Aufgaben zu Bruchgleichungen

1
Gegeben ist die folgende Bruchgleichung:
$\frac{7}{x} + \frac{8}{x} - 1 = \frac{1}{2} - 6 (\frac{2}{x} - 2)$
Bestimme die Defintionsmenge und die Lösungsmenge!
(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösen von Bruchgleichungen
Bestimme die Definitionsmenge der Bruchgleichung
Zur Lösung der Bruchgleichung musst du zuerst die Defintionsmenge bestimmen. Dafür musst du die Nenner der einzelnen Brüche herausschreiben und gleich $0$ setzen. Da in jedem vorkommenden Bruch der Nenner $x$ ist, reicht es diesen Nenner $x$ gleich $0$ zu setzen.
$x = 0$
Setze den Nenner $x$ gleich $0$ .
Du siehst jetzt, dass diese Gleichung bereits nach $x$ aufgelöst ist. Daher ist die Bruchgleichung nur für $x = 0$ nicht definiert. Daher hat die Gleichung die Definitionslücke bei $x = 0$ und du siehst:
$D = ℚ \ {0}$
Gleichung bruchterm-frei machen
Nun musst du die Gleichung bruchterm-frei machen. Dafür kannst du zunächst die Gleichung vereinfachen:
$\frac{7}{x} + \frac{8}{x} - 1 = \frac{1}{2} - 6 (\frac{2}{x} - 2)$
Multipliziere die Klammern aus.
$\frac{7}{x} + \frac{8}{x} - 1 = \frac{1}{2} - \frac{12}{x} + 12$
Addiere $1$ auf beiden Seiten.
$\frac{7}{x} + \frac{8}{x} = \frac{1}{2} - \frac{12}{x} + 12 + 1$
Vereinfache:
$\frac{1}{2} + 12 + 1 = 13,5$
$\frac{7}{x} + \frac{8}{x} = - \frac{12}{x} + 13,5$
Alle vorkommenden Nenner sind gleich, nämlich $x$ . Der einzige Baustein ist $x$ , daher ist auch der Hauptnenner $x$ . Indem du jetzt die Gleichung mit diesem Hauptnenner multiplizierst, erhältst du eine bruchterm-freie Gleichung:
$\frac{7}{x} + \frac{8}{x} = - \frac{12}{x} + 13,5$
Multipliziere die Gleichung mit dem Hauptnenner $x$ .
$7 + 8 = - 12 + 13,5 x$
Löse die bruchterm-freie Gleichung
Jetzt kannst du die lineare bruchterm-freie Gleichung lösen.
$7 + 8 = - 12 + 13,5 x$
Addiere auf beiden Seiten der Gleichung $12$ .
$7 + 8 + 12 = 13,5 x$
Vereinfache den Term auf der linken Seite.
$27 = 13,5 x$
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch $13,5$ .
$2 = x$
Als Lösung der Gleichung erhältst du also $2$ .
Angabe der Lösungsmenge
Du musst jetzt noch überprüfen, ob die Lösung der Gleichung auch in der Definitionsmenge liegt. Wegen $D = ℚ \ {0}$ liegt $2$ in der Definitionsmenge und daher auch in der Lösungsmenge. Daher erhältst du: $𝕃 = {2}$ .
Die Lösungsmenge der Bruchgleichung ist also gegeben durch $𝕃 = {2}$ .
Versuche die Gleichung Bruchterm-frei zu machen. Dafür kannst du verschiedenen Methoden nutzen.
2
Gib die Lösungsmenge folgender Gleichungen an.
1. $\frac{1}{x} + 2 = \frac{9}{x}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
  $\frac{1}{x} + 2$ $=$ $\frac{9}{x}$ $- \frac{1}{x}$
  $2$ $=$ $\frac{8}{x}$ $\cdot x$
  $2 x$ $=$ $8$ $: 2$
  $x$ $=$ $4$
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2. $\frac{2 x + 4}{8} = \frac{8 x - 7}{20}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
  $\frac{2 x + 4}{8}$ $=$ $\frac{8 x - 7}{20}$ $\cdot 20; \cdot 8$
  $40 x + 80$ $=$ $64 x - 56$ $+ 56 - 40 x$
  $136$ $=$ $24 x$ $: 24$
  $x$ $=$ $\frac{17}{3}$
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3. $\frac{2}{9} \cdot \frac{x}{11} = \frac{27}{22}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
  $\frac{2}{9} \cdot \frac{x}{11}$ $=$ $\frac{27}{22}$
  ↓
  Brüche auf der linken Seite multiplizieren
  $\frac{2 x}{99}$ $=$ $\frac{27}{22}$ $\cdot 99; \cdot 22$
  $44 x$ $=$ $27 \cdot 99$ $: 44$
  $x$ $=$ $60,75$
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4. $\frac{15}{x} \cdot \frac{12}{21} = 6$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
  Als erstes multiplizierst du mit $x$ , um das aus dem Nenner zu bekommen:
  ↓
  $\frac{15}{x} \cdot \frac{12}{21}$ $=$ $6$ $\cdot x$
  $\frac{15 \cdot 12}{21}$ $=$ $6 x$ $: 6$
  $\frac{15 \cdot 12}{21 \cdot 6}$ $=$ $x$
  ↓
  vertausche die Seiten und kürze 12 und 6 mit 6 und dann 15 und 21 mit 3
  $x$ $=$ $\frac{10}{7}$
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Bestimme jeweils die Lösungsmenge:

