Sachaufgaben mit quadratischen Funktionen

1

Für eine 18m lange Brücke werden in 2m Abstand Stützpfeiler benötigt. Diese verbinden den horizontalen Laufweg mit dem parabelförmigen Bogen unterhalb der Brücke. Die Höhe der beiden äußersten Stützpfeiler beträgt 4,5m.

Berechne die Länge aller Pfeiler.

Geogebra File: /uploads/legacy/8017_IO1wrkgRI0.xml

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabelgleichung aufstellen

Da die Brücke 18m lang sein soll, muss der Scheitelpunkt des Brückenbogens in der Mitte davon liegen. In diesem Fall liegt er im Punkt (0|0).

Allgemeine Parabelgleichung : $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\mathrm{ax}^2$

geg.: ${\mathrm P}_1\left(-9\vert\;-4{,}5\right)\;;\;{\mathrm P}_2\left(9\;\vert-4{,}5\right)$

Setze ${\mathrm P}_1$ in die Gleichung ein.

$\displaystyle -4{,}5$	$=$	$\displaystyle \mathrm{a}\left(-9\right)^2$
$\displaystyle -4{,}5$	$=$	$\displaystyle 81\mathrm a$
	↓	Löse nach a auf.
$\displaystyle -\frac{4{,}5}{81}$	$=$	$\displaystyle \mathrm a$
$\displaystyle \mathrm a$	$=$	$\displaystyle -\frac1{18}$
	↓	Setze a in die allgemeine Parabelgleichung ein.
$\displaystyle \mathrm f\left(\mathrm x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac1{18}\mathrm x^2$

Die Stützpfeiler sind in 2m Abständen aufgestellt, in dem Koordinatensystem also bei $\mathrm x=\pm9\;;\;\pm7\;;\;\pm5\;;\;\pm3\;;\;\pm1$ . Setze diese x-Werte jeweils in die erarbeitete allgemeine Parabelgleichung $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-\frac1{18}\mathrm x^2$ ein, um die zugehörigen y-Werte auf der Parabel zu finden.

$\mathrm f\left(\pm1\right)=-\frac1{18}\cdot\left(\pm1\right)^2\approx-0{,}056$

$\mathrm f\left(\pm3\right)=-\frac1{18}\cdot\left(\pm3\right)^2=-0{,}5$

$\mathrm f\left(\pm5\right)=-\frac1{18}\cdot\left(\pm5\right)^2\approx-1{,}389$

$\mathrm f\left(\pm7\right)=-\frac1{18}\cdot\left(\pm7\right)^2\approx-2{,}722$

$\mathrm f\left(\pm9\right)=-\frac1{18}\cdot\left(\pm9\right)^2=-4{,}5$

$\;\;\Rightarrow$ Pfeilerlänge für je 2 Pfeiler: $0{,}056\mathrm m\;\;;\;0{,}5\mathrm m\;\;;\;1{,}389\mathrm m\;\:;\;2{,}722\mathrm m\;\;;\;4{,}5\mathrm m$

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2

Es ist Erntezeit und Nico möchte Äpfel pflücken. Da er zu klein ist, um an die Äpfel zu kommen, stellt er eine Leiter unter den Apfelbaum. Von der Leiter aus will er die Äpfel in einen Korb werfen, der auf dem Boden ein Stück von der Leiter entfernt steht.

Nico wirft aus einer Höhe von $2\ \text{m}$ . Nico kennt die Newton'schen Gesetze der Gravitation und weiß somit, dass die Flughöhe $h$ des Apfels in Abhängigkeit von der Entfernung $x$ zur Leiter beschrieben werden kann durch $h=-\frac{1}{2\ \text{m}}x^2+2$ .

Skizziere die Flugbahn des Apfels mithilfe einer Parabel in ein Koordinatensystem.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
$h(x)=-\frac{1}{2\ \text{m}}x^2+2$
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Berechne, mit wieviel Meter Abstand zur Leiter Nico den Korb positionieren muss, damit er genau in den Korb trifft.
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Wenn Nico auf der Leiter steht, wirft er aus einer Höhe von $2\ \text{m}$ . Du möchtest wissen, wie viele Meter von der Leiter entfernt der Apfel auf den Boden fällt.
Die $x-\text{Achse}%$ stellt den Boden dar. Der $y-\text{Achsenabschnitt}$ beschreibt die Höhe, aus der Nico den Apfel wirft.
Um herauszufinden, mit welchem Abstand zur Leiter der Apfel auf dem Boden landet, musst du die Nullstellen der Funktion $h=-\frac{1}{2\ \text{m}}x^2+2$ berechnen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cll}\ h&=0\\\ -\frac{1}{2}x^2+2&=0 &|-2\\\ -\frac{1}{2}x^2&=-2 &|\cdot{(-1)}\\\frac{1}{2}x^2&=2 &|\cdot{2}\\\ x^2&=4 &|\sqrt{\quad}\\\sqrt{x^2}&=\sqrt{4} \\\ |x|&=2\end{array}$
Du erhältst zwei Lösungen: $x_1=2$ , $x_2=-2$ .
Der Apfel fällt $2\ \text{m}$ neben Nico auf den Boden. Er muss den Korb mit $2\ \text{m}$ Abstand zur Leiter positionieren, damit er genau in den Korb trifft.
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In Teilaufgabe b) erhältst du zwei Lösungen. Wieso ergibt nur eine Sinn?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
In Teilaufgabe b) erhältst du zwei Lösungen: $x_1=2$ , $x_2=-2$ .
In der Aufgabentellung solltest du einen Abstand berechnen. In diesem Fall macht die Lösung $x_2=-2$ keinen Sinn, da es keine Abstand von $-2\ \text{m}$ gibt.
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3

