2018

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Gegeben ist ein Koordinatensystem.

Zeichne die Gerade g mit der Gleichung $y=0, 25x$ in das Koordinatensystem ein
( $\mathbb{G}=\mathbb{Q}$ x $\mathbb{Q}$ ). Achte auf Zeichengenauigkeit.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade zeichnen
Zeichne die Gerade $g$ mit der Gleichung $y=0{,}25x$ in das Koordinatensystem ein.
Da der y-Achsenabschnitt gleich Null ist handelt es sich hier um eine Ursprungsgerade .
Für die Steigung gehe vom Ursprung 4,0 nach rechts und 1,0 nach oben. Verbinde die beiden Punkte durch eine Gerade.
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Die Gerade f verläuft parallel zur Geraden g aus Aufgabe a) ( $\mathbb{G}=\mathbb{Q}$ x $\mathbb{Q}$ ). Schreibe den fehlenden Faktor in die Klammer, wenn für die Gleichung der Geraden f gilt:

$2y=$ ( ) $\cdot x+16$

Gib die Gleichung einer Geraden h an, die die x-Achse nicht schneidet und einen positiven y-Achsenabschnitt hat ( $\mathbb{G}=\mathbb{Q}$ x $\mathbb{Q}$ ).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
Gib die Gleichung einer Geraden h an, die die x-Achse nicht schneidet und einen positiven y-Achsenabschnitt hat $(\mathbb{G}=\mathbb{Q})$ .
Da die Gerade h die x-Achse nicht schneidet ist sie parallel zur x-Achse.
Eine solche Gerade ist z. B $y=3$ .
Deine Antwort ist immer dann richtig, wenn du eine Gerade parallel zur x-Achse gezeichnet hast, die oberhalb der x-Achse verläuft, also jede Gerade $y=a$ mit $a\in \mathbb Q^+$ .
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2
Die Gerade g mit der Gleichung
$y = 3x+t$ , ( $\mathbb{G}= \mathbb{Q}$ x $\mathbb{Q}$ )
verläuft durch die Punkte $P (0|–2)$ und $Q (2|y)$ . Berechne die fehlende Koordinate des Punktes $Q$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Gegeben ist die Gerade mit der Gleichung $y=3x+t$ und die Punkte $P(0|-2)$ und $Q(2|y).$ Berechne die fehlende Koordinate des Punktes $Q$ .
Berechne $t$ , indem du die Koordinaten des Punktes $P$ in die Gleichung einsetzt.
$\displaystyle -2$ $=$ $\displaystyle 3\cdot0+t$
$\displaystyle -2$ $=$ $\displaystyle 0+t$
$\displaystyle -2$ $=$ $\displaystyle t$
Stelle jetzt die Gleichung auf, indem du $\left(-2\right)$ für $t$ in die Gleichung einsetzt:
$y=3x-2$
Setze $2\$ für $x$ ein und berechne $y$ :
$y=3\cdot2-2$ $\Rightarrow$ $y=4$
Die fehlende Koordinate des Punktes $Q$ ist $4$ , also $Q\left(2|4\right)$ .
Benutze zunächst den Punkt $P$ , um das $t$ in der Geradengleichung zu bestimmen.
Dann kannst du die 2 aus $Q$ als $x$ einsetzen und so den fehlenden $y$ -Wert von $Q$ berechnen.

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung

$x^2+3x=(5+x)\cdot x+8$ ( $\mathbb{G}=\mathbb{Q}$ )

4
Welche der folgenden Aussagen sind für jede beliebige Belegung von $a$ ( $a\in \mathbb{Q}$ ) wahr? Kreuze die beiden wahren Aussagen an.
$-(3a)^2=-9a^2$
$-2\cdot(a+1)=-2a+2$
$3{,}5-0{,}5a=3a$
$3a-a=2a$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zusammenfassen und Ausmultiplizieren von Termen
$\displaystyle 3a-a$ $=$
↓
fasse zusammen
$=$ $\displaystyle 2a$
$\displaystyle -(3a)^2$ $=$
↓
multipliziere die Klammer aus
$=$ $\displaystyle -9a^2$
$\displaystyle 3{,}5-0{,}5a$ $=$
↓
Hier kann man nicht zusammenfassen
$=$ $\displaystyle 3{,}5-0{,}5a$
$\displaystyle -2\cdot (a+1)$ $=$
↓
multipliziere die Klammer aus
$=$ $\displaystyle -2a-2$
Multipliziere aus und fasse zusammen, wenn es möglich ist.