(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x}$

$\frac{2}{x - 2} - 2 = \frac{1}{4 - 2 x}$

Beim Lösen einer Gleichung der Form $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ muss man „Über-Kreuz-Multiplizieren“. Das heißt $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ist das Gleiche wie $a \cdot d = b \cdot c$ .

Wende dieses Vorgehen bei den folgenden Bruchgleichungen an.

$\frac{3}{2 x + 1} = \frac{2}{2 - x}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Über-Kreuz-Multiplizieren
Definitionsmenge bestimmen
Zunächst musst du die Definitionsmenge der Gleichung bestimmen.
$\frac{3}{2 x + 1} = \frac{2}{2 - x}$
Keiner der beiden Nenner darf $0$ werden.
Deshalb musst du aus der Definitionsmenge alle Zahlen ausschließen, für die $0$ in einem der Nenner ergeben würde.
Verboten sind hier also:
$2 x + 1 = 0$
$2 - x = 0$
Erste Gleichung lösen!
$2 x + 1$ $=$ $0$ $- 1$
$2 x$ $=$ $- 1$ $: 2$
$x$ $=$ $- \frac{1}{2}$
Zweite Gleichung lösen!
$2 - x$ $=$ $0$ $- 2$
$- x$ $=$ $- 2$ $: (- 1)$
$x$ $=$ $2$
Daher müssen die Zahlen $- \frac{1}{2}$ und $2$ aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden.
Die Definitionsmenge ist $D = ℚ \ {- 0,5; 2}$ , wenn als Grundmenge die Menge $ℚ$ der rationalen Zahlen verwendet wird.
Bruchgleichung lösen
Nun löst du die Bruchgleichung mit der Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens:
$\frac{3}{2 x + 1} = \frac{2}{2 - x}$
Über-Kreuz-Multiplizieren! $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow a \cdot d = c \cdot b$
$\frac{3}{2 x + 1}$ $=$ $\frac{2}{2 - x}$ $\cdot (2 x + 1) (2 - x)$
$3 \cdot (2 - x)$ $=$ $2 \cdot (2 x + 1)$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$6 - 3 x$ $=$ $4 x + 2$ $- 2 + 3 x$
↓
Löse dann die Gleichung durch Umformen nach $x$ auf.
$4$ $=$ $7 x$ $: 7$
$\frac{4}{7}$ $=$ $x$
Überprüfe jetzt noch, ob $x = \frac{4}{7}$ in der Definitionsmenge enthalten ist. Es gilt $x = \frac{4}{7} \in D$ , also ist die Lösungsmenge $𝕃 = {\frac{4}{7}}$ .
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$\frac{x - 2}{3 + x} = \frac{2 x}{2 x - 3}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Über-Kreuz-Multiplizieren
Definitionsbereich bestimmen
Zunächst musst du die Definitionsmenge der Gleichung bestimmen.
$\frac{x - 2}{3 + x} = \frac{2 x}{2 x - 3}$
Keiner der beiden Nenner darf $0$ werden.
Aus der Definitionsmenge musst du deshalb alle Zahlen ausschließen, für die einer der Nenner $0$ ergeben würde.
Verboten sind hier also:
$3 + x = 0$
$2 x - 3 = 0$
Löse die erste Gleichung!
$3 + x$ $=$ $0$ $- 3$
$x$ $=$ $- 3$
Löse die zweite Gleichung!
$2 x - 3$ $=$ $0$ $+ 3$
$2 x$ $=$ $3$ $: 2$
$x$ $=$ $\frac{3}{2}$
Daher müssen die Zahlen $- 3$ und $\frac{3}{2}$ aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden.
Die Definitionsmenge ist $D = ℚ \ {- 3, \frac{3}{2}}$ , wenn als Grundmenge die Menge $ℚ$ der rationalen Zahlen verwendet wird.
Bruchgleichung lösen
Nun löst du die Bruchgleichung mit der Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens:
$\frac{x - 2}{3 + x}$ $=$ $\frac{2 x}{2 x - 3}$ $\cdot (3 + x) (2 x - 3)$
$(x - 2) \cdot (2 x - 3)$ $=$ $2 x \cdot (3 + x)$
↓
Klammern ausmultiplizieren.
$2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6$ $=$ $6 x + 2 x^{2}$
↓
Löse nun die Gleichung nach $x$ auf!
$2 x^{2} - 7 x + 6$ $=$ $6 x + 2 x^{2}$ $- 2 x^{2} + 7 x$
$6$ $=$ $13 x$ $: 13$
$\frac{6}{13}$ $=$ $x$
Überprüfe jetzt noch, ob $x = \frac{6}{13}$ in der Definitionsmenge enthalten ist. $x = \frac{6}{13} \in D$ also ist die Lösungsmenge $𝕃 = {\frac{6}{13}}$ .
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$1 + \frac{2}{2 x - 1} = \frac{x}{x + 2}$

