Aufgaben
Teste dein Wissen!
Ordne die Schritte des Gleichsetzungsverfahrens richtig ein! Trage dafür in das Lösungsfeld die Nummern der Schritte nacheinander und ohne Leerzeichen ein (z. B. 123).
  1. Die Variable in eine Gleichung einsetzen.
  2. Die Gleichungen I\mathrm{I} und II\mathrm{II} gleichsetzen.
  3. Die entstandene Gleichung nach einer Variable auflösen.
Welches der Folgenden beschreibt einen Schnittpunkt?
Der Punkt, an dem die Funktionswerte gleich sind.
Ein beliebiger Punkt im Koordinatensystem.
Der Scheitelpunkt einer Parabel wird auch Schnittpunkt genannt.
Warum brauchst du ein lineares Gleichungssytem?
Ein Schnittpunkt ist nicht immer grafisch bestimmbar.
Mit einem LGS kann man den Schnittpunkt zweier Kreise bestimmen.

Löse die Gleichungssysteme.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad 3x + 4 = 2y%%

%%\mathrm{II}) \quad 4y = 2x + 10%%

Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad 3x + 4 = 2y%%

%%\mathrm{II}) \quad 4y = 2x + 10%%

1. Beide Gleichungen nach y auflösen**

Löse beide Gleichungen nach einer Variablen auf. In diesem Fall ist %%y%% schon einzeln, also ist es einfacher nach %%y%% aufzulösen.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad 3x + 4 = 2y%%

%%\mid:2%%

%%\mathrm{II}) \quad 4y = 2x + 10%%

%%\mid : 4%%

%%\mathrm{I})' \quad 1,5x + 2 = y%%

%%\mathrm{II})' \quad y = 0,5x + 2,5%%

2. Gleichsetzen

Setze die beiden Gleichungen %%\mathrm{I'}%% und %%\mathrm{II'}%% gleich.

%%\Rightarrow 1,5x + 2 = 0,5x + 2,5%%

3. Gleichung nach x auflösen

%%1,5x + 2 = 0,5x + 2,5%%

%%\mid - 0,5x%%

%%x + 2 = 2,5%%

%%\mid -2%%

%%x = 0,5%%

4. x einsetzen, um y heraus zu finden

Setze %%x%% in %%\mathrm{I'}%% oder %%\mathrm{II'}%% ein.

%%y = 0,5 \cdot 0,5 + 2,5 = 0,25 + 2,5 = 2,75%%

Gib die Lösungsmenge an

%%\displaystyle{L = \left\lbrace \left(0,5 \ ; \ 2,75 \right) \right\rbrace}%%

%%\hphantom{\mathrm{I}} \mathrm{I}) \quad y - 1 = 2x + 3%%

%%\mathrm{II}) \quad 2y - 2 = 5x - 1%%

Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad y-1 = 2x +3%%

%%\mathrm{II}) \quad 2y-2 = 5x - 1%%

1. Beide Gleichungen nach x auflösen

Löse beide Gleichungen nach einer Variablen auf. Zum Beispiel nach der Variablen %%x%%.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})\quad y-1 = 2x +3\\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})'\quad y-4 = 2x \\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})''\quad 0,5y-2 = x%%

%%| -3%%

%%| :2%%

%%\mathrm{II}) \quad 2y-2 = 5x - 1\\ \mathrm{II})' \quad 2y-1 = 5x\\ \mathrm{II})'' \quad 0,4y-0,2 = x %%

%%| +1%%

%%| :5%%

2. Gleichsetzen

Setze die beiden Gleichungen %%\mathrm{I''}%% und %%\mathrm{II''}%% gleich.

%%\Rightarrow 0,5y-2 = 0,4y-0,2%%

3. Gleichung nach y auflösen

%%0,5y-2 = 0,4y-0,2%%

%%0,5y = 0,4y+1,8%%

%%0,1y = 1,8%%

%%y = 18%%

%%| +2%%

%%|-0,4y%%

%%| : 0,1%%

4. y einsetzen, um x heraus zu finden

%%y%% in %%\mathrm{I''}%% einsetzen

%%0,5\cdot 18 -2 = x = 9-2 = 7%%

%%L = \{(7,18)\}%%

Gib die Lösungsmenge an

%%\hphantom{\mathrm{I}} \mathrm{I}) \quad 2x + 3y = 4x - 5%%

%%\mathrm{II}) \quad 3x - 2y = 2y + 8%%

Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad 2x+3y = 4x -5%%

%%\mathrm{II}) \quad 3x-2y = 2y+8%%


1. Beide Gleichungen nach einer Variable auflösen

Löse beispielsweise nach %%y%% auf

%%\begin{array}{lrl} \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) & 2x+3y &= &4x -5 \\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})' & 3y &= &2x -5 \\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})'' & y &= &\frac{2}{3}x - \frac{5}{3} \end{array}%%

%%| -2x%%

%%| :3%%


%%\begin{array}{lrl} \mathrm{II}) & 3x-2y &= &2y+8 \\ \mathrm{II})' & 3x-8 &= &4y \\ \mathrm{II})'' & \frac{3}{4}x-2 &= &y \end{array}%%

%%|+2y \qquad |-8\\ | :4%%

2. Gleichsetzen

Setze %%\mathrm{I'}%% und %%\mathrm{II'}%% gleich.

