6Herleitung der Abbildungsgleichung (1/2)

Der Punkt $P$ wird mit dem Winkel $\alpha$ um den Ursprung gedreht.

Welche Koordinaten hat jetzt der neue Punkt $P'$ ?

Um diese Frage beantworten zu können, benötigt man die Abbildungsgleichung der Drehung. Diese wird im folgenden hergeleitet:

Zuerst bestimmt man die Koordinaten des Hilfspunktes $Q'$ , der durch Drehung des grünen Dreiecks entsteht:

$x_{Q'} = x \cdot \cos \alpha \ \ (%$ da rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse $\overline{OQ'} = x)$

$y_{Q'} = x \cdot \sin \alpha \ \ (%$ da rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse $\overline{OQ'} = x)$

$\Rightarrow Q' (x \cos \alpha| x\sin \alpha)$

Um die Koordinaten von $P'$ zu berechnen, läuft man zuerst vom Ursprung $O$ zum Hilfspunkt $Q'$ und dann weiter zu $P'$ . Man bildet also eine Vektorkette:

$\overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OQ'} + \overrightarrow{Q'P'}$

Den Vektor $\overrightarrow{Q'P'}$ erhält man mit Hilfe der Polarkoordinaten:

\displaystyle \overrightarrow{Q'P'}= \begin{pmatrix} y \cos (\alpha +90°)\\ y \sin (\alpha + 90°) \end{pmatrix}

\displaystyle \overrightarrow{Q'P'}= \begin{pmatrix} y \cos (\alpha +90°)\\ y \sin (\alpha + 90°) \end{pmatrix}

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