Textaufgaben zum Bruchrechnen

Hier findest du gemischte Übungsaufgaben zum Rechnen mit Brüchen. Schaffst du sie alle?

1
Addiert man zu einem Drittel von einem Viertel die Hälfte von einem Fünftel und subtrahiert dann den zehnten Teil von zwei Drittel, so ist dies der 24. Bruchteil einer gesuchten Zahl. Wie lautet die Zahl?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche
Stelle einen Term auf, wobei $x$ die gesuchte Größe ist.
Übersetze dabei das Wort "von" mit " $\cdot$ ". Beachte die Regel "Punkt vor Strich"
$\frac13 \cdot \frac14+\frac12 \cdot \frac15- \frac1{10} \cdot \frac23=\frac1{24}\cdot x$
Multipliziere die einzelnen Brüche.
$\frac1{12}+\frac1{10}-\frac2{30}=\frac x{24}$
Suche für die linke Gleichungsseite einen gemeinsamen Nenner.
$\frac{5}{60}+\frac{6}{60}-\frac{4}{60}=\frac{x}{24}$
Addiere die Brüche.
$\frac7{60}=\frac x{24}$
Multipliziere mit 24, kürze und wandle in einen gemischten Bruch um.
$x=2\frac45$

Beschreibe alle Fehler, die Klaus gemacht hat. Berechne anschließend den richtigen Wert.

$\left[2{,}75-0{,}25:\left(\frac{7}{12}-\frac{5}{8}\right)\right]\cdot1{,}6+0{,}4\\=\left[2{,}5:\frac{7-5}{12-8}\right]\cdot1{,}6+0{,}4\\=\left[2{,}5:\frac{2}{4}\right]\cdot2\\=\frac{5}{2}:\frac{1}{2}\\=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}\\=\frac{1}{5}\\=0{,}2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen:

Brüche, Dezimalzahlen

1) Fehlerbeschreibung

Im ersten Schritt wurde Punkt vor Strich nicht beachtet und das Subtrahieren von Brüchen wurde falsch gemacht.

$\displaystyle \left[2{,}75-0{,}25:\left(\dfrac{7}{12}-\dfrac{5}{8}\right)\right]\cdot1{,}6+0{,}4$	$=$	$\displaystyle \left[\textcolor{cc0000}{2{,}5}:\left(\textcolor{cc0000}{\dfrac{7-5}{12-8}}\right)\right]\cdot1{,}6+0{,}4$
	↓	Punkt vor Strich wird nicht beachtet
	$=$	$\displaystyle \left[2{,}5:\dfrac{2}{4}\right]\cdot\textcolor{cc0000}{2}$
	↓	Das Multiplizieren mit 2 wird vergessen hinzuschreiben
	$=$	$\displaystyle \dfrac{5}{2}:\dfrac{1}{2}$
	↓	Beim Dividieren von 2 Brüchen, wird mit dem Kehrwert des 2. (!) Bruches mutlipliziert. Hier wird mit dem 1. multipliziert.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{5}{2}\textcolor{cc0000}{\cdot}\dfrac{1}{2}$
	$=$	$\displaystyle 0{,}2$

2) Korrigieren der Aufgabe

Bilde zuerst den Hauptnenner für die Brüche in der Klammer und erweitere die Brüche auf diesen.

$\displaystyle \left[2{,}75-0{,}25:\left(\dfrac{7}{12}-\dfrac{5}{8}\right)\right]\cdot1{,}6+0{,}4$	$=$	$\displaystyle \left[2{,}75-0{,}25:\left(\frac{14}{24}-\frac{15}{24}\right)\right]\cdot1{,}6+0{,}4$
	↓	Brüche ausrechnen
	$=$	$\displaystyle \left[2{,}75-0{,}25:\left(-\frac{1}{24}\right)\right]\cdot1{,}6+0{,}4$
	↓	Umschreiben aller Dezimalzahlen in Brüche
	$=$	$\displaystyle \left[\frac{11}{4}-\frac{1}{4}:\left(-\frac{1}{24}\right)\right]\cdot\frac{8}{5}+\frac{2}{5}$
	↓	Mit dem Kehrwert des Bruches multiplizieren
	$=$	$\displaystyle \left[\frac{11}{4}-\frac{1}{4}\cdot\left(-\frac{24}{1}\right)\right]\cdot\frac{8}{5}+\frac{2}{5}$
	↓	Multiplikation in der Klammer
	$=$	$\displaystyle \left[\frac{11}{4}+\frac{24}{4}\right]\cdot\frac{8}{5}+\frac{2}{5}$
	↓	Klammer berechnen
	$=$	$\displaystyle \frac{35}{4}\cdot\frac{8}{5}+\frac{2}{5}$
	↓	Multiplikation mit Kürzen
	$=$	$\displaystyle \frac{14}{1}+\frac{2}{5}$
	↓	Umschreiben in Dezimaldarstellung
	$=$	$\displaystyle 14+0{,}4$
	$=$	$\displaystyle 14{,}4$

