Aufgaben

Teste dein Wissen!

Ordne die Schritte des Gleichsetzungsverfahrens richtig ein!
Trage dafür in das Lösungsfeld die Nummern der Schritte nacheinander und ohne Leerzeichen ein (z. B. 123).

  1. Die Variable in eine Gleichung einsetzen.
  2. Die Gleichungen %%\mathrm{I}%% und %%\mathrm{II}%% gleichsetzen.
  3. Die entstandene Gleichung nach einer Variable auflösen.

Welches der Folgenden beschreibt einen Schnittpunkt?

Denke nochmal nach! Ist ein Punkt auch gleichzeitig ein Schnittpunkt?

Mache dir den Unterschied zwischen einem Schnittpunkt und einem Scheitelpunkt bewusst.

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Warum brauchst du ein lineares Gleichungssytem?

Aufpassen! Kreise sind keine linearen Gleichungen.

Richtig! Die Koordinaten des Schnittpunktes müssen keine geraden Zahlen sein. Zudem kann dieser Punkt auch so weit hinten liegen, dass du ihn nicht einmal einzeichnen kannst.
Deswegen kannst du den Schnittpunkt oft nicht aus dem Koordinatensystem ablesen.

Löse die Gleichungssysteme.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad 3x + 4 = 2y%%

%%\mathrm{II}) \quad 4y = 2x + 10%%

Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad 3x + 4 = 2y%%

%%\mathrm{II}) \quad 4y = 2x + 10%%

1. Beide Gleichungen nach y auflösen**

Löse beide Gleichungen nach einer Variablen auf. In diesem Fall ist %%y%% schon einzeln, also ist es einfacher nach %%y%% aufzulösen.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad 3x + 4 = 2y%%

%%\mid:2%%

%%\mathrm{II}) \quad 4y = 2x + 10%%

%%\mid : 4%%

%%\mathrm{I})' \quad 1,5x + 2 = y%%

%%\mathrm{II})' \quad y = 0,5x + 2,5%%

2. Gleichsetzen

Setze die beiden Gleichungen %%\mathrm{I'}%% und %%\mathrm{II'}%% gleich.

%%\Rightarrow 1,5x + 2 = 0,5x + 2,5%%

3. Gleichung nach x auflösen

%%1,5x + 2 = 0,5x + 2,5%%

%%\mid - 0,5x%%

%%x + 2 = 2,5%%

%%\mid -2%%

%%x = 0,5%%

4. x einsetzen, um y heraus zu finden

Setze %%x%% in %%\mathrm{I'}%% oder %%\mathrm{II'}%% ein.

%%y = 0,5 \cdot 0,5 + 2,5 = 0,25 + 2,5 = 2,75%%

Gib die Lösungsmenge an

%%\displaystyle{L = \left\lbrace \left(0,5 \ ; \ 2,75 \right) \right\rbrace}%%

%%\hphantom{\mathrm{I}} \mathrm{I}) \quad y - 1 = 2x + 3%%

%%\mathrm{II}) \quad 2y - 2 = 5x - 1%%

Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad y-1 = 2x +3%%

%%\mathrm{II}) \quad 2y-2 = 5x - 1%%

1. Beide Gleichungen nach x auflösen

Löse beide Gleichungen nach einer Variablen auf. Zum Beispiel nach der Variablen %%x%%.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})\quad y-1 = 2x +3\\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})'\quad y-4 = 2x \\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})''\quad 0,5y-2 = x%%

%%| -3%%

%%| :2%%

%%\mathrm{II}) \quad 2y-2 = 5x - 1\\ \mathrm{II})' \quad 2y-1 = 5x\\ \mathrm{II})'' \quad 0,4y-0,2 = x %%

%%| +1%%

%%| :5%%

2. Gleichsetzen

Setze die beiden Gleichungen %%\mathrm{I''}%% und %%\mathrm{II''}%% gleich.

%%\Rightarrow 0,5y-2 = 0,4y-0,2%%

3. Gleichung nach y auflösen

%%0,5y-2 = 0,4y-0,2%%

%%0,5y = 0,4y+1,8%%

%%0,1y = 1,8%%

%%y = 18%%

%%| +2%%

%%|-0,4y%%

%%| : 0,1%%

4. y einsetzen, um x heraus zu finden

%%y%% in %%\mathrm{I''}%% einsetzen

%%0,5\cdot 18 -2 = x = 9-2 = 7%%

%%L = \{(7,18)\}%%

Gib die Lösungsmenge an

%%\hphantom{\mathrm{I}} \mathrm{I}) \quad 2x + 3y = 4x - 5%%

%%\mathrm{II}) \quad 3x - 2y = 2y + 8%%

Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad 2x+3y = 4x -5%%

%%\mathrm{II}) \quad 3x-2y = 2y+8%%


1. Beide Gleichungen nach einer Variable auflösen

Löse beispielsweise nach %%y%% auf

%%\begin{array}{lrl} \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) & 2x+3y &= &4x -5 \\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})' & 3y &= &2x -5 \\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})'' & y &= &\frac{2}{3}x - \frac{5}{3} \end{array}%%

%%| -2x%%

%%| :3%%


%%\begin{array}{lrl} \mathrm{II}) & 3x-2y &= &2y+8 \\ \mathrm{II})' & 3x-8 &= &4y \\ \mathrm{II})'' & \frac{3}{4}x-2 &= &y \end{array}%%

%%|+2y \qquad |-8\\ | :4%%

2. Gleichsetzen

Setze %%\mathrm{I'}%% und %%\mathrm{II'}%% gleich.

%%\begin{array}{lrl}\Rightarrow &\frac{3}{4}x-2 &= &\frac{2}{3}x-\frac{5}{3} \end{array}%%

3. Nach der einen Variable auflösen

Löse nach %%x%% auf.

%%\begin{array}{rrl} \frac{3}{4}x-2 &= &\frac{2}{3}x-\frac{5}{3} \\ \frac{3}{4}x-\frac{2}{3}x-2 &= &-\frac{5}{3} \\ \frac{9}{12}x-\frac{8}{12}x &= &-\frac{5}{3} +2 \\ \frac{1}{12}x &= &\frac{1}{3} \\ x &= &4 \\ \end{array}%%

%%| -\frac{2}{3}x \\ | +2 \phantom{\frac{0}{0}}\\ \phantom{\frac{0}{0}} \\ | \cdot12%%

4. In eine Gleichung einsetzten, um die andere Variable heraus zu finden

Setze %%x%% beispielsweise in %%\mathrm{II'}%% ein.

%%\begin{array}{rl} \frac{3}{4}\cdot (4)-2 &= &y \\ 3-2 &= &y \\ y &= &1 \end{array}%%

%%L = \{(4,1)\}%%

%%4%% wird für %%x%% eingesetzt. %%\quad \\ \quad%%

Lösungsmenge angeben!

