% hat die schräge Asymptote %%y=x%%.

Grenzwert gegen %%\frac12%%

$$f(x)=\frac{2x^2}{2x-1}$$

Grenzwert gegen %%\frac12%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow0,5^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow0,5^-}\frac{2x^2}{2x-1}=\frac{\overbrace{2x^2}^{\rightarrow0,5^-}}{\underbrace{2x-1}_{\rightarrow0^-}}=-\infty$$

Grenzwert von rechts:

$$\lim_{x\rightarrow0,5^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow0,5^+}\frac{2x^2}{2x-1}=\frac{\overbrace{2x^2}^{\rightarrow0,5^+}}{\underbrace{2x-1}_{\rightarrow0^+}}=+\infty$$

%%\Rightarrow%% Die Funktion %%f(x)%% hat die senkrechte Asymptote %%x=\frac12%%.

$$f(x)=\frac{2x^2}{2x-1}$$

Ersetze %%x%% durch %%-x%%.

$$f(-x)=\frac{2(-x)^2}{2(-x)-1}$$

Umformen.

$$=\frac{2x^2}{-2x-1}$$

%%\Rightarrow%% Da %%f(-x)%% weder %%-f(x)%% noch %%f(x)%% ist, ist die Funktion weder Punktsymetrisch zum Ursprung noch Achsensymetrisch zur y-Achse.

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Monotonietabelle bestimmt.

x

%%(-\infty,0)%%

%%0%%

%%(0,\frac12)%%

%%\frac12%%

%%(\frac12,1)%%

%%1%%

%%(1,\infty)%%

VZ von f'(x)

%%+%%

%%0%%

%%-%%

%%Defl.%%

%%-%%

%%0%%

%%+%%

%%G_f%%

%%\nearrow%%

%%HP%%

%%\searrow%%

%%-%%

%%\searrow%%

%%TP%%

%%\nearrow%%

Gezeichnet sieht der Graph dann so aus:

Graph Funktion Kurvendiskussion Hyperbel

$$f(x)=\frac{x^3}{2(x^2-1)}$$

%%f(x)=\dfrac{x^3}{2(x^2-1)}%%

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

%%2\cdot\left(x^2-1\right)=%%

Definitionslücken (1, -1) ablesen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;D_f=\mathbb{R}\backslash\left\{-1,\;1\right\}%%

%%f(x)=\frac{x^3}{2(x^2-1)}%%

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

%%x^3=0%%

%%\sqrt[3]\;%% ziehen .

   %%x=0%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;NST=\left(0\left|0\right.\right)%%

1. Ableitung

%%f(x)=\frac{x^3}{2(x^2-1)}%%

Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v).

%%u`=3x^2,\;v`=4x%%

Quotientenregel anwenden.

%%f`\left(x\right)=\frac{3x^2\cdot2\cdot\left(x^2-1\right)-x^3\cdot4x}{\left(2x^2-2\right)^2}%%

Zähler ausmultiplizieren.

           %%=\frac{6x^4-6x^2-4x^4}{\left(2x^2-2\right)^2}%%

Gleiche Elemente zusammenfassen.

           %%=\frac{2x^4-6x^2}{\left(2x^2-2\right)^2}%%

2. Ableitung

%%f`\left(x\right)=\frac{2x^4-6x^2}{\left(2x^2-2\right)^2}%%

Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v).

Für v wird die Kettenregel verwendet.

%%u`=8x^3-12x,%%

%%v`=2\cdot\left(2x^2-2\right)\cdot4x%%

Quotientenregel anwenden.

%%f``\left(x\right)=\frac{\left(8x^3-12x\right)\cdot\left(2x^2-2\right)^2-\left(2x^4-6x^2\right)\cdot2\cdot\left(2x^2-2\right)\cdot4x}{\left(2x^2-2\right)^4}%%

Mit %%\left(2x^2-2\right)%% kürzen .

             %%=\frac{\left(8x^3-12x\right)\cdot\left(2x^2-2\right)-\left(2x^4-6x^2\right)\cdot2\cdot4x}{\left(2x^2-2\right)^3}%%

Zähler ausmultiplizieren.

%%=\frac{(16x^5-16x^3-24x^3+24x)-(16x^5-48x^3)}{\left(2x^2-2\right)^3}%%

Klammern im Zähler auflösen.