Bestimme Definitions- und Lösungsmenge der folgenden Bruchgleichungen.

$\frac{30}{x} - \frac{16}{x + 1} = \frac{13}{x - 2}$

$\frac{4}{x} - \frac{x}{4} = \frac{8}{x} - \frac{3 x}{4}$

$\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

$\frac{x}{x^{2} - 4 x} = 2$

$\frac{x - 2}{x^{2} - 4} = \frac{x + 2}{x^{2} + 4 x + 4}$

Löse folgende Bruchgleichungen:

(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

$\frac{2}{x - 3} = \frac{3}{x - 1}$ mit der Definitionsmenge $D = ℚ \ {1,3}$ .

$\frac{2}{5 x + 15} = \frac{1}{10}$
Mit der Definitionsmenge $D = ℚ \ {- 3}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
Lösen der Bruchgleichung
Es handelt sich hier um eine Bruchgleichung, also wende dein Wissen zur Lösung von Bruchgleichungen an.
Ziel ist es die Gleichung Bruchtermfrei zu machen.Dazu benutzt du die Hauptnenner-Methode.
Hauptnenner finden
Suche zunächst nach dem Hauptnenner.
Dazu schaust du dir beide Terme der Gleichung an. Der Nenner von $\frac{1}{10}$ ist $10$ und der Nenner von $\frac{2}{5 x + 15}$ ist $5 x + 15$ .
Man bekommt die faktorisierten Bausteine:
$[10] = [2] \cdot [5]$
$[5 x + 15] = [5] \cdot [x + 3]$
Der Baustein $5$ kommt zweimal vor, für die Bildung des Hauptnenners braucht man es nur einmal. Alle anderen Bausteine kommen nur einmal vor.
Es ergibt sich für den Hauptnenner:
$[2] \cdot [5] \cdot [x + 3] = 10 (x + 3)$
Brüche auf Hauptnenner erweitern
Zweiter Schritt der Hauptnenner-Methode ist es die Bruchterme so zu erweitern, dass der Hauptnenner im Nenner steht.
$\frac{2}{5 x + 15}$ $=$ $\frac{2}{5 (x + 3)} \cdot \frac{2}{3}$
$=$ $\frac{4}{10 (x + 3)}$
$\frac{1}{10} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$ $=$ $\frac{x + 3}{10 (x + 3)}$
Gleichung bruchtermfrei machen
Nun kannst du mit dem Hauptnenner die Gleichung multiplizieren. So bekommst du eine bruchtermfreie Gleichung.
$\frac{2}{5 x + 15}$ $=$ $\frac{1}{10}$
↓
Auf den Hauptnenner $10 (x + 3)$ erweitern.
$\frac{4}{10 (x + 3)}$ $=$ $\frac{x + 3}{10 (x + 3)}$ $\cdot 10 (x + 3)$
↓
mit dem Hauptnenner multiplizieren
$4$ $=$ $x + 3$