Löse die Linearen Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad 3x + 4 = y%%

%%\mathrm{II} \quad 4y -3x = 9%%

Lösen eines LGS mit dem Einsetzungsverfahren

Löse nach einer Variablen auf

Als erstes musst du eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen auflösen. In diesem Fall erkennst du, dass Gleichung %%\mathrm{I}%% schon nach %%y%% aufgelöst ist.

%%\;%%

Setze %%y%% in %%\mathrm{II}%% ein

Setze nun Gleichung %%\mathrm{I}%% in Gleichung %%\mathrm{II}%% ein.

%%\mathrm{II} \quad 4\cdot(3x + 4) -3x = 9%%

Löse nach %%x%% auf.

%%\mathrm{II} \quad 12x + 16 -3x = 9%%

%%\mathrm{II} \quad 9x = - 7%%

%%\mathrm{II} \quad x = -\dfrac{7}{9}%%

%%|-16%%

%%|:9%%

%%\;%%

Setze %%x%% in %%\mathrm{I}%% ein

Setze %%x = - \dfrac{7}{9}%% in Gleichung %%\mathrm{I}%% ein.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad 3\cdot\left(-\dfrac{7}{9}\right) + 4 = y%%

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad y = \dfrac{5}{3}%%

%%\;%%

Lösungsmenge angeben

Gib zum Schluss die Lösungsmenge an.

%%\mathbb{L}=\left\{\left(-\dfrac{7}{9}\left|\dfrac{5}{3}\right.\right)\right\}%%.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad 3s - 4t = 4%%

%%\mathrm{II} \quad 4s + t = -2%%

Lösen eines LGS mit dem Einsetzungsverfahren

Löse nach einer Variablen auf

Als erstes musst du eine der beiden Gleichungen nach %%s%% oder %%t%% auflösen. Es bietet sich hier an, Gleichung %%\mathrm{II}%% nach %%t%% umzustellen.

Stelle Gleichung %%\mathrm{II}%% nach %%t%% um.

%%\mathrm{II} \quad 4s + t = -2%%

%%\mathrm{II'} \quad t = -2 - 4s%%

%%|-4s%%

%%\;%%

Setze %%t%% in %%\mathrm{I}%% ein

Setze nun %%-2 - 4s%% für %%t%% in Gleichung %%\mathrm{I}%% ein.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad 3s - 4\cdot(-2 - 4s) = 4%%

Löse nach %%s%% auf.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad 3s + 8 + 16s = 4%%

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad 19s = -4%%

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad s = -\frac{4}{19}%%

%%|-8%%

%%|:19%%

%%\;%%

Setze %%s%% in %%\mathrm{II'}%% ein

Setze %%s = -\frac{4}{19}%% in %%\mathrm{II'}%% ein, um %%t%% zu bestimmen.

%%\mathrm{II'} \quad t = -2 - 4\cdot\left(-\frac{4}{19}\right)%%

%%\mathrm{II'} \quad t = -\frac{22}{19}%%

%%\;%%

Lösungsmenge angeben

Gib die Lösungsmenge an.

%%\mathbb{L}=\left\{(s|t)=\left(-\frac{4}{19}|-\frac{22}{19}\right)\right\}%%.

Löse das folgende Gleichungssystem mit dem Additions-/Subtraktionsverfahren!

%%\begin{array}{lrrll} \mathrm{I} &4x+2y &= &4 \\ \mathrm{II} &6x-3y &= &-3 \end{array}%%

Lösung mit dem Additions-/Subtraktionsverfahren

0. Schritt: Aufräumen der Gleichungen und Auswahl einer Variablen

Da die Gleichungen schon schön geordnet sind fällt dieser Punkt weg.
In diesem Fall ist es gleich aufwendig die Aufgabe zu lösen, egal ob du %%x%% oder %%y%% auswählst.

Die Lösung wird für die Variable %%x%% vorgerechnet.

1. Schritt: Vervielfachen der Gleichungen

In Gleichung %%I%% sind es %%4x%%, in Gleichung %%II%% sind es %%6x%%. Ein gemeinsames Vielfaches ist also %%12x%%. Multipliziere dafür die erste Gleichung mit %%3%% und die zweite Gleichung mit %%2%%.

Gleichung 1

%%\begin{array}{lcccccl} \mathrm{I}& 4x&+&2y&=&4& \quad &|\cdot 3\\ \mathrm{I}' &12x& + &6y &= &12& \\ \end{array}%%

Gleichung 2

%%\begin{array}{lcccccl} \mathrm{II}& 6x& - &3y &= &-3& \quad &|\cdot 2\\ \mathrm{II}' &12x& - &6y &= &-6& \\ \end{array}%%

2. Schritt: Entfernung einer Variablen durch Addition/Subtraktion

Die Vorzeichen der ausgesuchten Variable sind beide Male gleich. Deswegen musst du das Subtraktionsverfahren anwenden.

%%\begin{array}{llcccll} &\mathrm{I}' & 12x&+& 6y&=&12\\ -&\mathrm{II}' & 12x&-&6y&=&-6\\ \hline & & \color{#009900}0&+&12y&=& 18 \end{array}%%

3. Schritt: Werte der beiden Variablen bestimmen

Wert von %%y%% bestimmen

%%\begin{array}{rrll} 12y &= &18 &\quad |: 12\\ \color{#FF6600}y &= &\color{#FF6600}{\dfrac{3}{2}} \end{array}%%

Wert von %%x%% bestimmen: Einsetzen von %%y%% in %%\mathrm{II}%%

%%\begin{array}{rrll} 6x - 3 \cdot \color{#FF6600}{\dfrac{3}{2}} &= &-3 \\ 6x - \dfrac{9}{2} &= &-3 \quad &|+ \dfrac{9}{2}\\ 6x &=& \dfrac{3}{2} \quad &|: 6 \\ \color{#009999}x &= &\color{#009999}{\dfrac{1}{4}} \end{array}%%

Die Lösung ist also %%\color{#009999}x = \color{#009999}{\dfrac{1}{4}}%% und %%\color{#FF6600}y = \color{#FF6600}{\dfrac{3}{2}}%%: %%\quad \mathbb{L}=\left\{(x|y)=\left(\color{#009999}{\dfrac{1}{4}}\;\bigg\vert\;\color{#FF6600}{\dfrac{3}{2}}\right)\right\}%%.

Teste dein Wissen! Mit welchen Verfahren ist es sinnvoll die folgenden Gleichungssysteme zu lösen?

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad 3x + 6y = 2%%

%%\mathrm{II} \quad 4x + 2 = y%%

Kannst du natürlich machen. Aber es geht anders noch deutlich schneller ;)

Kannst du natürlich machen. Anders geht es aber noch deutlich schneller ;)

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad 2a - 2b = 3%%

%%\mathrm{II} \quad 5a + 2b = 6%%

Kannst du natürlich machen. Anders geht es aber noch deutlich schneller ;)

Kannst du natürlich machen. Anders geht es aber noch deutlich schneller ;)

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Löse mit dem am besten geeigneten Verfahren.

