2024

1
David sollte die Gerade g mit der Gleichung $y = - \frac{2}{3} x + 1$ in das Koordinatensystem einzeichnen.
Kreuze die wahre Aussage an.
David hat…
die Gerade richtig eingezeichnet.
den y-Achsenabschnitt an der x-Achse eingezeichnet.
das Vorzeichen des Steigungsfaktors nicht beachtet.
den y-Achsenabschnitt und den Steigungsfaktor vertauscht.
statt $- \frac{2}{3}$ als Steigungsfaktor $- \frac{3}{2}$ verwendet.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung und Steigungswinkel
Ankreuzen der wahren Aussage.
Die Steigungsfaktor der Geraden $g$ , die David eingezeichnet hat, beträgt, $- \frac{3}{2}$ .
(Siehe Skizze.)
Kreuze entsprechend an.
2
Die Funktion $h$ hat die Gleichung $h : y = - \frac{1}{4} x + 4$
1. Ermittle die Nullstelle $x_{0}$ der Funktion $h$ .
  $x_{0} =$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichung
  Ermitteln der Nullstelle $𝐱_{𝟎}$ der Funktion $𝐡$ .
  setze y=0
  ↓
  $- \frac{1}{4} x + 4$ $=$ $0$ $- 4$
  ↓
  subtrahiere
  $- \frac{1}{4} x$ $=$ $- 4$ $\cdot (- 4)$
  ↓
  multipliziere
  $x$ $=$ $16$
  $x_{0} = 16$
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  Setze $y = 0$ .
  Löse die Gleichung nach $x$ auf.
2. Die Gerade $h$ ist der Graph der Funktion $h$ .
  Die Gerade $AB$ mit den Punkten $A (0 | 1)$ und $B (x_{B} | 0)$ verläuft parallel zur
  Gerade $h$ .
  Gib die x-Koordinate $x_{B}$ des Punktes $B$ an.
  $x_{B} =$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallele Geraden (lineare Funktionen)
  Angeben der $𝐱$ -Koordinaten des Punktes $𝐁$ .
  Die allgemeine Form einer linearen Gleichung lautet:
  $y = m \cdot x + b$
  Da die Geraden g und h parallel sind, gilt für die Steigung der Geraden:
  $m_{g} = m_{h} = - \frac{1}{4}$
  Wir setzen die Koordinaten des Punktes A in die allgemeine Form ein.
  Für die Steigung $m$ setzen wir $- \frac{1}{4}$ ein.
  $- \frac{1}{4} \cdot 0 + b = 1 \Rightarrow b = 1$
  Für die Funktion $h$ erhalten wir dann:
  $h : y = - \frac{1}{4} x + 1$
  Wir setzen $0$ für $y$ ein und berechnen $x_{B}$ .
  berechnen von x
  ↓
  $- \frac{1}{4} x + 1$ $=$ $0$ $- 1$
  ↓
  subtrahieren
  $- \frac{1}{4} x$ $=$ $- 1$ $\cdot (- 4)$
  ↓
  multiplizieren
  $x$ $=$ $4$
  $x_{B} = 4$
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3
Ergänze die fehlenden Terme in den Kästchen so, dass eine wahre Aussage bei
Anwendung des Distributivgesetzes entsteht.
$5 a^{2} b \cdot (3 a c – 6 b^{3} +)$ = $– 30 a^{2} b^{4} + 5 a^{2} b$
( 2 Pkt.)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
Ergänzen der fehlenden Terme.
Berechnen des 1. Terms:
$5 a^{2} b \cdot 1. T e r m = 5 a^{2} b \Rightarrow 1. T e r m = 𝟏$
Berechnen des 2. Terms:
$5 a^{2} b \cdot 3 a c = 2. T e r m \Rightarrow 2. T e r m = 𝟏𝟓𝐚³𝐛𝐜$
Ergänzte Terme.
$5 a^{2} b \cdot (3 a c – 6 b^{3} + 𝟏) = 𝟏𝟓𝐚³𝐛𝐜 – 30 a^{2} b^{4} + 5 a^{2} b$
4
Der Pfeil $Z P = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array})$ wird durch Drehung mit $ϕ = 90 °$ um den Punkt $Z$ auf den Pfeil $\vec{Z P^{'}}$ abgebildet.
Gib die Koordinaten von $\vec{Z P^{'}}$ an.
$\vec{Z P^{'}} = ()$
( 1 Pkt.)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufgaben zu Winkeln zwischen Vektoren
Koordinaten von $\vec{{ZP}^{'}}$ .
$\vec{Z P^{'}} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \end{array})$
Beachte Skizze.
Die Skizze braucht nicht erstellt zu werden.
5
Gib die Lösungsmenge $L$ der Gleichung an. $x^{2} + 2 x + 1 = – (x + 2) + x^{2}$
$L = {}$
( 1 Pkt.)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichung
Lösungsmenge $𝐋$ der Gleichung.
Lösen der Gleichung.
↓
$x^{2} + 2 x + 1$ $=$ $– (x + 2) + x^{2}$
↓
beseitigen der Klammer
$x^{2} + 2 x + 1$ $=$ $- x - 2 + x^{2}$ $- x^{2}$
↓
subtrahieren
$2 x + 1$ $=$ $- x - 2$ $+ (x - 1)$
↓
addieren
$3 x$ $=$ $- 3$ $: 3$
↓
dividieren
$x$ $=$ $- 1$
$L = {- 1}$
Löse die Gleichung nach $x$ auf.
6
Für ein Parallelogramm $ABCD$ gilt: $a = 5 c m, b = 3 c m$ und $α = 50 °$ .
Vervollständige die Strecke $AB$ zum Parallelogramm $ABCD$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
Vervollständigen der Strecke $𝐀𝐁$ zum Parallelogramm $𝐀𝐁𝐂𝐃$ .
7
Löse die Klammern auf und fasse so weit wie möglich zusammen.
$(x + 3)^{2} + (x – 3) (x + 3) =$
