134. Lösen durch Substitution (1|2)

Eine weitere Methode, Nullstellen von Polynomfunktionen vom Grad n>2n> 2 zu bestimmen, ist die sogenannte Substitutionsmethode.

Bei einer Substitution ersetzt man einen Term (bzw. Teile eines Terms) durch einen anderen, mit dem Ziel diesen in eine einfachere lösbare Form zu bringen.

Oft wird diese einfachere Form ein quadratischer Term sein, da wir für diesen mithilfe der quadratischen Lösungsformel die Nullstellen einfach berechnen können.

Betrachte zum Beispiel die Funktion ff mit f(x)=x47x2+12f(x)=x^4-7x^2+12. Wenn wir den Funktionsterm gleich Null setzen, erhalten wir folgende Gleichung:

x47x2+12=0x^4-7x^2+12 = 0

1. Geeignete Substitution finden und durchführen

Der Funktionsterm von ff besteht aus den Polynomgliedern x4,7x2x^4, -7x^2 und dem konstanten Glied 1212. Beim ersten Glied fällt dir vielleicht ein, dass x4x^4 gerade (x2)2(x^2)^{\textcolor{cc0000}{ 2 }} ist. Das zweite Glied ist 7x2-7x^2

Ersetze nun alle x2x^2 im Funktionsterm durch eine neue Variable zum Beispiel uu (oder auch w,z,w, z,…). Warum dies besonders praktisch ist, wirst du gleich erkennen.

Schreibe also: "Substitution mit x2=ux^2 = u".

Die Substitution x2=ux^2 = u bewirkt damit:

x4u27x27u1212(bleibt unvera¨ndert!)\def\arraystretch{1.25} \color{green}{\begin{array}{rcl}x^4 & \rightarrow & u^2 \\-7x^2 & \rightarrow & -7 u \\12 & \rightarrow & 12 & \text{(bleibt unverändert!)} \end{array}}

Damit haben wir jetzt das Polynomglied vierten Grades (x4)(x^4) zu einem quadratischen Glied (u2)(u^2), und das quadratische Glied (7x2)(-7x^2) zu einem linearen Glied (7u)(-7u) umgewandelt. Die Konstante 1212 bleibt dabei gleich - in ihr kommt ja kein xx vor.

Wir erhalten jetzt die quadratische Gleichung:

u27u+12=0u^2-7u+12=0

Durch das Ersetzen von x2x^2 durch die Variable uu ist es uns also gelungen, die erste Nullstellengleichung vierten Grades in eine quadratische Form zu bringen, die deutlich einfacher zu lösen ist.

2. Lösen der neuen Nullstellengleichung

Die Lösungen der neuen Gleichung u27u+12=0u^2-7u+12=0 kannst du zum Beispiel mit der quadratischen Lösungsformel finden.

Die Lösungen lauten (Bitte selber nachrechnen!):

u1=4u_1=4 und u2=3u_2= 3.

Wir dürfen nicht vergessen, dass wir substituiert hatten. Die Variable uu steht für x2x^2. Noch haben wir also die Nullstellen von ff nicht.

3. Rücksubstituieren

Setzt man u1u_1 und u2u_2 wieder in die Substitutionsgleichung x2=ux^2=u ein, so erhält man die zwei Gleichungen:

u1=x2undu2=x2\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccl}u_1= x^2 & \text{und} & u_2=x^2 \end{array}

Damit xx eine Nullstelle von ff ist, muss es eine dieser Gleichungen erfüllen.

Mit den konkreten Zahlen…

4=x2und3=x2jeweils die Wurzel ziehen\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccl}4= x^2 & \text{und} & 3=x^2 & | & \text{jeweils die Wurzel ziehen} \end{array}

x1,2=±4=±2undx3,4=±3\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \Rightarrow x_{1{,}2}= \pm\sqrt{4}= \pm 2 & \text{und} & x_{3{,}4}=\pm\sqrt{3}\end{array}

\Rightarrow Die Nullstellen von ff lauten also +2+2, 2-2, +3+\sqrt{3}, 3-\sqrt{3}.

Diesen Vorgang nennt man Rücksubstitution, da man die Substitution wieder "rückgängig macht".


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