Aufgaben zu Bruchgleichungen

Gegeben ist die folgende Bruchgleichung:

$\displaystyle\frac7x+\frac8x-1=\frac12-6\left(\frac2x-2\right)$

Bestimme die Defintionsmenge und die Lösungsmenge!

(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösen von Bruchgleichungen

Bestimme die Definitionsmenge der Bruchgleichung

Zur Lösung der Bruchgleichung musst du zuerst die Defintionsmenge bestimmen. Dafür musst du die Nenner der einzelnen Brüche herausschreiben und gleich $0$ setzen. Da in jedem vorkommenden Bruch der Nenner $x$ ist, reicht es diesen Nenner $x$ gleich $0$ zu setzen.

$x=0$

Setze den Nenner $x$ gleich $0$ .

Du siehst jetzt, dass diese Gleichung bereits nach $x$ aufgelöst ist. Daher ist die Bruchgleichung nur für $x=0$ nicht definiert. Daher hat die Gleichung die Definitionslücke bei $x=0$ und du siehst:

$D =\mathbb{Q} \backslash \{0\}$

Gleichung bruchterm-frei machen

Nun musst du die Gleichung bruchterm-frei machen. Dafür kannst du zunächst die Gleichung vereinfachen:

$\displaystyle \frac7x+\frac8x-1=\frac12-6\left(\frac2x-2\right)$

Multipliziere die Klammern aus.

$\displaystyle\frac7x+\frac8x-1=\frac12-\frac{12}x+12$

Addiere $1$ auf beiden Seiten.

$\displaystyle\frac7x+\frac8x=\frac12-\frac{12}x+12+1$

Vereinfache:

$\frac 12 +12+1=13{,}5$

$\displaystyle\frac7x+\frac8x=-\frac{12}x+13{,}5$

Alle vorkommenden Nenner sind gleich, nämlich $x$ . Der einzige Baustein ist $x$ , daher ist auch der Hauptnenner $x$ . Indem du jetzt die Gleichung mit diesem Hauptnenner multiplizierst, erhältst du eine bruchterm-freie Gleichung:

$\displaystyle\frac7x+\frac8x=-\frac{12}x+13{,}5$

Multipliziere die Gleichung mit dem Hauptnenner $x$ .

$7+8=-12+13{,}5x$

Löse die bruchterm-freie Gleichung

Jetzt kannst du die lineare bruchterm-freie Gleichung lösen.

$7+8=-12+13{,}5x$

Addiere auf beiden Seiten der Gleichung $12$ .

$7+8+12=13{,}5x$

Vereinfache den Term auf der linken Seite.

$27=13{,}5x$

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch $13{,}5$ .

$2=x$

Als Lösung der Gleichung erhältst du also $2$ .

Angabe der Lösungsmenge

Du musst jetzt noch überprüfen, ob die Lösung der Gleichung auch in der Definitionsmenge liegt. Wegen $D=\mathbb{Q}\backslash \{ 0\}$ liegt $2$ in der Definitionsmenge und daher auch in der Lösungsmenge. Daher erhältst du: $\mathbb L=\{ 2\}$ .

Die Lösungsmenge der Bruchgleichung ist also gegeben durch $\mathbb L=\{ 2\}$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.

2

Gib die Lösungsmenge folgender Gleichungen an.

$\dfrac1x+2=\dfrac9x$

$\dfrac{2x+4}8=\dfrac{8x-7}{20}$

$\dfrac29\cdot\dfrac x{11}=\dfrac{27}{22}$

$\frac{15}x\cdot\frac{12}{21}=6$

3

Bestimme jeweils die Lösungsmenge:

(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

$\displaystyle \frac2{x^2}+\frac1{x+1}=\frac1x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen

Definitionsmenge bestimmen

$\dfrac2{x^2}+\dfrac {1}{x+1}=\dfrac1x$

Keiner der Nenner darf $0$ werden.

Aus der Definitionsmenge musst du alle Zahlen ausschließen, für die sich $0$ im Nenner ergeben würde.