Setze so in die Lücken ein, dass äquivalente Terme entstehen ( $\mathbb{G}=\mathbb{Q}$ )

6
Leo hat für seine Familie Pfannkuchen gebacken. Er überlegt: „Wenn ich jedem Familienmitglied 2 Pfannkuchen gebe, bleiben 3 Stück übrig. Wenn ich aber jedem 3 Pfannkuchen geben möchte, dann habe ich 2 zu wenig. “Mit welcher Gleichung kann man die Anzahl $x$ ( $x \in \mathbb{N}$ ) der Familienmitglieder rechnerisch bestimmen? Kreuze diese an.
$3x+3=2x-2$
$2x+3=3x-2$
$3x^2=2x^3$
$2x-3=3x+2$
x: Anzahl der Familienmitglieder
Wenn jedes Familienmitglied 2 Pfannkuchen bekommt, bleiben 3 Pfannkuchen übrig.
=> Gesamtsumme: $2\cdot x+3$
Wenn jedes Familienmitglied 3 Pfannkuchen bekommen soll, fehlen 2 Pfannkuchen.
=> Gesamtsumme: $3\cdot x-2$
$2\cdot x+3=3\cdot x-2$
7
Für das gleichschenklige Trapez $PQRS$ gilt:
$\sphericalangle QPS = 110°,$
$[PQ] \Vert [RS]$
$\overline{PQ} =\overline{QR}$
Ergänze die Zeichnung zum gleichschenkligen Trapez $PQRS$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Trapez
In dem gleichschenkligen Trapez gilt: $∢PQR$ = $∢QPS$ = $110°$ .
Trage in P und Q jeweils einen 110° Winkel an. Zeichne einen Kreis um Q mit dem Radius $\overline{PQ}$ . Der Schnittpunkt dieses Kreises mit dem freien Schenkel des Winkels $∢PQR$ ist der Punkt $R$ . Zeichne nun eine Parallele zu PQ durch $R$ . Der Schnittpunkt dieser Parallelen mit dem freien Schenkel des Winkels ∢QPS ist der Punkt $S$ .
8
Der Punkt $M (2|1)$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[AB]$ mit $A (x|−15$ ) und $B (15|17)$ ). Gib die x-Koordinate des Punktes $A$ an.
A(_____|-15)

Um vom Mittelpunkt $M(2|1)$ der Strecke $[AB]$ zum Punkt $B(15|17)$ zu gelangen, musst du 13 Schritte nach rechts und 16 Schritte nach oben gehen. Um vom Punkt $M(2|1)$ zum Punkt A zu gelangen, musst du also 13 Schritte nach links und 16 Schritte nach unten gehen, d.h.
$A(2-13|1-16)$
$A(-11|-15)$
9
Bei einer Umfrage äußerte jeder fünfte Befragte, er sei mit seiner Berufswahl zufrieden. Das waren 80 Personen. 360 Personen gaben bei der gleichen Umfrage an, sie würden sich ein höheres Gehalt wünschen. Wie viel Prozent der Befragten wünschen sich ein höheres Gehalt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreisatz
Jeder fünfte Befragte war mit seiner Berufswahl zufrieden, das entspricht 20%. Dies waren 80 Personen. =>
$80 \widehat{=}20$ %
$4\widehat{=}1$ %
$360:4=90$
=> $360\widehat{=}90$ %
90% der Befragten wünschen sich ein höheres Gehalt.
10
Welche der folgenden quadratischen Terme $(\mathbb{G}= \mathbb{Q})$ haben für $x = 2$ ein Maximum oder ein Minimum mit dem Wert 7?
Kreuze die beiden Terme an.
$T_1(x)=-2(x-2)^2+7$
$T_2(x)=-(x-7)^2+2$
$T_3(x)=3(x-2)^2+7$
$T_4(x)=2x^2+7$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunktsform
$T_1(x)=−2(x−2)^2+7$
$T_1(2)=-2(2-2)^2+7=7$
$T_3(x)=3(x−2)^2+7$
$T_3(2)=3(2−2)^2+7=7$
$T_1$ und $T_3$ haben für $x=2$ ein Maximum ( $T_1$ ) oder Minimum ( $T_3$ ) mit dem Wert $7$ .
Alle Ausdrücke sind in Scheitelpunktsform.
Nur $T_3$ und $T_1$ haben den Scheitel (und damit ein Minimum oder Maximum) bei $x=2$ .
Setze $2$ für $x$ in diese Terme ein.
11
Welche Definitionsmenge $\mathbb{G}=\mathbb{Q}$ passt zu den Bruchgleichungen?
1. $\dfrac{x}{x-3}=\dfrac{1}{2}$
  $\mathbb{D}=\mathbb{Q}$ \ {0;3}
  $\mathbb{D}=\mathbb{Q}$ \ {0}
  $\mathbb{D}=\mathbb{Q}$ \ {0;-2}
  $\mathbb{D}=\mathbb{Q}$ \ {3}
  $\mathbb{D}=$ {0;-2}
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
  Da der Nenner eines Bruches nicht 0 werden darf, muss die 3 aus der Grundmenge ausgeschlossen werden. $\mathbb{D}=\mathbb{Q}$ \ {3}
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  Betrachte die Nenner der beiden Brüche
2. $\dfrac{5}{4x}=\dfrac{4}{x+2}$
  $\mathbb{D}=\mathbb{Q}$ \ {0;3}
  $\mathbb{D}=\mathbb{Q}$ \ {0}
  $\mathbb{D}=\mathbb{Q}$ \ {0;-2}
  $\mathbb{D}=\mathbb{Q}$ \ {3}
  $\mathbb{D}$ = {0;-2}
  
