Aufgaben

Bestimme die Schnittmenge der beiden in Koordinatenform gegebenen Ebenen.

%%{\mathrm E}_1:\;-{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+{\mathrm x}_3=1%%   und   %%{\mathrm E}_2:\;{\mathrm x}_1+4\cdot{\mathrm x}_2+3\cdot{\mathrm x}_3=7%%

Schnittgerade zweier Ebenen bestimmen

Gegeben sind die beiden Ebenen:

%%\begin{array}{rrcrcrcr} E_1 : & -x_1 &+ &2\cdot x_2 &+ & x_3 &= &1\\ E_2 : & x_1 &+ &4\cdot x_2 &+ &3\cdot x_3 &= &7 \end{array}%%

Die beiden Ebenengleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten.

Gleichungssystem lösen

%%\begin{array}{rrcrcrcr} \mathrm {(I)} & -x_1 &+ &2\cdot x_2 &+ & x_3 &= &1\\ \mathrm {(II)} & x_1 &+ &4\cdot x_2 &+ &3\cdot x_3 &= &7 \end{array}%%

Löse eine der beiden Gleichungen nach einer der Variablen auf,

z. B. die erste Gleichung nach %%x_3%%.

%%\mathrm {(I)} \quad -x_1 + 2x_2 + x_3 = 1%%

%%\big|\ +x_1-2x_2%%

%%\Rightarrow \mathrm {(I')}\quad x_3 = 1+x_1 -2 x_2%%

Setze dies in die Gleichung %%\mathrm {(II)}%% ein.

%%\mathrm {(I')}%% in %%\mathrm {(II)}\Rightarrow%%

%%x_1 + 4x_2 +3\cdot (1+x_1-2x_2)=7%%

Multipliziere die Klammer aus,

%%x_1 + 4x_2 +3+3x_1-6x_2=7%%

und fasse zusammen.

%%4x_1 -2x_2 +3=7%%

Vereinfache die Gleichung, indem du die konstanten Terme auf dieselbe Seite bringst und zusammenrechnest.

%%4x_1 -2x_2 +3=7\quad \big|-3%%

%%4x_1 -2x_2 =4%%

Löse diese Gleichung jetzt nach einer der Variablen auf, zum Beispiel nach %%x_2%%.

%%\begin{array}{rclc} 4x_1-2x_2 &=& 4 &\big | -4x_1\\ -2x_2 &=&4-4x_1 &\big |:(-2)\\ x_2 &=&-2+2x_1 \end{array}%%

%%\mathrm {(II')}\quad x_2 =-2+2x_1%%

Setze dies wiederum in %%\mathrm{(I')}%% ein.

%%\mathrm {(II')}%% in %%\mathrm {(I')}\Rightarrow%%

%%x_3 = 1+x_1 -2 \cdot (-2+2x_1)%%

Löse die Klammer auf,

%%x_3 = 1+x_1 +4-4x_1%%

und fasse zusammen.

%%x_3 = 5-3x_1%%

Das ist die neue Gleichung, die du statt Gleichung %%\mathrm{(I')}%% nun erhalten hast.

%%\Rightarrow \mathrm {(I'')} \quad x_3 = 5-3x_1%%

Da das Gleichungssytem zwar drei Unbekannte enthält, aber nur aus zwei Gleichungen besteht, ist es unterbestimmt, das heißt, es wird keine eindeutig bestimmte Lösung dazu geben.

Du hast jedoch mit den Gleichungen %%\mathrm{(II')}%% und %%\mathrm{(I'')}%% das Gleichungssystem so umgeformt, dass du %%x_2%% und %%x_3%% in Abhängigkeit von %%x_1%% dargestellt hast.

%%\begin{array}{rrcrcr} \mathrm {(II')} &x_2 &=&-2&+&2x_1 \\ \mathrm {(I'')} &x_3 &= &5&-&3x_1 \end{array}%%

Betrachte nun %%x_1%% als Parameter, der einen beliebigen reellen Wert annehmen kann, und wähle dafür geeigneterweise irgendeinen für Parameter "üblichen" Buchstaben als Bezeichnung.

Setze %%k=x_1%%.

Damit kannst du die Lösungsmenge angeben.

%%\mathbb L= \{ (k|-2+2k|5-3k)\ \big| \ k\in \mathbb R \}%%

Gleichung der Schnittgerade angeben

in Arbeit

E1:  4x1+3x2+2x3=5\displaystyle {\mathrm E}_1:\;-4\cdot{\mathrm x}_1+3\cdot{\mathrm x}_2+2\cdot{\mathrm x}_3=5
  und   E2:  2x1+x2x3=0{\mathrm E}_2:\;2\cdot{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=0

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von 2 Ebenen

I: 4x1+3x2+2x3=5I:\ -4x_1+3x_2+2x_3=5
II: 2x1+1x21x3=0                   II:\ -2x_1+1x_2-1x_3=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
Rechne: I+2III+2II
II: 0x1+5x2+0x3=5II':\ 0x_1+5x_2+0x_3=5
=> 5x2=5  5x_2=5\ \ 
x2=1x_2=1
Einsetzen in I: 4x1+31+2x3=5I:\ -4x_1+3\cdot1+2x_3=5
=> 4x1+2x3=2-4x_1+2x_3=2
x1=12+12x3x_1=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x_3
Wählt man x3=tx_3=t
=> x1=12+12t;  x_1=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t;\ \ 
x2=1x_2=1