Bruchtermfreie Gleichung lösen
Du hast die Bruchgleichung in eine äquivalente lineare Gleichung umgeformt. Diese kannst du nun mit deinem Vorwissen lösen.
$4$ $=$ $x + 3$ $- 3$
$x$ $=$ $1$
$1$ ist in der Definitionsmenge enthalten, also ist die Lösungsmenge $𝕃 = {1}$ .
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$\frac{3 x^{2}}{x - 1} - 3 x = \frac{1}{x - 1} + 2$ mit der Definitionsmenge $D = ℚ \ {1}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
Bruchgleichungen
Es handelt sich hier um eine Bruchgleichung, also wende dein Wissen zur Lösung von Bruchgleichungen an.
Bringe zuerst beide Terme auf jeweils einen Bruch.
$\frac{3 x^{2}}{x - 1} - 3 x$ $=$ $\frac{3 x^{2}}{x - 1} - \frac{3 x (x - 1)}{x - 1}$
$=$ $\frac{3 x^{2}}{x - 1} - \frac{3 x^{2} - 3 x}{x - 1}$
$=$ $\frac{3 x}{x - 1}$
$\frac{1}{x - 1} + 2$ $=$ $\frac{1}{x - 1} + \frac{2 (x - 1)}{x - 1}$
$=$ $\frac{1}{x - 1} + \frac{2 x - 2}{x - 1}$
$=$ $\frac{2 x - 1}{x - 1}$
Die Gleichung lässt sich auf $\frac{3 x}{x - 1} = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ vereinfachen.
Beide Bruchterme haben als Nenner $x - 1$ , also ist dieser auch der Hauptnenner.
$\frac{3 x^{2}}{x - 1} - 3 x$ $=$ $\frac{1}{x - 1} + 2$
↓
Auf den Hauptnenner $(x - 1)$ erweitern und vereinfachen (siehe oben).
$\frac{3 x}{x - 1}$ $=$ $\frac{2 x - 1}{x - 1}$
↓
Mit dem Hauptnenner $(x - 1)$ multiplizieren.
$3 x$ $=$ $2 x - 1$ $- 2 x$
$x$ $=$ $- 1$
$- 1$ ist in der Definitionsmenge enthalten, also ist $𝕃 = {- 1}$ .
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$\frac{5}{2 x + 6} - \frac{1 - 0,25 x^{2}}{x^{2} + 3 x} = \frac{1}{4}$ mit der Definitionsmenge $D = ℚ \ {- 3,0}$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x + 1}$	$=$	$\frac{1}{x}$
	↓	Bilde den Hauptnenner.
$\frac{2 (x + 1)}{x^{2} (x + 1)} + \frac{x^{2}}{x^{2} (x + 1)}$	$=$	$\frac{x (x + 1)}{x^{2} (x + 1)}$	$\cdot x^{2} (x + 1)$
$2 (x + 1) + x^{2}$	$=$	$x (x + 1)$
	↓	Löse die Klammern auf, und forme die Gleichung dann geeignet um.
$2 x + 2 + x^{2}$	$=$	$x^{2} + x$	$- x^{2} - x$
$x + 2$	$=$	$0$	$- 2$
$x$	$=$	$- 2$