%%\begin{array}{lrl}\Rightarrow &\frac{3}{4}x-2 &= &\frac{2}{3}x-\frac{5}{3} \end{array}%%

3. Nach der einen Variable auflösen

Löse nach %%x%% auf.

%%\begin{array}{rrl} \frac{3}{4}x-2 &= &\frac{2}{3}x-\frac{5}{3} \\ \frac{3}{4}x-\frac{2}{3}x-2 &= &-\frac{5}{3} \\ \frac{9}{12}x-\frac{8}{12}x &= &-\frac{5}{3} +2 \\ \frac{1}{12}x &= &\frac{1}{3} \\ x &= &4 \\ \end{array}%%

%%| -\frac{2}{3}x \\ | +2 \phantom{\frac{0}{0}}\\ \phantom{\frac{0}{0}} \\ | \cdot12%%

4. In eine Gleichung einsetzten, um die andere Variable heraus zu finden

Setze %%x%% beispielsweise in %%\mathrm{II'}%% ein.

%%\begin{array}{rl} \frac{3}{4}\cdot (4)-2 &= &y \\ 3-2 &= &y \\ y &= &1 \end{array}%%

%%L = \{(4,1)\}%%

%%4%% wird für %%x%% eingesetzt. %%\quad \\ \quad%%

Lösungsmenge angeben!

Löse die Linearen Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad 3x + 4 = y%%

%%\mathrm{II} \quad 4y -3x = 9%%

Lösen eines LGS mit dem Einsetzungsverfahren

Löse nach einer Variablen auf

Als erstes musst du eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen auflösen. In diesem Fall erkennst du, dass Gleichung %%\mathrm{I}%% schon nach %%y%% aufgelöst ist.

%%\;%%

Setze %%y%% in %%\mathrm{II}%% ein

Setze nun Gleichung %%\mathrm{I}%% in Gleichung %%\mathrm{II}%% ein.

%%\mathrm{II} \quad 4\cdot(3x + 4) -3x = 9%%

Löse nach %%x%% auf.

%%\mathrm{II} \quad 12x + 16 -3x = 9%%

%%\mathrm{II} \quad 9x = - 7%%

%%\mathrm{II} \quad x = -\dfrac{7}{9}%%

%%|-16%%

%%|:9%%

%%\;%%

Setze %%x%% in %%\mathrm{I}%% ein

Setze %%x = - \dfrac{7}{9}%% in Gleichung %%\mathrm{I}%% ein.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad 3\cdot\left(-\dfrac{7}{9}\right) + 4 = y%%

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad y = \dfrac{5}{3}%%

%%\;%%

Lösungsmenge angeben

Gib zum Schluss die Lösungsmenge an.

%%\mathbb{L}=\left\{\left(-\dfrac{7}{9}\left|\dfrac{5}{3}\right.\right)\right\}%%.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad 3s - 4t = 4%%

%%\mathrm{II} \quad 4s + t = -2%%

Lösen eines LGS mit dem Einsetzungsverfahren

Löse nach einer Variablen auf

Als erstes musst du eine der beiden Gleichungen nach %%s%% oder %%t%% auflösen. Es bietet sich hier an, Gleichung %%\mathrm{II}%% nach %%t%% umzustellen.

Stelle Gleichung %%\mathrm{II}%% nach %%t%% um.

%%\mathrm{II} \quad 4s + t = -2%%

%%\mathrm{II'} \quad t = -2 - 4s%%

%%|-4s%%

%%\;%%

Setze %%t%% in %%\mathrm{I}%% ein

Setze nun %%-2 - 4s%% für %%t%% in Gleichung %%\mathrm{I}%% ein.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad 3s - 4\cdot(-2 - 4s) = 4%%

Löse nach %%s%% auf.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad 3s + 8 + 16s = 4%%

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad 19s = -4%%

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad s = -\frac{4}{19}%%

%%|-8%%

%%|:19%%

%%\;%%

Setze %%s%% in %%\mathrm{II'}%% ein

Setze %%s = -\frac{4}{19}%% in %%\mathrm{II'}%% ein, um %%t%% zu bestimmen.

%%\mathrm{II'} \quad t = -2 - 4\cdot\left(-\frac{4}{19}\right)%%

%%\mathrm{II'} \quad t = -\frac{22}{19}%%

%%\;%%

Lösungsmenge angeben

Gib die Lösungsmenge an.

%%\mathbb{L}=\left\{(s|t)=\left(-\frac{4}{19}|-\frac{22}{19}\right)\right\}%%.

