Aufgaben zu Bruchgleichungen
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Gegeben ist die folgende Bruchgleichung:
Bestimme die Defintionsmenge und die Lösungsmenge!
(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösen von Bruchgleichungen
Bestimme die Definitionsmenge der Bruchgleichung
Zur Lösung der Bruchgleichung musst du zuerst die Defintionsmenge bestimmen. Dafür musst du die Nenner der einzelnen Brüche herausschreiben und gleich setzen. Da in jedem vorkommenden Bruch der Nenner ist, reicht es diesen Nenner gleich zu setzen.
Setze den Nenner gleich .
Du siehst jetzt, dass diese Gleichung bereits nach aufgelöst ist. Daher ist die Bruchgleichung nur für nicht definiert. Daher hat die Gleichung die Definitionslücke bei und du siehst:
Gleichung bruchterm-frei machen
Nun musst du die Gleichung bruchterm-frei machen. Dafür kannst du zunächst die Gleichung vereinfachen:
Multipliziere die Klammern aus.
Addiere auf beiden Seiten.
Vereinfache:
Alle vorkommenden Nenner sind gleich, nämlich . Der einzige Baustein ist , daher ist auch der Hauptnenner . Indem du jetzt die Gleichung mit diesem Hauptnenner multiplizierst, erhältst du eine bruchterm-freie Gleichung:
Multipliziere die Gleichung mit dem Hauptnenner .
Löse die bruchterm-freie Gleichung
Jetzt kannst du die lineare bruchterm-freie Gleichung lösen.
Addiere auf beiden Seiten der Gleichung .
Vereinfache den Term auf der linken Seite.
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch .
Als Lösung der Gleichung erhältst du also .
Angabe der Lösungsmenge
Du musst jetzt noch überprüfen, ob die Lösung der Gleichung auch in der Definitionsmenge liegt. Wegen liegt in der Definitionsmenge und daher auch in der Lösungsmenge. Daher erhältst du: .
Die Lösungsmenge der Bruchgleichung ist also gegeben durch .
Versuche die Gleichung Bruchterm-frei zu machen. Dafür kannst du verschiedenen Methoden nutzen.
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Gib die Lösungsmenge folgender Gleichungen an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
Als erstes multiplizierst du mit , um das aus dem Nenner zu bekommen:
↓ ↓ vertausche die Seiten und kürze 12 und 6 mit 6 und dann 15 und 21 mit 3
Hast du eine Frage oder Feedback?
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Bestimme jeweils die Lösungsmenge:
(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
Definitionsmenge bestimmen
Keiner der Nenner darf werden.
Aus der Definitionsmenge musst du alle Zahlen ausschließen, für die sich im Nenner ergeben würde.
Verboten ist hier also:
Daher müssen ausgeschlossen werden: und .
Die Definitionsmenge ist , wenn als Grundmenge die Menge der rationalen Zahlen verwendet wird.
Die Defintionsmenge ist , wenn als Grundmenge die Menge der reellen Zahlen verwendet wird.
Bruchgleichung lösen
Bilde den Hauptnenner. Der Hauptnenner ist bei dieser Gleichung: . Bringe nun alle Brüche durch Erweitern auf den Hauptnenner und multipliziere anschließend die gesamte Gleichung mit dem Hauptnenner, damit alle Brüche wegfallen.
↓ Bilde den Hauptnenner.
↓ Löse die Klammern auf,
und forme die Gleichung dann geeignet um.
Überprüfe nun noch, ob in der Definitionsmenge enthalten ist.
Damit ist Lösung der Gleichung und du kannst die Lösungsmenge angeben.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
Definitionsbereich bestimmen
Keiner der Nenner darf werden.
Aus der Definitionsmenge musst du alle Zahlen ausschließen, für die sich im Nenner ergeben würde.
Die Definitionsmenge ist , wenn als Grundmenge die Menge der rationalen Zahlen verwendet wird.
Die Defintionsmenge ist , wenn als Grundmenge die Menge der reellen Zahlen verwendet wird.
Lösungsmenge bestimmen
Bilde wieder den Hauptnenner der Brüche. Hier musst du den Faktor ausklammern im rechten Nenner.
↓ Bilde den Hauptnenner beider Brüche:
↓ Multipliziere nun mit dem Hauptnenner.
↓ Löse die Klammern auf.
Überprüfe nun noch, ob in der Definitionsmenge enthalten ist.
Damit ist Lösung der Gleichung, und du kannst die Lösungsmenge angeben.