( 1 Pkt.)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vereinfachen von Termen mit Klammern
Auflösen der Klammern und zusammenfassen.
$(x + 3)^{2} + (x – 3) (x + 3) =$
$x^{2} + 6 x + 9 + x^{2} - 9 =$
$2 x^{2} + 6 x$
8
Die Pfeile $\vec{AB}$ und $\vec{CD}$ sind Repräsentanten des Vektors $\vec{v}$ .
Dabei gilt: $A (- 5 | 0), B (- 7 | 3), C (3 | - 1)$ und $D (1 | 2)$ .
Gib die Koordinaten des Vektors $\vec{v}$ an.
$\vec{v} = ()$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor zwischen zwei Punkten berechnen
Koordinaten des Vektors $\vec{𝐯}$ .
Berechnen der Koordinaten des Vektors $\vec{v}$ .
Zur Berechnung der Koordinaten des Vektors $\vec{v}$ verwenden wir die Koordinaten der Punkte $C$ und $D$ .
Selbstverständlich kann man auch die Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ verwenden.
Die Skizze braucht nicht erstellt zu werden.
$\vec{v} = \vec{O D} - \vec{O C}$
$\vec{v} = (\begin{array}{c} 1 - 3 \\ 2 - (- 1) \end{array})$
$\vec{v} = (\begin{array}{c} -𝟐 \\ 𝟑 \end{array})$
9
Der Flächeninhalt $A$ von Rechtecken $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ lässt sich in Abhängigkeit von $x$
wie folgt beschreiben: $A (x) = [– 2 \cdot (x – 3)^{2} + 50] {cm}^{2}$ .
Von diesen Rechtecken hat $A_{0} B_{0} C_{0} D_{0}$ den größtmöglichen Flächeninhalt $A_{m a x}$ .
Gib diesen an.
$A_{m a x} =$
( 1 Pkt.)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Parabel
Angeben des größtmöglichen Flächeninhalts $A_{m a x}$ .
Die Funktion $A (x)$ liegt in der Scheitelform vor.
Die allgemeine Scheitelform lautet:
$f (x) = a (x - x_{s})^{2} + y_{s}$
Folgende Größen sind bekannt:
$a=-2 x_{s} = 3 y_{s} = 50$
Da der Öffnungsfaktor $a < 0$ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.
Bei einer nach unten geöffneten Parabel ist der Funktionswert des Scheitels, der
größtmögliche Wert, den die Funktion annehmen kann.
Der größtmögliche Flächeninhalt ist dann:
$A_{m a x} = 50 {cm}^{2}$
10
Ein kleines Quadrat mit der Seitenlänge $2 cm$ liegt so in einem größeren Quadrat mit der Seitenlänge $8 cm$ , dass alle Eckpunkte auf den Diagonalen des großen Quadrats liegen (siehe Zeichnung).
Die Skizze ist nicht maßtreu.
Der Flächeninhalt A der schraffierten Fläche beträgt cm².
( 1 Pkt.)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrat
Berechnen des Flächeninhalts $𝐀$ der schraffierten Fläche.
$A_{s c h r a f f i e r t e F l \ddot{a} c h e} = \frac{A_{Q u a d r a t g r .} - A_{Q u a d r a t k l .}}{4}$
$A_{s c h r a f f i e r t e F l \ddot{a} c h e} = \frac{64 - 4}{4}$
$A_{s c h r a f f i e r t e F l \ddot{a} c h e} = 15 {cm}^{2}$
Der Flächeninhalt A der schraffierten Fläche beträgt: $15 {cm}^{2}$ .
Berechne den Flächeninhalt des großen Quadrates.
Berechne den Flächeninhalt des kleinen Quadrates.
Bilde die Differenz.
Dividiere die Differenz durch $4$ .
11
Die Abbildung zeigt den Axialschnitt eines Rotationskörpers. Nenne die Teilkörper, aus denen sich dieser Rotationskörper zusammensetzt.
( 1 Pkt.)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rotationskörper
Benennen der Teilkörper, aus denen sich der Rotationskörper zusammensetzt.
Der Rotationskörper setzt sich zusammen aus:
$A :$ Kegel
$B :$ Zylinder
$C :$ Halbkugel
12
Tamara hat zur Berechnung des Flächeninhalts $A$ eines Dreiecks $PQR$ den folgenden Ansatz aufgestellt:
$A = \frac{1}{2} \cdot | \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ - 2 & 1 \end{array} | F E$
Ergänze die Punkte $Q$ und $R$ so, dass ein Dreieck $PQR$ entsteht, das zu Tamaras Ansatz passt.
( 1 Pkt.)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks im Koordinatensystem
Ergänzen der Punkte $𝐐$ und $𝐑$ .
13
Gegeben ist der Term $T (x) = \frac{x}{x + 3}$ mit der Definitionsmenge $D = ℚ \ {- 3}$ .
Erläutere, warum für diesen Bruchterm eine Definitionsmenge angegeben werden muss.
(1 Pkt.}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maximale Definitionsmenge einer Bruchgleichung
Erläuterung, warum für den Bruchterm eine Definitionsmenge angegeben werden muss.
Im Nenner eines Bruches darf niemals Null stehen da eine Division durch $𝟎$ nicht definiert ist.
Alle Zahlen, für die beim Einsetzen in die Gleichung der Nenner Null wird, müssen deshalb aus der Definitionsmenge einer Bruchgleichung ausgeschlossen werden.

