Aufgaben zur Prozentrechnung in Anwendungssituationen

Antwort: Die Werbetafel beinhaltet eine falsche Aussage, da der reduzierte Preis 75 € betragen müsste, wenn der Preis um 25% gesenkt wird.

Wahrscheinlicher Fehler: Der Schreiber hat anscheinend die 25% Preisnachlass auf die 80 € bezogen, da 25% von 80 € 20 € sind. Die Summe von 20 € und 80 € ergibt 100 €.

Das ist aber bei dieser Aufgabenstellung der falsche Ansatz!

Bestimme den Grundwert $G$ als Preis von 3 Schalen Erdbeeren a 500$\, g$.

$3\cdot500\, g$ Erdbeeren kosten: $3\cdot1{,}75\, €=5{,}25\, €$

Ein Direktkauf von 1,5 kg Erdbeeren kostet 4,50 €.

Ersparnis = $5{,}25\, €-4{,}50\, €=0{,}75\, €$ (Prozentwert $W$)

prozentuale Ersparnis $p=\frac WG\cdot100\%=\frac{0{,}75\, €}{5{,}25\, €}\cdot100\%=\frac{1}7\cdot100\%\approx14{,}3\%$

$\Rightarrow$ Die Ersparnis beim Kauf von 1,5 kg Erdbeeren beträgt etwa 14,3%.

Verminderten Grundwert berechnen

Antwort:Ein Mitglied der Siedlergemeinschaft muss für den Rasenmäher nur den rabattierten Preis von 154,63 € bezahlen.

Prozentrechnen mit verminderten Grundwerten

Antwort: Die Kettensäge kostete ohne Rabatt $190\ €.$

Antwort: Der Preisnachlass betrug 8%.

Antwort: Der Gärtner bekommt 6 % Rabatt.

Der Handwerker muss 2118,76 € zahlen.

Der um 15% Rabatt ermäßigte Verkaufspreis beträgt 1250 Euro.

Also entsprechen 1250 Euro gerade 85% des ausgeschriebenen Verkaufspreises.

Der Verkaufspreis beträgt also: $\frac{1250\, €}{85\%}=\frac{1250}{0{,}85}\, €=1470\frac{10}{17}\, €\approx1470{,}59\, €$.

Nun soll der Ankaufspreis bestimmt werden. Beim Verkauf des Geräts macht der Verkäufer bei einem Verkaufspreis von 1250 Euro einen relativen Gewinn von 12%.

Also entspricht der Verkaufspreis von 1250 Euro gerade 112% des Ankaufspreises.

19% Rabatt:

Antwort: Bei einem Rabatt von 19% zahlst du nur noch 81 €.

Mehrwertsteuert geschenkt:

Antwort: Bei der Aktion "Mehrwertsteuer geschenkt" zahlst du nur noch ca. 84,03 €.

$\Rightarrow$ Du erkennst, dass beide Aktionen zu einem unterschiedlichen Verkauspreis führen, obwohl sie auf den ersten Blick gleich scheinen. Dies liegt daran, dass sich die Prozentzahlen auf unterschiedliche Grundwerte beziehen.

Antwort insgesamt: Bei der Rabattaktion von 19% kostet dein Möbelstück weniger als bei "Mehrwertsteuer geschenkt"-Aktion. Du entscheidest dich deshalb für die Rabattaktion.

Grundwert: $G$ = $0{,}95\,€$

Prozentwert: $W$ = $0{,}95\,€-0{,}57\,€=0{,}38\,€$

Ermäßigung: $p=\frac WG\cdot100\%=\frac{0{,}38\,€}{0{,}95\,€}\cdot100\%=40\%$

Die Ermäßigung beträgt $40\%$.

Grundwert $G = 11{,}20\,€$

Prozentwert $W = 11{,}76\,€-11{,}20\,€=0{,}56\,€$

Gesucht wird der Prozentsatz $p=\frac WG\cdot100\%$.

$p=\frac{0{,}56€}{11{,}20€}\cdot100\%=5\%$

$\Rightarrow$ Der neue Lohn liegt $5\%$ über dem vorherigen.

Lösung mittels Dreisatz

Um das Gewicht der Verpackung (Tara) nun zu bestimmen, kann der Dreisatz verwendet werden.

Das Bruttogewicht des Pakets ist $1\ kg$, also $100\ \%.$ Aus der Aufgabenstellung ist bekannt, dass die Tara $15\ \%$ des Bruttogewichts ausmacht.