Verboten ist hier also:

$x^2=0$
$x+1=0$
$x=0$

Daher müssen ausgeschlossen werden: $0$ und $-1$ .

Die Definitionsmenge ist $\mathbb D =\mathbb {Q}\backslash\left\{0;-1\right\}$ , wenn als Grundmenge die Menge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen verwendet wird.

Die Defintionsmenge ist $\mathbb{D}=ℝ\backslash\left\{0;-1\right\}$ , wenn als Grundmenge die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen verwendet wird.

Bruchgleichung lösen

$\dfrac2{x^2}+\dfrac {1}{x+1}=\dfrac1x$

Bilde den Hauptnenner. Der Hauptnenner ist bei dieser Gleichung: $x^2(x+1)$ . Bringe nun alle Brüche durch Erweitern auf den Hauptnenner und multipliziere anschließend die gesamte Gleichung mit dem Hauptnenner, damit alle Brüche wegfallen.

$\displaystyle \frac{2}{x^2}+\frac{1}{x+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x}$
	↓	Bilde den Hauptnenner.
$\displaystyle \frac{2(x+1)}{x^2(x+1)}+\frac{x^2}{x^2(x+1)}$	$=$	$\displaystyle \frac{x(x+1)}{x^2(x+1)}$	$\displaystyle \cdot x^2(x+1)$
$\displaystyle 2\left(x+1\right)+x^2$	$=$	$\displaystyle x\left(x+1\right)$
	↓	Löse die Klammern auf, und forme die Gleichung dann geeignet um.
$\displaystyle 2x+2+x^2$	$=$	$\displaystyle x^2+x$	$\displaystyle -x^2-x$
$\displaystyle x+2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2$

Überprüfe nun noch, ob $-2$ in der Definitionsmenge enthalten ist.

$x=-2 \in \mathbb D$

Damit ist $-2$ Lösung der Gleichung und du kannst die Lösungsmenge angeben.

$\Rightarrow\ \mathbb L = \{-2\}$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

$\displaystyle\frac2{x-2}-2=\frac1{4-2x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen

Definitionsbereich bestimmen

$\displaystyle\frac2{x-2}-2=\frac1{4-2x}$

Keiner der Nenner darf $0$ werden.

Aus der Definitionsmenge musst du alle Zahlen ausschließen, für die sich $0$ im Nenner ergeben würde.

$D_f=ℝ\backslash\left\{2\right\}$

Die Definitionsmenge ist $\mathbb D =\mathbb {Q}\backslash\left\{2\right\}$ , wenn als Grundmenge die Menge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen verwendet wird.

Die Defintionsmenge ist $\mathbb{D}=ℝ\backslash\left\{2\right\}$ , wenn als Grundmenge die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen verwendet wird.

Lösungsmenge bestimmen

$\displaystyle\frac2{x-2}-2=\frac1{4-2x}$

Bilde wieder den Hauptnenner der Brüche. Hier musst du den Faktor $-2$ ausklammern im rechten Nenner.

$\displaystyle \frac{2}{x-2}-2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4-2x}$
$\displaystyle \frac{2}{x-2}-2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{-2\left(x-2\right)}$
	↓	Bilde den Hauptnenner beider Brüche: $-2(x-2)$
$\displaystyle \frac{2\cdot(-2)}{(-2)(x-2)}+\frac{(-2)(-2)(x-2)}{(-2)(x-2)}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{(-2)(x-2)}$	$\displaystyle \cdot(-2)(x-2))$
	↓	Multipliziere nun mit dem Hauptnenner.
$\displaystyle -4+4\cdot(x-2)$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle -4+4x-8$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle -12+4x$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle +12$
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle 13$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{13}{4}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3{,}25$

Überprüfe nun noch, ob $3{,}25$ in der Definitionsmenge enthalten ist.

$x=3{,}25 \in \mathbb D$

Damit ist $3{,}25$ Lösung der Gleichung, und du kannst die Lösungsmenge angeben.

$\Rightarrow\ \mathbb L = \{3{,}25\}$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

4

Beim Lösen einer Gleichung der Form $\displaystyle\frac ab=\frac cd$ muss man „Über-Kreuz-Multiplizieren“. Das heißt $\displaystyle\frac ab=\frac cd$ ist das Gleiche wie $\displaystyle a\cdot d=b\cdot c$ .