Gib die Lösungsmenge $L$ der Bruchgleichung $\frac{1}{x} = \frac{2}{6 - x}$ mit $D = ℚ \ {0; 6}$ an.

$L = {}$

( 1 Pkt.)

Paul hat Aussagen zu Vierecken beurteilt. Dabei ist ihm ein Fehler unterlaufen.

Markiere das Kreuz, das Paul nicht richtig gesetzt hat.

Aussage	wahr	falsch
Die Diagonalen einer Raute sind immer gleich lang.		$x$
Eine Raute mit lauter gleich großen Innenwinkeln ist ein Quadrat.	$x$
Die Diagonalen jedes Drachenvierecks halbieren sich gegenseitig.		$x$
Jedes Trapez hat eine Symmetrieachse.	$x$
Jedes Quadrat ist achsensymmetrisch und punktsymmetrisch.	$x$

( 1 Pkt.)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecke, Vierecke, Kreise und andere ebene Figuren

Markieren des Kreuzes, das Paul nicht richtig gesetzt hat.

Aussage	wahr	falsch
Die Diagonalen einer Raute sind immer gleich lang.		$x$
Eine Raute mit lauter gleich großen Innenwinkeln ist ein Quadrat.	$x$
Die Diagonalen jedes Drachenvierecks halbieren sich gegenseitig.		$x$
Jedes Trapez hat eine Symmetrieachse.	$𝐱$
Jedes Quadrat ist achsensymmetrisch und punktsymmetrisch.	$x$

Erklärung:

Nicht jedes Trapez hat eine Symmetrieachse.

Ein Trapez hat dann eine Symmetrieachse, wenn die an den Grundseiten anliegenden Winkel gleich groß sind.

Es gibt aber Trapeze bei denen die den Grundseiten anliegenden Winkel nicht gleich groß sind. Solche Trapeze haben keine Symmetrieachse.

z. B.

Siehe Skizze.