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Beim Lösen einer Gleichung der Form muss man „Über-Kreuz-Multiplizieren“. Das heißt ist das Gleiche wie .
Wende dieses Vorgehen bei den folgenden Bruchgleichungen an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Über-Kreuz-Multiplizieren
Definitionsmenge bestimmen
Zunächst musst du die Definitionsmenge der Gleichung bestimmen.
Keiner der beiden Nenner darf werden.
Deshalb musst du aus der Definitionsmenge alle Zahlen ausschließen, für die in einem der Nenner ergeben würde.
Verboten sind hier also:
Erste Gleichung lösen!
Zweite Gleichung lösen!
Daher müssen die Zahlen und aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden.
Die Definitionsmenge ist , wenn als Grundmenge die Menge der rationalen Zahlen verwendet wird.
Bruchgleichung lösen
Nun löst du die Bruchgleichung mit der Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens:
Über-Kreuz-Multiplizieren!
↓ ↓ Löse dann die Gleichung durch Umformen nach auf.
Überprüfe jetzt noch, ob in der Definitionsmenge enthalten ist. Es gilt , also ist die Lösungsmenge .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Über-Kreuz-Multiplizieren
Definitionsbereich bestimmen
Zunächst musst du die Definitionsmenge der Gleichung bestimmen.
Keiner der beiden Nenner darf werden.
Aus der Definitionsmenge musst du deshalb alle Zahlen ausschließen, für die einer der Nenner ergeben würde.
Verboten sind hier also:
Löse die erste Gleichung!
Löse die zweite Gleichung!
Daher müssen die Zahlen und aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden.
Die Definitionsmenge ist , wenn als Grundmenge die Menge der rationalen Zahlen verwendet wird.
Bruchgleichung lösen
Nun löst du die Bruchgleichung mit der Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens:
↓ ↓ Löse nun die Gleichung nach auf!
Überprüfe jetzt noch, ob in der Definitionsmenge enthalten ist. also ist die Lösungsmenge .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Über-Kreuz-Multiplizieren
Definitionsbereich bestimmen
Zunächst musst du die Definitionsmenge der Gleichung bestimmen.
Keiner der beiden Nenner darf werden.
Aus der Definitionsmenge musst du deshalb alle Zahlen ausschließen, für die einer der Nenner ergeben würde.
Verboten ist hier:
Löse die erste Gleichung.
Löse die zweite Gleichung.
Daher müssen die Zahlen und aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden.
Die Definitionsmenge ist , wenn als Grundmenge die Menge der rationalen Zahlen verwendet wird.
Bruchgleichung lösen
Nun löst du die Bruchgleichung mit der Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens:
Zunächst musst du die linke Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Bruch bringen.
↓ Den Summanden mit erweitern.
↓ Brüche auf der linken Seite addieren.
↓ Auf der linken Seite den Zähler zusammenfassen.
↓ Nun wendest du die Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens an.
↓ ↓ Linke Seite zusammenfassen.
↓ Löse nach auf.
↓ Kürzen.
Überprüfe jetzt noch, ob in der Definitionsmenge enthalten ist. Wegen ist die Lösungsmenge .
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Bestimme Definitions- und Lösungsmenge der folgenden Bruchgleichungen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Definitionsbereich bestimmen
↓ Lösungsmenge bestimmen
↓ Auf den Hauptnenner erweitern.
↓ Mit dem Hauptnenner multiplizieren.
↓ ↓ ↓ Terme zusammenfassen
↓ Die Diskriminante bestimmen
↓ zwei Lösungen
Die Mitternachtsformel anwenden.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Definitionsmenge bestimmen
↓ Lösungsmenge bestimmen,
Auf den Hauptnenner erweitern
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Für die Lösung dieser Aufgabe kannst du entweder den nachfolgenden Text lesen oder dir ein Video dazu anschauen, wenn du nach unten scrollst.
Definitionsmenge bestimmen
Bestimme zuerst die Definitionsmenge.
↓ Lösungsmenge bestimmen,
Auf den Hauptnenner erweitern.
↓ Mit dem Hauptnenner multiplizieren.
↓ Binomische Formeln anwenden.
↓ ↓ Diskriminante bestimmen
↓ zwei Lösungen
Mitternachtsformel anwenden
Alternativ kann die Gleichung auch mit dem Satz vom Nullprodukt gelöst werden.