Löse das folgende Gleichungssystem mit dem Additions-/Subtraktionsverfahren!
I4x+2y=4II6x3y=3\begin{array}{lrrll}\mathrm{I} &4x+2y &= &4 \\\mathrm{II} &6x-3y &= &-3\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additions-/ Subtraktionsverfahren

0. Schritt: Aufräumen der Gleichungen und Auswahl einer Variablen

Da die Gleichungen schon schön geordnet sind fällt dieser Punkt weg. In diesem Fall ist es gleich aufwendig die Aufgabe zu lösen, egal ob du xx oder yy auswählst.
Die Lösung wird für die Variable xx vorgerechnet.

1. Schritt: Vervielfachen der Gleichungen

In Gleichung II sind es 4x4x, in Gleichung IIII sind es 6x6x. Ein gemeinsames Vielfaches ist also 12x12x. Multipliziere dafür die erste Gleichung mit 33 und die zweite Gleichung mit 22.
Gleichung 1
%%\begin{array}{lcccccl}\mathrm{I}& 4x&+&2y&=&4& \quad &|\cdot 3\\\mathrm{I}' &12x& + &6y &= &12& \\\end{array}%%
Gleichung 2
%%\begin{array}{lcccccl}\mathrm{II}& 6x& - &3y &= &-3& \quad &|\cdot 2\\\mathrm{II}' &12x& - &6y &= &-6& \\\end{array}%%

2. Schritt: Entfernung einer Variablen durch Addition/Subtraktion

Die Vorzeichen der ausgesuchten Variable sind beide Male gleich. Deswegen musst du das Subtraktionsverfahren anwenden.
%%\begin{array}{llcccll}&\mathrm{I}' & 12x&+& 6y&=&12\\-&\mathrm{II}' & 12x&-&6y&=&-6\\\hline& & \color{#009900}0&+&12y&=& 18\end{array}%%

3. Schritt: Werte der beiden Variablen bestimmen

Wert von yy bestimmen
%%\begin{array}{rrll}12y &= &18 &\quad |: 12\\\color{#FF6600}y &= &\color{#FF6600}{\dfrac{3}{2}}\end{array}%%
Wert von xx bestimmen: Einsetzen von yy in II\mathrm{II}
%%\begin{array}{rrll}6x - 3 \cdot \color{#FF6600}{\dfrac{3}{2}} &= &-3 \\6x - \dfrac{9}{2} &= &-3 \quad &|+ \dfrac{9}{2}\\6x &=& \dfrac{3}{2} \quad &|: 6\\\color{#009999}x &= &\color{#009999}{\dfrac{1}{4}}\end{array}%%
Die Lösung ist also x=14\color{#009999}x = \color{#009999}{\dfrac{1}{4}} und y=32\color{#FF6600}y = \color{#FF6600}{\dfrac{3}{2}}: L={(xy)=(14    32)}\quad \mathbb{L}=\left\{(x|y)=\left(\color{#009999}{\dfrac{1}{4}}\;\bigg\vert\;\color{#FF6600}{\dfrac{3}{2}}\right)\right\}.
Teste dein Wissen! Mit welchen Verfahren ist es sinnvoll die folgenden Gleichungssysteme zu lösen?
II3x+6y=2\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad 3x + 6y = 2
II4x+2=y\mathrm{II} \quad 4x + 2 = y
Einsetzungsverfahren
Gleichsetzungsverfahren
Additions- bzw. Subtraktionsverfahren

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme

Die Gleichung II\mathrm{II} ist bereits nach yy aufgelöst. Es bietet sich also an, das Einsetzungsverfahren zu verwenden.
Bei den anderen beiden Verfahren müssen noch Umformungsschritte vorgenommen werden, bevor man sie anwenden kann.
IIs=4t7\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad s = 4t -7
IIs=2+3t\mathrm{II} \quad s = -2 + 3t
Gleichsetzungsverfahren
Additions- bzw. Subtraktionsverfahren
Einsetzungsverfahren

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme

Alle drei Verfahren können direkt angewendet werden und sind aus diesem Grund sinnvoll.
II2a2b=3\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad 2a - 2b = 3
II5a+2b=6\mathrm{II} \quad 5a + 2b = 6
Additions- bzw. Subtraktionsverfahren
Einsetzungsverfahren
Gleichsetzungsverfahren

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme

In Gleichung I\mathrm{I} steht 2b-2b, in Gleichung II\mathrm{II} 2b2b. Da bei Addition das bb wegfällt, eignet sich das Additionsverfahren.
Bei den anderen beiden Verfahren müssen noch Umformungsschritte vorgenommen werden, bevor man sie anwenden kann.
Löse mit dem am besten geeigneten Verfahren.
Ie+4f=20II3e+4f=12\begin{array}{lrcc}\mathrm{I}& e+4f&=&20\\\mathrm{II}&-3e+4f&=&-12\\\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme

In dieser Aufgabe bietet sich das Additions-/Subtraktionsverfahren an. Du verwendest das Subtraktionsverfahren, da in beiden Gleichungen +4f+4f vorkommt.

