Aufgaben zu wichtigen Begriffen rund um Funktionen



Aufgaben
Lies aus dem Graphen die Nullstelle ab.
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Graph 1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle

Die Nullstelle bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse betrachtest.
Lösung 1_N
Die Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der x-Achse N(0∣0)N(0|0), also x=0x=0.
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Graph 2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle

Die Nullstelle bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse betrachtest.
Lösung 2_N
Die Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der x-Achse N(1∣0)N(1|0), also x=1x=1.
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Graph 4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle

Die Nullstelle bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse betrachtest.
Lösung 4_N
Die Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der x-Achse (2∣0)(2\vert 0), also x=2x=2.
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Graph 5

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle

Die Nullstelle bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse betrachtest.
Die Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der x-Achse N(4∣0)N(4|0), also x=4x=4.
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Graph 6

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle

Die Nullstelle bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse betrachtest.
Lösung 6_N
Die Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der x-Achse N(3∣0)N(3|0), also x=3x=3.
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Graph 8

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle

Die Nullstelle bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse betrachtest.
Lösung 7_N
Die Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der x-Achse N(7∣0)N(7|0), also x=7x=7.
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Zeichne anhand der gegebenen Wertetabelle den zugehörigen Graphen.
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%%\textbf{x}%%

%%-8%%

%%-4%%

%%0%%

%%4%%

%%8%%

%%\textbf{y}%%

%%0%%

%%1%%

%%2%%

%%3%%

%%4%%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem

Zeichne die fünf gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem und ziehe eine Gerade durch die Punkte.
Gerade
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%%\textbf{x}%%

%%-2%%

%%0%%

%%2%%

%%4%%

%%\textbf{y}%%

%%-20%%

%%-10%%

%%0%%

%%10%%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem

Zeichne die vier gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem und ziehe eine Gerade durch die Punkte.
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Zeichne die Graphen folgender Geraden mit dem Schnittpunkt mit der y-Achse und dem Steigungsdreick. Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse und überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen.

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%%f(x)\;=\;2x-5%%

Gerade im Koordinatensystem

%%\mathrm f(\mathrm x)=2\mathrm x-5%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;-5\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=2%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%2x-5=0%%

%%|+5%%

%%2\mathrm x=5%%

%%\left|:2\right.%%

%%\Rightarrow\;x_0=2,5%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(2,5\;\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Lineare Funktionen 14a

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%%f(x)=-x-3%%

Gerade im Koordinatensystem

%%\mathrm f(\mathrm x)=-\mathrm x-3%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;-3\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=-1%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%-x-3=0%%

%%|+x%%

%%\Rightarrow\;x_0=-3%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(-3\;\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Lineare Funktionen 14b

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%%f\left(x\right)=\frac12x+1%%

Gerade im Koordinatensystem

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac12\mathrm x+1%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;1\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=\frac12%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%\frac12x+1=0%%

%%|-1%%

%%\frac12x=-1%%

%%|\cdot 2%%

%%\Rightarrow\;x_0=-2%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(-2\;\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Lineare Funktionen 14c

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%%f\left(x\right)=-\frac12x-2%%

Gerade im Koordinatensystem

%%\mathrm f(\mathrm x)=-\frac12\mathrm x-2%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;-2\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=-\frac12%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%-\frac12x-2=0%%

%%|+2%%

%%-\frac12x=2%%

%%|\cdot(-2)%%

%%\Rightarrow\;x_0=-4%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(-4\;\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Lineare Funktionen 14d

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%%f\left(x\right)=\frac13x-\frac12%%

Gerade im Koordinatensystem

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac13\mathrm x-\frac12%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;-\frac12\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=\frac13%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%\frac13x-\frac12=0%%

%%\left|+\frac12\right.%%

%%\frac13x=\frac12%%

%%| \cdot 3%%

%%\Rightarrow\;x_0=\frac32%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(\frac32\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Lineare Funktionen 14e

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%%f\left(x\right)=-\frac14x+\frac32%%

Gerade im Koordinatensystem

%%\mathrm f(\mathrm x)=-\frac14\mathrm x+\frac32%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;\frac32\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=-\frac14%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%-\frac14\mathrm x+\frac32=0%%

%%\left|-\frac32\right.%%

%%-\frac14\mathrm x=-\frac32%%

%%|\cdot(-4)%%

%%\Rightarrow\;x_0=6%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(6\;\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Lineare Funktionen 14f

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%%f\left(x\right)=\frac23x+2%%

Gerade im Koordinatensystem

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac23\mathrm x+2%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;2\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=\frac23%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%\frac23\mathrm x+2=0%%