             %%=\frac{16x^5-16x^3-24x^3+24x-16x^5+48x^3}{\left(2x^2-2\right)^3}%%

Gleiche Elemente zusammenfassen.

             %%=\frac{8x^3+24x}{\left(2x^2-2\right)^3}%%

x-Wert bestimmen

%%f`\left(x\right)=\frac{2x^4-6x^2}{\left(2x^2-2\right)^2}%%

Es wird nur der Zähler der ersten Ableitung gleich 0 gesetzt, da mit dem Nenner multipliziert werden kann und dieser dann wegfällt.

%%2x^4-6x^2=0%%

%%2x^2%% ausklammern .

%%2x^2\cdot\left(x^2-3\right)=0%%

Die beiden x-Werte lassen sich ablesen.

%%x_1=-\sqrt3,\;x_2=0,\;x_3=\sqrt3%%

 

Art der Extrema bestimmen

%%f``\left(x\right)=\frac{8x^3+24x}{\left(2x^2-2\right)^3}%%

Gefundenes %%x_1=-\sqrt3%% einsetzen.

%%f``\left(-\sqrt3\right)=\frac{8\left(-\sqrt3\right)^3+24\cdot\left(-\sqrt3\right)}{\left(2\left(-\sqrt3\right)^2-2\right)^3}\approx-1,299%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Da %%f``\left(-\sqrt3\right)

%%f``\left(x\right)=\frac{8x^3+24x}{\left(2x^2-2\right)^3}%%

Gefundenes %%x_2=0%% einsetzen.

%%f``\left(0\right)=\frac{8\left(0\right)^3+24\cdot\left(0\right)}{\left(2\left(0\right)^2-2\right)^3}=0%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Da %%f``\left(0\right)=0%% : Wendepunkt (Sattelpunkt).

%%f``\left(x\right)=\frac{8x^3+24x}{\left(2x^2-2\right)^3}%%

Gefundenes  %%x_3=+\sqrt3%% einsetzen.

%%f``\left(\sqrt3\right)=\frac{8\left(\sqrt3\right)^3+24\cdot\left(\sqrt3\right)}{\left(2\left(\sqrt3\right)^2-2\right)^3}\approx1,299%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Da %%f``\left(\sqrt3\right)>0%% : Tiefpunkt

y-Werte bestimmen

%%f(x)=\frac{x^3}{2(x^2-1)}%%

Gefundenes %%x_1=-\sqrt3%% einsetzen.

%%f(-\sqrt3)=\frac{(-\sqrt3)^3}{2((-\sqrt3)^2-1)}=-\frac{3\sqrt3}4%%

%%f(x)=\frac{x^3}{2(x^2-1)}%%

Gefundenes %%x_3=\sqrt3%% einsetzen.

%%f(\sqrt3)=\frac{(\sqrt3)^3}{2((\sqrt3)^2-1)}=\frac{3\sqrt3}4%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;HP\left(-\sqrt3\left|-\frac{3\sqrt3}4\right.\right),\;TP\left(\sqrt3\left|\frac{3\sqrt3}4\right.\right)%%

%%f``\left(x\right)=\frac{8x^3+24x}{\left(2x^2-2\right)^3}%%

Es wird nur der Zähler der ersten Ableitung gleich 0 gesetzt, da mit dem Nenner multipliziert werden kann und dieser dann wegfällt.

%%8x^3+24x=0%%

%%8x\left(x^2+3\right)=0%%

Das innere der Klammer wird nie Null.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Der einzige Wendepunkt ist der schon bei den Extrema gefundene Punkt und Nullstelle (0|0).

%%D_f=\mathbb{R}\backslash\left\{-1,\;1\right\}%%

Betrachtet werden muss das Verhalten an den Definitionslücken sowie gegen %%\pm\infty%% .

 

Grenzwert bei -1

%%f(x)=\frac{x^3}{2(x^2-1)}%%

Annäherung von links.

%%\lim_{x\rightarrow-1^-}\frac{x^3}{2(x^2-1)}=%%

%%=\lim_{x\rightarrow-1^-}\frac{\overbrace{x^3}^{\rightarrow-1}}{\underbrace{2(\underbrace{x^2}_{\rightarrow1^+}-1)}_{\rightarrow0^+}}=-\infty%%

Annäherung von rechts.