$\ 1\ kg\ \hat{=}\ 100\ \%$

$\ 0{,}01\ kg\ \hat{=}\ 1\ \%$

$\ 0{,}15\ kg\ \hat{=}\ 15\ \%$

Daraus folgt, dass die Tara $0{,}15\ kg$ bzw. $150\ g$ beträgt. Mithilfe des Bruttogewichts und der Tara kann nun das Nettogewicht bestimmt werden.

Das heißt, das Nettogewicht beträgt $0{,}85\ kg$.

Lösung mittels Formel

Die allgemeine Formel zur Prozentrechnung ist:

In diesem Fall stellt $W$ (Prozentwert) das Gewicht des Inhalts dar und beträgt $0{,}15\ kg$. Die Formel zur Berechnung des Nettogewichts ist:

Daraus folgt, das Nettogewicht beträgt $0{,}85\ kg$.

$W=\frac G{100\%}\cdot p$

$=\frac{11{,}20\,€}{100\%}\cdot2{,}5\%=0{,}28\,€$ (Lohnerhöhung)

Der neue Stundenlohn des Industriemechanikers beträgt 11,48 €.

Lösung mit Formel:

Überlege Dir, was gegeben ist: Prozentsatz $\text{p}=100\%-10\%=90\%=0{,}90$ (da du hier mit dem Prozentwert von $4{,}5~\text{kg}$ rechnen musst und das sind $90\%$) und Prozentwert $\text{W}=4{,}5~\text{kg}$.

Stelle die Formel $\text{W}=\text{p}\cdot \text{G}$ so um, dass du den Grundwert G als Ergebnis erhälst (Prozentformel):

$G=\frac{W}{p}=\frac{4{,}5~\text{kg}}{90\%}=\frac{4{,}5~\text{kg}}{0{,}9}=5~\text{kg}$

Nun ziehst Du das Gewicht des Bobby Cars (W) vom Gesamtgewicht (G) ab:

$5~\text{kg}-4{,}5~\text{kg}=0{,}5~\text{kg}$

Die Tara bzw. das Gewicht des Kartons beträgt also $0{,}5~\text{kg}$.

Das Gesamtgewicht beträgt $5~\text{kg}$ (siehe obere Berechnung). Da $5~\text{kg}<5{,}1~\text{kg}$ kann das Paket für $5~\text{€}$ Versandkosten verschickt werden.

Lösung mit Dreisatz:

Überlege Dir, was gegeben ist: Prozentsatz $\text{p}=100\%-10\%=90\%=0{,}90$ (da du hier mit dem Prozentwert von $4{,}5~\text{kg}$ rechnen musst und das sind $90\%$) und Prozentwert $\text{W}=4{,}5~\text{kg}$. Daraus folgt:

$90\%\ \widehat{=}\ 4{,}5~\text{kg}$

Diese Gleichung teilst Du durch den Wert des Prozentsatzes: $90$.

$1\%\ \widehat{=}\ 0{,}05~\text{kg}$

Diese Gleichung multiplizierst Du mit $100$, um auf den Grundwert zu gelangen.

$100\%\ \widehat{=}\ 5~\text{kg}$

Nun ziehst Du das Gewicht des Bobbycars (W) vom Gesamtgewicht (G) ab:

$5~\text{kg}-4{,}5~\text{kg}=0{,}5~\text{kg}$

Die Tara bzw. das Gewicht des Kartons beträgt also $0{,}5~\text{kg}$.

Das Gesamtgewicht beträgt $5~\text{}$ (siehe obere Berechnung). Da $5~\text{kg}<5{,}1~\text{kg}$ kann das Paket für $5~\text{€}$ Versandkosten verschickt werden.

Grundwert $G = 13700\,€$

Prozentwert $W = 13700\,€-12604\,€=1096\,€$

$p=\frac WG\cdot100\%=\frac{1096\,€}{13700\,€}\cdot100\%=8\%$

Der Fliesenleger gewährt seinem Auftraggeber einen Preisnachlass von 8%.

Gegeben:

• Bruttogewicht (in Gramm) = Gesamtgewicht der Äpfel mit Verpackung = $800\,g$

• Tara (in $\%$) = Anteil der Verpackung am Gesamtgewicht = $14\%$

Gesucht:

• Tara (in Gramm) = Verpackungsgewicht

• Nettogewicht (in Gramm) = Gewicht der Äpfel

Zuerst machst Du dir den Zusammenhang zwischen Netto, Brutto und Tara klar.

Eine Packung Äpfel besteht aus den Äpfeln und der Verpackung.