Ie+4f=20II3e+4f=124e+0=32\begin{array}{rrrcrlr}&\mathrm{I} &e&+&4f&=&20\\-&\mathrm{II}&-3e&+&4f&=&-12\\\hline&&4e&+&0&=&32\end{array}
Löse nach ee auf
4e+0=32:4e=8\begin{array}{llccll}4e&+&0&=&32 \quad |:4\\&&e&=&\color{#009900}8\end{array}
Setze ee in eine der Gleichungen ein
ee in I\mathrm{I}

8+4f=2084f=12:4f=3\begin{array}{llccll}\color{#009900}8&+&4f&=&20&|-8&\\&&4f&=&12&|:4&\\&&f&=&\color{#cc0000}3\end{array}
Bestimme die Lösungsmenge.
L={(ef)=(83)}\mathbb{L}=\{(e|f)=(8|3)\}
I7y=5+2xII4x14y=46\begin{array}{lrcl}\mathrm{I}& 7y&=&5+2x\\\mathrm{II}&4x-14y&=&46\\\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme

Eine sehr schöne Lösung ergibt sich mit dem Einsetzungsverfahren.
  \;
Die Gleichung I\mathrm{I} ist nach 7y7y aufgelöst und in Gleichung II\mathrm{II} steht 14y14y. Du kannst sogar ohne Umformung das Einsetzungsverfahren verwenden.
Schreibe Gleichung II\mathrm{II} um.
II4x27y=46\begin{array}{lrcl}\mathrm{II}&4x-2\cdot7y&=&46\\\end{array}
Setze 7y7y aus Gleichung I\mathrm{I} in Gleichung II\mathrm{II} ein.
II4x2(5+2x)=46\begin{array}{lrcl}\mathrm{II}&4x-2\cdot(5 + 2x)&=&46\\\end{array}
Fasse zusammen und löse nach xx auf.
II4x104x=46+10II0=56\begin{array}{lrcl}\mathrm{II}&4x-10 - 4x&=&46& \vert +10\\ \mathrm{II}&0&=&56\end{array}
\begin{array}{lrcl}\\\end{array}
Wie du jetzt sehen kannst, gleichen sich die Ergebnisse nicht wodurch sich ein Widerspruch ergibt. Daraus folgt, dass das LGS keine Lösungen hat, da für xx keine Zahl zugeordnet werden kann.
I3,5=0,5k+2,5mII10m=14+2k\begin{array}{lrcl}\mathrm{I}& 3,5&=&-0,5k+2,5m\\\mathrm{II}&10m&=&14+2k\\\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme

Du verwendest am Besten das Additionsverfahren, da du mit einem scharfen Blick siehst, dass 2k2k das 44-fache von 0,5k0,5k ist.
Vervielfache die erste Gleichung
I3,5=0,5k+2,5m4II10m=14+2kI14=2k+10m+2kII10m=14+2kI14+2k=10mII10m=14+2k\begin{array}{rrl}\mathrm{I}&3,5&=&-0,5k+2,5m&|\cdot 4\\\mathrm{II}&10m&=&14+2k\\\mathrm{I'}&14&=&-2k+10m&|+2k\\\mathrm{II}&10m&=&14+2k\\\mathrm{I'}&14+2k&=&10m&\\\mathrm{II}&10m&=&14+2k\end{array}
Wie du jetzt sehen kannst, sind beide Gleichungen identisch. Daraus folgt, dass das LGS unendlich viele Lösungen hat. Graphisch betrachtet können das zwei Geraden sein, die aufeinander liegen.



Löse die Gleichung noch nach einer Variablen auf um die Lösungsmenge anzugeben.
10m=14+2k:10m=1,4+0,2k10 m = 14 + 2 k \quad | : 10 \\m = 1,4 + 0,2 k

L={(mk)    m=1,4+0,2k}\mathbb{L} = \left\{ (m|k) \;\big |\; m = 1,4 + 0,2 k \right\}
Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Gleichungssysteme.
I5y3x=1II x=y+1\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&5y& -& 3x& =& 1\\\mathrm{II}&  x &=& y& +& 1\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme

In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.
%%\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&5y& -& 3x& =& 1\\\mathrm{II}& x &=& y& +& 1\end{array}%%
Man setzt die Gleichung II\mathrm{II} in I\mathrm{I} ein.
I5y3(y+1)=1\mathrm{I}'\quad5y-3\left(y+1\right)=1
Dann löst man nach yy auf.
%%\begin{array}{rcccc}5y-3y-3&=&1&\\2y-3&=&1&|+3\\2y&=&4&|:2\\y&=&2\end{array}%%
Nun setzt man y=2y=2 in II\mathrm{II} ein und löst nach xx auf.
%%\begin{array}{rcccc}5\cdot2-3x&=&1&|-10\\-3x&=&-9&|:(-3)\\x&=&3\end{array}%%
Man kann nun die Lösungsmenge angeben:
L={(3    2)}L=\left\{\left(3\;\left|\;2\right.\right)\right\}
I4x+5y=32IIy=5x11\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&4x&+&5y&=&32\\\mathrm{II}&y&=&5x&-&11\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineares Gleichungssystem