E1:  x1+2x22x3=5{\mathrm E}_1:\;-{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2-2\cdot{\mathrm x}_3=5   und   E2:  2x14x2+4x3=10{\mathrm E}_2:\;2\cdot{\mathrm x}_1-4\cdot{\mathrm x}_2+4\cdot{\mathrm x}_3=-10

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von 2 Ebenen

I: 1x1+2x22x3=5 I:\ -1x_1+2x_2-2x_3=5\ 
II: 2x14x2+4x3=10                 II:\ 2x_1-4x_2+4x_3=-10\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
2I+II2I+II
II:  Nullzeile (2I+II=0)II':\ \ Nullzeile\ \left(2I+II=0\right)
Lösung: die Ebenen sind identisch

E1:  x1+2x2+x3=1{\mathrm E}_1:\;-{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+{\mathrm x}_3=1   und   E2:  2x14x22x3=5{\mathrm E}_2:\;2\cdot{\mathrm x}_1-4\cdot{\mathrm x}_2-2\cdot{\mathrm x}_3=-5

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zweier Ebenen

I: 1x1+2x2+1x3=1I:\ -1x_1+2x_2+1x_3=1
II: 2x14x22x3=5II:\ 2x_1-4x_2-2x_3=-5
2I+II2I+II
II: 0x1+0x2+0x3=3II':\ 0x_1+0x_2+0x_3=-3
Es existiert keine Lösung des lineraren Gleichungssystems. Daraus folgt, die Ebenen verlaufen echt parallel zueinander.

Bestimme die Schnittmenge der in Parameter- und Normalenform gegebenen Ebenen.
E1:  x=(142)+r(320)+s(021){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}  und  E2:  (236)[x(443)]=0{\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\-6\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}4\\4\\3\end{pmatrix}\right]=0 .
E1:  x=(121)+r(212)+s(212){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}  und  E2:  (231)[x(101)]=0{\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0
E1:  x=(510)+r(111)+s(111){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}5\\-1\\0\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}  und  E2:  (010)[x(327)]=0{\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}3\\2\\-7\end{pmatrix}\right]=0
E1:  x=(113)+r(111)+s(121){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}  und  E2:  (321)x4=0{\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-4=0
E1:  x=(211)+r(111)+s(241){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\-1\end{pmatrix}  und  E2:  (112)x3=0{\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-3=0
E1:  x=(131)+r(210)+s(111){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}  und  E2:  (111)x5=0{\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-5=0
Bestimme die Schnittmenge der beiden in Normalenform gegebenen Ebenen.
E1:  (235)[x(011)]=0{\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\5\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0   und   E2:  (4610)[x(100)]=0  {\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}-4\\6\\-10\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}\right]=0\;
E1:  (235)[x(011)]=0{\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\5\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0   und   E2:  (4610)[x(120)]=0  {\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}-4\\6\\-10\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0\;
E1:  (213)[x(111)]=0{\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right]=0   und   E2:  (121)[x(212)]=0  {\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix}\right]=0\;
Bestimme die Schnittmenge der beiden in Parameterform gegebenen Ebenen.
E1:  x=(444)+r(210)+s(103){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix}   und   E2:  x=(2014)+r(113)+s(523){\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\0\\-14\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}5\\2\\-3\end{pmatrix}
E1:  x=(403)+r(010)+s(203){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}4\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}   und   E2:  x=(230)+r(001)+s(213){\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-2\\3\\0\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}
E1:  x=(562)+r(241)+s(013){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}5\\6\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}   und   E2:  x=(163)+r(252)+s(234){\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\6\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\5\\2\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-2\\-3\\4\end{pmatrix}
E1:  x=(121)+r(211)+s(121){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}   und   E2:  x=(213)+r(102)+s(110){\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}
E1:  x=(122)+r(102)+s(213){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}   und   E2:  x=(544)+r(311)+s(115){\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-5\\4\\-4\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}3\\-1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\5\end{pmatrix}
E1:  x=(122)+r(102)+s(213){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}   und   E2:  x=(312)+r(311)+s(115){\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\-1\\-2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}3\\-1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\5\end{pmatrix}
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wendrock 2018-04-11 11:46:39+0200
Hallo, ich finde keine Lösungen für die Aufgaben. Gibt es diese einfach noch nicht, oder übersehen ich etwas?
Rebi 2018-04-11 20:45:07+0200
Hallo wendrock,
du hast recht, hier scheint es leider noch gar keine Lösungen zu geben. Danke auf jeden Fall für diesen Hinweis! Nachdem es sich um ziemlich viele Aufgaben handelt, kann es sein, dass es eine Weile dauert, bis die Lösungen erstellt werden können. Falls du Lust hast, würden wir uns riesig über deine Hilfe freuen!
Hilfe zur Bearbeitung findest du unter http://de.serlo.org/88059 oder du kannst mir ans Profil oder eine Mail an rebekka@serlo.org schreiben.
Liebe Grüße,
Rebi
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