Drehung mittels Matrizen

Kurs

1 Übersicht

Inhalt des Kurses

In diesem Kurs wird die Matrixmultiplikation wiederholt und die Drehung von Punkten und Geraden um einen Punkt in der Ebene erklärt. Außerdem werden besondere Drehwinkel genauer betrachtet.

Vorkenntnisse

Du solltest Vektoren im Zweidimensionalen verstanden haben.
Dazu gehört auch Vektoren zwischen zwei Punkten aufstellen und Vektoren addieren und subtrahieren. Zum Wiederholen kannst du dir die 2 Kurse Vektoren in der Ebene I und Vektoren in der Ebene II anschauen.

Kursdauer

1,5 Stunden

2 Die Matrix

Definition

Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von mathematischen Objekten. Sie hat im Allgemeinen $n$ Zeilen und $m$ Spalten, also: $n \cdot m$ Einträge. Die Pluralform heißt Matrizen.

A = (\begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m n} \end{array})

Beispiele von Matrizen

2x2 Matrix

Allgemein:

$(\begin{aligned} a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22} \end{aligned})$

konkret:

$(\begin{array}{cc} 2 & 5 \\ 3 & 0 \end{array})$

3x3 Matrix

Allgemein:

$(\begin{aligned} a_{11} a_{12} a_{13} \\ a_{21} a_{22} a_{23} \\ a_{31} a_{32} a_{33} \end{aligned})$

konkret:

$(\begin{array}{ccc} 3 & - 7 & 1 \\ 0 & 2 & 9 \\ - 1 & 5 & 3 \end{array})$

3 Erklärung: Multiplikation einer 2x2 Matrix mit einem Vektor

Merkspruch: Zeile mal Spalte

$(\begin{aligned} a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22} \end{aligned}) \cdot (\begin{aligned} x \\ y \end{aligned}) = (\begin{aligned} a_{11} x + a_{12} y \\ a_{21} x + a_{22} y \end{aligned})$

Im folgenden Applet kann man sich nochmal alles Schritt für Schritt ansehen:

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4 Beispiel: Multiplikation einer 2x2 Matrix mit einem Vektor

Merkspruch: Zeile mal Spalte

(\begin{aligned} 1 2 \\ 3 4 \end{aligned}) \cdot (\begin{aligned} 5 \\ 6 \end{aligned})

Man verwendet die Formel $(\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} a_{11} \cdot x_{1} + a_{12} \cdot x_{2} \\ a_{21} \cdot x_{1} + a_{22} \cdot x_{2} \end{array})$

Daher muss man den ersten Eintrag der ersten Zeile der Matrix $1$ mit dem oberen Eintrag des Vektors $5$ multiplizieren und den zweiten Eintrag der ersten Zeile der Matrix $2$ mit dem unteren Eintrag des Vektors $6$ multiplizieren. Die Summe der beiden Produkte ist der obere Eintrag der Lösung.

(\begin{array}{c} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \\ \dots \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 + 12 \\ \dots \end{array})

Um nun den unteren Eintrag deiner Lösung zu erhalten, muss man dasselbe für die zweite Zeile wiederholen.

Also wird der erste Eintrag der zweiten Zeile der Matrix $3$ mit dem oberen Eintrag des Vektors $5$ multipliziert und der zweite Eintrag der zweiten Zeile der Matrix $4$ mit dem unteren Eintrag des Vektors $6$ multipliziert. Die Summe der beiden Produkte ergibt den unteren Eintrag der Lösung.

$(\begin{array}{c} 17 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} 17 \\ 39 \end{array})$

5 Aufgaben: Multiplikation einer 2x2 Matrix mit einem Vektor

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6 Herleitung der Abbildungsgleichung (1/2)

Der Punkt $P$ wird mit dem Winkel $α$ um den Ursprung gedreht.

Welche Koordinaten hat jetzt der neue Punkt $P^{'}$ ?