Also: Äpfel mit Verpackung = Äpfel + Verpackung

So kommt man auf die Formel $\bf{Bruttogewicht = Nettogewicht + Tara}$.

Berechnung mit Formel:

Um die Aufgabe zu lösen kannst du die Formeln für die Prozentrechnung verwenden.

In diesem Fall ist

• der Grundwert G = Bruttogewicht = $800\,g$

• der Prozentsatz p = Tara (in $\%$) = $14\%$

• und der Prozentwert W = Tara (in Gramm) = Verpackungsgewicht

Da das Gewicht der Verpackung gesucht ist, lautet die Formel:

Also:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}W &=& 800\,g \cdot 14\% \\ &=& 800\,g \cdot \frac{14}{100} \\&=& (800 \div 100)g \cdot 14 \\&=& 8\,g \cdot 14 \\&=& 112\,g\end{array}$

Das Gewicht der Verpackung beträgt also $112\,g.$

Berechnung mit Dreisatz:

Ein alternativer Lösungsweg ist die Berechnung mit dem Dreisatz.

Wie viel Gramm sind $14\%$ von $800\,g$?

$100 \%$ entsprechen $800\,g$

$1\%$ entspricht also $800\,g\div100 = 8\,g$

$14 \%$ entsprechen somit $8\,g \cdot 14 = 112\,g$

Das Gewicht der Verpackung = Tara (in Gramm) = $112\,g$

Gewicht der Äpfel

Das Gewicht der Äpfel entspricht also nun:

Nettogewicht (in Gramm) $= 800\,g - 112\,g = 688\,g$

Antwort: Die Miete wurde um $4\%$ erhöht.

Du kannst die Aufgabe mit der Formel für vermehrten Grundwert berechnen.

Antwort: Die Miete wurde um $4 \%$ erhöht.

Gegeben sind das Gewicht des Inhalts bzw. Nettogewicht und das Gewicht der Verpackung, also Tara. Um die beiden gesuchten Größen Gesamtgewicht und die Tara in Prozent zu bestimmen, kannst du entweder den Dreisatz oder die Formel für Prozentrechnung verwenden.

Lösung mit Dreisatz

Zuerst musst du das Bruttogewicht bestimmen. Dieses setzt sich aus Nettogewicht und Tara zusammen:

Somit ist das Bruttogewicht $5\,kg$. Um die Tara in Prozent auszurechnen, kann der Dreisatz verwendet werden.

$5\,kg\,\hat{=}\,100\%$

$1\,kg\,\hat{=}\,20\%$

$0{,}5\,kg\,\hat{=}\,10$

Das heißt, dass die Tara $10\%$ des Gesamtgewichts ausmacht.

Lösung mit Formel

Am Anfang ist es notwendig das Gesamtgewicht wie folgt zu berechnen:

Das bedeutet, dass die Kiste insgesamt $5\,kg$ wiegt. Der prozentuale Anteil der Tara kann mithilfe der allgemeinen Formel für Prozentrechnung bestimmt werden. Prozentwert $W$ (Tara in $kg$) und Grundwert $G$ (Bruttogewicht) sind gegeben, daraus folgt für den Prozentsatz $p\,$:

Also macht die Tara $10\%$ des Bruttogewichts aus.

Prozentrechnung

Gesucht wird der Prozentsatz $p=\frac WG\cdot100\%$.

$\Rightarrow$ Die Preissteigerung betrug also $6\%$.

Gegeben:

Nettogewicht = Gewicht des Skateboards = $2{,}4\,kg$

Taragewicht = Gewicht der Verpackung = $0{,}6\,kg$

Gesucht:

Bruttogewicht = Gesamtgewicht

Tara (in $\%$) = Anteil der Verpackung am Gesamtgewicht

Als Erstes solltest Du das Bruttogewicht ausrechnen.

Dazu machst Du dir den Zusammenhang zwischen Netto, Brutto und Tara klar.

Die Verpackung mit dem Skateboard besteht aus dem Skateboard und der Verpackung.

Also: Verpackung mit dem Skateboard = Skateboard + Verpackung

So kommt man auf die Formel:

Bruttogewicht = Nettogewicht + Taragewicht

Bruttogewicht = $2{,}4\,kg + 0{,}6\,kg = 3\,kg$

Jetzt fehlt nur noch Tara in $\%$.