Wende dieses Vorgehen bei den folgenden Bruchgleichungen an.

$\displaystyle\frac3{2x+1}=\frac2{2-x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Über-Kreuz-Multiplizieren

Definitionsmenge bestimmen

Zunächst musst du die Definitionsmenge der Gleichung bestimmen.

$\dfrac{3}{2x+1}=\dfrac{2}{2-x}$

Keiner der beiden Nenner darf $0$ werden.

Deshalb musst du aus der Definitionsmenge alle Zahlen ausschließen, für die $0$ in einem der Nenner ergeben würde.

Verboten sind hier also:

$2x+1=0$
$2-x=0$

Erste Gleichung lösen!

$\displaystyle 2x+1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}$

Zweite Gleichung lösen!

$\displaystyle 2-x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle :\left(-1\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

Daher müssen die Zahlen $-\dfrac{1}{2}$ und $2$ aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden.

Die Definitionsmenge ist $D =\mathbb {Q}\backslash\left\{-0{,}5;\ 2\right\}$ , wenn als Grundmenge die Menge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen verwendet wird.

Bruchgleichung lösen

Nun löst du die Bruchgleichung mit der Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens:

$\dfrac{3}{2x+1}=\dfrac{2}{2-x}\quad$

Über-Kreuz-Multiplizieren! $\dfrac ab=\dfrac cd \Leftrightarrow a\cdot d=c\cdot b$

$\displaystyle \frac{3}{2x+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{2-x}$	$\displaystyle \cdot\left(2x+1\right)\left(2-x\right)$
$\displaystyle 3\cdot\left(2-x\right)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(2x+1\right)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 6-3x$	$=$	$\displaystyle 4x+2$	$\displaystyle -2+3x$
	↓	Löse dann die Gleichung durch Umformen nach $x$ auf.
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 7x$	$\displaystyle :7$
$\displaystyle \frac{4}{7}$	$=$	$\displaystyle x$

Überprüfe jetzt noch, ob $x=\frac{4}{7}$ in der Definitionsmenge enthalten ist. Es gilt $x=\dfrac{4}{7} \in D$ , also ist die Lösungsmenge $\mathbb L= \left\{ \dfrac{4}{7}\right\}$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

$\displaystyle\frac{x-2}{3+x}=\frac{2x}{2x-3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Über-Kreuz-Multiplizieren

Definitionsbereich bestimmen

Zunächst musst du die Definitionsmenge der Gleichung bestimmen.

$\displaystyle\frac{x-2}{3+x}=\frac{2x}{2x-3}$

Keiner der beiden Nenner darf $0$ werden.

Aus der Definitionsmenge musst du deshalb alle Zahlen ausschließen, für die einer der Nenner $0$ ergeben würde.

Verboten sind hier also:

$3+x=0$
$2x-3=0$

Löse die erste Gleichung!

$\displaystyle 3+x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3$

Löse die zweite Gleichung!

$\displaystyle 2x-3$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +3$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{2}$

Daher müssen die Zahlen $-3$ und $\dfrac{3}{2}$ aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden.

Die Definitionsmenge ist $D =\mathbb {Q}\backslash\left\{-3,\dfrac{3}{2}\right\}$ , wenn als Grundmenge die Menge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen verwendet wird.

Bruchgleichung lösen

Nun löst du die Bruchgleichung mit der Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens:

$\displaystyle \frac{x-2}{3+x}$	$=$	$\displaystyle \frac{2x}{2x-3}$	$\displaystyle \cdot\left(3+x\right)\left(2x-3\right)$
$\displaystyle \left(x-2\right)\cdot\left(2x-3\right)$	$=$	$\displaystyle 2x\cdot\left(3+x\right)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren.
$\displaystyle 2x^2-3x-4x+6$	$=$	$\displaystyle 6x+2x^2$
	↓	Löse nun die Gleichung nach $x$ auf!
$\displaystyle 2x^2-7x+6$	$=$	$\displaystyle 6x+2x^2$	$\displaystyle -2x^2+7x$
$\displaystyle 6$	$=$	$\displaystyle 13x$	$\displaystyle :13$
$\displaystyle \frac{6}{13}$	$=$	$\displaystyle x$