%%|-2%%

%%\frac23\mathrm x=-2%%

%%\left|:\frac23\right.%%

%%\Rightarrow\;x_0=-3%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(-3\;\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Linare Funktionen 14g

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%%f\left(x\right)=-\frac34x-1%%

Gerade im Koordinatensystem

%%\mathrm f(\mathrm x)=-\frac34\mathrm x-1%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;-1\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=-\frac34%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%-\frac34\mathrm x-1=0%%

%%|+1%%

%%-\frac34\mathrm x=1%%

%%\left|:(-\frac34)\right.%%

%%\Rightarrow\;x_0=-\frac43%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(-\frac43\;\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Lineare Funktionen 14h

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%%f\left(x\right)=-3x+\frac5{10}%%

Gerade im Koordinatensystem

%%\mathrm f(\mathrm x)=-3\mathrm x+\frac5{10}%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;\frac5{10}\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=-3%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%-3\mathrm x+\frac5{10}=0%%

%%\left|-\frac5{10}\right.%%

%%-3\mathrm x=-\frac5{10}%%

%%|:(-3)%%

%%\Rightarrow\;x_0=\frac{5}{30}=\frac16%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(\frac16\;\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Lineare Funktionen 14i

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%%f\left(x\right)=\frac57x-\frac{12}4%%

Gerade im Koordinatensystem

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac57\mathrm x-\frac{12}4=\frac57\mathrm x-3%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;-3\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=\frac57%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%\frac57\mathrm x-3=0%%

%%|+3%%

%%\frac57\mathrm x=3%%

%%\left|:\frac57\right.%%

%%\Rightarrow\;x_0=\frac{21}5%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(\frac{21}5\;\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Lineare Funktionen 14j

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Du fährst mit dem Fahrrad durch die Stadt. Eine App in deinem Handy misst alle 2 Minuten deine aktuelle Geschwindigkeit.
Beschreibe deine Fahrt, zum Beispiel, indem du erst einen Graphen zeichnest und diesen dann deutest. Was könnten Gründe für die jeweiligen Geschwindigkeiten sein?

Minuten nach Fahrtbeginn

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

aktuelle Geschwindigkeit (km/h)

0

5

5

0

10

5

5

2

2

0

0

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graphen mit einer Wertetabelle zeichnen

Zeichne zuerst den Graphen oder stelle ihn dir vor und deute dann die Werte.

Graph zeichnen

Trage die Punkte aus der Wertetabelle in ein Koordinatensystem ein:
Graph zur Fahrradfahrt

Graph/Tabelle beschreiben

Zunächst beschleunigst du und fährst dann für längere Zeit mit 5 km/h.
Dann bremst du und stehst während Minute 6.
Danach beschleunigst du sehr stark auf 10 km/h.
Anschließend fährst du erneut längere Zeit mit 5 km/h.
Während der 14. und 16. Minute fährst du langsamer, mit 2 km/h.
Nach der 18. Minute stehst du.

Deutung der Werte

Vermutlich fährst du auf geraden Strecken sehr bequem mit 5 km/h.
In der 6. Minute könntest du an einer Ampel stehen oder nochmal angehalten haben, um kurz etwas nachzusehen.
Danach geht es bergab, weshalb du sehr schnell fahren kannst.
Während du 2 km/h fährst, könnte es sein, dass du einen Berg hinauf fährst oder mehr Verkehr herrscht.
Vermutlich bist du nach 18 Minuten am Ziel angekommen.
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Bestimme von folgenden Geraden die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
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y=−2x+3,5y=-2x+3{,}5

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Schnittpunkt mit der x-Achse

Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach xx auf.
0=−2x+3,5∣+2x2x=3,5∣:2x=1,75\begin{array}{rcll}0&=&-2x+3,5&|+2x\\ 2x&=&3,5&|:2\\x&=&1,75\end{array}
    ⇒    \;\;\Rightarrow\;\; Die Gerade schneidet die x-Achse bei Sx(1,75∣0)S_x(1,75|0).

Schnittpunkt mit der y-Achse

Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert x=0x=0 ein.
y=−2⋅0+3,5y=-2\cdot0+3,5
y=3,5y=3,5
    ⇒    \;\;\Rightarrow\;\; Die Gerade schneidet die y-Achse bei Sy(0∣3,5)S_y(0|3,5).
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y=5x−7y=5x-7

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Schnittpunkt mit der x-Achse

Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach xx auf.
0=5x−7∣+75x=7∣:5x=75=1,4\begin{array}{rcll}0&=&5x-7&|+7\\5x&=&7&|:5\\x&=&\frac 7 5 = 1,4 \end{array}
    ⇒    \;\;\Rightarrow\;\; Die Gerade schneidet die x-Achse bei Sx(1,4∣0)S_x(1,4|0).