%%\begin{array}{lrcc} \mathrm{I}& e+4f&=&20\\ \mathrm{II}&-3e+4f&=&-12\\ \end{array}%%

Additions-/Subtraktionsverfahren

Du verwendest das Subtraktionsverfahren, da in beiden Gleichungen %%+4f%% vorkommt.

%%\begin{array}{rrrcrlr} &\mathrm{I} &e&+&4f&=&20\\ -&\mathrm{II}&-3e&+&4f&=&-12\\ \hline &&4e&+&0&=&32 \end{array}%%

Löse nach %%e%% auf

%%\begin{array}{llccll} 4e&+&0&=&32 \quad |:4\\ &&e&=&\color{#009900}8\end{array}%%

Setze %%e%% in eine der Gleichungen ein

%%e%% in %%\mathrm{I}%%

%%\begin{array}{llccll} \color{#009900}8&+&4f&=&20&|-8&\\ &&4f&=&12&|:4&\\ &&f&=&\color{#cc0000}3 \end{array}%%

Lösungsmenge bestimmen

%%\mathbb{L}=\{(e|f)=(8|3)\}%%

%%\begin{array}{lrcl} \mathrm{I}& 7y&=&5+2x\\ \mathrm{II}&4x-14y&=&46\\ \end{array}%%

Eine sehr schöne Lösung ergibt sich mit dem Einsetzungsverfahren.

%%\;%%

Die Gleichung %%\mathrm{I}%% ist nach %%7y%% aufgelöst und in Gleichung %%\mathrm{II}%% steht %%14y%%. Du kannst sogar ohne Umformung das Einsetzungsverfahren verwenden.

Schreibe Gleichung %%\mathrm{II}%% um.

%%\begin{array}{lrcl} \mathrm{II}&4x-2\cdot7y&=&46\\ \end{array}%%

%%\;%%

Setze %%7y%% in %%\mathrm{II}%% ein

Setze %%7y%% aus Gleichung %%\mathrm{I}%% in Gleichung %%\mathrm{II}%% ein.

%%\begin{array}{lrcl} \mathrm{II}&4x-2\cdot(5 + 2x)&=&46\\ \end{array}%%

Fasse zusammen und löse nach %%x%% auf.

%%\begin{array}{lrcl} \mathrm{II}&4x-10 - 4x&=&46\\ \end{array}%%

%%\begin{array}{lrcl} \mathrm{II}&0&=&56\\ \end{array}%%

%%|+10%%

Wie du jetzt sehen kannst, gleichen sich die Ergebnisse nicht wodurch sich ein Widerspruch ergibt. Daraus folgt, dass das LGS keine Lösungen hat, da für %%x%% keine Zahl zugeordnet werden kann.

%%\begin{array}{lrcl} \mathrm{I}& 3,5&=&-0,5k+2,5m\\ \mathrm{II}&10m&=&14+2k\\ \end{array}%%

Additionsverfahren

Du verwendest das Additionsverfahren, da du mit einem scharfen Blick siehst, dass %%2k%% das %%4%%-fache von %%0,5k%% ist.

Vervielfachung der ersten Gleichung

%%\begin{array}{rrl} \mathrm{I}&3,5&=&-0,5k+2,5m&|\cdot 4\\ \mathrm{II}&10m&=&14+2k\\ \mathrm{I'}&14&=&-2k+10m&|+2k\\ \mathrm{II}&10m&=&14+2k\\ \mathrm{I'}&14+2k&=&10m&\\ \mathrm{II}&10m&=&14+2k \end{array}%%

Wie du jetzt sehen kannst, sind beide Gleichungen identisch. Daraus folgt, dass das LGS unendlich viele Lösungen hat. Graphisch betrachtet können das zwei Geraden sein, die aufeinander liegen.

Lösungsmenge

Löse die Gleichung noch nach einer Variablen auf um die Lösungsmenge anzugeben.

%%10 m = 14 + 2 k \quad | : 10 \\ m = 1,4 + 0,2 k%%

%%\mathbb{L} = \left\{ (m|k) \;\big |\; m = 1,4 + 0,2 k \right\}%%

Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Gleichungssysteme.

%%\begin{array}{ccccc} \mathrm{I}&5y& -& 3x& =& 1\\ \mathrm{II}&  x &=& y& +& 1\end{array}%%

Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.

%%\begin{array}{ccccc} \mathrm{I}&5y& -& 3x& =& 1\\ \mathrm{II}& x &=& y& +& 1\end{array}%%

Man setzt die Gleichung %%\mathrm{II}%% in %%\mathrm{I}%% ein.

%%\mathrm{I}'\quad5y-3\left(y+1\right)=1%%

Dann löst man nach %%y%% auf.

%%\begin{array}{rcccc} 5y-3y-3&=&1&\\ 2y-3&=&1&|+3\\ 2y&=&4&|:2\\ y&=&2\end{array}%%

Nun setzt man %%y=2%% in %%\mathrm{II}%% ein und löst nach %%x%% auf.

%%\begin{array}{rcccc} 5\cdot2-3x&=&1&|-10\\ -3x&=&-9&|:(-3)\\ x&=&3 \end{array}%%

Man kann nun die Lösungsmenge angeben:

%%L=\left\{\left(3\;\left|\;2\right.\right)\right\}%%

%%\begin{array}{ccccc} \mathrm{I}&4x&+&5y&=&32\\ \mathrm{II}&y&=&5x&-&11 \end{array}%%

Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.

%%\begin{array}{ccccc} \mathrm{I}&4x&+&5y&=&32\\ \mathrm{II}&y&=&5x&-&11 \end{array}%%

Man setzt die Gleichung %%\mathrm{II}%% in %%\mathrm{I}%% ein.

%%\mathrm{I}'\quad 4x+5\cdot \left(5x-11\right)=32%%

Dann löst man nach %%x%% auf.

%%\begin{array}{rccc} 4x+25x-55&=&32&\\ 29x-55&=&32&|+55\\ 29x&=&87&&|:29\\ x&=&3 \end{array}%%

Nun setzt man %%x=3%% in %%\mathrm{II}%% ein und löst nach %%y%% auf.

%%\begin{array}{rcl} y&=&5\cdot3-11\\ y&=&4 \end{array}%%

Man kann nun die Lösungsmenge angeben:

%%L=\left\{\left(3\;\left|\;4\right.\right)\right\}%%

%%\begin{array}{cccc} \mathrm{I}&15y&-&4x&=&-50\\ \mathrm{II}&x&=&y&+&7\end{array}%%

Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.