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3
Egon bekommt folgende Aufgabe: $7\frac13:\left(2\frac12-\frac52\right)$ .
Er denkt erst nach, bevor er rechnet. Dann ruft er: ”Die Aufgabe kann man doch im Kopf ausrechnen, da kommt $7\frac13$ heraus!".
Stimmt das? Begründe deine Ansicht.
Ja, er hat Recht.
Nein, er hat nicht Recht.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche
$7\frac13:\left(2\frac12-\frac52\right)=7\frac13:0$
Die Division durch null ist nicht erlaubt! Egon hat nicht recht.
Der Lösungsweg sieht wie folgt aus:
Zuerst wird erst einmal das Innere der Klammer betrachtet. Da wir wissen, dass Klammern in einem mathematischen Ausdruck immer den höchsten Stellenwert haben.
Wer mit den Brüchen seine Probleme hat, darf diese auch gerne als Dezimalzahl schreiben.
Für die Klammer in Dezimal ergibt sich dann folgendes:
Der Wert in der Klammer wird also 0. Da wir nicht durch null teilen dürfen, ist das Ergebnis undefiniert.
4
Berechne ein Drittel von 0,03.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche
"Ein Drittel von $0{,}03$ ": "Von" kann man mit "mal" übersetzen.
$\frac{1}{3}\cdot0{,}03=0{,}03:3=0{,}01$

Gegeben ist der Term: $\left(-5\right)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2+4\frac{1}{2}:\left(-3\right)+2{,}8$

Berechne den Wert des Terms.

Carmen setzt um $(–3) + 2{,}8$ eine weitere Klammer. Ist der Wert des neuen Terms positiv oder negativ? Begründe deine Antwort ohne erneut zu rechnen.
- Der Wert ist negativ.
- Der Wert ist positiv.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche
$\;\;\Rightarrow\;\;\underbrace{\left(-5\right)\cdot\left(-\frac12\right)^2}_{\mathrm{ist}\;\mathrm{negativ}}+\underbrace{4\frac12\underset{\mathrm{ist}\;\mathrm{negativ}}{:\underbrace{\left\{\left(-3\right)+2{,}8\right\}}}}_{\mathrm{ist}\;\mathrm{negativ}}$
$\mathrm{negativ}\;+\;\mathrm{negativ}=\;\mathrm{negativ}$
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Ist das Wasser in einem Spülbecken zu heiß, so lässt man kaltes Wasser nachlaufen, bis die gewünschte Temperatur erreicht ist. Werden beispielsweise $10\ l$ Wasser der Temperatur $42 °C$ mit $2\ l$ Wasser der Temperatur $12 °C$ gemischt, so kann die Mischtemperatur mit folgender Formel berechnet werden:

Mischtemperatur $=\frac{10}{10+2}\cdot42^{\circ}\mathrm{C}+\frac{2}{10+2}\cdot12^{\circ}\mathrm{C}$

Berechne die Mischtemperatur in obigem Beispiel.

°C

Welche Mischtemperatur stellt sich ein, wenn $2{,}5\ l$ Wasser der Temperatur $27{,}0 °C$ mit $2{,}0\ l\$ Wasser der Temperatur $13{,}5 °C$ gemischt werden?

°C

Gegeben ist der Term $\left(4{,}5:3\right)\cdot\frac23:\left(4-6{,}5\right)$ .

Berechne den Wert des Terms.

Brüche kann man mit einem "/" in das Eingabefeld eingeben. Zum Beispiel "3/8".

Wie ändert sich der Wert des Terms, wenn man in der ersten Klammer beide Zahlen mit $10$ multipliziert? Begründe deine Antwort ohne Rechnung.
- Das Ergebnis wird um $10$ größer.
- Das Ergebnis wird um das $10$ -fache größer.
- Das Ergebnis wird um das $10$ -fache kleiner.
- Das Ergebnis ändert sich nicht.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Division
In der ersten Klammer steht dann $(4{,}5 \cdot 10) : (3 \cdot 10)$ .
Das Ergebnis ändert sich nicht, da sich die $10$ wegkürzt!
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Wie ändert sich der Wert des Terms, wenn man in der zweiten Klammer beide Zahlen mit $10$ multipliziert? Begründe deine Antwort ohne Rechnung.
- Das Ergebnis wird um $10$ kleiner.
- Das Ergebnis wird um das $10$ -fache kleiner.
- Das Ergebnis wird um das $10$ -fache größer.
- Das Ergebnis ändert sich nicht.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Division
Das Ergebnis wird um das $10$ -fache kleiner, da der Divisor um $10$ größer wird. (Man kann die $10$ ausklammern)
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$\frac{A}{7}\cdot 2\frac{1}{3}=B$

Die Platzhalter $A$ und $B$ vertreten natürlich Zahlen.