Um diese Frage beantworten zu können, benötigt man die Abbildungsgleichung der Drehung. Diese wird im folgenden hergeleitet:

Zuerst bestimmt man die Koordinaten des Hilfspunktes $Q^{'}$ , der durch Drehung des grünen Dreiecks entsteht:

$x_{Q^{'}} = x \cdot \cos α ($ da rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse $O Q^{'} = x)$

$y_{Q^{'}} = x \cdot \sin α ($ da rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse $O Q^{'} = x)$

$\Rightarrow Q^{'} (x \cos α | x \sin α)$

Um die Koordinaten von $P^{'}$ zu berechnen, läuft man zuerst vom Ursprung $O$ zum Hilfspunkt $Q^{'}$ und dann weiter zu $P^{'}$ . Man bildet also eine Vektorkette:

$\vec{O P^{'}} = \vec{O Q^{'}} + \vec{Q^{'} P^{'}}$

Den Vektor $\vec{Q^{'} P^{'}}$ erhält man mit Hilfe der Polarkoordinaten:

\vec{Q^{'} P^{'}} = (\begin{array}{c} y \cos (α + 90 °) \\ y \sin (α + 90 °) \end{array})

(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} x \cos α \\ x \sin α \end{array}) + (\begin{array}{c} y \cos (90 ° + α) \\ y \sin (90 ° + α) \end{array})

7 Herleitung der Abbildungsgleichung (2/2)

Zur Wiederholung:

(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} x \cos α \\ x \sin α \end{array}) + (\begin{array}{c} y \cos (90 ° + α) \\ y \sin (90 ° + α) \end{array})

Jetzt wendet man die Additionstheoreme an, um dies zu vereinfachen.

$\cos (90 ° + α) = \cos 90 ° \cdot \cos α - \sin 90 ° \cdot \sin α = - \sin α$
$\sin (90 ° + α) = \sin 90 ° \cdot \cos α + \cos 90 ° \cdot \sin α = \cos α$

\Rightarrow (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} x \cos α \\ x \sin α \end{array}) + (\begin{array}{c} - y \sin α \\ y \cos α \end{array}) = (\begin{array}{c} x \cos α - y \sin α \\ x \sin α + y \cos α \end{array})

Der Punkt $P^{'}$ hat also folgende Koordinaten:

$P^{'} (x \cos α - y \sin α | x \sin α + y \cos α)$

Nun schreibt man das noch in der Matrixschreibweise, um den Ausgangsvektor $\vec{O P}$ als auch den Bildvektor $\vec{O P^{'}}$ hervorzuheben:

\Rightarrow (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} \cos α - \sin α \\ \sin α \cos α \end{array}) \cdot (\begin{array}{rcl} x \\ y \end{array})

8 Beispiel: Drehung eines Punktes um den Ursprung

Drehung des Punktes $P$ um $45 °$ .

Man wendet nun die Matrixformel an, die man gerade hergeleitet bzw. gelernt hat:

(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{aligned} \cos α - \sin α \\ \sin α \cos α \end{aligned}) \cdot (\begin{aligned} x \\ y \end{aligned})

Jetzt wird der Winkel $α = 45 °$ und der Punkt $P (3 | 2)$ eingesetzt.

\begin{aligned} (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = (\begin{array}{rcl} \cos 45 ° - \sin 45 ° \\ \sin 45 ° \cos 45 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{rcl} 3 \\ 2 \end{array}) \\ = (\begin{array}{rcl} \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}) \cdot (\begin{array}{rcl} 3 \\ 2 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}) \\ (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = (\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 5 \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}) \end{aligned}

Der Bildpunkt $P^{'}$ besitzt also die Koordinaten $P^{'} (\frac{1}{\sqrt{2}} | \frac{5}{\sqrt{2}})$ .

9 Aufgaben: Drehung eines Punktes um den Ursprung

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10 Beispiel: Drehung einer Geraden um den Ursprung

Die Gerade $g$ mit $y = 0,5 x + 2$ soll mit dem Winkel $α = 50 °$ um den Ursprung gedreht werden.