In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.
%%\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&4x&+&5y&=&32\\\mathrm{II}&y&=&5x&-&11\end{array}%%
Man setzt die Gleichung II\mathrm{II} in I\mathrm{I} ein.
I4x+5(5x11)=32\mathrm{I}'\quad 4x+5\cdot \left(5x-11\right)=32
Dann löst man nach xx auf.
%%\begin{array}{rccc}4x+25x-55&=&32&\\29x-55&=&32&|+55\\29x&=&87&&|:29\\x&=&3\end{array}%%
Nun setzt man x=3x=3 in II\mathrm{II} ein und löst nach yy auf.
%%\begin{array}{rcl}y&=&5\cdot3-11\\y&=&4\end{array}%%
Man kann nun die Lösungsmenge angeben:
L={(3    4)}L=\left\{\left(3\;\left|\;4\right.\right)\right\}
I15y4x=50IIx=y+7\begin{array}{cccc}\mathrm{I}&15y&-&4x&=&-50\\\mathrm{II}&x&=&y&+&7\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineares Gleichungssystem

In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.
%%\begin{array}{cccc}\mathrm{I}&15y&-&4x&=&-50\\\mathrm{II}&x&=&y&+&7\end{array}%%
Man setzt die Gleichung II\mathrm{II} in I\mathrm{I} ein.
I15y4(y+7)=50\mathrm{I}'\quad15y-4\left(y+7\right)=-50
Nun löst man nach xx auf.
%%\begin{array}{rcll}15y-4y-28&=&-50&\\11y-28&=&-50&|+28\\11y&=&-22&|:11\\y&=&-2\end{array}%%
Dann setzt man y=2y=-2 in II\mathrm{II} ein und löst nach xx auf.
x=2+7x=-2+7
x=5x=5
Jetzt kann man die Lösungsmenge angeben:
L={(5    2)}L=\left\{\left(5\;\left|\;-2\right.\right)\right\}
I3x=y+15II2y10=2x\begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}&2y&-&10&=&2x\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineares Gleichungssystem

Lösung mit Einsetzungsverfahren

In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.
%%\begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}&2y&-&10&=&2x\end{array}%%
Teile II\mathrm{II} durch 2, um nach der Variablen xx aufzulösen.
II:2IIy5=x\mathrm{II}:2\to\mathrm{II}'\quad y-5= x
Setze II\mathrm{II}' in I\mathrm{I} ein.
II\mathrm{II}' in I\mathrm{I} eingesetzt:
I3(y5)=y+15\mathrm{I}'\quad3\left(y-5\right)=y+15
Löse dann I\mathrm{I}' nach yy auf.
%%\begin{array}{rcll}3y-15&=&y+15&|-y; +15\\2y&=&30&|:2\\y&=&15\end{array}%%
Setze anschließend y=15y=15 in II\mathrm{II}' ein und löse nach xx auf.
y=15y=15 in II\mathrm{II}' eingesetzt:

%%\begin{array}{rcll}15-5&=&x\\10&=&x\end{array}%%
Gib zum Schluss noch die Lösungsmenge an.
L={(10    15)}L=\left\{\left(10\;\left|\;15\right.\right)\right\}


Alternative Lösung: Gleichsetzungsverfahren

Eine weitere Möglichkeit ist, hier das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, da auf der linken Seite von I\mathrm{I} und auf der rechten Seite von II\mathrm{II} fast der gleiche Term steht.
%%\begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}&2y&-&10&=&2x\end{array}%%
Multipliziere II\mathrm{II} mit 32\frac32, um auf der rechten Seite 3x3x zu erzeugen.
%%\begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}'&3y&-&15&=&3x\end{array}%%
Setze die rechte Seite von I\mathrm{I} mit der linken von II\mathrm{II}' gleich und löse nach xx auf.
%%\begin{array}{rcll}3x-15&=&x+5&|-x;\;+15\\2x&=&20&|:2\\x&=&10\end{array}%%
Setze x=10x=10 in I\mathrm{I} (oder auch II\mathrm{II}) ein und löse nach yy auf.
%%\begin{array}{rcll}3\cdot 10&=&y+15&\\30&=&y+15&|-15\\15&=&y\end{array}%%
Gib zum Schluss noch die Lösungsmenge an.
L={(10    15)}L=\left\{\left(10\;\left|\;15\right.\right)\right\}