Berechne $A$ für $B=357$ .

Berechne $B$ für $A=111$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche
$\displaystyle \frac{111}{7}\cdot\frac{7}{3}$ $=$ $\displaystyle B$
↓
Kürzen.
$\displaystyle \frac{111}{3}$ $=$ $\displaystyle B$
$\displaystyle B$ $=$ $\displaystyle 37$
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Uwe behauptet: "Wenn du für den Platzhalter $A$ ein Vielfaches von 7 einsetzt, geht die Rechnung immer auf.“ Eva widerspricht: "Nur, wenn du für den Platzhalter $A$ eine durch . . . teilbare Zahl einsetzt, geht die Rechnung auf.“
Begründe, dass Uwe nicht Recht hat.
Was hat Eva gemeint? Begründe, dass sie Recht hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche
Beispiel: $A=35.$ 35 ist ein Vielfaches von $7$ . Dann ist
$\frac{35}{7}\cdot2\frac{1}{3}=5\cdot\frac{7}{3}=\frac{35}{3}=B$
$B$ ist keine natürliche Zahl. Weil aber $B$ eine natürliche Zahl sein soll, ist damit Uwes Behauptung widerlegt.
$\frac{A}{7}\cdot \frac{7}{3}=B$ $\;\;\Rightarrow\;\;\frac A3=B$
Also musst du für den Platzhalter A eine durch drei teilbare Zahl einsetzen. Dann kommt links und damit auch für den Platzhalter $B$ immer eine natürliche Zahl heraus. Deshalb hat Eva recht.
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9
Gegeben ist die Formel $\mathrm a=\frac{\mathrm b}{\mathrm c}$
1. Wie verändert sich $a$ , wenn $c$ kleiner wird?
  Der Wert von $a$ wird größer.
  Der Wert von $a$ wird kleiner.
  Der Wert von $a$ ändert sich überhaupt nicht.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche
  Beispiel: $a=5$ ; $b=10$ ; $c=2$
  $\mathrm{a}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}$
  $5=\frac{10}{2}$
  Verkleinerung von c: $c'=1$
  $\mathrm{a}`=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}`}$
  $10=\frac{10}{1}$
  $a ' =10$
  ⇒ $a$ wird größer, wenn $c$ kleiner wird.
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2. Werden folgenden Zusammenhänge durch die Formel beschrieben?
  A: Die Gesamtkosten $b$ für einen Mietwagen setzen sich zusammen aus der Zahl $a$ der gefahrenen Kilometer und dem Preis $c$ für einen Kilometer.
  B: Der Anhalteweg $a$ berechnet sich aus dem Bremsweg b und dem Reaktionsweg $c$ .
  Der Zusammenhang in $A$ wird beschrieben.
  Der Zusammenhang in $A$ wird nicht beschrieben.
  Der Zusammenhang in $B$ wird beschrieben.
  Der Zusammenhang in $B$ wird nicht beschrieben.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche
  a)
  $\mathrm{a}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}$
  Nach $b$ umstellen.
  $\mathrm{b}=\mathrm{a}\cdot \mathrm{c}$
  ⇒ Der Zusammenhang wird durch die Formel beschrieben, da sich die Gesamtkosten $b$ durch die Multiplikation von $a$ und $c$ berechnet.
  b)
  $\mathrm{a}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}$
  Anhalteweg $a$ = Bremsweg $b$ + Reaktionsweg $c$
  → Der Zusammenhang wird nicht durch die Formel beschrieben, da sich der Anhalteweg durch die Addition (und nicht durch die Division!!) von Bremsweg und Reaktionsweg berechnet.
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3. Gib selbst Sachzusammenhänge an, die durch die Formel $\mathrm a=\frac{\mathrm b}{\mathrm c}$ beschrieben werden können.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche
  Beispiel: Die
  Geschwindigkeit $v$ (a) lässt sich berechnen durch die Division der Strecke $s$ (b) durch die Zeit t (c).
  $v=\frac{s}{t}$
  $a=\frac{b}{c}$
  Umstellen nach $a$ .
  $\Rrightarrow$ Der Zusammenhang lässt sich durch die Formel beschreiben
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \frac{10}{10+2}\cdot42°C+\frac{2}{10+2}\cdot12°C$	$=$	$\displaystyle \frac{10}{12}\cdot42°C+\frac{2}{12}\cdot12°C$
	↓	Multipliziere.
	$=$	$\displaystyle \frac{420}{12}°C+\frac{24}{12}°C$
	↓	Addiere.
	$=$	$\displaystyle \frac{444}{12}$
	↓	Kürze mit 4.
	$=$	$\displaystyle \frac{111}{3}°C$
	$=$	$\displaystyle 37°C$

