Aufgaben
Denke dir eine Textaufgabe zu folgender Situation aus und löse sie! (Hinweis: Im Bild sind zwei gleich große Pizzen zu sehen. Die Pizzastücke einer Pizza haben immer dieselbe Größe.)
Pizza: noch nicht aufgegessen
20 Minuten später:
Pizza: zum Teil aufgegessen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchrechnen

Zu dieser Aufgabe gibt es viele Lösungen! Du hattest eine andere Idee als die in der Lösung? Schreib sie uns gerne in die Kommentare!

Hier siehst du eine mögliche Lösung, in der es um Anteile geht.

Eine Beispielaufgabe könnte so lauten:
Für eine Geburtstagsfeier hat Tina zwei Bleche Pizza gebacken und wie auf den Bildern in Stücke geschnitten. Nach kurzer Zeit wurden schon einige Stücke gegessen. Welcher Anteil der zwei Pizzen ist jeweils noch vorhanden?

Aufstellen der Rechnung

Zähle zunächst, in wie viele Stücke die beiden Pizzen jeweils geschnitten wurden:
Anzahl der Pizzastücke
Die erste Pizza wurde in 1010 Stücke geschnitten, die zweite Pizza in 1616.
In der Aufgabenstellung sieht man, dass von der ersten Pizza noch 55 Stücke vorhanden sind und von der zweiten noch 88.
Schreibe als Anteil:
  • 55 Stücke von 1010 Stücken entspricht 510=12\frac{5}{10}=\frac 1 2.
  • 88 Stücke von 1616 Stücken entspricht 816=12\frac{8}{16}=\frac 1 2.
Antwort: Es ist jeweils noch die Hälfte der Pizza vorhanden.
Da die beiden Pizzen zu Beginn gleich groß waren und jeweils die Hälfte noch übrig ist, ist zusammengerechnet noch eine Pizza da (12+12=1\frac 12 + \frac12 = 1).
Damit ist eine Pizza von zwei Pizzen übrig. Also genau die Hälfte der ursprünglichen Menge.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Brüchen

Am Besten erkennst du zuerst, welche Brüche in der Aufgabenstellung gekürzt werden können. Dann wird die Aufgabe etwas einfacher. Weiter unten findest du den Rechenweg, ohne dass zuerst gekürzt wurde.
Kürze zuerst 1224\dfrac{12}{24} mit 1212 und 742\dfrac{7}{42} mit 77:
122413+742 \dfrac{12}{24}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{7}{42}\ ==1213+16\dfrac{1}{2}-\dfrac13+\dfrac16
Bilde den Hauptnenner (6) und erweitere alle Brüche auf diesen.
==3626+16\dfrac 36 - \dfrac 26 + \dfrac 16
==32+16\dfrac{3-2+1}6
==26\dfrac26
Kürze mit 22.
==13\dfrac13
Falls du nicht erkannt hast, dass du vorher kürzen kannst, löst du die Aufgabe auf die gleiche Art mit größeren Nennern. Bilde dafür zunächst den Hauptnenner (168) und erweitere alle Brüche auf diesen.
122413+742\dfrac{12}{24}-\dfrac13+\dfrac7{42}==8416856168+28168\dfrac{84}{168}-\dfrac{56}{168}+\dfrac{28}{168}
Schreibe alle drei Zähler auf einen gemeinsamen Bruchstrich.
==8456+28168\dfrac{84-56+28}{168}
==56168\dfrac{56}{168}
Mit 56 kürzen.
==13\dfrac13
Bilde einen Term mit dem Termwert 715\dfrac{7}{15}.
Tipp: Verwende alle Bausteine! Wenn du die Rechenzeichen richtig verwendest, erzeugt das Puzzle automatisch eine Klammer.

Rechnen mit Brüchen

Beginne mit einem Bruch, der bereits den gewünschten Nenner hat.
?15\dfrac{?}{15}
Das Ziel ist es, im Zähler die Zahl 77 zu erzeugen.Beginnst du mit der Ziffer 88 musst du noch 11 abziehen. Da dir keine 11 zur Verfügung steht, kannst du diese zuerst mit einer Differenz aus 33 und 22 bilden.
8(32)=818-(3-2)=8-1
Beachte hierbei, dass die Klammer zuerst berechnet wird.
Setze alles nun zu einem Bruch zusammen:
8(32)15=8115=715\dfrac{8-(3-2)}{15}=\dfrac{8-1}{15}=\dfrac 7{15}

Alternative Lösung

Wenn du die Rechnung 7+8=157+8 = 15 mit den Bausteinen bemerkst, fällt dir vielleicht der Zusammenhang mit Brüchen 715+815=1\frac{7}{15} + \frac{8}{15} = 1 auf. Um das richtige Ergebnis zu erhalten, kannst du auch 1815=7151-\frac{8}{15} = \frac{7}{15} rechnen. Damit ergibt sich eine weitere Lösung.
Mit diesem Ansatz fehlt dir nur noch eine 11. Diese kannst du auch hier mit den verbleibenden Bausteinen bauen: 32=13-2 = 1.
Insgesamt erhältst du die Rechnung:
Berechne den Wert des Terms (1224+1520):2736\left(\dfrac{12}{24}+\dfrac{15}{20}\right):\dfrac{27}{36}. Gib dein Ergebnis als Bruch der Form a/b ein!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Brüchen