Die Firma Habmichgern soll eine Brücke planen. Die Länge soll $60\,\mathrm m$ betragen.

Der Chef der Firma bittet dich, mithilfe der folgenden Funktionsgleichung die maximale Höhe der Brücke zu berechnen.

$f(x)=-\ 0{,}02\cdot x^2+1{,}2\cdot x$

m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertbestimmung durch quadratische Ergänzung

Die Idee hinter den Lösungsmethoden ist, dass der Scheitelpunkt $S$ der höchste Punkt einer nach unten geöffneten Parabel ist. Dass dies eine nach unten geöffnete Parabel ist, lässt sich an dem negativen Koeffizienten $(-0{,}02)$ erkennen. Du lernst hier zwei Wege, um an diesen Punkt zu kommen.

1. Lösungsmethode

Scheitelpunkt herausfinden

Der Ansatz dieses Lösungsweges ist es, die Funktion in die Scheitelpunktsform umzuformen.

Die Scheitelpunktsform lautet: $f(x)=a(x−d)^2+e$ .

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

Du kannst zunächst $-0{,}02$ ausklammern. Dies ist dein $a$ .

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

Du kannst nun den Wert für $d$ bestimmen, indem du die zweite binomische Formel anwendest.

Multipliziere $(x-d)^2$ in der Scheitelpunktsform aus.

Du erhältst:

Du kannst dir nun mithilfe von quadratischer Ergänzung den Term zu einer binomischen Formel konstruieren.

Quadratische Ergänzung:

$x^2 − 60x$ ist der erste Teil deiner binomischen Formel, also $x^2-2dx$ . Demnach ist $d = \frac{60}{2} = 30$ .

Jetzt kannst du deine binomische Formel vervollständigen:

Doch damit du den Wert des Funktionsterms nicht verfälschst, musst du $30^2$ auch wieder abziehen.

Der vollständige Term lautet:

Setze den Term in den Funktionsterm ein:

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

Multipliziere die Klammer aus.

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

Lösung

Nun hast du die Scheitelpunktform, an dieser kannst du den Scheitelpunkt ablesen.

Die $y$ -Koordinate ist die Höhe des Brückenbogens, da der Scheitelpunkt der höchste Punkt der Parabel ist.

Also gilt: $h = 18\,\mathrm m$ .

2. Lösungmethode

Ausnutzen der Achsensymmetrie

Der Brückenbogen $f(x)$ ist an einer Senkrechte $t$ durch den Scheitelpunkt $S(x\mid y)$ achsensymmetrisch. Das kannst du ausnutzen.

Dafür musst du zuerst die $x$ -Koordinate des Scheitelpunkts herausfinden. Wenn du die hast, kannst du auch die $y$ -Koordiante ausrechnen.

Finde die $x$ -Koordinate des Scheitelpunkts.

Der Scheitelpunkt befindet sich in der Mitte der $60\,\mathrm m$ langen Brücke. Also rechnest du:

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

$\Rightarrow$ $S(30\mid y)$

Setze 30 für $x$ in der Funktion $f(x)$ ein.

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

Löse die Funktion nach $y$ auf.

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

Nun kannst du $y$ in $S$ einsetzen.

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

Lösung

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

Die $y$ -Koordinate des Scheitelpunkts $S$ ist die maximale Höhe des Brückenbogens.

Das heißt:

Die Brücke ist an ihrem höchsten Punkt 18 Meter hoch.

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4

Ein biologischer Versuch zeigt folgende Messwerte bei der Untersuchung einer Zellkultur:

Benötigte Zeit in h	0	2	4	6	8
Anzahl der Zellteilungen	0	2	8	18	32

Das Wachstum der Zellkultur kann durch eine quadratische Funktion beschrieben werden.