16
Ein Raum mit rechteckiger Grundfläche ist $5 m$ lang, $4 m$ breit und $2 m$ hoch.
Der Raum ist komplett mit Luft gefüllt.
Wie viele Kubikmeter Sauerstoff befinden sich im Raum, wenn in der Luft $20 %$ Sauerstoff enthalten sind?
Berechne.
Es befinden sich $m^{3}$ Sauerstoff im Raum.
( 1 Pkt.)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
Berechnen des Volumen des Sauerstoffes.
Berechnen des Volumens des Raumes:
Der Raum hat die Form eines Quaders, die Formel zur Berechnung des Volumens eines Quaders lautet:
$V_{Q u a d e r} = l \cdot b \cdot h$
Einsetzen der bekannten Größen aus der Aufgabenstellung.
$V_{Q u a d e r} = 5 \cdot 4 \cdot 2$
$V_{Q u a d e r} = 40 m^{3}$
Berechne des Volumens des Sauerstoffes im Raum.
Die Formel zur Berechnung des Prozentwertes lautet:
$W = G \cdot p$
Folgende Größen sind bekannt:
$G = 40 m^{3} p = 20 %$
Einsetzen der bekannten Größen in die Formel.
$W = 40 \cdot \frac{20}{100} \Rightarrow W = 40 \cdot 0,20$
$W = 8 m^{3}$
Es befinden sich $8 m^{3}$ Sauerstoff im Raum.
Berechne das Volumen des Raumes.
Berechne das Volumen des Sauerstoffes mithilfe der Prozentformel.
17
Marcus ist ein leidenschaftlicher Läufer und joggt jeden Sonntag eine Runde um
den See. Dabei hat er 3 Routen zur Wahl:
Bestimme die ungefähre Länge der Route $C$ mithilfe der maßstabsgetreuen Abbildungen.
Gib deinen Lösungsweg an.
Die Route C ist ca. $km$ lang.
( 1 Pkt.)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab
Lösungsweg.
Vergleicht man Route $𝐀$ und Route $𝐁$ sowie Route $𝐁$ und Route $𝐂$ , so verkürzt sich die Strecke jeweils um $2$ Abschnitte. Alle diese Abschnitte haben die gleiche Länge.
$27 km – 21 km = 6 km .$
$21 km – 6 km = 15 km .$
Die Route $𝐂$ ist ca. $15 km$ lang.
18
Das Kreisdiagramm soll das Ergebnis der Schülersprecherwahl einer bayerischen Realschule zeigen. Bei der Wahl wurden $720$ gültige Stimmen abgegeben. Die Anteile von Luca und Marie wurden schon eingetragen. Kevin konnte die Wahl mit $240$ Stimmen für sich entscheiden, die restlichen Stimmen erhielt Nina.
Vervollständige das Kreisdiagramm.
( 1 Pkt.)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisdiagramm
Vervollständigen des Kreisdiagramms.
Damit wir das Kreisdiagramm vervollständigen können, müssen wir den Winkel des Kreissektors berechnen, der Kevins Stimmenanteil entspricht.
Berechnen des Winkels mit der Formel:
$Winkel = \frac{absoluter Wert \cdot 360 °}{Gesamtwert}$
Folgende Größen sind bekannt:
absoluter Wert: $240$ Stimmen
Gesamtwert: $720$ Stimmen
Einsetzen in die Formel:
$W i n k e l = \frac{240 \cdot 360 °}{720} \Rightarrow W i n k e l = \frac{1}{3} \cdot 360 °$
$W i n k e l = 120 °$
Vollständiges Kreisdiagramm.
19
Gib die Winkelmaße $α$ und $β$ an.
Es gilt:
Die Gerade $BA$ ist eine Tangente an die Kreislinie $k$ und $g | | h$ .
Die Skizze ist nicht maßtreu.
$α = °$
$β = °$