Gesucht ist jetzt also die Geradengleichung von $g^{'}$ .

Man wählt einen allgemeinen Punkt $P_{n} (x | 0,5 x + 2)$ auf der Geraden und dreht diesen um $50 °$ um den Ursprung:

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = & (\begin{array}{cc} \cos 50 ° & - \sin 50 ° \\ \sin 50 ° & \cos 50 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ 0,5 x + 2 \end{array}) \\ \approx & (\begin{array}{c} 0,6 x - 0,8 \cdot (0,5 x + 2) \\ 0,8 x + 0,6 \cdot (0,5 x + 2) \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} 0,2 x - 1,6 \\ 1,1 x + 1,2 \end{array}) \end{array}$

$\Rightarrow \begin{array}{rrcc} x^{'} & \approx 0,2 x & - 1,6 & (1) \\ y^{'} & \approx 1,1 x & + 1,2 & (2) \end{array}$

Nun haben wir einen Punkt $P_{n}^{'} (0,2 x - 1,6 | 1,1 x + 1,2)$ erhalten, der auf der Bildgeraden $g^{'}$ liegt.

Gesucht ist aber die Gleichung der Geraden $g^{'}$ . Diese ist der Trägergraph der Punkte $P_{n}^{'}$ .

Dazu löst man die Gleichung $(1)$ nach $x$ auf.

$x = \frac{x^{'} + 1,6}{0,2}$

Diese Gleichung setzt man nun in $(2)$ ein:

$y^{'} = 1,1 \cdot \frac{x^{'} + 1,6}{0,2} + 1,2$

$= 5,5 x^{'} + 8,8 + 1,2$

$= 5,5 x^{'} + 10$

Die gedrehte Gerade $g^{'}$ besitzt also etwa die Gleichung $g^{'} : y = 5,5 x + 10$ .

11 Aufgaben: Drehung einer Geraden um den Ursprung

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12 Drehung mit besonderen Winkelmaßen

Da Drehungen mit Winkelmaßen wie $90 °, 180 °$ und $270 °$ besonders häufig vorkommen, sollte man sich für die speziellen Winkelmaße die Abbildungsgleichungen gut einprägen.

Drehung um	Koordinatenform	Matrixform
$90 °$	$\begin{array}{rcr} x^{'} & = & - y \\ \land y^{'} & = & x \end{array}$	$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{aligned} 0 - 1 \\ 1 0 \end{aligned}) \cdot (\begin{aligned} x \\ y \end{aligned})$
$180 °$ Punktspiegelung	$\begin{array}{rcr} x^{'} & = & - x \\ \land y^{'} & = & - y \end{array}$	$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{aligned} - 1 0 \\ 0 - 1 \end{aligned}) \cdot (\begin{aligned} x \\ y \end{aligned})$
$270 °$	$\begin{array}{rcr} x^{'} & = & y \\ \land y^{'} & = & - x \end{array}$	$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{aligned} 0 1 \\ - 1 0 \end{aligned}) \cdot (\begin{aligned} x \\ y \end{aligned})$

13 Drehung eines Punktes um einen beliebigen Punkt Z

Der Punkt $P$ soll um das Zentrum $Z$ mit dem Winkel $α$ gedreht werden.

Um diese Abbildung zu beschreiben, definiert man sich einen Hilfspunkt $Q$ mit folgender Bedingung:

$\vec{O Q} = \vec{Z P}$

Nun wird der Hilfspunkt $Q$ mit dem Winkel $α$ um den Ursprung gedreht:

\vec{O Q^{'}} = (\begin{aligned} \cos α - \sin α \\ \sin α \cos α \end{aligned}) \cdot \vec{O Q}

Im letzten Schritt muss man an den Vektor $\vec{O Q^{'}}$ den Vektor $\vec{O Z}$ anhängen und erhält somit $\vec{O P^{'}}$ :