%%\lim_{x\rightarrow-1^+}\frac{x^3}{2(x^2-1)}=%%

%%=\lim_{x\rightarrow-1^+}\frac{\overbrace{x^3}^{\rightarrow-1}}{\underbrace{2(\underbrace{x^2}_{\rightarrow1^-}-1)}_{\rightarrow0^-}}=+\infty%%

Grenzwert bei 1

%%f(x)=\frac{x^3}{2(x^2-1)}%%

Annäherung von links.

%%\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{x^3}{2(x^2-1)}=%%

%%=\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{\overbrace{x^3}^{\rightarrow1}}{\underbrace{2(\underbrace{x^2}_{\rightarrow1^-}-1)}_{\rightarrow0^-}}=-\infty%%

Annäherung von rechts.

%%\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{x^3}{2(x^2-1)}=%%

%%=\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{\overbrace{x^3}^{\rightarrow1}}{\underbrace{2(\underbrace{x^2}_{\rightarrow1^+}-1)}_{\rightarrow0^+}}=+\infty%%

Grenzwert gegen %%-\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^3}{2x^2-2}=%%

%%=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\overbrace{x^3}^{\rightarrow-\infty}}{\underbrace{2x^2-2}_{\rightarrow+\infty}}=%%

Satz von l'Hospital anwenden.

%%=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\overbrace{3x^2}^{\rightarrow+\infty}}{\underbrace{4x}_{\rightarrow-\infty}}=%%

Satz von l'Hospital anwenden.

%%=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\overbrace{6x}^{\rightarrow-\infty}}4=-\infty%%

Grenzwert gegen %%+\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^3}{2x^2-2}=%%

%%=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\overbrace{x^3}^{\rightarrow+\infty}}{\underbrace{2x^2-2}_{\rightarrow+\infty}}=%%

Satz von l'Hospital anwenden.

%%=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\overbrace{3x^2}^{\rightarrow+\infty}}{\underbrace{4x}_{\rightarrow+\infty}}=%%

Satz von l'Hospital anwenden.

%%=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\overbrace{6x}^{\rightarrow+\infty}}4=+\infty%%

 

%%f(x)=\frac{x^3}{2(x^2-1)}%%

Setze -x für x ein.

%%f(-x)=\frac{\left(-x\right)^3}{2(\left(-x\right)^2-1)}%%

%%\left(-x\right)^2=x^2%% , -1 aus der Potenz ziehen.

             %%=\frac{\left(-1\right)^3\cdot x^3}{2(x^2-1)}%%

             %%=-\frac{x^3}{2(x^2-1)}=-f\left(x\right)%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Da %%f\left(-x\right)=-f\left(x\right)%% ist, ist die Funktion Punktsymmetrisch zum Ursprung .

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.

x

(%%-\infty,-\sqrt{3}%%)

%%-\sqrt{3}%%

(%%-\sqrt{3},-1)%%

%%-1%%

VZ von f'(x)

%%+%%

%%0%%

%%-%%

Definitionslücke

%%G_f%%

%%\nearrow%%

%%HP%%

%%\searrow%%

%%-%%

--

x

%%(-1,0)%%

%%0%%

%%(0,1)%%

%%1%%

%%(1,\sqrt{3})%%

VZ von f'(x)

%%-%%

%%0%%

%%-%%

Definitionslücke

%%-%%

%%G-f%%

%%\searrow%%

%%WP%%

%%\searrow%%

%%-%%

%%\searrow%%

--

x

%%\sqrt{3}%%

%%(\sqrt{3},\infty)%%

Vz von f'(x)

%%0%%

%%+%%

%%G_f%%

%%WP%%

%%\nearrow%%

Der Graph sieht dann so aus:

Graph Funktion Kurvendiskussion Nullstelle Hyperbel Wendepunkt

$$f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^2}$$

%%f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^2}%%

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

%%\left(x-0,5\right)^2=0%%

Definitionslücke (0,5) ablesen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;D_f=\mathbb{R}\backslash\left\{0,5\right\}%%

 

%%f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^2}%%

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

%%x^2=0%%

%%x=0%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;NST\left(0\;\left|\;0\right.\right)%%

1. Ableitung

%%f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^2}%%

Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v).