%%\begin{array}{cccc} \mathrm{I}&15y&-&4x&=&-50\\ \mathrm{II}&x&=&y&+&7 \end{array}%%

Man setzt die Gleichung %%\mathrm{II}%% in %%\mathrm{I}%% ein.

%%\mathrm{I}'\quad15y-4\left(y+7\right)=-50%%

Nun löst man nach %%x%% auf.

%%\begin{array}{rcll} 15y-4y-28&=&-50&\\ 11y-28&=&-50&|+28\\ 11y&=&-22&|:11\\ y&=&-2 \end{array}%%

Dann setzt man %%y=-2%% in %%\mathrm{II}%% ein und löst nach %%x%% auf.

%%x=-2+7%%

%%x=5%%

Jetzt kann man die Lösungsmenge angeben:

%%L=\left\{\left(5\;\left|\;-2\right.\right)\right\}%%

%%\begin{array}{cccc} \mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\ \mathrm{II}&2y&-&10&=&2x\end{array}%%

Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

Lösung mit Einsetzungsverfahren

In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.

%%\begin{array}{cccc} \mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\ \mathrm{II}&2y&-&10&=&2x \end{array}%%

Teile %%\mathrm{II}%% durch 2, um nach der Variablen %%x%% aufzulösen.

%%\mathrm{II}:2\to\mathrm{II}'\quad y-5= x%%

Setze %%\mathrm{II}'%% in %%\mathrm{I}%% ein.

%%\mathrm{II}'%% in %%\mathrm{I}%% eingesetzt:

%%\mathrm{I}'\quad3\left(y-5\right)=y+15%%

Löse dann %%\mathrm{I}'%% nach %%y%% auf.

%%\begin{array}{rcll} 3y-15&=&y+15&|-y; +15\\ 2y&=&30&|:2\\ y&=&15 \end{array}%%

Setze anschließend %%y=15%% in %%\mathrm{II}'%% ein und löse nach %%x%% auf.

%%y=15%% in %%\mathrm{II}'%% eingesetzt:

%%\begin{array}{rcll} 15-5&=&x\\ 10&=&x \end{array}%%

Gib zum Schluss noch die Lösungsmenge an.

%%L=\left\{\left(10\;\left|\;15\right.\right)\right\}%%

 

Alternative Lösung: Gleichsetzungsverfahren

Eine weitere Möglichkeit ist, hier das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, da auf der linken Seite von %%\mathrm{I}%% und auf der rechten Seite von %%\mathrm{II}%% fast der gleiche Term steht.

%%\begin{array}{cccc} \mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\ \mathrm{II}&2y&-&10&=&2x \end{array}%%

Multipliziere %%\mathrm{II}%% mit %%\frac32%%, um auf der rechten Seite %%3x%% zu erzeugen.

%%\begin{array}{cccc} \mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\ \mathrm{II}'&3y&-&15&=&3x \end{array}%%

Setze die rechte Seite von %%\mathrm{I}%% mit der linken von %%\mathrm{II}'%% gleich und löse nach %%x%% auf.

%%\begin{array}{rcll} 3x-15&=&x+5&|-x;\;+15\\ 2x&=&20&|:2\\ x&=&10 \end{array}%%

Setze %%x=10%% in %%\mathrm{I}%% (oder auch %%\mathrm{II}%%) ein und löse nach %%y%% auf.

%%\begin{array}{rcll} 3\cdot 10&=&y+15&\\ 30&=&y+15&|-15\\ 15&=&y \end{array}%%

Gib zum Schluss noch die Lösungsmenge an.

%%L=\left\{\left(10\;\left|\;15\right.\right)\right\}%%

Alternative Lösung: Kombination Additionsverfahren und Einsetzverfahren

Auch das Additionsverfahren kann hier sinnvoll eingesetzt werden. Dazu stellt man die Gleichungen zunächst so um, dass die passenden Terme untereinander stehen:

%%\begin{array}{cccc} \mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\ \mathrm{II}&2x&=&2y&-&10 \end{array}%%

Subtrahiere die zweite von der ersten Gleichung.

%%\begin{array}{cccc} \mathrm{I}'&x&=&-y&+&25\\ \mathrm{II}&2x&=&2y&-&10 \end{array}%%

Da die erste Gleichung nun nach %%x%% aufgelöst ist, kann man wieder das Einsetzungsverfahren anwenden.

Setze dazu %%\mathrm{I}'%% in %%\mathrm{II}%% ein und löse nach %%y%% auf.

%%\begin{array}{crcll} \mathrm{II}'&2\cdot(-y+25)&=&2y-10&\\ &-2y+50&=&2y-10&|-2y \;\;|-50\\ &-4y&=&-60&|:(-4)\\ &y&=&15 \end{array}%%

Setze %%y=15%% in %%\mathrm{I}'%% ein und löse nach %%x%% auf.

%%x=-15+25%%

%%x=10%%

Gib zum Schluss noch die Lösungsmenge an.

%%L=\{(10|15)\}%%

Löse die folgenden Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen und 2 Variablen zunächst graphisch und dann rechnerisch.

Zu text-exercise-group 69585:
Renate 2018-12-19 00:48:48
LÖSUNGEN FEHLEN NOCH

Lieber Nish,

vielen Dank für die drei Aufgaben dieser Aufgabengruppe, die du laut Bearbeitungsverlauf vor nicht ganz zwei Jahren angelegt hast!
Leider fehlen überall noch die Lösungen - ich nehme an, dass das nicht beabsichtigt ist, oder etwa aus irgendeinem Grunde doch?

Falls es keine Absicht war, hast du vor, demnächst noch die Lösungen zu erstellen?
Oder weißt du vielleicht jemanden, der es machen könnte und möchte?

@COMMUNITY:
Gibt es vielleicht IN DER COMMUNITY irgendjemanden, der oder die Zeit und Lust dazu hätte, es zu versuchen? Vielleicht auch nur für eine der Aufgaben?

Viele Grüße (und Dank im Voraus an alle, die sich an die Lösungen wagen :) !)
Renate
Jonathan 2018-12-20 14:46:58
Hi
ich habe jetzt mal die Lösungen zu den Aufgaben erstellt. Über Feedback wäre ich aber noch sehr dankbar.
LG
Jonathan
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%%\begin{array}{ccccc} \mathrm{I}&y& -& 3x& =& 1\\ \mathrm{II}& x &+& y &=& 1\end{array}%%

Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

Ein lineares Gleichungssystem setzt sich aus mehreren linearen Gleichungen mit gemeinsamen Unbekannten (Variablen), die alle erfüllt werden sollen, zusammen.

Graphisches Lösen

Um das Gleichungssystem graphisch lösen zu können, kannst du die einzelnen Geichungen nach %%y%% auflösen und in ein Koordinatensystem einzeichnen. Anschließend brauchst du nur noch die Koordinaten des Schnittpunktes beider Geraden abzulesen.

