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Gegeben ist die Funktion ff mit f(x)=2ex(2ex1)f(x)=2e^{-x}\cdot(2e^{-x}-1) und xRx \in \mathbb{R}. Abbildung 1 zeigt den Graphen GfG_f von ff sowie die einzige Nullstelle x=ln(2)x=ln(2) von ff.

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  1. Zeigen Sie, dass für den Term der Ableitungsfunktion ff' von ff gilt: f(x)=2ex(14ex)f'(x)=2e^{-x}\cdot(1-4e^{-x}). (3 BE)

  2. Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunkts von GfG_f. (4 BE)

    (Teilergebnis: x-Koordinate des Extrempunkts: ln(4)ln(4))

    Zusätzlich ist die Funktion FF mit F(x)=2ex2e2xF(x)=2e^{-x}-2e^{-2x} und xRx \in \mathbb{R} gegeben.

  3. Zeigen Sie, dass FF eine Stammfunktion von ff ist, und begründen Sie anhand des Terms von FF, dass limx+F(x)=0\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} F(x)=0 gilt. (3 BE)

  4. Der Graph von FF verläuft durch den Punkt (ln(2)0,5)(ln(2)|0{,}5). Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass FF keine größeren Werte als 0,50{,}5 annehmen kann und bei x=ln(4)x=ln(4) eine Wendestelle besitzt. Berechnen Sie die y-Koordinate des zugehörigen Wendepunkts. (5 BE)

  5. Zeichnen Sie den Graphen von FF unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse sowie des Funktionswerts F(0)F(0) im Bereich 0,3x3,5-0{,}3\le x \le 3{,}5 in Abbildung 1 ein. (4 BE)

  6. Der Graph von ff schließt mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück ein, das durch das Dreieck mit Eckpunkten O(00)O(0|0), P(ln20)P(ln2|0) und Q(02)Q(0|2) angenähert werden kann. Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Flächeninhalt des Dreiecks OPQOPQ vom Inhalt des Flächenstücks abweicht. (4 BE)

    Betrachtet wird nun die Integralfunktion F0F_0 mit F0(x)=0xf(t)dtF_0(x)=\int_0^x f(t)dt und xRx \in \mathbb{R}.

  7. Begründen Sie, dass F0F_0 mit der betrachteten Stammfunktion FF von ff übereinstimmt. Interpretieren Sie geometrisch den Wert F0(2)0,234F_0(2)\approx 0{,}234 mithilfe von in Abbildung 1 geeignet zu markierenden Flächenstücken. (4 BE)

  8. Geben Sie den Term einer in R\mathbb{R} definierten Funktion an, die eine Stammfunktion, aber keine Integralfunktion von ff ist. (2 BE)