Aufgaben zur Bestimmung von Tangenten an Parabeln

ACHTUNG:

Lass dich nicht davon irritieren , dass In den Lösungen zu diesen Aufgaben oft eine zusätzliche zweite Lösungsmöglichkeit genannt ist; das ist die Lösungsmethode mit der "Ableitung" - die ist in der 9. Klasse noch nicht im Stoff, sondern erst in der Oberstufe.

1
Berechne die Tangente an die Funktion $f(x)=-3x^2+12x-9$ durch den Punkt $B(2\vert y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Parabel berechnen
Ohne Ableitung
$f(x)=-3x^2+12x-9,\;B(2\vert y)$
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
$-3x^2+12x-9=mx+t$
Bringe alles auf eine Seite
$-3x^2+(12-m)x-9-t=0$
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$D=(12-m)^2-4\cdot(-3)\cdot(-9-t)=m^2-24m+36-12t=0$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y=-3\cdot2^2+12\cdot2-9=3$
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
$3=2m+t$
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein
$m^2-24m+36-12\left(3-2m\right)=m^2=0$
Löse nach m auf und setze in t ein
$m=0\Rightarrow t=3$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_B(x)=3$
Mit Ableitung
$f(x)=-3x^2+12x-9,\;B(2\vert y)$
Berechne die Ableitung der Parabel
$f`(x)=-6x+12$
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$f`(2)=-6\cdot2+12=0=m$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$3=0\cdot2+t\Rightarrow t=3$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_B(x)=3$
2
Berechne die Tangente an die Funktion $g(x)=\frac32\left(x+2\right)^2-2$ durch den Punkt $B(-1\vert y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Parabeln berechnen
Ohne Ableitung
$g(x)=\frac32(x+2)^2-2,\;B(-1\vert y)$
Multipliziere mit Hilfe der binomischen Formel aus
$g(x)=\frac32x^2+6x+4$
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
$\frac32x^2+6x+4=mx+t$
Bringe alles auf eine Seite
$\frac32x^2+(6-m)x+4-t=0$
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$D=(6-m)^2-4\cdot\left(\frac32\right)\cdot(4-t)=m^2-12m+12+6t=0$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y=\frac32(-1)^2+6\cdot(-1)+4=-\frac12$
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
$-\frac12=-1\cdot m+t$
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein
$m^2-12m+12+6(m-\frac12)=m^2-6m+9=0$
Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel )
$m^2-6m+9=(m-3)^2=0\Rightarrow m=3$
Setze m und b in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf
$-\frac12=-1\cdot3+t\Rightarrow t=\frac52$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_B(x)=3x+\frac52$
Mit Ableitung
$g(x)=\frac32(x+2)^2-2,\;B(-1\vert y)$
Berechne die Ableitung der Parabel
$g`(x)=3(x+2)\cdot1=3x+6$
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$g`(-1)=3\cdot(-1)+6=3=m$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y=\frac32(-1+2)^2-2=-\frac12$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$-\frac12=-1\cdot3+t\Rightarrow t=\frac52$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_B(x)=3x+\frac52$

Berechne die Tangente an die Funktion $h(x)=2x^2+4x-1$ durch den Punkt $B(-3\vert y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangenten an Parabeln

Ohne Ableitung

$h(x)=2x^2+4x-1,\;B(-3\vert y)$

Berechne als erstes mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B, indem du $x\ =\ -3$ in h einsetzt:

$y=2(-3)^2+4\cdot(-3)-1=5$

Setze nun die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich:

$\displaystyle 2x^2+4x-1$	$=$	$\displaystyle mx + t$	$\displaystyle -mx - t$
	↓	Bringe alles auf eine Seite
$\displaystyle 2x^2+(4-m)x-1-t$	$=$	$\displaystyle 0$

Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null. Benutze beim Berechnen die zweite binomische Formel und multipliziere aus:

$D=(4-m)^2-4\cdot2\cdot(-1-t)=m^2-8m+24+8t=0$

Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf:

$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle -3m + t$	$\displaystyle + 3m$
$\displaystyle 5 + 3m$	$=$	$\displaystyle t$

Setze t jetzt in die Diskriminantengleichung ein:

$\displaystyle m^2-8m+24+8(5+3m)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Multipliziere die linke Seite aus
$\displaystyle m^2+16m+64$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Verwende die binomische Formel
$\displaystyle (m+8)^2$	$=$	$\displaystyle 0$

$\Rightarrow m=-8$

Setze m und B jetzt noch in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf:

$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle -3 \cdot (-8) + t$	$\displaystyle -24$
$\displaystyle -19$	$=$	$\displaystyle t$

Stelle die Tangentengleichung auf:

$t_B(x)=-8x\textstyle-\textstyle19$

Mit Ableitung

$h(x)=2x^2+4x-1,\;B(-3\vert y)$

Berechne die Ableitung der Parabel

$h'(x)=4x+4$

Setze den x-Wert von B ein und erhalte m

$h'(-3)=4\cdot(-3)+4=-8=m$

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B:

$y=2(-3)^2+4\cdot(-3)-1=5$

Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t

$5=-3\cdot(-8)+t\Rightarrow t=-19$

Stelle die Tangentengleichung auf

$t_B(x)=-8x\textstyle-\textstyle19$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.

Berechne die Tangente an die Funktion $f(x)=-\frac12x^2-2x-3$ durch den Punkt $B(-3\vert y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an eine Parabel berechnen

Ohne Ableitung

Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle -\frac12x^2-2x-3,\;B(-3\vert y)$
$\displaystyle mx+t$	$=$	$\displaystyle -\frac12x^2-2x-3$
	↓	Bringe alles auf eine Seite.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac12x^2-(2+m)x-3-t$

Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null.

$D=(2+m)^2-4\cdot\left(-\frac12\right)\cdot(-3-t)=m^2+4m-2-2t=0$

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B:

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}(-3)^2-2\cdot (-3)-3$
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{2}$

Setze m und B in die allgemeine Tangentengleichung ein:

$-\frac32=-3m+t$

Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein.

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle m^2+4m-2-2(3m-\frac32)$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle m^2-2m+1$
	↓	Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel ).
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle (m-1)^2$

$\Rightarrow m=1$

Setze m und B in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf.

$-\frac32=-3\cdot1+t\Rightarrow t=\frac32$

Stelle die Tangentengleichung auf.

$t_B(x)=x+\frac32$

Mit Ableitung

$f(x)=-\frac12x^2-2x-3,\;B(-3\vert y)$

Berechne die Ableitung der Parabel.

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle -\frac12x^2-2x-3$
	↓	Berechne die Ableitung der Parabel.
$\displaystyle f`(x)$	$=$	$\displaystyle -x-2$
	↓	Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$\displaystyle f`(-3)$	$=$	$\displaystyle -(-3)-2$
	$=$	$\displaystyle 1$

$\Rightarrow m=1$

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B:

$y=-\frac{1}{2}(-3)^2-2\cdot(-3)-3=-\frac{3}{2}$

Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t

$-\frac32=-3\cdot1+t\Rightarrow t=\frac32$

Stelle die Tangentengleichung auf

$t_B(x)=x+\frac32$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.

Berechne die Tangente an die Funktion $g(x)=x^2+4x$ durch den Punkt $B(2\vert y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Parabel berechnen

Ohne Ableitung

$g(x)=x^2+4x,\;B(2\vert y)$

Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich

$\displaystyle x^2+4x$	$=$	$\displaystyle mx+t$
	↓	Bringe alles auf eine Seite.
$\displaystyle x^2+\left(4-m\right)x-t$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle (4-m)^2-4\cdot1\cdot(-t)$
	$=$	$\displaystyle m^2-8m+16+4t$
	$=$	$\displaystyle 0$

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 2^2+4\cdot2$
	↓	Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
	$=$	$\displaystyle 12$
$\displaystyle 12$	$=$	$\displaystyle 2m+t$

Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein

$m^2-8m+16+4(12-2m)=m^2-16m+64=0$

Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel )

$m^2-16m+64=(m-8)^2=0\Rightarrow m=8$

Setze m und b in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf

$12=8\cdot2+t\Rightarrow t=-4$

Stelle die Tangentengleichung auf

$t_B(x)=8x-4$

Mit Ableitung

$g(x)=x^2+4x,\;B(2\vert y)$

Berechne die Ableitung der Parabel

$g`(x)=2x+4$

Setze den x-Wert von B ein und erhalte m

$g`(2)=2\cdot2+4=8=m$

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

$y=2^2+4\cdot2=12$

Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t

$12=8\cdot2+t\Rightarrow t=-4$

Stelle die Tangentengleichung auf

$t_B(x)=8x-4$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.