  Da die Nenner der beiden Brüche nicht 0 werden dürfen, muss die 0 und die -2 aus der Grundmenge ausgeschlossen werden.
  $\mathbb{D}=\mathbb{Q}$ \ {0;-2}
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  Betrachte die Nenner der beiden Brüche.

Bestimme die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ der Bruchgleichung $\dfrac{4x}{2x+1}=\dfrac{1}{3}$ mit

$\mathbb{G}=\mathbb{Q}$ , $\mathbb{D}=\mathbb{Q}$ \ {-0,5}

13
Klammere beim folgenden Term den Faktor 0,5 aus.
$0{,}5x^2-x+3=$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
$0{,}5x^2-x+3=0{,}5\cdot(x^2-2x+6)$
Dividiere jeden Summand durch den gemeinsamen, ausgeklammerten Faktor.
14
Im Diagramm ist die Entwicklung der durchschnittlichen Gästezahlen eines Hotels in den Jahren 2000 bis 2015 dargestellt. Welche der folgenden Aussagen treffen für dieses Hotel zu?
Im Jahr 2015 hatte das Hotel nur noch halb so viele Gäste wie im Jahr 2005.
Von 2000 bis 2005 sank die Gästezahl um 10 %.
Von 2010 auf 2015 sank die Gästezahl um mehr als 50 %.
Für das Jahr 2003 können aus dem Diagramm keine Aussagen entnommen werden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Säulendiagramm
Im Jahr 2015 hatte das Hotel 400 Gäste und im Jahr 2005 hatte es 450 Gäste. Die Hälfte von 450 ist 225. Das Hotel hatte aber im Jahr 2015 nur 450-400=50 Gäste weniger als im Jahr 2005.
Die Antwort "Im Jahr 2015 hatte das Hotel nur noch halb so viele Gäste wie im Jahr 2005" ist also falsch.
Im Jahr 2000 hatte das Hotel 500 Gäste und im Jahr 2005 hatte es 450 Gäste. 500-450=50; 10% von 500 sind 50.
Die Antwort "Von 2000 bis 2005 sank die Gästezahl um 10 %" ist also richtig.
Im Jahr 2010 hatte das Hotel 470 Gäste und im Jahr 2015 hatte es 400 Gäste. 50% von 470 sind 235. Das Hotel hatte aber im Jahr 2015 nur 470-400=70 Gäste weniger als im Jahr 2010.
Die Antwort "Von 2010 auf 2015 sank die Gästezahl um mehr als 50 %" ist falsch.
In dem Säulendiagramm ist für das Jahr 2003 kein Wert angegeben.
Die Antwort "Für das Jahr 2003 können aus dem Diagramm keine Aussagen entnommen werden" ist richtig.
15
In einem blickdichten Säckchen befinden sich vier gleichartige Kugeln: eine rote, eine gelbe, eine schwarze und eine blaue Kugel. Dieter nimmt die vier Kugeln einzeln heraus, ohne sie jeweils zurückzulegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gelbe Kugel als zweite gezogen wird?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Wenn 4 verschieden Kugeln im Behälter liegen, hat jede Kugel eine Wahrscheinlichkeit von
$\frac{1}{4}$ . Das trägst du im Baumdiagramm ein.
Beim nächsten Zug sind nur noch 3 Kugeln im Behälter. Deshalb liegt die Wahrscheinlichkeit bei jeder Kugel jetzt bei $\frac{1}{3}$ . Auch das trägst du wieder bei jeder Farbe ein.
Jetzt schaust Du, welche Wege zum Ziel führen (Die gelbe Kugel beim 2. Zug ziehen). Die Wahrscheinlichkeiten werden bei jedem Weg multipliziert.
$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$
Du findest insgesamt 3 Wege mit jeweils einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{12}$ .
Diese 3 Werte werden jetzt addiert.
$\frac{1}{12} + \frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass die gelbe Kugel beim 2. Zug gezogen wird, liegt bei $\frac{1}{4} \text { oder bei 0{,}25}$
P(Gelbe Kugel beim 2. Zug) = 0,25
16
Der Zug einer Achterbahn besteht aus lauter gleichen Waggons (siehe Abbildung). In jeder Reihe können zwei Personen nebeneinander sitzen. Ein Teil des Zuges wird durch ein Schild verdeckt.
Der Betreiber nahm insgesamt 210 € für eine Fahrt ein, bei der alle Plätze besetzt waren. Wie hoch ist der Fahrpreis pro Person?
€