Für v wird die Kettenregel verwendet.

%%u`=2x,\;v`=2\cdot\left(x-0,5\right)%%

Quotientenregel anwenden.

%%f`\left(x\right)=\frac{2x\cdot\left(x-0,5\right)^2-x^2\cdot2\cdot\left(x-0,5\right)}{\left(x-0,5\right)^4}%%

Mit %%\left(x-0,5\right)%% kürzen .

            %%=\frac{2x\cdot\left(x-0,5\right)-x^2\cdot2}{\left(x-0,5\right)^3}%%

%%=\frac{2x^2-x-2x^2}{\left(x-0,5\right)^3}%%

Gleiche Elemente zusammenfassen.

%%=-\frac x{\left(x-0,5\right)^3}%%

 

2. Ableitung

%%f`\left(x\right)=-\frac x{\left(x-0,5\right)^3}%%

Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v).

Für v wird die Kettenregel verwendet.

%%u`=1,\;v`=3\cdot\left(x-0,5\right)^2%%

Quotientenregel anwenden.

%%f``\left(x\right)=-\frac{1\cdot\left(x-0,5\right)^3-x\cdot3\cdot\left(x-0,5\right)^2}{\left(x-0,5\right)^6}%%

Mit %%\left(x-0,5\right)^2%% kürzen .

             %%=-\frac{\left(x-0,5\right)-x\cdot3}{\left(x-0,5\right)^4}%%

Gleiche Elemente zusammenfassen.

             %%=-\frac{-2x-0,5}{\left(x-0,5\right)^4}%%

             %%=\frac{2x+0,5}{\left(x-0,5\right)^4}%%

 

x-Werte bestimmen

%%f`\left(x\right)=-\frac x{\left(x-0,5\right)^3}%%

Es wird nur der Zähler der ersten Ableitung gleich 0 gesetzt, da mit dem Nenner multipliziert werden kann und dieser dann wegfällt.

%%x=0%%

 

Art des Extremums bestimmen

%%f``\left(x\right)=\frac{2x+0,5}{\left(x-0,5\right)^4}%%

Gefundenes x=0 einsetzen.

%%f``\left(0\right)=\frac{2\cdot0+0,5}{\left(0-0,5\right)^4}%%

            %%=\frac{0,5}{0,5^4}=0,125%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Da %%f``\left(0\right)>0:%% Tiefpunkt

y-Wert bestimmen

Da der Tiefpunkt eine Nullstelle ist, ist deren y-Koordinate bereits bekannt.

%%\;\;\Rightarrow\;\;TP\left(0\;\left|\;0\right.\right)%%

 

x-Werte bestimmen

%%f``\left(x\right)=\frac{2x+0,5}{\left(x-0,5\right)^4}%%

Es wird nur der Zähler der ersten  Ableitung gleich 0 gesetzt, da mit dem Nenner multipliziert werden kann und dieser dann wegfällt.

%%2x+0,5=0%%

%%\left|-0,5\right.%%

           %%2x=-0,5%%

             %%x=-0,25%%

y-Wert bestimmen

%%f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^2}%%

Gefundenes %%x=-0,25%% einsetzen.

%%f(-0,25)=\frac{(-0,25)^2}{((-0,25)-0,5)^2}%%

Alle Dezimalzahlen als Brüche schreiben.

%%\hphantom{////////}=\dfrac{-\frac14}{(-\frac14-\frac12)^2}%%

Im Zähler Potenz ausmultiplizieren, im Nenner Brüche subtrahieren .

                   %%\hphantom{}=\frac{\displaystyle\frac1{16}}{\left(-\displaystyle\frac34\right)^2}%%

Potenz ausmultiplizieren

                   %%=\frac{\displaystyle\frac1{16}}{\displaystyle\frac9{16}}%%

Mit %%\frac19%% kürzen .

                   %%=\frac19%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;WP\left(-0,25\;\left|\;\frac19\right.\right)%%

%%D_f=\mathbb{R}\backslash\left\{0,5\right\}%%

Betrachtet werden muss das Verhalten an den Definitionslücken sowie gegen %%\pm\infty%% .

Grenzwert bei 0,5

%%f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^2}%%

Annäherung von links.