$\vec{O P^{'}} = \vec{O Q^{'}} + \vec{O Z}$

Also zusammenfassend kann gesagt werden:

Man dreht zuerst den Vektor $\vec{Z P}$ um den Ursprung und führt im Anschluss eine Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{O Z}$ durch:

(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{aligned} \cos α - \sin α \\ \sin α \cos α \end{aligned}) \cdot \vec{Z P} + \vec{O Z}

14 Beispiel: Drehung eines Punktes um einen beliebigen Punkt Z

Der Punkt $P (4,5 | 1,5)$ soll um das Zentrum $Z (2,5 | 0,5)$ mit dem Winkel $α = 45 °$ gedreht werden.

Wie in der Herleitung dreht man zuerst den Vektor

$\vec{Z P} = (\begin{array}{c} 4,5 - 2,5 \\ 1,5 - 0,5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array})$

um den Ursprung:

\begin{aligned} \vec{O Q^{'}} & = (\begin{aligned} \cos α - \sin α \\ \sin α \cos α \end{aligned}) \cdot \vec{Z P} \\ = (\begin{aligned} \cos 45 ° - \sin 45 ° \\ \sin 45 ° \cos 45 ° \end{aligned}) \cdot (\begin{aligned} 2 \\ 1 \end{aligned}) \\ = (\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}) \cdot (\begin{aligned} 2 \\ 1 \end{aligned}) \\ \vec{O Q^{'}} & = (\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{3}{\sqrt{2}} \end{array}) \end{aligned}

Jetzt muss nur noch die Parallelverschiebung durchgeführt werden:

\begin{aligned} (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = \vec{O Q^{'}} + \vec{O Z} \\ = (\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{3}{\sqrt{2}} \end{array}) + (\begin{array}{c} 2,5 \\ 0,5 \end{array}) \\ (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = (\begin{array}{c} \frac{5 + \sqrt{2}}{2} \\ \frac{1 + 3 \sqrt{2}}{2} \end{array}) \end{aligned}

Der Punkt $P^{'}$ besitzt also die Koordinaten $P^{'} (\frac{5 + \sqrt{2}}{2} | \frac{1 + 3 \sqrt{2}}{2})$ .

15 Aufgaben: Drehung eines Punktes um einen beliebigen Punkt Z

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16 Beispiel: Drehung einer Gerade g um einen beliebigen Punkt Z

Die Gerade $g$ mit $y = \frac{1}{4} x - 1$ soll mit dem Winkel $α = 45 °$ um das Zentrum $Z (1 | 2)$ gedreht werden.

Gesucht ist jetzt also die Geradengleichung von $g^{'}$ .

Man wählt einen allgemeinen Punkt $P_{n} (x | \frac{1}{4} x - 1)$ auf der Geraden und dreht diesen um $45 °$ um $Z$ :

1. Drehung des Vektors $\vec{Z P_{n}}$ um den Ursprung:

$\vec{Z P_{n}} = (\begin{array}{c} x - 1 \\ \frac{1}{4} x - 1 - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} x - 1 \\ \frac{1}{4} x - 3 \end{array})$

$\vec{O Q_{n}^{'}} = (\begin{aligned} \cos α - \sin α \\ \sin α \cos α \end{aligned}) \cdot \vec{Z P_{n}}$

2. Parallelverschiebung

Jetzt muss nur noch die Parallelverschiebung durchgeführt werden:

(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = \vec{O Q_{n}^{'}} + \vec{O Z} = (\begin{array}{c} \frac{0,75 x + 2}{\sqrt{2}} \\ \frac{1,25 x - 4}{\sqrt{2}} \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{0,75 x + 2}{\sqrt{2}} + 1 \\ \frac{1,25 x - 4}{\sqrt{2}} + 2 \end{array})

$\Rightarrow P_{n}^{'} (\frac{0,75 x + 2}{\sqrt{2}} + 1 | \frac{1,25 x - 4}{\sqrt{2}} + 2)$

