Linearfaktordarstellung (2|3)

Linearfaktordarstellung

Manchmal kann man eine Polynomfunktion komplett in Linearfaktoren aufspalten.

Aus unserer vorherigen Funktion %%f(x)=2\cdot(x-3)\cdot(x^2+2x+1)%% wird dann zum Beispiel %%f(x)=2\cdot(x-3)\cdot(x+1)\cdot(x+1)%%. (Wir benutzen dabei die erste binomische Formel.)

Diese komplett zerlegte Form hat einen besonderen Namen…

Manche Polynomfunktionen kann man als Produkt von Linearfaktoren schreiben, also in der Form %%f(x) = a_n \cdot (x-N_1) \cdot%% %%…%% %%\cdot (x-N_n).%% Diese Form nennt man die Linearfaktordarstellung von %%f%%.

Dabei können durchhaus mehrere N gleich sein. Dies ist zum Beispiel bei unserer Funktion %%f%% der Fall.

Störe dich nicht an einem möglichen %%+%% im Linearfaktor %%(%%zum Beispiel bei %%(x+1))%%. Dies kannst du ganz einfach in die Form %%(x-(-1))%% bringen.

Der Faktor %%a_n%% ist hier immer der Koeffizient der Potenz, die den Grad angibt (also die mit dem höchsten Exponenten). In unserem Beispiel ist die %%2%% der Koeffizient von %%2x^3%%.


Zur besseren Übersicht lassen sich oft gleiche Linearfaktoren mithilfe einer Potenz zusammenfassen. Bei uns: %%f(x)=2\cdot(x-3)\cdot(x+1)^2%%.

Ablesen von Nullstellen

An der Darstellung %%f(x)=2\cdot(x-3)\cdot(x+1)^2%% lassen sich nun alle Nullstellen ablesen:

An dem Linearfaktor %%(x-3)%% lesen wir die Nullstelle %%x_1=3%% ab; an den beiden Linearfaktoren %%(x+1)%% lesen wir die Nullstelle %%x_2=-1%% ab.

Wie du siehst hat die Linearfaktordarstellung einige Vorteile gegenüber der allgemeinen Darstellung %%f(x)=2x^3-2x^2-10x-6%%.

Graph einer Polynomfunktion mit eingetragenene Nullstellen

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