$\displaystyle \left(4{,}5:3\right)\cdot \frac{2}{3}:\left(4-6{,}5\right)$	$=$	$\displaystyle \left(\frac{9}{2}:3\right)\cdot \frac{2}{3}:\left(4-\frac{13}{2}\right)$
	↓	Bruch in der Klammer dividieren, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)\cdot \frac{2}{3}:\left(4-\frac{13}{2}\right)$
	↓	2-te Klammer ausrechnen, indem man den Hauptnenner von $4$ und $\frac{13}{2}$ bildet und auf diesen erweitert.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)\cdot \frac{2}{3}:\left(\frac{8}{2}-\frac{13}{2}\right)$
	↓	Klammer ausrechnen, indem man den Bruch subtrahiert .
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)\cdot \frac{2}{3}:\left(-\frac{5}{2}\right)$
	↓	Bruch multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle 1:\left(-\frac{5}{2}\right)$
	↓	Bruch dividieren, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.
	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{5}$

$\displaystyle \frac{A}{7}\cdot2\frac{1}{3}$	$=$	$\displaystyle 357$
	↓	Den gemischten Bruch umwandeln.
$\displaystyle \frac{A}{7}\cdot\frac{7}{3}$	$=$	$\displaystyle 357$
	↓	Kürzen und nach $A$ auflösen.
$\displaystyle \frac{A}{3}$	$=$	$\displaystyle 357$	$\displaystyle \cdot3$
$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle 1071$

	$=$	$\displaystyle \left(-\frac{5}{1}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{9}{2}:\left(-\frac{3}{1}\right)+\frac{14}{5}$
	↓	Zweiter Bruch potenzieren .
	$=$	$\displaystyle \left(-\frac{5}{1}\right)\cdot\frac{1}{4}+\frac{9}{2}:\left(-\frac{3}{1}\right)+\frac{14}{5}$
	↓	Brüche multiplizieren und dividieren .
	$=$	$\displaystyle \left(-\frac{5}{4}\right)+\left(-\frac{9}{6}\right)+\frac{14}{5}$
	↓	Zweiter Bruch kürzen.
	$=$	$\displaystyle \left(-\frac{5}{4}\right)+\left(-\frac{3}{2}\right)+\frac{14}{5}$
	↓	Brüche auf den gleichen Nenner (40) bringen.
	$=$	$\displaystyle \left(-\frac{50}{40}\right)+\left(-\frac{60}{40}\right)+\frac{112}{40}$
	↓	Brüche addieren .
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{20}$

$\displaystyle \frac{2{,}5}{2{,}5+2}\cdot27^{\circ}C+\frac{2}{2{,}5+2}\cdot13{,}5^{\circ}C$	$=$	$\displaystyle \frac{2{,}5}{4{,}5}\cdot27^{\circ}C+\frac{2}{4{,}5}\cdot13{,}5^{\circ}C$
	↓	Umformen der Dezimalzahlen in Brüche.
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{2}:\frac{9}{2}\cdot27^{\circ}C+2:\frac{9}{2}\cdot\frac{27}{2}^{\circ}C$
	↓	Mit dem jeweiligen Kehrwert der Brüche multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{2}\cdot\frac{2}{9}\cdot27^{\circ}C+\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{9}\cdot\frac{27}{2}^{\circ}C$
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{9}\cdot27^{\circ}C+\frac{4}{9}\cdot\frac{27}{2}^{\circ}$
	↓	Multiplikation
	$=$	$\displaystyle 15^{\circ}C+6^{\circ}C$
	↓	Addition
	$=$	$\displaystyle 21^\circ$

$\displaystyle \frac{111}{7}\cdot\frac{7}{3}$	$=$	$\displaystyle B$
	↓	Kürzen.
$\displaystyle \frac{111}{3}$	$=$	$\displaystyle B$
$\displaystyle B$	$=$	$\displaystyle 37$

Textaufgaben zum Bruchrechnen

1) Fehlerbeschreibung

2) Korrigieren der Aufgabe

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a)

a=bc\mathrm{a}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}a=cb​

b)

a=bc\mathrm{a}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}a=cb​

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$\mathrm{a}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}$

$\mathrm{a}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}$