Alternative Lösung: Kombination Additionsverfahren und Einsetzverfahren

Auch das Additionsverfahren kann hier sinnvoll eingesetzt werden. Dazu stellt man die Gleichungen zunächst so um, dass die passenden Terme untereinander stehen:
%%\begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}&2x&=&2y&-&10\end{array}%%
Subtrahiere die zweite von der ersten Gleichung.
%%\begin{array}{cccc}\mathrm{I}'&x&=&-y&+&25\\\mathrm{II}&2x&=&2y&-&10\end{array}%%
Da die erste Gleichung nun nach xx aufgelöst ist, kann man wieder das Einsetzungsverfahren anwenden.
Setze dazu I\mathrm{I}' in II\mathrm{II} ein und löse nach yy auf.
%%\begin{array}{crcll}\mathrm{II}'&2\cdot(-y+25)&=&2y-10&\\&-2y+50&=&2y-10&|-2y \;\;|-50\\&-4y&=&-60&|:(-4)\\&y&=&15\end{array}%%
Setze y=15y=15 in I\mathrm{I}' ein und löse nach xx auf.
x=15+25x=-15+25
x=10x=10
Gib zum Schluss noch die Lösungsmenge an.
L={(1015)}L=\{(10|15)\}
Löse die folgenden Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen und 2 Variablen zunächst graphisch und dann rechnerisch.
Zu text-exercise-group 69585:
Renate 2018-12-19 00:48:48+0100
LÖSUNGEN FEHLEN NOCH

Lieber Nish,

vielen Dank für die drei Aufgaben dieser Aufgabengruppe, die du laut Bearbeitungsverlauf vor nicht ganz zwei Jahren angelegt hast!
Leider fehlen überall noch die Lösungen - ich nehme an, dass das nicht beabsichtigt ist, oder etwa aus irgendeinem Grunde doch?

Falls es keine Absicht war, hast du vor, demnächst noch die Lösungen zu erstellen?
Oder weißt du vielleicht jemanden, der es machen könnte und möchte?

@COMMUNITY:
Gibt es vielleicht IN DER COMMUNITY irgendjemanden, der oder die Zeit und Lust dazu hätte, es zu versuchen? Vielleicht auch nur für eine der Aufgaben?

Viele Grüße (und Dank im Voraus an alle, die sich an die Lösungen wagen :) !)
Renate
Jonathan 2018-12-20 14:46:58+0100
Hi
ich habe jetzt mal die Lösungen zu den Aufgaben erstellt. Über Feedback wäre ich aber noch sehr dankbar.
LG
Jonathan
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%%\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&y& -& 3x& =& 1\\\mathrm{II}& x &+& y &=& 1\end{array}%%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichunssysteme

Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

Ein lineares Gleichungssystem setzt sich aus mehreren linearen Gleichungen mit gemeinsamen Unbekannten (Variablen), die alle erfüllt werden sollen, zusammen.

Graphisches Lösen

Um das Gleichungssystem graphisch lösen zu können, kannst du die einzelnen Geichungen nach yy auflösen und in ein Koordinatensystem einzeichnen. Anschließend brauchst du nur noch die Koordinaten des Schnittpunktes beider Geraden abzulesen.
%%\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&y -3x&=&1&|+3x\\\mathrm{I}&y& =& 3x+1\\\mathrm{II}& x + y &=& 1&|-x\\\mathrm{II}& y &=&-x+ 1\end{array}%%
Schnittpunkte lineares Gleichungssytem
Der Schnittpunkt liegt bei x=0x=0 und y=1y=1. Somit lautet die Lösungsmenge L={(0  1)}L=\left\{\left(0\left|\;1\right.\right)\right\}.

Rechnerisches Lösen

In diesem Fall bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an, da du zum graphischen Lösen bereits beide Gleichungen nach yy aufgelöst hast.
Iy=3x+1IIy=x+1\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&y& =& 3x+1\\\mathrm{II}& y &=&-x+ 1\end{array}
Setze I\mathrm{I} und II\mathrm{II} gleich und löse nach xx auf.
3x+1=x+113x=x+x4x=0:4x=0\begin{array}{rcccc}3x+1&=&-x+1&|-1\\3x&=&-x&|+x\\4x&=&0&|:4\\x&=&0\end{array}
Setze den erhaltenen Wert für xx in eine der Gleichungen ein, z.B in II\mathrm{II}.
y=0+1=1y=0+1=1
Du kannst nun die Lösungsmenge angeben.
L={(01)}L=\left\{\left(0\left|1\right.\right)\right\}
%%\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&2y& +& 5x& =& 3\\\mathrm{II}& x &-& y &=& 1\end{array}%%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichungssysteme

Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

Ein lineares Gleichungssystem setzt sich aus mehreren linearen Gleichungen mit gemeinsamen Unbekannten (Variablen), die alle erfüllt werden sollen, zusammen.

Graphisches Lösen

Um das Gleichungssystem graphisch lösen zu können, kannst du die einzelnen Geichungen nach yy auflösen und in ein Koordinatensystem einzeichnen. Anschließend brauchst du nur noch die Koordinaten des Schnittpunktes beider Geraden abzulesen.
%%\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&2y+5x&=&3&|-5x\\\mathrm{I}&2y& =&-5x+3&|:2\\\mathrm{I}&y& =& -2{,}5x+1{,5}\\\mathrm{II}& x - y &=& 1&|-x\\\mathrm{II}& -y &=&-x+ 1&|\cdot(-1)\\\mathrm{II}& y &=&x- 1\end{array}%%
Schnittpunkt Lineares Gleichungssystem
Der Schnittpunkt liegt bei x0,71x\approx0{,}71 und y0,29y\approx-0{,}29. Somit lautet die Lösungsmenge L={(0,71  0,29)}L=\left\{\left(0{,}71\left|\;-0{,}29\right.\right)\right\}.