In jedem Zug sitzen 6 Personen (3 Reihen mit jeweils 2 Personen). Durch Schätzung kann man feststellen, dass sich hinter dem Schild noch 3 Wagen befinden, also gibt es insgesamt 7 Wagen.
$7\cdot6=42$ Personen insgesamt
$210 € : 42 = 5 €$
Der Fahrpreis pro Person beträgt 5€!
17
Die Punkte $B, C$ und $D$ liegen auf einer Kreislinie um den Mittelpunkt $M$ . Ermittle die fehlenden Winkelmaße $\alpha$ und $\beta$ , wenn gilt: $AB\Vert CD$ und $\overline{AC}=\overline{BC}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel Satz des Thales
Betrachte das Dreieck $ABC$ .
Es ist ein gleichschenkliges Dreieck mit
$\overline{AC}=\overline{BC}$ $\Rightarrow$ $\sphericalangle CBA=\beta$
$\sphericalangle CBA=180°-125°=55°$
$\Rightarrow$ $\beta=55°$
Betrachte nun das Dreieck $DBC$ .
Es ist nach dem Satz des Thales ein rechtwinkliges Dreieck mit $\sphericalangle DBC=90°$
$\sphericalangle DCB=180°-125°=55°$
$\alpha=180°-90°-55°=35°$
18
Das große Quadrat setzt sich aus 4 deckungsgleichen Rechtecken und einem kleinen Quadrat zusammen. Jedes Rechteck hat einen Umfang von 18 cm. Welchen Flächeninhalt hat das große Quadrat?
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck und Quadrat
Wir bezeichnen die Seitenlängen der 4 deckungsgleichen Vierecke mit $a$ und $b$ .
Der Umfang $U$ eine Rechtecks berechnet sich aus
$U_{Rechteck}=2\cdot a +2\cdot b$
Wir wissen:
$2\cdot a+2\cdot b=18 cm$ => $a+b=9cm$
Wir bezeichnen die Seitenlängen des großen Quadrates mit $c$ .
Aus der Zeichnung erkennen wir: $c=a+b$ => $c=9cm$
$A_{Quadrat}=c^2$ => $A_{Quadrat}=(9cm)^2=81 cm^2$
Der Flächeninhalt des großen Quadrats beträgt $81cm^2$ .
Berechne die Seitenlänge der großen Quadrats aus dem Umfang eines der deckungsgleichen Rechtecke.
19
Paula hat bei dem Dreieck $ABC$ die Maße $a=6\, \mathrm{cm}$ , $b = 4\, \mathrm{cm}$ , $c = 3\, \mathrm{cm}$ ,
$\alpha = 36°$ , $\beta=118°$ und $\gamma= 26°$ gemessen. Michaela schaut sich die Ergebnisse an und sagt: „So ein Dreieck kann es nicht geben. Da hast du bestimmt etwas falsch gemacht.“ Erkläre, wie sie ohne Zeichnung erkennen konnte, dass es ein solches Dreieck nicht geben kann.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Seiten-Winkel-Beziehung im Dreieck
In dem oben genannten Dreieck wäre die Seiten- Winkel- Beziehung nicht erfüllt. Dem Winkel mit dem größten Maß $\beta=118°$ liegt die Seite $b = 4\, \mathrm{cm}$ gegenüber. Dies ist aber nicht die längste Seite. Die längste Seite ist die Seite $a = 6\, \mathrm{cm}$ .
20
Aus einem Würfel mit der Kantenlänge $5$ $cm$ wurden zwei kleinere Würfel mit jeweils einer Kantenlänge von $x$ $cm$ ausgeschnitten ( $0 \lt x \lt 2{,}5; x \in \mathbb{Q}$ ). Gib einen Term an, der das Volumen V des so entstandenen Körpers (siehe Abbildung) in Abhängigkeit von $x$ beschreibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Würfels
$V_{Würfel gesamt}=a^3$ und $a=5\ cm$
$V_{Würfe\lg esamt}=125\ cm^3$
$V_{kleinerWürfel}=(x\, cm)^3$
$V_{kleiner Würfel}=x^3\, cm^3$
Da zwei kleine Würfel herausgeschnitten werden, muss das Volumen des kleinen Würfels auch zweimal subtrahiert werden:
$V_{Würfel Rest}=125\, cm^3-2\cdot x^3\, cm^3$
Berechne das Volumen des gesamten Würfels und subtrahiere das Volumen der beiden kleinen ausgeschnittenen Würfel.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle mx+b$	$\displaystyle \cdot2$
	↓	multipliziere mit 2
$\displaystyle 2y$	$=$	$\displaystyle \left(2m\right)x+2b$
	↓	setze für m=0.25
$\displaystyle 2y$	$=$	$\displaystyle \left(2\cdot0{,}25\right)x+2b$
$\displaystyle 2y$	$=$	$\displaystyle 0{,}5x+2b$