Schnittpunkt mit der y-Achse

Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert x=0x=0 ein.
y=5⋅0−7y=5\cdot0-7
y=−7y=-7
    ⇒    \;\;\Rightarrow\;\; Die Gerade schneidet die y-Achse bei Sy(0∣−7)S_y(0|-7).
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y=32x+2y=\frac32x+2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Schnittpunkt mit der x-Achse

Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach xx auf.
0=−25x+52∣+25x25x=52∣⋅52x=254=6,25\begin{array}{rcll}0&=&-\frac25x+\frac52&|+\frac 25 x\\\frac25x&=&\frac 52&|\cdot \frac 52\\x&=&\frac{25}{4}=6,25\end{array}
    ⇒    \;\;\Rightarrow\;\; Die Gerade schneidet die x-Achse bei Sx(6,25∣0)S_x(6,25|0).

Schnittpunkt mit der y-Achse

Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert x=0x=0 ein.
y=−25⋅0+52y=-\frac25\cdot0+\frac52
y=52=2,5y=\frac 5 2 = 2,5
    ⇒    \;\;\Rightarrow\;\; Die Gerade schneidet die y-Achse bei Sy(0∣2,5)S_y(0|2,5).
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y=2(x−23)y=2(x-\frac23)
y=−43−12xy=-\frac43-\frac12x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Gleichung umstellen

Um eine allgemeine Geradengleichung y=m⋅x+ty=m\cdot x+t zu erhalten, vertausche auf der rechten Seite beide Elemente.
y=−43−12xy=-\frac43-\frac12x
y=−12x−43\phantom{y}=-\frac12x-\frac43

Schnittpunkt mit der x-Achse

Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach xx auf.
0=−43−12x∣+12x12x=−43∣⋅2x=−83=−223\begin{array}{rcll}0&=&-\frac43-\frac12x&|+\frac 12 x\\\frac 12 x &=& -\frac 43 &|\cdot 2\\x&=&-\frac 83 = -2\frac 23\end{array}
    ⇒    \;\;\Rightarrow\;\; Die Gerade schneidet die x-Achse bei Sx(−83∣0)S_x( -\frac83|0).

Schnittpunkt mit der y-Achse

Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert x=0x=0 ein.
y=−12⋅0−43y=-\frac12\cdot0-\frac43
y=−43y=-\frac 4 3
    ⇒    \;\;\Rightarrow\;\; Die Gerade schneidet die y-Achse bei Sy(0∣−43)S_y(0| -\frac43).
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Bestimmmung von Schnittpunkten

Im Koordinatensystem sind drei Geraden eingezeichnet. Lies die Schnittpunkte aus der Abbildung ab. .
Bild Schnittpunkte

Schnittpunkte ablesen

Bild Lösung
Im Bild rechts kann man die Koordinaten der drei Punkte ungefähr bestimmen.
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Beschreibe mit Worten die Lage der Geraden mit der Gleichung:
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y=−1\mathrm y=-1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Beschreibung von Geradengleichungen

Es handelt sich hier um eine konstante Funktion, d.h. die Funktion hängt nicht von xx ab. Jeder der xx-Werte hat den yy-Wert −1-1 .Die Gleichung beschreibt eine Gerade, die eine Paralelle zur x-Achse ist, und die 1 unterhalb der x-Achse liegt.
⇒y=−1\Rightarrow y=-1 beschreibt also eine Gerade mit Steigung 00 durch den Punkt (0,−1)(0,-1).
So sieht der Graph aus:
Graph der Gerade
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x+y=−2\mathrm x+\mathrm y=-2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Beschreibung von Geradengleichungen

y+x=−2y+x=-2
Forme um, sodass yy alleine auf der einen Seite des Gleichheitszeichen steht.
y=−x−2y=-x-2
Lese die Steigung mm und den y-Achsenabschnitt tt ab.
Die Gleichung beschreibt eine Gerade mit der Steigung m=−1m=-1 und dem y-Achsenabschitt t=−2t=-2 (Sie geht durch den Punkt (0,−2)(0,-2)) , also die Winkelhalbierende des II und IV Quadranten um 22 nach unten verschoben.
So sieht der Graph aus:
Graph der Gerade
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Lies aus dem Graphen den y-Achsenabschnitt ab.
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Graph 1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt

Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.
Lösung 1_S
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse S(0∣0)S(0|0), also y=0y=0.