( 1 Pkt.)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
Bestimmen der Winkel $α$ und $β$ .
Bestimmen des Winkels $α$ .
Da die Gerade $BA$ eine Tangente der Kreislinie $k$ ist, ist der Winkel $MAD = 90 °$ .
Der Winkel $α$ ist dann:
$α = 180 ° - (90 ° + 42 °) \Rightarrow α = 180 ° - 132 °$
$α = 48 °$
Bestimmen des Winkels $β$ .
Der Winkel $γ$ und der Winkel $42 °$ sind Wechselwinkel, Wechselwinkel sind gleich groß.
Also ist der Winkel $γ = 42 °$ .
Den Winkel $CAB$ können wir berechnen.
$∢ CAB = 180 ° - 42 °$
$∢ CAB = 138 °$
Der Winkel $β$ ist dann:
$β = 180 ° - (22 ° + 138 °) \Rightarrow β = 180 ° - 160 °$
$β = 20 °$
$α = 48 °$ $β = 20 °$
Die Skizze ist nicht maßtreu.
20
Mia hat mit einem 6-seitigen Würfel ein Zufallsexperiment durchgeführt und ihre Beobachtungen notiert. Sie soll damit die absolute Häufigkeit des Ereignisses $E$ „Die gewürfelte Zahl ist gerade.“
bestimmen.
Gib die absolute Häufigkeit des Ereignisses $E$ an.
Die absolute Häufigkeit des Ereignisses $E$ beträgt .
(1 Pkt.)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Absolute Häufigkeit
Angeben der absoluten Häufigkeit.
Die Tabelle braucht nicht erstellt zu werden.
Addieren der absoluten Häufigkeiten der geraden Zahlen.
$a H_{g e r a d e Z .} = 3 + 3 + 3$ (siehe Tabelle)
$a H_{g e r a d e Z .} = 9$
Die absolute Häufigkeit des Ereignisses $E$ beträgt $9$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Berechnen von $x$ .
	↓
$\frac{1}{x}$	$=$	$\frac{2}{6 - x}$	$H N = x (6 - x)$
	↓	beide Seiten mit dem HN multiplizieren
$\frac{1 \cdot x (6 - x)}{x}$	$=$	$\frac{2 \cdot x (6 - x)}{(6 - x)}$	$\cdot [x (6 - x)]$
	↓	kürzen
$6 - x$	$=$	$2 x$	$- 2 x - 6$
	↓	subtrahieren
$- 3 x$	$=$	$- 6$	$: (- 3)$
	↓	dividieren
$x$	$=$	$2$

setze y=0
	↓
$- \frac{1}{4} x + 4$	$=$	$0$	$- 4$
	↓	subtrahiere
$- \frac{1}{4} x$	$=$	$- 4$	$\cdot (- 4)$
	↓	multipliziere
$x$	$=$	$16$

berechnen von x
	↓
$- \frac{1}{4} x + 1$	$=$	$0$	$- 1$
	↓	subtrahieren
$- \frac{1}{4} x$	$=$	$- 1$	$\cdot (- 4)$
	↓	multiplizieren
$x$	$=$	$4$

Lösen der Gleichung.
	↓
$x^{2} + 2 x + 1$	$=$	$– (x + 2) + x^{2}$
	↓	beseitigen der Klammer
$x^{2} + 2 x + 1$	$=$	$- x - 2 + x^{2}$	$- x^{2}$
	↓	subtrahieren
$2 x + 1$	$=$	$- x - 2$	$+ (x - 1)$
	↓	addieren
$3 x$	$=$	$- 3$	$: 3$
	↓	dividieren
$x$	$=$	$- 1$

2024

Ankreuzen der wahren Aussage.

Ermitteln der Nullstelle 𝐱𝟎 der Funktion 𝐡.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Angeben der 𝐱-Koordinaten des Punktes 𝐁.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Ergänzen der fehlenden Terme.

Koordinaten von ZP′→ .

Lösungsmenge 𝐋 der Gleichung.

Vervollständigen der Strecke 𝐀𝐁 zum Parallelogramm 𝐀𝐁𝐂𝐃.

Auflösen der Klammern und zusammenfassen.

Koordinaten des Vektors 𝐯→.

Angeben des größtmöglichen Flächeninhalts Amax.

Berechnen des Flächeninhalts 𝐀 der schraffierten Fläche.

Benennen der Teilkörper, aus denen sich der Rotationskörper zusammensetzt.

Ergänzen der Punkte 𝐐 und 𝐑.

Erläuterung, warum für den Bruchterm eine Definitionsmenge angegeben werden muss.

Bestimmen der Lösungsmenge 𝐋 der Bruchgleichung.

Markieren des Kreuzes, das Paul nicht richtig gesetzt hat.

Berechnen des Volumen des Sauerstoffes.

Lösungsweg.

Vervollständigen des Kreisdiagramms.

Bestimmen der Winkel α und β.

Angeben der absoluten Häufigkeit.

Ermitteln der Nullstelle $𝐱_{𝟎}$ der Funktion $𝐡$ .

Angeben der $𝐱$ -Koordinaten des Punktes $𝐁$ .

Koordinaten von $\vec{{ZP}^{'}}$ .

Lösungsmenge $𝐋$ der Gleichung.

Vervollständigen der Strecke $𝐀𝐁$ zum Parallelogramm $𝐀𝐁𝐂𝐃$ .

Koordinaten des Vektors $\vec{𝐯}$ .

Angeben des größtmöglichen Flächeninhalts $A_{m a x}$ .

Berechnen des Flächeninhalts $𝐀$ der schraffierten Fläche.

Ergänzen der Punkte $𝐐$ und $𝐑$ .

Bestimmen der Lösungsmenge $𝐋$ der Bruchgleichung.

Bestimmen der Winkel $α$ und $β$ .