Eine Potenzfunktion ist eine Funktion, deren Funktionsterm die Form %%f(x)=a\cdot x^s%% mit %%a,s\in ℝ%% hat.

Beispiele

  • %%x^2%%  

  • %%\frac2{x^4}=2x^{-4}%%

  • %%\frac1{\sqrt x}=x^{-\frac12}%%

Definitionsbereich

Ist s nicht aus den ganzen Zahlen, dann ist %%x^s%% für negative Zahlen nicht definiert, d.h. im Definitionsbereich sind nur positive Zahlen. Ist %%s<0%%, so ist %%x^s=\frac{1}{x^{-s}}%% und nicht definiert für %%x=0%%, d.h. die Null muss aus dem Definitionsbereich genommen werden.

maximaler Definitionsbereich von Potenzfunktionen: $$\begin{array}{cc} \ & s \in \mathbb{Z} & s \notin \mathbb{Z} \\ s\geq0 & \mathbb{R} & ℝ_0^+ \\ s<0 & ℝ\backslash\left\{0\right\} & ℝ^+ \end{array}$$

    

Ableitung    

Artikel zum Thema

%%\left(a\cdot x^s\right)'=a\cdot s\cdot x^{s-1}%%

Spezialfälle

$$\boldsymbol {s<0}$$ Der Graph ist an der Polstelle 0 zweigeteilt (nicht stetig). Ist der Exponent ungerade, gibt es dort einen Vorzeichenwechsel, bei geradem Exponenten nicht.

$$\boldsymbol {s=0}$$

Die Funktion verläuft konstant mit dem y-Wert a, da %%x^0=1%% und %%a\cdot x^{0\;}=a%%

%%\boldsymbol s\boldsymbol=\frac{\mathbf1}{\mathbf n}%% mit %%\boldsymbol {n \in ℕ}%%

Die Funktion wird Potenzfunktion mit rationalem Exponent genannt und kann zu einer Wurzelfunktion umgeformt werden.

%%\boldsymbol {s=1}%%

%%f(x)%% ist eine lineare Funkion der Form: %%f(x)=a\cdot x%% .

Kommentieren Kommentare

Zu article Potenzfunktion:
seagull 2017-12-08 19:09:13
Verbesserungsvorschlag: eine Trennung zwischen gerade und ungerade Exponenten. Mehr Graphen wären wirklich gut. Definitionsbereich: mit s=1/3 (nicht aus Z) und trotzdem habe ich Definitionsbereich=R
Nish 2017-12-13 17:39:16
Hi, erstmal sry. für die etw. späte Rückmeldung und vielen Dank für deine Verbesserungsvorschläge! Ich stimme dir voll zu!

Ich habe selber momentan keine Zeit, die Verbesserungsvorschläge umzusetzen. Vielleicht sollten wir die Fehler im Defintionsbereich-Abschnitt aber zeitnah verbessern. Könntest du das übernehmen?
Wenn nicht, kann ich mich darum kümmern.

LG,
Nish
Renate 2017-12-14 08:32:51
Hallo seagull, hallo Nish,

meines Wissens ist auch für ungerade n die n-te Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert.

Zwar stimmt es sicherlich, dass z. B. die Gleichung %%x^3=-8%% sehr wohl eine reelle Lösung hat (nämlich %%-2%%),
aber diese Lösung darf man nicht als %%\sqrt [3]{-8}%% oder als %%(-8)^{\frac {1}{3}}%% schreiben.
Statt dessen müsste man - wenn man die Lösung nicht, wie hier, direkt erkennen kann - Folgendes angeben:
%%-\sqrt [3]{8}%% bzw. %%-8^{\frac {1}{3}}%%.

Ich habe das früher auch nicht verstanden, warum man nicht einfach für ungerade n auch Wurzeln auch negativen Zahlen zugelässt.

Aber mittlerweile, denke ich, kenne ich den Grund:
Wenn man %%(-8)^{\frac {1}{3}}=\sqrt [3]{-8}%% zulässen würde, müsste es natürlich gleich %%-2%% sein - alles andere wäre widersinnig.
Nun ist aber %%\frac {1}{3}=\frac{2}{6}=2\cdot\frac{1}{6}%%,
und somit wäre
%%(-8)^{\frac {1}{3}}=(-8)^{2\cdot\frac{1}{6}}= ((-8)^2)^{\frac{1}{6}}=64^{\frac{1}{6}}=+2%%, und nicht %%-2%%.