$\frac{2}{x - 2} - 2$	$=$	$\frac{1}{4 - 2 x}$
$\frac{2}{x - 2} - 2$	$=$	$\frac{1}{- 2 (x - 2)}$
	↓	Bilde den Hauptnenner beider Brüche: $- 2 (x - 2)$
$\frac{2 \cdot (- 2)}{(- 2) (x - 2)} + \frac{(- 2) (- 2) (x - 2)}{(- 2) (x - 2)}$	$=$	$\frac{1}{(- 2) (x - 2)}$	$\cdot (- 2) (x - 2))$
	↓	Multipliziere nun mit dem Hauptnenner.
$- 4 + 4 \cdot (x - 2)$	$=$	$1$
	↓	Löse die Klammern auf.
$- 4 + 4 x - 8$	$=$	$1$
$- 12 + 4 x$	$=$	$1$	$+ 12$
$4 x$	$=$	$13$	$: 4$
$x$	$=$	$\frac{13}{4}$
$x$	$=$	$3,25$

$\frac{30}{x} - \frac{16}{x + 1}$	$=$	$\frac{13}{x - 2}$
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {0; - 1; 2}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen
$\frac{30}{x} - \frac{16}{x + 1}$	$=$	$\frac{13}{x - 2}$
	↓	Auf den Hauptnenner $x (x + 1) (x - 2)$ erweitern.
$\frac{30 (x + 1) (x - 2)}{x (x + 1) (x - 2)} - \frac{16 x (x - 2)}{x (x + 1) (x - 2)}$	$=$	$\frac{13 x (x + 1)}{x (x + 1) (x - 2)}$
	↓	Mit dem Hauptnenner $x (x + 1) (x - 2)$ multiplizieren.
$30 (x + 1) (x - 2) - 16 x (x - 2)$	$=$	$13 x (x + 1)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$30 (x^{2} - 2 x + x - 2) - 16 x^{2} + 32 x$	$=$	$13 x^{2} + 13 x$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$30 x^{2} - 60 x + 30 x - 60 - 16 x^{2} + 32 x$	$=$	$13 x^{2} + 13 x$
	↓	Terme zusammenfassen
$14 x^{2} + 2 x - 60$	$=$	$13 x^{2} + 13 x$	$- 13^{2} - 13 x$
$x^{2} - 11 x - 60$	$=$	$0$
	↓	Die Diskriminante bestimmen
$D$	$=$	$121 + 240 = 361$
	↓	$361 > 0 = >$ zwei Lösungen Die Mitternachtsformel anwenden.
$x_{1}$	$=$	$\frac{- b + \sqrt{D}}{2 a}$
	$=$	$\frac{11 + \sqrt{361}}{2} = 15$
$x_{2}$	$=$	$\frac{- b - \sqrt{D}}{2 a}$
	$=$	$\frac{11 - \sqrt{361}}{2} = - 4$
$\Rightarrow L$	$=$	${- 4; 15}$

$\frac{4}{x} - \frac{x}{4}$	$=$	$\frac{8}{x} - \frac{3 x}{4}$
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {0}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen, Auf den Hauptnenner $4 x$ erweitern
$\frac{4 \cdot 4}{4 x} - \frac{x \cdot x}{4 x}$	$=$	$\frac{8 \cdot 4}{4 x} - \frac{3 x^{2}}{4 x}$	$\cdot 4 x$
$16 - x^{2}$	$=$	$32 - 3 x^{2}$	$- 32 + 3 x^{2}$
$2 x^{2} - 16$	$=$	$0$	$+ 16$
$2 x^{2}$	$=$	$16$	$: 2$
$x^{2}$	$=$	$8$	$\| \sqrt{}$
$x_{1}$	$=$	$\sqrt{8} \approx 2,8$
$x_{2}$	$=$	$- \sqrt{8} \approx - 2,8$
$\Rightarrow L$	$=$	${- \sqrt{8}; \sqrt{8}}$