6
Berechne die Tangente an die Funktion $f(x)=-x^2-2x-3$ durch den Punkt $B(-2\vert y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Parabel berechnen
Ohne Ableitung
$f(x)=-x^2-2x-3,\;B(-2\vert y)$
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
$-x^2-2x-3=mx+t$
Bringe alles auf eine Seite
$-x^2-(2+m)x-3-t=0$
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$D=(2+m)^2-4\cdot(-1)\cdot(-3-t)=m^2+4m-8-4t=0$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y=-(-2)^2-2\cdot(-2)-3=-3$
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
$-3=-2m+t$
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein
$m^2+4m-8-4(2m-3)=m^2-4m+4=0$
Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel )
$m^2-4m+4=(m-2)^2\Rightarrow m=2$
Setze mundb in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf
$-3=-2\cdot2+t\Rightarrow t=1$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_B(x)=2x+1$
Mit Ableitung
$f(x)=-x^2-2x-3,\;B(-2\vert y)$
Berechne dieAbleitung der Parabel
$f`(x)=-2x-2$
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$f`(-2)=-2\cdot(-2)-2=2=m$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y=-(-2)^2-2\cdot(-2)-3=-3$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$-3=-2\cdot2+t\Rightarrow t=1$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_B(x)=2x+1$
7
Berechne die Tangente an die Funktion $f(x)=x^2-18x+85$ durch den Punkt $B(9\vert y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Parabel berechnen
Ohne Ableitung
$f(x)=x^2-18x+85,\;B(9\vert y)$
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
$x^2-18x+85=mx+t$
Bringe alles auf eine Seite
$x^2-(18+m)x+85-t=0$
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$D=(18+m)^2-4\cdot1\cdot(85-t)=m^2+36m-16+4t=0$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y=9^2-18\cdot9+85=4$
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
$4=9m+t$
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein
$m^2+36m-16+4(4-9m)=m^2=0$
Löse nach m auf und setze in t ein
$m=0\Rightarrow t=4$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_B(x)=4$
Mit Ableitung
$f(x)=x^2-18x+85,\;B(9\vert y)$
Berechne die Ableitung der Parabel.
$f`(x)=2x-18$
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$f`(9)=2\cdot9-18=0=m$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y=9^2-18\cdot9+85=4$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$4=0\cdot2+t\Rightarrow t=4$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_B(x)=4$

Berechne den Berührpunkt $B$ und die Gleichung einer Tangente an die Parabel $p(x)=(x-1)^2+1$ so, dass die Tangente zur Tangente im Berührpunkt $A(1{,}25\vert y)$ senkrecht ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangenten an Parabeln berechnen

Die Tangente an einer Parabel ist eine Gerade, welche die Parabel in einem Punkt berührt und deren Steigung der Ableitungswert der Parabel im Berührpunkt ist.

Gegeben:

$p(x)=(x-1)^2+1$ und $A(1{,}25\vert y)$

Gesucht:

Parabelpunkt $B(x_B\vert y_B)$

Berechne die 2. Koordinate von $A$ durch Einsetzen in die Parabelgleichung.

$\displaystyle p(1{,}25)$	$=$	$\displaystyle (1{,}25-1)^2+1$
	$=$	$\displaystyle 1{,}0625$

$\Rightarrow A(1{,}25|1{,}0625)$

Berechne die Ableitung $p'(x)$ und damit die Steigung $m_A$ der Tangente im Punkt $A$ .

$\displaystyle p'(x)$	$=$	$\displaystyle 2x-2$
	↓	Einsetzen des Wertes
$\displaystyle p'(1{,}25)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot1{,}25-2$
$\displaystyle p'(1{,}25)$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$
$\displaystyle m_A$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$

Für die zu $m_A$ senkrechte Steigung $m_B$ gilt: $m_A\cdot m_B=-1$ .