Multipliziere die Klammer aus
	↓
$\displaystyle x^2+3x$	$=$	$\displaystyle 5x+x^2+8$	$\displaystyle -x^2$
	↓	subtrahiere $x^2$
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle 5x+8$	$\displaystyle -5x$
	↓	subtrahiere 5x
$\displaystyle -2x$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle \cdot\left(-1\right)$
	↓	multipliziere mit -1
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle -8$	$\displaystyle :2$
	↓	dividiere durch 2
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -4$

$\displaystyle 2ab$	$=$	$\displaystyle 12x$
	↓	setzte für a =2x
$\displaystyle 2\cdot2x\cdot b$	$=$	$\displaystyle 12x$
$\displaystyle 4xb$	$=$	$\displaystyle 12x$	$\displaystyle :4x$
	↓	teile durch 4
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 3$

$\displaystyle \dfrac{4x}{2x+1}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{3}$	$\displaystyle \cdot 3\cdot(2x+1)$
	↓	multipliziere mit dem gemeinsamen Hauptnenner und kürze
$\displaystyle 4x\cdot 3$	$=$	$\displaystyle 1\cdot (2x+1)$
$\displaystyle 12x$	$=$	$\displaystyle 2x+1$	$\displaystyle -2x$
$\displaystyle 10x$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :10$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0{,}1$

$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle 3\cdot0+t$
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle 0+t$
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle t$

$\displaystyle 3a-a$	$=$
	↓	fasse zusammen
	$=$	$\displaystyle 2a$

$\displaystyle -(3a)^2$	$=$
	↓	multipliziere die Klammer aus
	$=$	$\displaystyle -9a^2$

$\displaystyle 3{,}5-0{,}5a$	$=$
	↓	Hier kann man nicht zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle 3{,}5-0{,}5a$

$\displaystyle -2\cdot (a+1)$	$=$
	↓	multipliziere die Klammer aus
	$=$	$\displaystyle -2a-2$

2018

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