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Graph 2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt

Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.
Lösung2_S
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse S(0∣3)S(0|3), also y=3y=3.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt

Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse S(0∣−4)S(0|-4), also y=−4y=-4.
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Graph 4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt

Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.
Lösung 4
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse S(0∣−3)S(0|-3), also y=−3y=-3.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt

Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.
Lösung 5
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse S(0∣4)S(0|4), also y=4y=4.
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Graph 6

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt

Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.
Lösung 6
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse S(0∣5)S(0|5), also y=5y=5.
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Graph 7

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt

Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.
Lösung 7
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse S(0∣2)S(0|2), also y=2y=2.
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Graph 8

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt

Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.
Lösung 8
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse S(0∣3)S(0|3), also y=3y=3.
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Graph 9

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt

Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.
Lösung 9
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse S(0∣−1)S(0|-1), also y=−1y=-1.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt

Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.
Lösung 10
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse S(0∣−4)S(0|-4), also y=−4y=-4.
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Forme die Gleichung so um, dass sie die Form  y=ax+by=\mathrm{ax}+b   hat.
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2x−y=62x-y=6
x=12(y+1)x=\frac12(y+1)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung umformen

25y\frac{2}{5}y==2x−12x-1|⋅52\cdot\frac{5}{2}
↓
Beachte: Auf der rechten Seite der Gleichung wird jedes Element der  Subtraktion mit 52\frac52 multipliziert.
Die einzelnen Multiplikationen:  
25⋅y⋅52=1010⋅y=1⋅y;      2x⋅52=102x=5x;      −1⋅52=−52\frac25\cdot y\cdot\frac52=\frac{10}{10}\cdot y=1\cdot y;\\\;\;\;2x\cdot\frac52=\frac{10}2x=5x;\\\;\;\;-1\cdot\frac52=-\frac52
yy==5x−525x-\frac{5}{2}
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y=3(2x−1)y=3(2x-1)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung umformen

yy==3(2x−1)3\left(2x-1\right)
↓
Die Klammer ausmultiplizieren.
yy==6x−36x-3
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionalität

Graphisch Lösen

Zeichne die beiden Wertepaare (4∣6)(4|6) und (8∣12)(8|12) in ein Koordinatensystem und zeichne die Gerade durch die beiden Punkte. Nun kannst du die anderen Werte ablesen.
xx-Achse: 1cm1\mathrm{cm} entspricht 2l2l yy-Achse: 1cm1\mathrm{cm} entspricht 2€2€
Graph zu direkte Propotionalität

Menge in Liter

4

6

8

%%\color{#006400}{11}%%

Preis in €

6

%%\color{#006400}{9}%%

12

16,5

Rechnerische Lösung

Verwende die Proportionalitätskonstante, um den Preis pro Liter zu bestimmen. Dividiere dazu bei einem Wertepaar den Preis durch die Literanzahl:
66 €:4l=1,5:4 l = 1,5 €/ll
Ein Liter kostet also 1,501,50€
Berechne damit den Preis für 6l6 l:
6l⋅1,56 l \cdot 1,5 €/l=9l= 9 €
6l6 l kosten also 99 €.
Beim letzen Wertepaar weißt du, dass 16,5016,50 € bezahlt wurden. Teile diese Zahl durch den Literpreis von 1,501,50 €/ll
16,5016,50 € :1,50: 1,50 €/l=11l/l =11 l
Für 16,5016,50 € bekommt man also 11l11 l.
Hinweis: Man kann diese Aufgabe auch anders lösen, zum Beispiel mit dem Dreisatz. Wenn du einen anderen, richtigen Lösungsweg hast, kannst du ihn hier gerne noch ergänzen.
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Folgende direktproportionale Zuordnung ist gegeben:
https://smart.uni-bayreuth.de/data/rs/Mathematik/j06/501/425/425.html
Quelle: https://smart.uni-bayreuth.de/data/rs/Mathematik/j06/501/425/425.html
  1. Lies aus dem Diagramm ab, wie weit ICE und RE jeweils in 2 h fahren.
  2. Berechne den Proportionalitätsfaktor für ICE und RE! Was bedeutet er?
  3. Eine Regionalbahn fährt in 4h 300km. Trage diese Halbgerade ein!

Teilaufgabe 1

Der ICE fährt 400 km in 2 h.
Der RE hingegen 300 km in 2 h.

Teilaufgabe 2

Der Proportionalitätsfaktor kICEk_{ICE} des ICE beträgt 200 km in einer Stunde. Der Proportionalitätsfaktor kREk_{RE} des RE beträgt 150 km in einer Stunde.
Diese Proportionalitätsfaktoren sind Geschwindigkeiten in der Einheit kmh\frac{km}h.

Teilaufgabe 3

Die Regionalbahn (RB) fährt in 4 h 300 km. Somit beträgt die Geschwindigkeit 75 kmh\frac{km}h.
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