Berechnung mit Formel:

Um die Aufgabe zu lösen kannst du die Formeln für die Prozentrechnung verwenden.In diesem Fall ist 

• der Grundwert G = Bruttogewicht = $3\,kg$

• der Prozentwert W = Taragewicht = $0{,}6\,kg$

• und der gesuchte der Prozentsatz p = Tara (in $\%$)

Die Formel für den Prozentwert lautet $\bf{W = p \cdot G}$

Da hier der Prozentsatz gesucht ist muss die Formel noch umgeschrieben werden:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \bf{p} &=& \bf{\frac{W}{G}} \\ \\&=& \bf{\frac{0{,}6}{3}} \\ \\ &=& 0{,}2 \\ \\ &=& 20\% \end{array}$

Tara (in $\%$) = $20\%$

Berechnung mit Dreisatz:

Ein alternativer Lösungsweg ist die Berechnung mit dem Dreisatz.

Wie viel Prozent sind $0{,}6\,kg$ von $3\,kg$?

$\ 3\,kg\,\hat=\,100\%$

$\ 1\,kg\,\hat=\,\dfrac{100\%}{3}$

$\ 0{,}6\,kg\,\hat=\,0{,}6\cdot\dfrac{100\%}{3}\,=\,\dfrac{60\%}{3}\Rightarrow0{,}6\,kg\ =\ 20\%$

Tara (in $\%$) = $20\%$

$\mathrm{Vergünstigung}\;\mathrm p=\frac{\mathrm{tatsächlicher}\;\mathrm{Wert}\;\mathrm W}{\mathrm{Ausgangswert}\;\mathrm G}\cdot100\%$

Der Listenpreis ist hier der Grundwert $G$.

Also gilt: $G=23.925\,€$.

Die Differenz von Listen- und Kaufpreis ist hier der Prozentwert $W$.

Also gilt: $W = 23925 \,€ - 21054 \,€ = 2871 \,€$.

Mit obiger Formel für den Prozentsatz gilt: $p=\frac{2871\,€}{23925\,€}\cdot100\%=12\%$

Antwort: Der Kaufpreis liegt also $12\%$ unter dem Listenpreis.

Lösung mit Formel

Eine Methode ist das Lösen der Aufgabe mit Formel.

Bestimme zuerst, was in der Aufgabenstellung gegeben ist und was gesucht wird:

• $\text{Prozentwert\ W\ =\ Nettogewicht\ =\ 9\ kg}$

• $\text{Prozentsatz}\ p=\ 100\ \%-10\ \%=90\ \%$

• $\text{Grundwert\ G\ =\ Bruttogewicht\ =\ ?}$

• $\text{Tara\ =\ ?}$

Nun kannst Du die Formel $W=p\cdot G$ nach $G$ umformen, indem Du die Gleichung durch $p$ teilst. Daraus ergibt sich die Formel:

$G=\frac{W}{p}=\frac{9\ kg}{90\%}=\frac{9\ kg}{0{,}9}=10\ kg$

Das Bruttogewicht beträgt also $10\ kg$. Tina hat damit ihr Ziel erreicht.

Nun ist in der Aufgabenstellung noch die Tara gesucht. Diese lässt sich durch Umformung der Formel $\text{Bruttogewicht\ =\ Nettogewicht+Tara}$ berechnen. Daraus folgt:

$\begin {array} {rcl} \text{Tara}&=&\text{Bruttogewicht}&-&\text{Nettogewicht}\\&=&10\ kg&-&9\ kg\\&=&1\ kg \end {array}$

Die Tara bzw. das Gewicht des Rucksacks ohne Inhalt beträgt $1\ kg$.

Lösung mit Dreisatz

Du kannst die Aufgabe auch mit dem Dreisatz lösen.

Bestimme zuerst, was in der Aufgabenstellung gegeben ist und was gesucht wird:

• $\text{Prozentwert\ W\ =\ Nettogewicht=9\ kg}$

• $\text{Prozentsatz}\ p=\ 100\ \%-10\ \%=90\ \%$

• $\text{Grundwert\ G=Bruttogewicht=\ ?}$

• $\text{Tara=\ ?}$

Nun wendest Du den Dreisatz an:

$\begin {array} {rcl} 90\ \%&\widehat{=}&9\ kg \end{array}$(Als erstes dividierst Du die Gleichung mit $90$)

$\begin {array} {rcl} 1\ \%&\widehat{=}&0{,}1\ kg \end {array}$(Nun multiplizierst Du die Gleichung mit $100$)

$\begin {array} {rcl} 100\ \%&\widehat{=}& 10\ kg \end{array}$

Das Bruttogewicht beträgt also $10\ kg$. Tina hat damit ihr Ziel erreicht.