%%\begin{array}{ccccc} \mathrm{I}&y -3x&=&1&|+3x\\ \mathrm{I}&y& =& 3x+1\\ \mathrm{II}& x + y &=& 1&|-x\\ \mathrm{II}& y &=&-x+ 1\end{array}%%

Schnittpunkte lineares Gleichungssytem

Der Schnittpunkt liegt bei %%x=0%% und %%y=1%%. Somit lautet die Lösungsmenge %%L=\left\{\left(0\left|\;1\right.\right)\right\}%%.

Rechnerisches Lösen

In diesem Fall bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an, da du zum graphischen Lösen bereits beide Gleichungen nach %%y%% aufgelöst hast.

%%\begin{array}{ccccc} \mathrm{I}&y& =& 3x+1\\ \mathrm{II}& y &=&-x+ 1\end{array}%%

Setze %%\mathrm{I}%% und %%\mathrm{II}%% gleich und löse nach %%x%% auf.

%%\begin{array}{rcccc} 3x+1&=&-x+1&|-1\\ 3x&=&-x&|+x\\ 4x&=&0&|:4\\ x&=&0\end{array}%%

Setze den erhaltenen Wert für %%x%% in eine der Gleichungen ein, z.B in %%\mathrm{II}%%.

%%y=0+1=1%%

Du kannst nun die Lösungsmenge angeben.

%%L=\left\{\left(0\left|1\right.\right)\right\}%%

%%\begin{array}{ccccc} \mathrm{I}&2y& +& 5x& =& 3\\ \mathrm{II}& x &-& y &=& 1\end{array}%%

Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

Ein lineares Gleichungssystem setzt sich aus mehreren linearen Gleichungen mit gemeinsamen Unbekannten (Variablen), die alle erfüllt werden sollen, zusammen.

Graphisches Lösen

Um das Gleichungssystem graphisch lösen zu können, kannst du die einzelnen Geichungen nach %%y%% auflösen und in ein Koordinatensystem einzeichnen. Anschließend brauchst du nur noch die Koordinaten des Schnittpunktes beider Geraden abzulesen.

%%\begin{array}{ccccc} \mathrm{I}&2y+5x&=&3&|-5x\\ \mathrm{I}&2y& =&-5x+3&|:2\\ \mathrm{I}&y& =& -2{,}5x+1{,5}\\ \mathrm{II}& x - y &=& 1&|-x\\ \mathrm{II}& -y &=&-x+ 1&|\cdot(-1)\\ \mathrm{II}& y &=&x- 1\end{array}%%

Schnittpunkt Lineares Gleichungssystem

Der Schnittpunkt liegt bei %%x\approx0{,}71%% und %%y\approx-0{,}29%%. Somit lautet die Lösungsmenge %%L=\left\{\left(0{,}71\left|\;-0{,}29\right.\right)\right\}%%.

Rechnerisches Lösen

In diesem Fall bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an, da du zum graphischen Lösen bereits beide Gleichungen nach %%y%% aufgelöst hast.

%%\begin{array}{ccccc} \mathrm{I}&y& =& -2{,}5x+1{,5}\\ \mathrm{II}& y &=&x- 1\end{array}%%

Setze %%\mathrm{I}%% und %%\mathrm{II}%% gleich und löse nach %%x%% auf.

%%\begin{array}{rcccc} -2{,}5x+1{,}5&=&x-1&|-x\\ -3{,}5x+1{,5}&=&-1&|-1{,}5\\ -3{,}5x&=&-2{,}5&|:(-3{,}5)\\ x&=&\dfrac57\approx 0{,}71\end{array}%%

Setze den erhaltenen Wert für %%x%% in eine der Gleichungen ein, z.B in %%\mathrm{II}%%.

%%y=\dfrac57-1=-\dfrac27\approx-0{,}29%%

Du kannst nun die Lösungsmenge angeben.

%%L=\left\{\left(\dfrac57\left|-\dfrac27\right.\right)\right\}%%

%%\begin{array}{ccccc} \mathrm{I}&5y& -& 3x& =& 10\\ \mathrm{II}& 4x &+& 5y &=& 16\end{array}%%

Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

Ein lineares Gleichungssystem setzt sich aus mehreren linearen Gleichungen mit gemeinsamen Unbekannten (Variablen), die alle erfüllt werden sollen, zusammen.

Graphisches Lösen

Um das Gleichungssystem graphisch lösen zu können, kannst du die einzelnen Geichungen nach %%y%% auflösen und in ein Koordinatensystem einzeichnen. Anschließend brauchst du nur noch die Koordinaten des Schnittpunktes beider Geraden abzulesen.

%%\begin{array}{ccccc} \mathrm{I}&5y-3x&=&10&|+3x\\ \mathrm{I}&5y& =&3x+10&|:5\\ \mathrm{I}&y& =& 0{,}6x+2\\ \mathrm{II}& 4x+5y &=& 16&|-4x\\ \mathrm{II}& 5y &=&-4x+ 16&|:5\\ \mathrm{II}& y &=&-0{,}8x+3{,}2\end{array}%%

Schnittpunkt lineares Gleichungssystem

Der Schnittpunkt liegt bei %%x\approx0{,}86%% und %%y\approx2{,}51%%. Somit lautet die Lösungsmenge %%L=\left\{\left(0{,}86\left|\;2{,}51\right.\right)\right\}%%.

Rechnerisches Lösen

In diesem Fall bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an, da du zum graphischen Lösen bereits beide Gleichungen nach %%y%% aufgelöst hast.

%%\begin{array}{ccccc} \mathrm{I}&y& =& 0{,}6x+2\\ \mathrm{II}& y &=&-0{,}8x+3{,}2\end{array}%%

Setze %%\mathrm{I}%% und %%\mathrm{II}%% gleich und löse nach %%x%% auf.

%%\begin{array}{rcccc} 0{,}6x+2&=&-0{,}8x+3{,}2&|-2\\ 0{,}6x&=&-0{,}8x+1{,}2&|+0{,}8x\\ 1{,}4x&=&1{,}2&|:1{,}4\\ x&=&\dfrac67\approx0{,}86\end{array}%%

Setze den erhaltenen Wert für %%x%% in eine der Gleichungen ein, z.B in %%\mathrm{I}%%.

%%y=0{,}6\cdot\dfrac67+2=\dfrac{88}{35}\approx2{,51}%%

Du kannst nun die Lösungsmenge angeben.

%%L=\left\{\left(\dfrac67\left|\dfrac{88}{35}\right.\right)\right\}%%

Teste dein Wissen!

Welche der folgenden Systeme ist ein lineares Gleichungssystem? Markiere alle zutreffenden Antworten.

In Gleichung %%\mathrm{II}%% kommt das %%x%% als zweite Potenz vor.