%%\lim_{x\rightarrow0,5^-}\frac{x^2}{\left(x-0,5\right)^2}=%%

%%=\lim_{x\rightarrow0,5^-}\frac{\overbrace{x^2}^{\rightarrow0,25}}{\underbrace{(\underbrace{x-0,5}_{\rightarrow0^-})^2}_{\rightarrow0^+}}=+\infty%%

Annäherung von rechts.

%%\lim_{x\rightarrow0,5^+}\frac{x^2}{\left(x-0,5\right)^2}=%%

%%=\lim_{x\rightarrow0,5^-}\frac{\overbrace{x^2}^{\rightarrow0,25}}{\underbrace{(\underbrace{x-0,5}_{\rightarrow0^+})^2}_{\rightarrow0^+}}=+\infty%%

Grenzwert gegen %%-\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2}{\left(x-0,5\right)^2}=%%

Nenner mit Binomischer Formel auflösen.

%%=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2}{x^2-x+0,25}=%%

Jedes Element durch das x mit höchstem Exponenten teilen.

%%=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\displaystyle\frac{x^2}{x^2}}{{\displaystyle\frac{x^2}{x^2}}-{\displaystyle\frac x{x^2}}+\displaystyle\frac{0,25}{x^2}}=%%

Kürzen wo möglich.

%%=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac1{1-{\displaystyle\frac1x}+\displaystyle\frac{0,25}{x^2}}=%%

Grenzwert bilden.

%%=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac1{1-\underbrace{\displaystyle\frac1x}_{\rightarrow0}+\underbrace{\displaystyle\frac{0,25}{x^2}}_{\rightarrow0}}=\frac11=1%%

Grenzwert gegen %%+\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{\left(x-0,5\right)^2}=%%

Nenner mit Binomischer Formel auflösen.

%%=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{x^2-x+0,25}=%%

Jedes Element durch das x mit höchstem Exponenten teilen.

%%=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\displaystyle\frac{x^2}{x^2}}{{\displaystyle\frac{x^2}{x^2}}-{\displaystyle\frac x{x^2}}+\displaystyle\frac{0,25}{x^2}}=%%

Kürzen wo möglich.

%%=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac1{1-{\displaystyle\frac1x}+\displaystyle\frac{0,25}{x^2}}=%%

Grenzwert bilden.

%%=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac1{1-\underbrace{\displaystyle\frac1x}_{\rightarrow0}+\underbrace{\displaystyle\frac{0,25}{x^2}}_{\rightarrow0}}=\frac11=1%%

%%f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^2}%%

Setze -x für x ein.

%%f(-x)=\frac{\left(-x\right)^2}{(-x-0,5)^2}%%

             %%=\frac{\left(-1\right)^2\cdot x^2}{\left(-1\right)^2\cdot\left(x+0,5\right)^2}%%

%%\left(-1\right)^2=1%%

              %%=\frac{x^2}{\left(x+0,5\right)^2}%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Da f(-x) weder f(x) noch -f(x) ist, ist die Funktion weder Achsensymmetrisch zur y-Achse noch Punktsymmetrisch zum Ursprung .

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.

x

%%(-\infty,\frac14)%%

%%-\frac14%%

%%(-\frac14,0)%%

%%0%%

%%(0,\frac12)%%

%%\frac12%%

%%(\frac12,\infty)%%

VZ von f'(x)

%%-%%

%%0%%

%%-%%

%%0%%

%%+%%

%%Defl.%%

%%-%%

%%G_f%%

%%\searrow%%

%%WP%%

%%\searrow%%

%%TP%%

%%\nearrow%%

%%-%%

%%\searrow%%

Gezeichnet sieht der Graph dann so aus:

Graph Funktion Kurvendiskussion Nullstelle Wendepunkt Hyperbel

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion $$\begin{array}{l}f(x)=\frac{x^2-9}{x^2-4}\\\end{array}$$.
Führe eine vollständige Kurvendiskussion durch.
a) Finde die Nullstellen und Polstellen.
b) Untersuche die Funtkion auf Symmetrie zum Koordinatensystem
c) Erstelle eine vollständige Monotonietabelle und finde die Extrema.
d) Untersuche das Verhalten der Funktion im Unendlichen
e) Welche Asymptoten hat die Funktion? Skizziere dann die Funktion allein anhand deiner Ergebnisse.

Kommentieren Kommentare