Am Anfang kürzt du den ersten Bruch mit 66, den zweiten mit 55 und den dritten mit 99:
(1224+1520):2736 \left(\dfrac{12}{24}+\dfrac{15}{20}\right):\dfrac{27}{36}\ ==(12+34):34\left(\dfrac12+\dfrac34\right):\dfrac34
Erweitere die beiden Summanden in der Klammer auf den Hauptnenner 44 .
==(24+34):34\left(\dfrac24+\dfrac34\right):\dfrac34
Addiere in der Klammer.
==54:34\dfrac54:\dfrac34
Zur Division multiplizierst du mit dem Kehrbruch .
==5443\dfrac54\cdot\dfrac43
Kürze mit 44.
==53\dfrac53
Setze die Bausteine so zusammen, dass ein Bruch mit dem Wert 35\dfrac 3 5 entsteht. Finde mindestens drei verschiedene Lösungen.
Tipp: Mit der Addition und / oder der Subtraktion im Zähler bzw. Nenner, kannst du die jeweiligen Werte berechnen.
Eine besonders raffinierte Lösung erhältst du, wenn du einen nicht vollständig gekürzten Bruch verwendest.

Rechnen mit Brüchen

Suche einen passenden Nenner und ergänze zu einem korrekten Bruch mit dem richtigen Wert.

1. Möglichkeit

Beginne mit einem Bruch, der bereits den gewünschten Nenner hat:
?5\dfrac{?}{5}
Jetzt kannst du mit einer Summe im Zähler einfach das richtige Endergebnis erhalten.
1+25=35\dfrac{1+2}{5}=\dfrac 3 5

2. Möglichkeit

Beginne wieder mit einem Bruch, der bereits den gewünschten Nenner hat:
?5\dfrac{?}{5}
Diesmal kannst du mit einer Differenz im Zähler einfach das richtige Endergebnis erhalten.
415=35\dfrac{4-1}{5}=\dfrac 3 5

3. Möglichkeit

Diesmal verwendest du das Doppelte von 55, also 1010, im Nenner:
?10\dfrac{?}{10}
Im Zähler benötigen wir jetzt ebenfalls das Doppelte, damit du später durch Kürzen wieder den gleichen Bruch erhältst, also 66. Addiere dazu im Zähler:
5+110=610\dfrac{5+1}{10} = \dfrac{6}{10}
Jetzt erhältst du eine dritte Lösung, indem du das gewünschte Endergebnis mit 22 kürzt.
610=35\dfrac 6{10}=\dfrac 3 5

Weitere Möglichkeiten

Es gibt viele weitere Möglichkeiten, um den gewünschten Bruch zu erhalten. Wir haben bisher die folgenden Lösungen entdeckt.
  • 524+1=35\dfrac{5-2}{4+1} = \dfrac 35
  • 4+210=610=35\dfrac{4+2}{10}=\dfrac{6}{10} = \dfrac 35
  • 5+(21)10=5+110=35\dfrac{5+(2-1)}{10} = \dfrac{5+1}{10} = \dfrac 35
  • Zu allen Lösungen mit einer Summe kannst du mit dem Kommutativgesetz auch die beiden Summanden vertauschen: zum Beispiel: 1+25=2+15\frac{1+2}{5} = \frac{2+1}{5}
Hast du noch eine weitere Möglichkeit gefunden? Schreibe sie uns einfach in die Kommentare.
Setze zwei der Zahlen so in die Lücken ein, dass das Ergebnis der Rechnung möglichst klein wird.
Tipp: Bedenke, dass du zwei Brüche dividierst, indem du mit dem Kehrbruch multiplizierst.

Brüche dividieren

Bei der Lösung dieser Aufgabe hilft der Artikel zur Division von Brüchen und Wissen zur Multiplikation von Brüchen.
Hier musst du vier Dinge beachten:
  • Du dividierst zwei Brüche durcheinander, indem du den Kehrbruch des zweiten Bruchs bildest und die beiden Brüche anschließend multiplizierst.
  • Da du beim Multiplizieren von Brüchen jeweils die beiden Zähler und Nenner miteinander multiplizieren musst, sollte dieser Kehrbruch bereits eine möglichst kleine Zahl sein.
  • Ein Bruch mit gleichbleibendem Zähler ist umso kleiner, je größer sein Nenner ist. So ist zum Beispiel 19\frac 1 9 kleiner als 14\frac 1 4.
  • Ein Bruch mit gleichbleibendem Nenner ist umso kleiner, je kleiner sein Zähler ist. So ist zum Beispiel 27\frac 2 7 kleiner als 47\frac 4 7.
Aus den Ziffern von 22 bis 99 ist der kleinste Bruch, den man bauen kann, also 29\frac 2 9, da der Zähler kleinstmöglich und der Nenner größtmöglich ist.
Um das Ergebnis zu bekommen, musst du noch den Kehrbruch von 29\frac 2 9 bilden, indem du Zähler und Nenner vertauschst.
Die Lösung ist also 92\frac 9 2.
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