Die Gleichung %%\mathrm{I}%% ist eine Bruchgleichung und damit nicht linear.

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Überlege dir, was ein lineares Gleichungssystem überhaupt ist:

%%\;%%

Mehrere Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen, nennt man Gleichungssystem.

Wenn zusätzlich noch jede Variable höchstens mit dem Exponenten %%1%% auftaucht, wird es Lineares Gleichungssystem genannt.

%%\;%%

Überprüfe nun die beiden Kriterien.

%%\;%%

Du erkennst, dass…

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &\frac7x&-&\frac{12}y&=&\frac56\\ \mathrm{II} &x&-&y& = &2\\ \end{array}%%

… kein Lineares Gleichungssystem ist, weil in der ersten Gleichung sowohl %%x%% als auch %%y%% den Exponenten %%-1%% haben.

%%\;%%

Du erkennst weiter, dass…

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &-3& = &x& + &2y&\\ \mathrm{II} &1& = &x^2& + &y&\\ \end{array}%%

… kein Lineares Gleichungssystem ist, weil %%x%% in der zweiten Gleichung mit dem Exponenten %%2%% auftaucht.

%%\;%%

In allen anderen Fällen sind beide Kriterien erfüllt. Es handelt es sich somit um Lineare Gleichungssysteme.

Wie viele Lösungen hat folgendes lineares Gleichungssystem?

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &-3& = &x& + &2y&\\ \mathrm{II} &1& = &x& + &2y&\\ \end{array}%%

Schau dir die Gleichungen nochmal an. %%x + 2y%% kann nicht gleichzeitig gleich %%3%% und gleich %%-1%% sein!

Die Gleichungen sind nicht identisch!

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Du zeigst, dass die Gleichungen %%\mathrm{I}%% und %%\mathrm{II}%% nicht gleichzeitig erfüllt sein können. Dabei verwendest du am besten das Subtraktionsverfahren.

%%\;%%

Subtrahiere Gleichung %%\mathrm{II}%% von Gleichung %%\mathrm{I}%%.

%%\begin{array}{rlrl} \mathrm{I} - \mathrm{II} \;\rightarrow &-4 &= &0 \\ \end{array}%%

Die Gleichung ist offensichtlich falsch. Damit ist auch das gegebene Gleichungssystem falsch und hat keine Lösung.

Die Lösungsmenge ist somit %%\mathbb{L}=\{\}%%.

Wie viele Lösungen hat folgendes Gleichungssystem?

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &\frac{9}{2}x&-&\frac{3}{2}y&=&3\\ \mathrm{II} &3x& = &2&+&y\\ \end{array}%%

Nein. Die Gleichungen sehen zwar auf den ersten Blick verschieden aus, aber wenn du sie umformst, siehst du, dass sie identisch sind!

Wenn du die Gleichungen umformst, siehst du, dass sie identisch sind!

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Du zeigst, dass die Gleichungen %%\mathrm{I}%% und %%\mathrm{II}%% äquivalent sind. Das heißt, jedes %%x%% und %%y%%, das Gleichung %%\mathrm{I}%% löst, liefert auch für Gleichung %%\mathrm{II}%% eine wahre Aussage.

Eine Möglichkeit, dies zu zeigen, ist das Einsetzungsverfahren.

%%\;%%

Stelle zunächst Gleichung %%\mathrm{II}%% nach y um.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II} &3x& = &2&+&y\\ \end{array}%%

%%|-2%%

%%\begin{array}{lrll} \mathrm{II}' &3x&-&2& = &y\\ \end{array}%%

%%\;%%

Setze nun %%\mathrm{II}'%% in Gleichung %%\mathrm{I}%% ein. Du erhältst die neue Gleichung %%\mathrm{I'}%%.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I'} &\frac{9}{2}x&-&\frac{3}{2}(3x - 2)&=&3\\ \end{array}%%

Fasse die linke Seite der Gleichung zusammen.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I'} &3&=&3\\ \end{array}%%

Die Gleichung %%\mathrm{I'}%% ist wahr und zwar unabhängig von %%x%%. Es gibt also unendlich viele Lösungen.

%%\mathbb{L}=\{(x|y)|\;y=3x-2\}%%

Wie viele Lösungen hat folgendes lineares Gleichungssystem?

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &2x&+&y&=&\frac56\\ \mathrm{II} &x&-&2y& = &2\\ \end{array}%%

Versuche nochmal das Gleichungssystem zu lösen. Entsteht dabei wirklich eine falsche Aussage (wie z. B. %%5=7%%)? Wenn nicht, dann gibt es mindestens eine Lösung!

Die Gleichungen sind (auch nach Umformungen) nicht identisch!

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Ein Lineares Gleichungssystem hat genau eine Lösung, wenn es eindeutig nach %%x%% und %%y%% aufgelöst werden kann.

Um das herauszufinden, bietet sich das Einsetzungsverfahren an, da man zum Beispiel Gleichung %%\mathrm{I}%% sehr einfach nach %%y%% umstellen kann.

%%\;%%

Stelle zunächst Gleichung %%\mathrm{I}%% nach y um.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &2x&+&y& = &\frac{5}{6}\\ \end{array}%%

%%|-2x%%

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I'} &y& = &\frac{5}{6}&-&2x\\ \end{array}%%

%%\;%%

Setze nun %%\mathrm{I'}%% in Gleichung %%\mathrm{II}%% ein. Du erhältst die neue Gleichung %%\mathrm{II'}%%.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II'} &x&-&2(\frac56 - 2x)&=&2\\ \end{array}%%

Fasse die linke Seite zusammen.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II'} &5x&-&\frac53&=&2\\ \end{array}%%

Löse nach %%x%% auf.

%%x = \frac{11}{15}%%

%%\;%%

%%x = \frac{11}{15}%% zum Beispiel in Gleichung %%\mathrm{I}%% ein, um %%y%% zu bestimmen.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &2\cdot(\frac{11}{15})&+&y& = &\frac{5}{6}\\ \end{array}%%

Löse nach %%y%% auf.

%%y = -\frac{19}{30}%%

%%\;%%

Es gibt also genau eine Lösung.

Bestimme die Lösungsmengen folgender Gleichungssysteme.

%%\begin{array}{l}(I)\;2y=2x-40\\(II)\;3x=10-2y\end{array}%%

Gegeben:   %%\begin{array}{l}(I)\;2y=2x-40\\(II)\;3x=10-2y\end{array}%%

Setze die Gleichung %%(I)%% in %%(II)%% ein.

%%3x=10-\left(2x-40\right)%%

Löse die Klammer auf und löse nach %%y%% auf.

%%3x=10-2x+40%%

%%\left|+2x\right.%%

%%5x=50%%

%%\left|:5\right.%%

%%x=10%%

Um %%y%% zu finden, setze den Wert von %%x%% in %%(I)%% ein.