$\displaystyle m_A\cdot m_B$	$=$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 0{,}5\cdot m_B$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle m_B$	$=$	$\displaystyle -2$

Setze den Steigungswert $-2$ für $p'(x)$ ein und berechne die x-Koordinate $x_B$ des gesuchten Punktes $B$

$\displaystyle p'(x)$	$=$	$\displaystyle 2x_B-2$
	↓	Einsetzten von -2
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle 2x_B-2$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2x_B$
$\displaystyle x_B$	$=$	$\displaystyle 0$

Setze $x_B$ in die Parabelgleichung ein, um $y_B$ zu erhalten.

$\displaystyle p\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle (0+1)^2+1$
	$=$	$\displaystyle 2$

$\Rightarrow B(0\vert2)$

Stelle die Tangentengleichung in $B$ auf.

$\displaystyle \frac{y-2}{x-0}$	$=$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle \cdot x$
$\displaystyle y-2$	$=$	$\displaystyle -2\cdot x$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -2x\ +2$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.

Die Tangenten von einem Punkt der Symmetrieachse der Parabel $p: y =-(x-1)^2+1$ an die Parabel stehen aufeinander senkrecht. Berechne die Berührpunkte und die Gleichungen der Tangenten.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentenberechnung

Symmetrieachse

$p:y=-(x-1)^2+1$

Entnimm der Scheitelpunktsform den Scheitelpunkt und die Symmetrieachse der Parabel.

$S(1|1)$

$\Rightarrow x=1$ ist Symmetrieachse

Aufstellen der Geradengleichungen

Wähle auf der Symmetrieachse einen beliebigen Punkt.

$S_k(1|k)$ sei ein beliebiger Punkt auf der Symmetrieachse.

Stelle eine Geradengleichung $g$ durch den Punkt $S_k$ mit variabler Steigung $m$ auf.

$\displaystyle g:\dfrac{y-k}{x-1}$	$=$	$\displaystyle m$	$\displaystyle \cdot\left(x-1\right)$
$\displaystyle y-k$	$=$	$\displaystyle m(x-1)$	$\displaystyle +k$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle mx-m+k$

Schnittpunkt berechnen mit der Parabel

Schneide die Gerade $g$ mit der Parabel $p$ durch Gleichsetzen der Funktionsterme.

$\displaystyle -\left(x-1\right)^2+1$	$=$	$\displaystyle mx-m+k$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle -x^2+2x-1+1$	$=$	$\displaystyle mx-m+k$	$\displaystyle -mx+m-k$
$\displaystyle -x^2+2x-mx+m-k$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot (-1)$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle x^2+\left(m-2\right)x+\left(k-m\right)$	$=$	$\displaystyle 0$

Ausnutzen der Bedingung, dass die Tangente und Parabel nur einen Schnittpunkt (Berührpunkt) haben

Damit die Gerade $g$ eine Tangente an die Parabel $p$ ist, dürfen sie nur einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. In diesem Fall muss die Diskriminante der quadratischen Gleichung gleich null sein.

Setze die Diskriminante $D=b^2-4ac$ der quadratischen Gleichung

$x^2+\left(m-2\right)x+\left(k-m\right)=0$ gleich null.

$\displaystyle \left(m-2\right)^2-4\cdot 1\cdot\left(k-m\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse nach $m$ auf.
$\displaystyle m^2-4m+4-4k+4m$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle m^2+4-4k$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4k-4$
$\displaystyle m^2$	$=$	$\displaystyle 4k-4$
	↓	Klammere $4$ aus.
$\displaystyle m^2$	$=$	$\displaystyle 4\left(k-1\right)$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle m_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm2\sqrt{k-1}$

Bedingung der senkrechten Tangenten

Beachte jetzt die gestellte Aufgabe:

Die beiden Tangenten für $m_1$ bzw. $m_2$ sollen aufeinander senkrecht stehen.

Es muss also gelten: $m_1\cdot m_2=-1$

$\displaystyle \left(+2\sqrt{k-1}\right)\cdot\left(-2\sqrt{k-1}\right)$	$=$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle -4\left(k-1\right)$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :(-4)$
$\displaystyle k-1$	$=$	$\displaystyle 0{,}25$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle k$	$=$	$\displaystyle 1{,}25$

Lösungen

Mit $k=1{,}25$ folgt $S_k(1\vert1{,}25)$ .