Rechnerisches Lösen

In diesem Fall bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an, da du zum graphischen Lösen bereits beide Gleichungen nach yy aufgelöst hast.
Iy=2,5x+1,5IIy=x1\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&y& =& -2{,}5x+1{,5}\\\mathrm{II}& y &=&x- 1\end{array}
Setze I\mathrm{I} und II\mathrm{II} gleich und löse nach xx auf.
2,5x+1,5=x1x3,5x+1,5=11,53,5x=2,5:(3,5)x=570,71\begin{array}{rcccc}-2{,}5x+1{,}5&=&x-1&|-x\\-3{,}5x+1{,5}&=&-1&|-1{,}5\\-3{,}5x&=&-2{,}5&|:(-3{,}5)\\x&=&\dfrac57\approx 0{,}71\end{array}
Setze den erhaltenen Wert für xx in eine der Gleichungen ein, z.B in II\mathrm{II}.
y=571=270,29y=\dfrac57-1=-\dfrac27\approx-0{,}29
Du kannst nun die Lösungsmenge angeben.
L={(5727)}L=\left\{\left(\dfrac57\left|-\dfrac27\right.\right)\right\}
%%\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&5y& -& 3x& =& 10\\\mathrm{II}& 4x &+& 5y &=& 16\end{array}%%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichungssysteme

Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

Ein lineares Gleichungssystem setzt sich aus mehreren linearen Gleichungen mit gemeinsamen Unbekannten (Variablen), die alle erfüllt werden sollen, zusammen.

Graphisches Lösen

Um das Gleichungssystem graphisch lösen zu können, kannst du die einzelnen Geichungen nach yy auflösen und in ein Koordinatensystem einzeichnen. Anschließend brauchst du nur noch die Koordinaten des Schnittpunktes beider Geraden abzulesen.
%%\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&5y-3x&=&10&|+3x\\\mathrm{I}&5y& =&3x+10&|:5\\\mathrm{I}&y& =& 0{,}6x+2\\\mathrm{II}& 4x+5y &=& 16&|-4x\\\mathrm{II}& 5y &=&-4x+ 16&|:5\\\mathrm{II}& y &=&-0{,}8x+3{,}2\end{array}%%
Schnittpunkt lineares Gleichungssystem
Der Schnittpunkt liegt bei x0,86x\approx0{,}86 und y2,51y\approx2{,}51. Somit lautet die Lösungsmenge L={(0,86  2,51)}L=\left\{\left(0{,}86\left|\;2{,}51\right.\right)\right\}.

Rechnerisches Lösen

In diesem Fall bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an, da du zum graphischen Lösen bereits beide Gleichungen nach yy aufgelöst hast.
Iy=0,6x+2IIy=0,8x+3,2\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&y& =& 0{,}6x+2\\\mathrm{II}& y &=&-0{,}8x+3{,}2\end{array}
Setze I\mathrm{I} und II\mathrm{II} gleich und löse nach xx auf.
0,6x+2=0,8x+3,220,6x=0,8x+1,2+0,8x1,4x=1,2:1,4x=670,86\begin{array}{rcccc}0{,}6x+2&=&-0{,}8x+3{,}2&|-2\\0{,}6x&=&-0{,}8x+1{,}2&|+0{,}8x\\1{,}4x&=&1{,}2&|:1{,}4\\x&=&\dfrac67\approx0{,}86\end{array}
Setze den erhaltenen Wert für xx in eine der Gleichungen ein, z.B in I\mathrm{I}.
y=0,667+2=88352,51y=0{,}6\cdot\dfrac67+2=\dfrac{88}{35}\approx2{,51}
Du kannst nun die Lösungsmenge angeben.
L={(678835)}L=\left\{\left(\dfrac67\left|\dfrac{88}{35}\right.\right)\right\}
Teste dein Wissen!
Welche der folgenden Systeme ist ein lineares Gleichungssystem? Markiere alle zutreffenden Antworten.
I2=a+b+cII3=ab+cIII1=c\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2& = &a& + &b& + &c&\\\mathrm{II} &3& = &a& - &b& + &c&\\\mathrm{III} &1& = &&&&&c&\end{array}
Ix+y=2II5y=4\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &x& + &y& = &2&\\\mathrm{II} &5& - &y& = &4&\\\end{array}
Ix=1IIy=2\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &x& = &1\\\mathrm{II} &y& = &2\\\end{array}
Ix=0IIx=2\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &x& = &0\\\mathrm{II} &x& = &2&\\\end{array}
I7x12y=56IIxy=2\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &\frac7x&-&\frac{12}y&=&\frac56\\\mathrm{II} &x&-&y& = &2\\\end{array}
I3=x+2yII1=x2+y\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &-3& = &x& + &2y&\\\mathrm{II} &1& = &x^2& + &y&\\\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungsystem

Überlege dir, was ein lineares Gleichungssystem überhaupt ist:
  • Mehrere Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen, nennt man Gleichungssystem.
  • Wenn zusätzlich noch jede Variable höchstens mit dem Exponenten 11 auftaucht, wird es Lineares Gleichungssystem genannt.
Überprüfe nun die beiden Kriterien.
Du erkennst, dass…
I7x12y=56IIxy=2\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &\frac7x&-&\frac{12}y&=&\frac56\\\mathrm{II} &x&-&y& = &2\\\end{array}
… kein Lineares Gleichungssystem ist, weil in der ersten Gleichung sowohl xx als auch yy den Exponenten 1-1 haben.
Du erkennst weiter, dass…
I3=x+2yII1=x2+y\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &-3& = &x& + &2y&\\\mathrm{II} &1& = &x^2& + &y&\\\end{array}
… kein Lineares Gleichungssystem ist, weil xx in der zweiten Gleichung mit dem Exponenten 22 auftaucht.
In allen anderen Fällen sind beide Kriterien erfüllt. Es handelt es sich somit um lineare Gleichungssysteme.
Wie viele Lösungen hat folgendes lineares Gleichungssystem?
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &-3& = &x& + &2y&\\\mathrm{II} &1& = &x& + &2y&\\\end{array}%%
keine
unendlich viele
genau eine

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösbarbarkeit von Gleichungssystemen

Du zeigst, dass die Gleichungen I\mathrm{I} und II\mathrm{II} nicht gleichzeitig erfüllt sein können. Dabei verwendest du am besten das Subtraktionsverfahren.
Subtrahiere Gleichung II\mathrm{II} von Gleichung I\mathrm{I}.
III  4=0\begin{array}{rlrl}\mathrm{I} - \mathrm{II} \;\rightarrow &-4 &= &0 \\\end{array}
Die Gleichung ist offensichtlich falsch. Damit ist auch das gegebene Gleichungssystem falsch und hat keine Lösung.
Die Lösungsmenge ist somit L={}\mathbb{L}=\{\}.
Wie viele Lösungen hat folgendes Gleichungssystem?
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &\frac{9}{2}x&-&\frac{3}{2}y&=&3\\\mathrm{II} &3x& = &2&+&y\\\end{array}%%
unendlich viele
genau eine
keine

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösbarkeit von Gleichungssystemen

Du zeigst, dass die Gleichungen I\mathrm{I} und II\mathrm{II} äquivalent sind. Das heißt, jedes xx und yy, das Gleichung I\mathrm{I} löst, liefert auch für Gleichung II\mathrm{II} eine wahre Aussage.
Eine Möglichkeit, dies zu zeigen, ist das Einsetzungsverfahren.
Stelle zunächst Gleichung II\mathrm{II} nach y um.
II3x=2+y2\begin{array}{rrll}\mathrm{II} &3x& = &2&+&y &\vert -2\\\end{array}
II3x2=y\begin{array}{lrll}\mathrm{II}' &3x&-&2& = &y\\\end{array}
Setze nun II\mathrm{II}' in Gleichung I\mathrm{I} ein. Du erhältst die neue Gleichung I\mathrm{I'}.
I92x32(3x2)=3\begin{array}{rrll}\mathrm{I'} &\frac{9}{2}x&-&\frac{3}{2}(3x - 2)&=&3\\\end{array}
Fasse die linke Seite der Gleichung zusammen.
I3=3\begin{array}{rrll}\mathrm{I'} &3&=&3\\\end{array}
Die Gleichung I\mathrm{I'} ist wahr und zwar unabhängig von xx. Es gibt also unendlich viele Lösungen.

L={(xy)  y=3x2}\mathbb{L}=\{(x|y)|\;y=3x-2\}
Wie viele Lösungen hat folgendes lineares Gleichungssystem?
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2x&+&y&=&\frac56\\\mathrm{II} &x&-&2y& = &2\\\end{array}%%
genau eine
unendlich viele
keine

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösbarkeit der Gleichungssysteme

Ein lineares Gleichungssystem hat genau eine Lösung, wenn es eindeutig nach xx und yy aufgelöst werden kann.
Um das herauszufinden, bietet sich das Einsetzungsverfahren an, da man zum Beispiel Gleichung I\mathrm{I} sehr einfach nach yy umstellen kann.
Stelle zunächst Gleichung I\mathrm{I} nach yy um.
I2x+y=562x\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2x&+&y& = &\frac{5}{6} & \vert -2x\\\end{array}
Iy=562x\begin{array}{rrll}\mathrm{I'} &y& = &\frac{5}{6}&-&2x\\\end{array}
Setze nun I\mathrm{I'} in Gleichung II\mathrm{II} ein. Du erhältst die neue Gleichung II\mathrm{II'}