%%2y=2\cdot10-40%%

%%2y=-20%%

%%\left|:2\right.%%

%%y=-10%%

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für %%x%%, dann für %%y%%.

%%L=\left\{\left(10\;\left|\;-10\right.\right)\right\}%%

 

 

 

Gegeben:  %%\begin{array}{l}(I)\;2y=2x-40\\(II)\;3x=10-2y\end{array}%%

Forme %%(II)%% um, sodass %%2y%% auf einer Seite alleine steht.  %%\left|+2y\;\;\;\left|-3x\right.\right.%%

%%(II)`\;2y=10-3x%%

Setze die beiden Gleichungen gleich.

%%2x-40=10-3x%%

Löse nach %%x%% auf.  %%\left|+3x\;\;\;\left|+40\right.\right.%%

%%5x=50%%

%%\left|:5\right.%%

%%x=10%%

Um %%y%% zu finden, setze den Wert von %%x%% in %%(II)'%% ein.

%%2y=10-3\cdot10%%

%%2y=-20%%

%%\left|:2\right.%%

%%y=-10%%

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für %%x%%, dann für %%y%%.

%%L=\left\{\left(10\;\left|\;-10\right.\right)\right\}%%

 

 

Gegeben:  %%\begin{array}{l}(I)\;2y=2x-40\\(II)\;3x=10-2y\end{array}%%

Forme die Gleichungen so um, dass die Zahlen mit den Variablen auf einer Seite und die ohne, auf der anderen stehen.

%%\begin{array}{l}(I)`\;-40=2y-2x\\(II)`-10=-2y-3x\end{array}%%

Wende das Additionsverfahren an.

%%\frac{\begin{array}{l}(I)`\;-40=\;\;\;\;2y-2x\\(II)`-10=-2y-3x\end{array}}{\;\;\;\;\;\;-50=\;\;\;\;\;\;\;\;-5x}%%

%%\left|:-5\right.%%

%%x=10%%

Um %%y%% zu finden, setze den Wert von %%x%% in %%(II)'%% ein.

%%2y=2\cdot10-40%%

%%2y=-20%%

%%\left|:2\right.%%

%%y=-10%%

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für %%x%%, dann für %%y%%.

%%L=\left\{\left(10\;\left|\;-10\right.\right)\right\}%%

%%\begin{array}{l}(I)\;\;\frac x2-\frac{3y}5=3\\(II)\;\frac x4+y=8\end{array}%%

Gegeben:   %%\begin{array}{l}(I)\;\;\frac x2-\frac{3y}5=3\\(II)\;\frac x4+y=8\end{array}%%

Forme %%(II)%% so um, dass auf der einen Seite am Ende %%\frac x2%% steht.

%%(II)\;\frac x4+y=8%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%(II)`\;\frac x2+2y=16%%

%%\left|-2y\right.%%

%%(II)`\;\frac x2=16-2y%%

Setze %%(II)'%% in %%(I)%% ein.

%%16-2y-\frac{3y}5=3%%

Löse nach %%y%% auf.  %%\left|-16\right.%%

%%-\frac{13y}5=-13%%

%%\left|\cdot5\right.%%

%%-13y=-65%%

%%\left|:-13\right.%%

%%y=5%%

Um %%x%% zu finden, setze den Wert von %%y%% in %%(II)'%% ein.

%%\frac x2=16-2\cdot5%%

%%\frac x2=6%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%x=12%%

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für %%x%%, dann für %%y%%.

%%L=\left\{\left(12\;\left|\;5\right.\right)\right\}%%

 

 

Gegeben:   %%\begin{array}{l}(I)\;\;\frac x2-\frac{3y}5=3\\(II)\;\frac x4+y=8\end{array}%%

Forme %%(II)%% und %%(I)%% so um, dass am Ende %%\frac x2%% auf einer Seite der jeweiligen Gleichung steht.

%%(II)\;\frac x4+y=8%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%(II)`\;\frac x2+2y=16%%

%%\left|-2y\right.%%

%%(II)`\;\frac x2=16-2y%%

%%(I)=\frac x2-\frac{3y}5=3%%

%%\left|+\frac{3y}5\right.%%

%%(I)`=\frac x2=3+\frac{3y}5%%

Setze %%(I)'%% und %%(II)'%% gleich.

%%16-2y=3+\frac{3y}5%%

Löse nach %%y%% auf. %%\left|-3\;\;\left|+2y\right.\right.%%

%%13=\frac{13y}5%%

%%\left|\cdot5\right.%%

%%13y=65%%

%%\left|:13\right.%%

%%y=5%%

Um %%x%% zu finden, setze den Wert von %%y%% in %%(II)'%% ein.

%%\frac x2=16-2\cdot5%%

%%\frac x2=6%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%x=12%%

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für %%x%%, dann für %%y%%.

%%L=\left\{\left(12\;\left|\;5\right.\right)\right\}%%

 

 

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.

%%\begin{array}{l}(I)\;\;\frac{4}{3x+1}=\frac{2}{3y-13}\\(II)\;\frac 2{5x-10}=\frac{4}{7y-6}\end{array}%%

Gegeben:  %%\begin{array}{l}(I)\;\;\frac{4}{3x+1}=\frac{2}{3y-13}\\(II)\;\frac 2{5x-10}=\frac{4}{7y-6}\end{array}%%

Forme %%(I)%% und %%(II)%% so um, dass beide Gleichungen keinen Bruch mehr beinhalten.

%%\begin{array}{l}(I)\;\;\frac{4}{3x+1}=\frac{2}{3y-13}\\(II)\;\frac 2{5x-10}=\frac{4}{7y-6}\end{array}%%

%%\left|\frac{(I)\;\left|\cdot\left(3x+1\right)\;\;\left|\cdot\left(3y-13\right)\right.\right.}{(II)\;\left|\cdot\left(5x-10\right)\;\left|\cdot\left(7y-6\right)\right.\right.}\right.%%

 

%%\begin{array}{l}(I)\;\;4\cdot(3y-13)=2(3x+1)\\(II)\;2\cdot(7y-6)=4(5x-10)\end{array}%%

 

%%\begin{array}{l}(I)\;\;12y-52=6x+2\\(II)\;14y-12=20x-40\end{array}%%

Forme %%(I)%% so um,dass nur noch %%y%% auf einer Seite steht.    %%\left|+52\right.%%

 

%%(\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle12\textstyle y\textstyle=\textstyle6\textstyle x\textstyle+\textstyle54%%

%%\left|\div12\right.%%

%%(\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle y\textstyle=\textstyle0\textstyle,\textstyle5\textstyle x\textstyle+\textstyle4\textstyle,\textstyle5%%

Setze %%y%% in %%(II)%% ein.

 

%%(\textstyle I\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle14\textstyle\left(0,5x+4,5\right)\textstyle-\textstyle12\textstyle=\textstyle20\textstyle x\textstyle-\textstyle40%%

Löse nach %%x%% auf.