Setze $k=1{,}25$ in $m_{1/2}=\pm2\sqrt{k-1}$

$m_1=+1$ und $m_2=-1$ .

Gib die Tangentengleichungen an.

$\displaystyle t_1:\dfrac{y-1{,}25}{x-1}$	$=$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle t_1:y$	$=$	$\displaystyle x+0{,}25$

$\displaystyle t_2:\dfrac{y-1{,}25}{x-1}$	$=$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle t_2:y$	$=$	$\displaystyle -x+2{,}25$

Koordinaten der Schnittpunkte / Berührpunkte

Schneide die Tangenten mit der Parabel durch Gleichsetzen der Funktionsterme.

$t_1\cap p$

$\displaystyle -\left(x-1\right)^2+1$	$=$	$\displaystyle x+0{,}25$
	↓	Klammer auflösen.
$\displaystyle -x^2+2x-1+1$	$=$	$\displaystyle x+0{,}25$	$\displaystyle -x-0{,}25$
$\displaystyle -x^2+x-0{,}25$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot(-1)$
$\displaystyle x^2-x+0{,}25$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse mit binomischer Formel zusammen.
$\displaystyle \left(x-0{,}5\right)^2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Die quadratische Gleichung hat nur eine Lösung.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$

Setze $x=0{,}5$ in $t_1:y=x+0{,}25$ ein:

$y=0{,}5+0{,}25=0{,}75$

$\Rightarrow A(0{,}5|0{,}75)$

$t_2∩p$

$\displaystyle -\left(x-1\right)^2+1$	$=$	$\displaystyle -x+2{,}25$
$\displaystyle -x^2+2x-1+1$	$=$	$\displaystyle -x+2{,}25$	$\displaystyle +x-2{,}25$
$\displaystyle -x^2+3x-2{,}25$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot(-1)$
$\displaystyle x^2-3x+2{,}25$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse mit binomischer Formel zusammen.
$\displaystyle \left(x-1{,}5\right)^2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Die quadratische Gleichung hat nur eine Lösung.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1{,}5$

Setze $x=1{,}5$ in $t_2:y=-x+2{,}25$ ein:

$y=-1{,}5+2{,}25=0{,}75$

$\Rightarrow B(1{,}5|0{,}75)$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.

Gegeben sind die quadratischen Funktionen $f(x)=(x-1)(x-2)$ und $g(x)=ax^2$ .

Bestimme $a$ so, dass der Graph von $g$ den Graphen von $f$ berührt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berührpunkt von Funktionen berechnen

Um den Berührpunkt berechnen zu können, müssen die Funktionen $f(x)=(x-1)(x-2)$ und $g(x)=ax^2$ gleichgesetzt werden.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle g\left(x\right)$	$\displaystyle -g\left(x\right)$
$\displaystyle f\left(x\right)-g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $f(x)=(x-1)(x-2)$ und $g(x)=ax^2$ ein.
$\displaystyle (x-1)(x-2)-ax^2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Multipliziere aus.
$\displaystyle x^2-2x-x+2-ax^2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \left(1-a\right)x^2-3x+2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an (oder p-q Formel)
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{\left(-3\right)^2-4\cdot\left(1-a\right)\cdot2}}{2\cdot\left(1-a\right)}$

Da der Berührpunkt der Funktionen gesucht ist, muss für die Diskriminante $D=\left(-3\right)^2-4\cdot\left(1-a\right)\cdot2\ =0$ gelten. Genau dann hat der Terme ein doppelte Nullstelle und $x_1=x_2$ .

$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(-3\right)^2-4\cdot\left(1-a\right)\cdot2\$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 9-4\cdot\left(1-a\right)\cdot2$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 9-8\cdot\left(1-a\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 9-8+8a$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 1+8a$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 8a$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :8$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{8}$

Wenn $a=-\frac{1}{8}$ gewählt wird, berührt der Graph der Funktion $g\left(x\right)=-\frac18 x^2$ den Graphen von $f(x)=(x-1)(x-2)$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?