3. Berechnung des Trägergraphs

$\Rightarrow \begin{array}{rrcc} x^{'} & = \frac{0,75 x + 2}{\sqrt{2}} & + 1 & (1) \\ y^{'} & = \frac{1,25 x - 4}{\sqrt{2}} & + 1 & (2) \end{array}$

Als erstes löst man die (1)-Gleichung nach $x$ auf.

x = \frac{\sqrt{2} (x^{'} - 1) - 2}{0,75} = \frac{4 \sqrt{2}}{3} x^{'} - \frac{8 + 4 \sqrt{2}}{3}

Das wird nun in (2) eingesetzt:

y^{'} = \frac{1,25 (\frac{4 \sqrt{2}}{3} x^{'} - \frac{8 + 4 \sqrt{2}}{3})}{\sqrt{2}} + 1 - 2 \sqrt{2} = \frac{5}{3} x^{'} - \frac{2 + 11 \sqrt{2}}{3}

Die gedrehte Gerade hat demnach folgende Gleichung $g^{'} : y^{'} = \frac{5}{3} x^{'} - \frac{2 + 11 \sqrt{2}}{3}$

17 Aufgaben: Drehung einer Geraden g um einen beliebigen Punkt Z

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18 Zusammenfassung und Ausblicke

Hier nocheinmal eine Zusammenfassung des in diesem Kurs behandelten Stoffes:

Drehung um den Ursprung

in Koordinatenform:
$x^{'} = x \cos α - y \sin α$
$y^{'} = x \sin α + y \cos α$
in Matrixform:
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} \cos α - \sin α \\ \sin α \cos α \end{array}) \cdot (\begin{array}{rcl} x \\ y \end{array})$

Drehung von Punkt $P$ um einen beliebigen Punkt $Z$

in Matrixform:
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} \cos α - \sin α \\ \sin α \cos α \end{array}) \cdot \vec{Z P} + \vec{O Z}$

Zugehörige Themen

Kurs: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden
Artikel: Verknüpfung von Abbildungen
weitere Aufgaben und Artikel zum Thema: Abbildungen im Koordinatensystem

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1 Übersicht

Inhalt des Kurses

Vorkenntnisse

Kursdauer

2 Die Matrix

Definition

Beispiele von Matrizen

2x2 Matrix

3x3 Matrix

3 Erklärung: Multiplikation einer 2x2 Matrix mit einem Vektor

4 Beispiel: Multiplikation einer 2x2 Matrix mit einem Vektor

5 Aufgaben: Multiplikation einer 2x2 Matrix mit einem Vektor

Jetzt bist du dran.

6 Herleitung der Abbildungsgleichung (1/2)

7 Herleitung der Abbildungsgleichung (2/2)

8 Beispiel: Drehung eines Punktes um den Ursprung

9 Aufgaben: Drehung eines Punktes um den Ursprung

Jetzt bist du dran.

10 Beispiel: Drehung einer Geraden um den Ursprung

11 Aufgaben: Drehung einer Geraden um den Ursprung

Jetzt bist du dran.

12 Drehung mit besonderen Winkelmaßen

13 Drehung eines Punktes um einen beliebigen Punkt Z

14 Beispiel: Drehung eines Punktes um einen beliebigen Punkt Z

15 Aufgaben: Drehung eines Punktes um einen beliebigen Punkt Z

Jetzt bist du dran.

16 Beispiel: Drehung einer Gerade g um einen beliebigen Punkt Z

1. Drehung des Vektors ZPn→ um den Ursprung:

2. Parallelverschiebung

3. Berechnung des Trägergraphs

17 Aufgaben: Drehung einer Geraden g um einen beliebigen Punkt Z

Jetzt bist du dran!

18 Zusammenfassung und Ausblicke

Drehung um den Ursprung

Drehung von Punkt P um einen beliebigen Punkt Z

Zugehörige Themen

1. Drehung des Vektors $\vec{Z P_{n}}$ um den Ursprung:

Drehung von Punkt $P$ um einen beliebigen Punkt $Z$