%%(\textstyle I\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle7\textstyle x\textstyle+\textstyle51\textstyle=\textstyle20\textstyle x\textstyle-\textstyle40%%

%%\left|+40\;\left|-7x\right.\right.%%

%%(\textstyle I\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle91\textstyle=\textstyle13\textstyle x%%

%%\left|\div13\right.%%

%%(\textstyle I\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle7\textstyle=\textstyle x%%

Setze %%x%% in %%(I)%% ein, um %%y%% zu finden.

 

%%(\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle y\textstyle=\textstyle0\textstyle,\textstyle5\textstyle\cdot\left(7\right)\textstyle+\textstyle4\textstyle,\textstyle5%%

%%(\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle y\textstyle=\textstyle8%%

Mache die Probe mit der Grundgleichung %%(II)%%.

 

%%(\textstyle I\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle14\textstyle\cdot\left(8\right)\textstyle-\textstyle12\textstyle=\textstyle100%%

%%(\textstyle I\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle20\textstyle\cdot\left(7\right)\textstyle-\textstyle40\textstyle=\textstyle100%%

Gib die Lösungmenge an. %%L=\left\{\left(x\left|y\right.\right)\right\}%%

%%L=\left\{\left(7\left|8\right.\right)\right\}%%

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)\frac4y+\frac52=\frac9x%%

Gegeben:

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)\frac4y+\frac52=\frac9x%%

Forme %%(II)%% so um, dass auf einer Seite alle Variablen und auf der anderen nur Zahlen sind.

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)\frac4y+\frac52=\frac9x%%

%%\left|(II)\;-\frac9x\;\;\;\;\left|-\frac52\right.\right.%%

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)\frac4y-\frac9x=-\frac52%%

Jetzt ordne alle Variablen so an, dass diese untereinander stehen.

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)-\frac9x+\frac4y=-\frac52%%

Nimm die Gleichung %%(II)%% mal %%3%%, um das Additionsverfahren anwenden zu können.

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)-\frac{27}x+\frac{12}y=-\frac{15}2%%

Wende jetzt das Additionsverfahren an.

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)-\frac{27}x+\frac{12}y=-\frac{15}2%%

%%\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;-\frac{20}x=-\frac{40}6}%%

Bilde die Kehrbrüche.

%%-\frac x{20}=-\frac6{40}%%

%%\left|\cdot\left(-20\right)\right.%%

%%x=3%%

Setze %%x%% in %%(II)%% ein.

%%\left(II\right)\frac4y+\frac52=\frac93%%

%%\left|-\frac52\right.%%

%%\frac4y=\frac12%%

Bilde die Kehrbrüche.

%%\frac y4=2%%

%%\left|\cdot4\right.%%

%%y=8%%

Gib die Lösungsmenge an. %%L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}%%

%%L=\left\{\left(3\;\left|\;8\right.\right)\right\}%%

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.

%%(I)\frac4x+\frac8y=\frac53%%

%%(II)\;\frac2x-\frac4y=-\frac16%%

%%(I)\frac4x+\frac8y=\frac53%%

%%(II)\;\frac2x-\frac4y=-\frac16%%

Nimm %%(II)%% mal %%2%%, um das Additionsverfahren anwenden zu können.

%%(I)\frac4x+\frac8y=\frac53%%

%%(II)\;\frac4x-\frac8y=-\frac13%%

Wende nun das Additionsverfahren an.

%%(I)\frac4x+\frac8y=\frac53%%

%%(II)\;\frac4x-\frac8y=-\frac13%%

%%\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac8x=\frac43}%%

%%\frac x8=\frac34%%

%%\left|\cdot8\right.%%

Bilde die Kehrbrüche.

%%x=6%%

Setze %%x%% in %%(I)%% ein.

%%(I)\frac46+\frac8y=\frac53%%

%%\left|-\frac46\right.%%

%%\frac8y=\frac53-\frac46%%

 

%%\frac8y=\frac33%%

%%\frac y8=1%%

%%\left|\cdot8\right.%%

Bilde die Kehrbrüche.

%%y=8%%

Gib die Lösungsmenge an. %%L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}%%

%%L=\left\{\left(6\;\left|\;8\right.\right)\right\}%%

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.

%%(I)\frac3{2x-1}-\frac8{3y+2}=-\frac15%%

%%(II)\frac5{2x-1}+\frac4{3y+2}=\frac8{15}%%

%%(I)\frac3{2x-1}-\frac8{3y+2}=-\frac15%%

%%(II)\frac5{2x-1}+\frac4{3y+2}=\frac8{15}%%

Nimm %%(II)%% mal %%2%%, um das Additionsverfahren anwenden zu können.

%%(I)\frac3{2x-1}-\frac8{3y+2}=-\frac15%%

%%(II)\frac{10}{2x-1}-\frac8{3y+2}=\frac{16}{15}%%

Addiere beide Gleichungen.

%%(I)+(II)\frac3{2x-1}-\frac8{3y+2}+\frac8{3y+2}+\frac{10}{2x-1}=-\frac15+\frac{16}{15}%%

Fasse auf beiden Seiten zusammen und bilde den Hauptnenner.

%%(I)+(II)\frac{13}{2x-1}=-\frac3{15}+\frac{16}{15}%%

%%(I)+(II)\frac{13}{2x-1}=\frac{13}{15}%%

%%(I)+(II)13=\frac{13\left(2x-1\right)}{15}%%

%%\left|\cdot15\right.%%

%%(I)+(II)195=26x-13%%

%%\left|+13\right.%%

%%(I)+(II)208=26x%%

%%\left|:26\right.%%

%%x=8%%

Setze %%x%% in  %%(I)%% ein.

%%(I)\frac3{2\cdot8-1}-\frac8{3y+2}=-\frac15%%

%%(I)\frac3{15}-\frac8{3y+2}=-\frac15%%

%%\left|-\frac3{15}\right.%%     Bilde den Hauptnenner.

%%(I)-\frac8{3y+2}=-\frac3{15}-\frac3{15}%%

Fasse zusammen.

%%(I)-\frac8{3y+2}=-\frac6{15}%%

%%\left|\cdot\left(-1\right)\right.%%

%%(I)\frac8{3y+2}=\frac6{15}%%

%%\left|\cdot\left(3y+2\right)\right.%%

%%(I)8=\frac{6\left(3y+2\right)}{15}%%

%%\left|\cdot\right.15%%

%%(I)120=6\left(3y+2\right)%%

%%\left|:6\right.%%

%%(I)20=3y+2%%

%%\left|-2\right.%%

%%(I)18=3y%%

%%\left|:3\right.%%

%%y=6%%

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für %%x%%, dann für %%y%%.

%%L=\left\{\left(8\;\left|\;6\right.\right)\right\}%%

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.

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