Nun ist in der Aufgabenstellung noch die Tara gesucht. Diese lässt sich durch Umformung der Formel $\text{Bruttogewicht=Nettogewicht+Tara}$ berechnen. Daraus folgt:

$\begin {array} {rcl} \text{Tara}&=&\text{Bruttogewicht}&-&\text{Nettogewicht}\\&=&10\ kg&-&9\ kg\\&=&1\ kg \end {array}$

Die Tara bzw. das Gewicht des Rucksacks ohne Inhalt beträgt $1\ kg$.

Der Preisanstieg um 5,5% auf 8229 € lässt sich also erhöhter Grundwert $G$ auffassen.

Ansatz: Preisanstieg um 5,5% entspricht einer Multiplikation mit dem Faktor $1+\frac{5{,}5}{100}$.

Vor der Verteuerung hätte der Unternehmer 7800 € zahlen müssen.

Zu 1. und 5.:

Das Bruttogewicht und die Tara müssen erst berechnet werden.

Das Bruttogewicht kannst du auf zwei verschiedene Weisen berechnen:

Bruttogewicht durch Formel

Du kannst das Bruttogewicht zum einen durch Umformen der Formel $W= p\cdot G$ berechnen. Diese sieht dann wie folgt aus:

$G= {W\over p} = {2kg\over 80\%}={2kg\over 0{,}8}=2{,}5kg$

Das Bruttogewicht beträgt demnach 2,5kg. Deswegen ist Antwort 1. auch falsch.

Bruttogewicht durch Dreisatz

Du kannst das Bruttogewicht auch mit dem Dreisatz berechnen

$80\%=2kg$ (Dividiere diese Gleichung durch 80)

$1\%=0{,}025kg$ (Multipliziere die Gleichung mit 100)

$100\%=2{,}5kg$

Das Bruttogewicht beträgt demnach 2,5kg. Deswegen ist Antwort 1. falsch.

Tara

Du kannst die Tara durch Umformung der Formel $Bruttogewicht=Nettogewicht+Tara$ herausfinden. Da das Bruttogewicht wie oben ausgerechnet werden kann, brauchst du nur noch in folgende Formel einsetzen. Demnach ist:

$\begin {array} {rcl} Tara&=&Bruttogewicht-Nettogewicht\\&=&2{,}5kg-2kg\\&=&0{,}5kg \end {array}$

Die Tara beträgt 0,5kg. Deswegen ist Antort 5. richtig.

Das Nettogehalt beträgt 67,2% vom Grundwert.

$\Rightarrow$ Das Bruttogehalt der Fachverkäuferin beträgt $2125 €$.

Gesucht ist die verbleibende relative Schuld nach drei Jahren.

Jedes Jahr werden 3% der zu diesem Zeitpunkt bestehenden Schuld bezahlt. Berechne zunächst die nach einem Jahr verbleibende relative Schuld.

$(100-3)\%=97\%$

Zum Ende jeden Jahres werden $3\%\$ auf die geminderte Restschuld gezahlt. Berechne die relative Restschuld nach drei Jahren.

$97\%\cdot97\%\cdot97\%=(97\%)^3=(0{,}97)^3 =0{,}912673 = 91{,}2673\%$

$\Rightarrow$ Die relative Restschuld nach 3 Jahren beträgt noch ca. $91{,}27\%\$ der Anfangsschuld von $250.000\ €$.

Wir modellieren die Preisreduzierung von 87,50 € auf 70 €.

Grundwert $G=87{,}50\, €$

Prozentwert $W=87{,}50\, €-70\, €=17{,}50\, €$

Prozentsatz $p=\frac WG\cdot100\%=\frac{17{,}50\, €}{87{,}50\, €}\cdot100\%=20\%$

Der Preisnachlass beträgt 20%.

Grundwert $G = 38950 \,€$

Prozentwert $W = 42650 \,€ - 38950\, € = 3700 \,€$

Gesucht ist der Prozentsatz: $p=\frac WG\cdot100\%$.

Antwort: Der Aufschlag bei Teilzahlung beträgt etwa $9{,}5\%$.

Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen vermehrter Grundwert und Prozentsatz zu.

Gegeben: G$^+$ = 327,60 € ; p = 5%

Gesucht: G

Wende die Prozentformel für den vermehrten Grundwert an.

Antwort: Vor der Preiserhöhung kosteten die Reifen 312 €.

Antwort: Das Haus kostet jetzt 267 500 €.

Antwort: Das Haus kostet jetzt 267 500 €.

Antwort: Der ursprüngliche Preis des Autos betrug $18.290\, €.$