$\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 1}$	$=$	$\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {- 1; 1}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen, Auf den Hauptnenner $(x - 1) (x + 1)$ erweitern.
$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{(x - 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$	$=$	$\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$	$\cdot (x - 1) (x + 1)$
	↓	Mit dem Hauptnenner multiplizieren.
${(x + 1)}^{2} - {(x - 1)}^{2}$	$=$	$x^{2}$
	↓	Binomische Formeln anwenden.
$x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} + 2 x - 1$	$=$	$x^{2}$
	↓	Gleichung umformen.
$- x^{2} + 4 x$	$=$	$0$
	↓	Diskriminante bestimmen
$D$	$=$	$16$
	↓	$16 > 0 = >$ zwei Lösungen Mitternachtsformel anwenden
$x_{1}$	$=$	$\frac{- 4 + 4}{- 2} = 0$
$x_{2}$	$=$	$\frac{- 4 - 4}{- 2} = 4$
$\Rightarrow L$	$=$	${0; 4}$

$\frac{1}{x} + 2$	$=$	$\frac{9}{x}$	$- \frac{1}{x}$
$2$	$=$	$\frac{8}{x}$	$\cdot x$
$2 x$	$=$	$8$	$: 2$
$x$	$=$	$4$

$\frac{2 x + 4}{8}$	$=$	$\frac{8 x - 7}{20}$	$\cdot 20; \cdot 8$
$40 x + 80$	$=$	$64 x - 56$	$+ 56 - 40 x$
$136$	$=$	$24 x$	$: 24$
$x$	$=$	$\frac{17}{3}$

$\frac{2}{9} \cdot \frac{x}{11}$	$=$	$\frac{27}{22}$
	↓	Brüche auf der linken Seite multiplizieren
$\frac{2 x}{99}$	$=$	$\frac{27}{22}$	$\cdot 99; \cdot 22$
$44 x$	$=$	$27 \cdot 99$	$: 44$
$x$	$=$	$60,75$

Als erstes multiplizierst du mit $x$ , um das aus dem Nenner zu bekommen:
	↓
$\frac{15}{x} \cdot \frac{12}{21}$	$=$	$6$	$\cdot x$
$\frac{15 \cdot 12}{21}$	$=$	$6 x$	$: 6$
$\frac{15 \cdot 12}{21 \cdot 6}$	$=$	$x$
	↓	vertausche die Seiten und kürze 12 und 6 mit 6 und dann 15 und 21 mit 3
$x$	$=$	$\frac{10}{7}$

$\frac{3}{2 x + 1}$	$=$	$\frac{2}{2 - x}$	$\cdot (2 x + 1) (2 - x)$
$3 \cdot (2 - x)$	$=$	$2 \cdot (2 x + 1)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$6 - 3 x$	$=$	$4 x + 2$	$- 2 + 3 x$
	↓	Löse dann die Gleichung durch Umformen nach $x$ auf.
$4$	$=$	$7 x$	$: 7$
$\frac{4}{7}$	$=$	$x$

$\frac{x - 2}{3 + x}$	$=$	$\frac{2 x}{2 x - 3}$	$\cdot (3 + x) (2 x - 3)$
$(x - 2) \cdot (2 x - 3)$	$=$	$2 x \cdot (3 + x)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren.
$2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6$	$=$	$6 x + 2 x^{2}$
	↓	Löse nun die Gleichung nach $x$ auf!
$2 x^{2} - 7 x + 6$	$=$	$6 x + 2 x^{2}$	$- 2 x^{2} + 7 x$
$6$	$=$	$13 x$	$: 13$
$\frac{6}{13}$	$=$	$x$

$1 + \frac{2}{2 x - 1}$	$=$	$\frac{x}{x + 2}$
	↓	Den Summanden $1$ mit $2 x - 1$ erweitern.
$\frac{2 x - 1}{2 x - 1} + \frac{2}{2 x - 1}$	$=$	$\frac{x}{x + 2}$
	↓	Brüche auf der linken Seite addieren.
$\frac{2 x - 1 + 2}{2 x - 1}$	$=$	$\frac{x}{x + 2}$
	↓	Auf der linken Seite den Zähler zusammenfassen.
$\frac{2 x + 1}{2 x - 1}$	$=$	$\frac{x}{x + 2}$	$\cdot (2 x - 1) (x + 2)$
	↓	Nun wendest du die Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens an.
$(2 x + 1) \cdot (x + 2)$	$=$	$x \cdot (2 x - 1)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$2 x^{2} + 4 x + x + 2$	$=$	$2 x^{2} - x$
	↓	Linke Seite zusammenfassen.
$2 x^{2} + 5 x + 2$	$=$	$2 x^{2} - x$	$- 2 x^{2} + x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$6 x + 2$	$=$	$0$	$- 2$
$6 x$	$=$	$- 2$	$: 6$
$x$	$=$	$- \frac{2}{6}$
	↓	Kürzen.
$x$	$=$	$- \frac{1}{3}$