Berechne die Funktionsgleichung und zeichne den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion
Die Zeit entspricht den x-Werten im Koordinatensystem, die Anzahl der Zellteilungen den y-Werten.
Allgemeine Gleichung: $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\mathrm{ax}^2$
Setze einen der x-Werte und den dazugehörigen y-Wert in die Gleichung ein. In diesem Beispiel: Punkt $\left(4\vert\;8\right)$
$8=\mathrm{a}\cdot4^2$
Löse nach a auf.
$\displaystyle 8$ $=$ $\displaystyle a\cdot4^2$
$\displaystyle 8$ $=$ $\displaystyle 16a$ $\displaystyle :16$
$\displaystyle a$ $=$ $\displaystyle \frac{1}{2}$
Setze $a$ in die allgemeine Gleichung $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\mathrm{ax}^2$ ein.
$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{2}\mathrm{x}^2$
Zeichne den Funktionsgraphen.
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Nach welcher Zeit haben 200 Zellteilungen stattgefunden?

h

Wie lange dauert es, bis 1800 Teilungen erfolgt sind?

h

5

Der Kraftstoffverbrauch eines PKW hängt bekanntlich von der Geschwindigkeit ab. Durch Messungen wurde der funktionale Zusammenhang ermittelt. Es gilt: $\mathrm{K}\left(\mathrm{v}\right)=0{,}002\mathrm{v}^2-0{,}18\mathrm{v}+8{,}55$ für $v > 40$ .

Dabei bedeutet $K(v)$ der Kraftstoffverbrauch in $Liter/100\ km$ und $v$ die Geschwindigkeit in $km/h$ .

Bei welcher Geschwindigkeit beträgt der Verbrauch genau $7\frac{Liter}{100km}$ auf?

km/h

Bei welcher Geschwindigkeit ist der Kraftstoffverbrauch am geringsten?

km/h

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion

Teilaufgabe 2

v für den geringsten Kraftstoffverbrauch

Da der Kraftstoffverbrauch in Koordinaten die y-Werte darstellt, muss man überlegen, was der kleinste y-Wert der Funktion ist. $\rightarrow$ Der Scheitelpunkt hat den geringsten Wert. Dazu berechne die Scheitelform mit Hilfe der quadratischen Ergänzung.

$\displaystyle \mathrm{K}\left(\mathrm{v}\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}002\mathrm{v}^2-0{,}18\mathrm{v}+8{,}55$
	↓	Klammere 0,002 aus.
	$=$	$\displaystyle 0{,}002\left(\mathrm{v}^2-\frac{0{,}18}{0{,}002}\mathrm{v}+\frac{8{,}55}{0{,}002}\right)$
	$=$	$\displaystyle 0{,}002\left(\mathrm v^2-{\textstyle90}\mathrm v+\textstyle4275\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle 0{,}002\left(\mathrm v^2-{\textstyle90}\mathrm v+\left(\frac{90}2\right)^2-\left(\frac{90}2\right)^2+\textstyle4275\right)$
	↓	Wandle in eine Binomische Formel um.
	$=$	$\displaystyle 0{,}002\left(\left(\mathrm v-\frac{90}2\right)^2-\left(\frac{90}2\right)^2+\textstyle4275\right)$
	$=$	$\displaystyle 0{,}002\left(\left(\mathrm v-\textstyle45\right)^2-45^2+\textstyle4275\right)$
	$=$	$\displaystyle 0{,}002\left(\left(\mathrm v-\textstyle45\right)^2+2250\right)$
	↓	Wende das Distributivgesetz an.
	$=$	$\displaystyle 0{,}002\left(\mathrm v-\textstyle45\right)^2+2250\cdot0{,}002$
	$=$	$\displaystyle 0{,}002\left(\mathrm v-\textstyle45\right)^2+4{,}5$

$\rightarrow$ $\mathrm S\left(45\vert\;4{,}5\right)$

$\Rightarrow$ Bei einer Geschwindigkeit von $45\ km/h$ ist der Kraftstoffverbrauch mit $4{,}5\ Liter$ auf $100\ km$ am geringsten.

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$\displaystyle 200$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle 200\cdot2$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 400$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{400}$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm20$

$\displaystyle 1800$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle 1800\cdot2$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 3600$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{3600}$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm60$

$\displaystyle 7$	$=$	$\displaystyle 0{,}002\mathrm{v}^2-0{,}18\mathrm{v}+8{,}55$	$\displaystyle -7$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 0{,}002\mathrm{v}^2-0{,}18\mathrm{v}+1{,}55$
	↓	Um die Geschwindigkeit v zu berechnen, wende die Mitternachtsformel an. Berechne dazu die Diskriminante D.
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle \left(-0{,}18\right)^2-4\cdot0{,}002\cdot1{,}55$
	$=$	$\displaystyle 0{,}0324-0{,}0124$
	$=$	$\displaystyle 0{,}02$

$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle a\cdot4^2$
$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle 16a$	$\displaystyle :16$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$

Sachaufgaben mit quadratischen Funktionen

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1. Lösungsmethode

Scheitelpunkt herausfinden

Lösung

2. Lösungmethode

Ausnutzen der Achsensymmetrie

Lösung

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Teilaufgabe 1

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Teilaufgabe 2

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