Deshalb bleibt es dabei: Unter einer Wurzel - auch eine ungeraden höheren Wurzel - darf nie etwas Negatives stehen.

Gruß
Renate
seagull 2017-12-15 19:49:29
Hi Nisch und hi Renate,
Ich glaube, wenn es die Definition so ist, dass unter der Wurzel nur nicht negative Zahlen erlaubt sind, dann ist das ein Abkommen und keine Logik, weil eigentlich 64^(1/6)= +2 und -2 ist.
Das hat damit zu tun, dass Quadrieren und Wurzelziehen keine Äquivalenzumformungen sind, und wenn wir diese Rechenarten benutzen, unechte Lösungen entstehen (+2 in deinem Beispiel).
Wenn ich aber z.b. bei Geogebra x^3 und x^(1/3) zeichnen lasse, zeigt es auch negative Zahlen...
Grüß
Seagull
Renate 2017-12-15 21:28:47
Hallo seagull,

Wenn du %%64^{\frac{1}{6}}%% als sowohl %%2%% als auch %%-2%% definieren würdest, wäre
%%x\mapsto x^s%% für %%s=\frac{1}{6}%% aber keine Funktion mehr.
Wenn man überhaupt Potenzfunktionen der Form %%x\mapsto x^s%% für Werte wie %%s=\frac{1}{6}%% oder auch %%s=\frac{1}{2}%% usw. haben will, MUSS man Einschränkungen machen wie zum Beispiel, dass mit der Wurzel nur die positive Lösung gemeint ist,.

Natürlich hat dennoch die GLEICHUNG %%x^6=64%% die BEIDEN Lösungen %%2%% und %%-2%%; aber diese beiden Lösungen musst du, wenn du sie als Wurzeln (bzw. Potenzen) schreiben willst, angeben als
%%64^{\frac{1}{6}}%% (für die Lösung %%2%%) und
%%-64^{\frac{1}{6}}%% (für die Lösung %%-2%%).


Dass man - zumindest meines Wissens nach - Wurzeln generell nur aus nicht-negativen Zahlen definiert, ist natürlich in gewissem Sinne ein Abkommen, da hast du schon recht.
Aber jede Definition ist immer irgendwie ein "Abkommen", und man muss eigentlich nur darauf achten, dass das Abkommen, das man macht, nicht zu logischen Widersprüchen führt

Was ich oben meinte, ist, dass man z. B. die dritte Wurzel aus einer negativen Zahl deshalb NICHT definiert, weil man sonst an anderer Stelle sagen müsste, dass z. B. das Potenzgesetz
%%a^{p\cdot q}=(a^p)^q%% für negatives %%a%% nicht gelten soll o. a.


Vielen Dank übrigens noch für deinen Hinweis mit Geogebra - ich werde mir das in den nächsten Tagen mal ansehen - und vielen Dank auch für die ganze Diskussion. Unabhängig von der Frage, ob ich es nun richtig sehe oder nicht, ist es sinnvoll und wichtig, sich mit den Argumenten auseinanderzusetzen!

Gruß
Renate
seagull 2017-12-16 16:00:22
Hallo Renate,
Danke auch für die Diskussion!
Ich habe diese Unterscheidung zwischen Gleichung und Funktion ein bisschen vernachlässigt :-)
Mit Geogebra ist das wirklich so, nur Geogebra ist evtl. auch nicht ganz in Ordnung?!?
Ich denke bald (nach Weihnachten?) werde ich eine Meinung haben, ob die minus Bereiche bei ungeraden Exponenten dazugehören oder nicht...
Grüß
Seagull
Renate 2017-12-16 22:51:05
Ok - dann frohe Weihnachten erstmal!
(sicherlich auch im Namen von Nish, der dieses Wochenende anderweitig viel zu tun hat und sich daher in unsere Diskussion hier (noch) nicht wieder einklinken konnte)

Dann hören / lesen wir nach den Feiertagen wieder voneinander.

Viele Grüße
Renate
Antwort abschicken