$\frac{x}{x^{2} - 4 x}$	$=$	$2$
	↓	Den Nenner gleich $0$ setzen
$x^{2} - 4 x$	$=$	$0$
	↓	Den Faktor x ausklammern
$x (x - 4)$	$=$	$0$
$\Rightarrow D$	$=$	$ℝ \ {0; 4}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen; es handelt sich um eine Quadratische Gleichung.
$\frac{x}{x^{2} - 4 x}$	$=$	$2$
	↓	Klammere $x$ im Nenner wieder aus.
$\frac{x}{x \cdot (x - 4)}$	$=$	$2$
	↓	Kürze mit $x$ .
$\frac{1}{x - 4}$	$=$	$2$	$\cdot (x - 4)$
$1$	$=$	$2 \cdot (x - 4)$
	↓	Ausmultiplizieren.
$1$	$=$	$2 x - 8$	$+ 8$
$9$	$=$	$2 x$	$: 2$
$\frac{9}{2}$	$=$	$x$
$\Rightarrow L$	$=$	${\frac{9}{2}}$

$\frac{x - 2}{x^{2} - 4}$	$=$	$\frac{x + 2}{x^{2} + 4 x + 4}$
	↓	Wende die Binomischen Formeln an, um die Nenner jeweils zu vereinfachen.
$\frac{x - 2}{(x - 2) (x + 2)}$	$=$	$\frac{x + 2}{{(x + 2)}^{2}}$
	↓	Betrachte nun die Nenner auf beiden Seiten und bestimme die sogenannten Definitionslücken. Der Nenner links
$(x - 2) \cdot (x + 2)$	$=$	$0 \Leftrightarrow x = 2 o d e r x = - 2$
	↓	Der Nenner rechts
${(x + 2)}^{2}$	$=$	$0 \Leftrightarrow x = - 2$
	↓	$\Rightarrow$ Die Defintionslücken sind also bei $+ 2$ und $- 2$ .
$\Rightarrow D_{f}$	$=$	$ℝ \ {+ 2, - 2}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen
$\frac{x - 2}{(x - 2) (x + 2)}$	$=$	$\frac{x + 2}{{(x + 2)}^{2}}$
	↓	Kürze auf beiden Seiten
$\frac{1}{x + 2}$	$=$	$\frac{1}{x + 2}$	$\cdot (x + 2)$
$1$	$=$	$1$
$\Rightarrow L = D$	$=$	$ℝ \ {+ 2, - 2}$
	↓	d.h. die Gleichung ist für alle Zahlen der Definitionsmenge gültig.

$\frac{2}{x - 3}$	$=$	$\frac{3}{x - 1}$
	↓	Erweitere beide Brüche auf den Hauptnenner $(x - 3) (x - 1)$
$\frac{2 (x - 1)}{(x - 3) (x - 1)}$	$=$	$\frac{3 (x - 3)}{(x - 1) (x - 3)}$	$\cdot (x - 3) (x - 1)$
	↓	Multipliziere die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner
$2 {(x - 1)}_{}$	$=$	$3 (x - 3)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$2 x - 2$	$=$	$3 x - 9$	$- 2 x + 9$
$x$	$=$	$7$

$\frac{2}{5 x + 15}$	$=$	$\frac{2}{5 (x + 3)} \cdot \frac{2}{3}$
	$=$	$\frac{4}{10 (x + 3)}$

