Linearfaktordarstellung (2|3)

Linearfaktordarstellung

Manchmal kann man eine Polynomfunktion komplett in Linearfaktoren aufspalten.

Aus unserer vorherigen Funktion f(x)=2(x3)(x2+2x+1)f(x)=2\cdot(x-3)\cdot(x^2+2x+1) wird dann zum Beispiel f(x)=2(x3)(x+1)(x+1)f(x)=2\cdot(x-3)\cdot(x+1)\cdot(x+1). (Wir benutzen dabei die erste binomische Formel.)

Diese komplett zerlegte Form hat einen besonderen Namen…

Manche Polynomfunktionen kann man als Produkt von Linearfaktoren schreiben, also in der Form f(x)=an(xN1)f(x) = a_n \cdot (x-N_1) \cdot (xNn).\cdot (x-N_n). Diese Form nennt man die Linearfaktordarstellung von ff.

Dabei können durchhaus mehrere N gleich sein. Dies ist zum Beispiel bei unserer Funktion ff der Fall.

Störe dich nicht an einem möglichen ++ im Linearfaktor ((zum Beispiel bei (x+1))(x+1)). Dies kannst du ganz einfach in die Form (x(1))(x-(-1)) bringen.

Der Faktor ana_n ist hier immer der Koeffizient der Potenz, die den Grad angibt (also die mit dem höchsten Exponenten). In unserem Beispiel ist die 22 der Koeffizient von 2x32x^3.

Zur besseren Übersicht lassen sich oft gleiche Linearfaktoren mithilfe einer Potenz zusammenfassen. Bei uns: f(x)=2(x3)(x+1)2f(x)=2\cdot(x-3)\cdot(x+1)^2.

Ablesen von Nullstellen

An der Darstellung f(x)=2(x3)(x+1)2f(x)=2\cdot(x-3)\cdot(x+1)^2 lassen sich nun alle Nullstellen ablesen:

An dem Linearfaktor (x3)(x-3) lesen wir die Nullstelle x1=3x_1=3 ab; an den beiden Linearfaktoren (x+1)(x+1) lesen wir die Nullstelle x2=1x_2=-1 ab.

Wie du siehst hat die Linearfaktordarstellung einige Vorteile gegenüber der allgemeinen Darstellung f(x)=2x32x210x6f(x)=2x^3-2x^2-10x-6.


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