Videolösung
Im folgenden YouTube-Video von Robert Plötz wird dir die Lösung der Aufgabe nochmal Schritt für Schritt erklärt:
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Definitionsbereich bestimmen
↓ Den Nenner gleich setzen
↓ Den Faktor x ausklammern
↓ Lösungsmenge bestimmen;
es handelt sich um eine Quadratische Gleichung.
↓ Klammere im Nenner wieder aus.
↓ Kürze mit .
↓ Ausmultiplizieren.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Definitionsbereich bestimmen
↓ Wende die Binomischen Formeln an, um die Nenner jeweils zu vereinfachen.
↓ Betrachte nun die Nenner auf beiden Seiten und bestimme die sogenannten Definitionslücken.
Der Nenner links
↓ Der Nenner rechts
↓ Die Defintionslücken sind also bei und .
↓ Lösungsmenge bestimmen
↓ Kürze auf beiden Seiten
↓ d.h. die Gleichung ist für alle Zahlen der Definitionsmenge gültig.
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Löse folgende Bruchgleichungen:
(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)
mit der Definitionsmenge .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
Bruchgleichungen lösen
Es handelt sich hier um eine Bruchgleichung, also wende dein Wissen zur Lösung von Bruchgleichungen an.
Suche zunächst nach dem Hauptnenner. Dazu schaust du dir die Nenner an:
Diese kommen nur einmal vor und können nicht weiter faktorisiert werden. Den Hauptnenner erhälst du, wenn du die Bausteine zusammen multiplizierst.
↓ Erweitere beide Brüche auf den Hauptnenner
↓ Multipliziere die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner
↓ ist in der Definitionsmenge enthalten, also ist die Lösungsmenge .
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Mit der Definitionsmenge .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
Lösen der Bruchgleichung
Es handelt sich hier um eine Bruchgleichung, also wende dein Wissen zur Lösung von Bruchgleichungen an.
Ziel ist es die Gleichung Bruchtermfrei zu machen.Dazu benutzt du die Hauptnenner-Methode.
Hauptnenner finden
Suche zunächst nach dem Hauptnenner.
Dazu schaust du dir beide Terme der Gleichung an. Der Nenner von ist und der Nenner von ist .
Man bekommt die faktorisierten Bausteine:
Der Baustein kommt zweimal vor, für die Bildung des Hauptnenners braucht man es nur einmal. Alle anderen Bausteine kommen nur einmal vor.
Es ergibt sich für den Hauptnenner:
Brüche auf Hauptnenner erweitern
Zweiter Schritt der Hauptnenner-Methode ist es die Bruchterme so zu erweitern, dass der Hauptnenner im Nenner steht.
Gleichung bruchtermfrei machen
Nun kannst du mit dem Hauptnenner die Gleichung multiplizieren. So bekommst du eine bruchtermfreie Gleichung.
↓ Auf den Hauptnenner erweitern.
↓ mit dem Hauptnenner multiplizieren
Bruchtermfreie Gleichung lösen
Du hast die Bruchgleichung in eine äquivalente lineare Gleichung umgeformt. Diese kannst du nun mit deinem Vorwissen lösen.
ist in der Definitionsmenge enthalten, also ist die Lösungsmenge .
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mit der Definitionsmenge .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
Bruchgleichungen
Es handelt sich hier um eine Bruchgleichung, also wende dein Wissen zur Lösung von Bruchgleichungen an.
Bringe zuerst beide Terme auf jeweils einen Bruch.
Die Gleichung lässt sich auf vereinfachen.
Beide Bruchterme haben als Nenner , also ist dieser auch der Hauptnenner.
↓ Auf den Hauptnenner erweitern und vereinfachen (siehe oben).
↓ Mit dem Hauptnenner multiplizieren.
ist in der Definitionsmenge enthalten, also ist .
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mit der Definitionsmenge .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
Bruchgleichungen
Es handelt sich hier um eine Bruchgleichung, also wende dein Wissen zur Lösung von Bruchgleichungen an.
Bestimme zunächst den Hauptnenner. Schaue dir dafür explizit jeden Nenner einzeln an und faktorisiere falls möglich:
Aus den Faktoren ergibt sich für den Hauptnenner: .
Es folgt:
↓ Im . Bruch den Faktor und im . Bruch ausklammern.
↓ Auf den Hauptnenner erweitern.
↓ Vereinfache
↓ Mit dem Hauptnenner multiplizieren.
↓ Löse nach auf.
ist in der Definitionsmenge enthalten und somit eine Lösung der Gleichung. Also ist die Lösungsmenge
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