$\frac{2}{5 x + 15}$	$=$	$\frac{1}{10}$
	↓	Auf den Hauptnenner $10 (x + 3)$ erweitern.
$\frac{4}{10 (x + 3)}$	$=$	$\frac{x + 3}{10 (x + 3)}$	$\cdot 10 (x + 3)$
	↓	mit dem Hauptnenner multiplizieren
$4$	$=$	$x + 3$

$\frac{3 x^{2}}{x - 1} - 3 x$	$=$	$\frac{3 x^{2}}{x - 1} - \frac{3 x (x - 1)}{x - 1}$
	$=$	$\frac{3 x^{2}}{x - 1} - \frac{3 x^{2} - 3 x}{x - 1}$
	$=$	$\frac{3 x}{x - 1}$

$\frac{1}{x - 1} + 2$	$=$	$\frac{1}{x - 1} + \frac{2 (x - 1)}{x - 1}$
	$=$	$\frac{1}{x - 1} + \frac{2 x - 2}{x - 1}$
	$=$	$\frac{2 x - 1}{x - 1}$

$\frac{3 x^{2}}{x - 1} - 3 x$	$=$	$\frac{1}{x - 1} + 2$
	↓	Auf den Hauptnenner $(x - 1)$ erweitern und vereinfachen (siehe oben).
$\frac{3 x}{x - 1}$	$=$	$\frac{2 x - 1}{x - 1}$
	↓	Mit dem Hauptnenner $(x - 1)$ multiplizieren.
$3 x$	$=$	$2 x - 1$	$- 2 x$
$x$	$=$	$- 1$

$\frac{5}{2 x + 6} - \frac{1 - 0,25 x^{2}}{x^{2} + 3 x}$	$=$	$\frac{1}{4}$
	↓	Im $1$ . Bruch den Faktor $2$ und im $2$ . Bruch $x$ ausklammern.
$\frac{5}{2 (x + 3)} - \frac{1 - 0,25 x^{2}}{x (x + 3)}$	$=$	$\frac{1}{4}$
	↓	Auf den Hauptnenner $4 x (x + 3)$ erweitern.
$\frac{5}{2 (x + 3)} \cdot \frac{2 x}{2 x} - \frac{1 - 0,25 x^{2}}{x (x + 3)} \cdot \frac{4}{4}$	$=$	$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (x + 3)}{x (x + 3)}$
	↓	Vereinfache
$\frac{10 x}{4 x (x + 3)} - \frac{4 - x^{2}}{4 x (x + 3)}$	$=$	$\frac{x (x + 3)}{4 x (x + 3)}$	$\cdot 4 x (x + 3)$
	↓	Mit dem Hauptnenner multiplizieren.
$10 x - 4 + x^{2}$	$=$	$x^{2} + 3 x$	$- x^{2} - 3 x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$7 x - 4$	$=$	$0$	$+ 4$
$7 x$	$=$	$4$	$: 7$
$x$	$=$	$\frac{4}{7}$

Aufgaben zu Bruchgleichungen

Bestimme die Definitionsmenge der Bruchgleichung

Gleichung bruchterm-frei machen

Löse die bruchterm-freie Gleichung

Angabe der Lösungsmenge

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Definitionsmenge bestimmen

Bruchgleichung lösen

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Definitionsbereich bestimmen

Lösungsmenge bestimmen

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Definitionsmenge bestimmen

Erste Gleichung lösen!

Zweite Gleichung lösen!

Bruchgleichung lösen

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Definitionsbereich bestimmen

Löse die erste Gleichung!

Löse die zweite Gleichung!

Bruchgleichung lösen

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Definitionsbereich bestimmen

Löse die erste Gleichung.

Löse die zweite Gleichung.

Bruchgleichung lösen

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Definitionsbereich bestimmen

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Definitionsmenge bestimmen

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Definitionsmenge bestimmen

Videolösung

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Definitionsbereich bestimmen

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Definitionsbereich bestimmen

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Bruchgleichungen lösen

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Lösen der Bruchgleichung

Hauptnenner finden

Brüche auf Hauptnenner erweitern

Gleichung bruchtermfrei machen

Bruchtermfreie Gleichung lösen

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Bruchgleichungen

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Bruchgleichungen

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