Überprüfe jetzt noch, ob $x=\dfrac{6}{13}$ in der Definitionsmenge enthalten ist. $x=\dfrac{6}{13} \in D$ also ist die Lösungsmenge $\mathbb L= \left\{ \dfrac{6}{13}\right\}$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

$\displaystyle 1+\frac2{2x-1}=\frac x{x+2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Über-Kreuz-Multiplizieren

Definitionsbereich bestimmen

Zunächst musst du die Definitionsmenge der Gleichung bestimmen.

$\displaystyle1+\frac2{2x-1}=\frac x{x+2}$

Keiner der beiden Nenner darf $0$ werden.

Aus der Definitionsmenge musst du deshalb alle Zahlen ausschließen, für die einer der Nenner $0$ ergeben würde.

Verboten ist hier:

$2x-1=0$
$x+2=0$

Löse die erste Gleichung.

$\displaystyle 2x-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$

Löse die zweite Gleichung.

$\displaystyle x+2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2$

Daher müssen die Zahlen $-2$ und $\dfrac{1}{2}$ aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden.

Die Definitionsmenge ist $D =\mathbb {Q}\backslash\left\{-2,\dfrac{1}{2}\right\}$ , wenn als Grundmenge die Menge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen verwendet wird.

Bruchgleichung lösen

Nun löst du die Bruchgleichung mit der Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens:

Zunächst musst du die linke Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Bruch bringen.

$\displaystyle 1+\frac{2}{2x-1}$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{x+2}$
	↓	Den Summanden $1$ mit $2x-1$ erweitern.
$\displaystyle \frac{2x-1}{2x-1}+\frac{2}{2x-1}$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{x+2}$
	↓	Brüche auf der linken Seite addieren.
$\displaystyle \frac{2x-1+2}{2x-1}$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{x+2}$
	↓	Auf der linken Seite den Zähler zusammenfassen.
$\displaystyle \frac{2x+1}{2x-1}$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{x+2}$	$\displaystyle \cdot\left(2x-1\right)\left(x+2\right)$
	↓	Nun wendest du die Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens an.
$\displaystyle (2x+1)\cdot(x+2)$	$=$	$\displaystyle x\cdot(2x-1)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$\displaystyle 2x^2+4x+x+2$	$=$	$\displaystyle 2x^2-x$
	↓	Linke Seite zusammenfassen.
$\displaystyle 2x^2+5x+2$	$=$	$\displaystyle 2x^2-x$	$\displaystyle -2x^2+x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 6x+2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle 6x$	$=$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{6}$
	↓	Kürzen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{3}$

Überprüfe jetzt noch, ob $x=-\dfrac{1}{3}$ in der Definitionsmenge enthalten ist. Wegen $x=-\dfrac{1}{3} \in D$ ist die Lösungsmenge $\mathbb L= \left\{ -\dfrac{1}{3}\right\}$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

5

Bestimme Definitions- und Lösungsmenge der folgenden Bruchgleichungen.

$\displaystyle\frac{30}x-\frac{16}{x+1}=\frac{13}{x-2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen

Definitionsbereich bestimmen

$\displaystyle \frac{30}{x}-\frac{16}{x+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{13}{x-2}$
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{0;-1;2\right\}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen
$\displaystyle \frac{30}{x}-\frac{16}{x+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{13}{x-2}$
	↓	Auf den Hauptnenner $x(x+1)(x-2)$ erweitern.
$\displaystyle \displaystyle\frac{30(x+1)(x-2)}{x(x+1)(x-2)}-\frac{16x(x-2)}{x(x+1)(x-2)}$	$=$	$\displaystyle \frac{13x(x+1)}{x(x+1)(x-2)}$
	↓	Mit dem Hauptnenner $x(x+1)(x-2)$ multiplizieren.
$\displaystyle 30\left(x+1\right)\left(x-2\right)-16x\left(x-2\right)$	$=$	$\displaystyle 13x\left(x+1\right)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$\displaystyle 30\left(x^2-2x+x-2\right)-16x^2+32x$	$=$	$\displaystyle 13x^2+13x$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$\displaystyle 30x^2-60x+30x-60-16x^2+32x$	$=$	$\displaystyle 13x^2+13x$
	↓	Terme zusammenfassen
$\displaystyle 14x^2+2x-60$	$=$	$\displaystyle 13x^2+13x$	$\displaystyle -13^2-13x$
$\displaystyle x^2-11x-60$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Die Diskriminante bestimmen
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 121+240=631$
	↓	$361>0 =>$ zwei Lösungen Die Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{-b+\sqrt D}{2a}$
	$=$	$\displaystyle \frac{11+\sqrt{361}}{2}=15$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$
	$=$	$\displaystyle \frac{11-\sqrt{361}}{2}=-4$
$\displaystyle ⇒\ L$	$=$	$\displaystyle \left\{-4;15\right\}$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

$\displaystyle\frac4x-\frac x4=\frac8x-\frac{3x}4$

$\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}=\frac{x^2}{x^2-1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen

Für die Lösung dieser Aufgabe kannst du entweder den nachfolgenden Text lesen oder dir ein Video dazu anschauen, wenn du nach unten scrollst.

Definitionsmenge bestimmen

Bestimme zuerst die Definitionsmenge.

$\displaystyle \frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{x^2}{x^2-1}$
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{-1;1\right\}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen, Auf den Hauptnenner $(x-1)(x+1)$ erweitern.
$\displaystyle \frac{(x+1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}-\frac{(x-1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}$	$=$	$\displaystyle \frac{x^2}{x^2-1}$	$\displaystyle \cdot\left(x-1\right)\left(x+1\right)$
	↓	Mit dem Hauptnenner multiplizieren.
$\displaystyle \left(x+1\right)^2-\left(x-1\right)^2$	$=$	$\displaystyle x^2$
	↓	Binomische Formeln anwenden.
$\displaystyle x^2+2x+1-x^2+2x-1$	$=$	$\displaystyle x^2$
	↓	Gleichung umformen.
$\displaystyle -x^2+4x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Diskriminante bestimmen
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 16$
	↓	$16>0 =>$ zwei Lösungen Mitternachtsformel anwenden
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{-4+4}{-2}=0$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{-4-4}{-2}=4$
$\displaystyle \;\;\Rightarrow\;\;L$	$=$	$\displaystyle \left\{0;4\right\}$

Alternativ kann die Gleichung $-x^2+4x=0 \;\Rightarrow\;x(-x+4)=0$ auch mit dem Satz vom Nullprodukt gelöst werden.

$x=0 \;\text{oder}\; x=4\;\Rightarrow\;L=\left\{0;4\right\}$

Videolösung

Im folgenden YouTube-Video von Robert Plötz wird dir die Lösung der Aufgabe nochmal Schritt für Schritt erklärt:

Mit einem Klick auf Bild oder Button oben stimmst du zu, dass externe Inhalte von YouTube geladen werden. Dabei können persönliche Daten zu diesem Service übertragen werden – entsprechend unserer Datenschutzerklärung.

[https://youtu.be/dUsXwi-PIR4]

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

$\frac x{x^2-4x}=2$

$\frac{x-2}{x^2-4}=\frac{x+2}{x^2+4x+4}$

6

Löse folgende Bruchgleichungen:

(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

$\dfrac2{x-3}=\dfrac3{x-1}$ mit der Definitionsmenge $D=\mathbb Q \backslash\{1{,}3\}$ .

$\dfrac2{5x+15}=\dfrac1{10}$

Mit der Definitionsmenge $D=\mathbb Q\backslash \{-3\}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen

Lösen der Bruchgleichung

Es handelt sich hier um eine Bruchgleichung, also wende dein Wissen zur Lösung von Bruchgleichungen an.

Ziel ist es die Gleichung Bruchtermfrei zu machen.Dazu benutzt du die Hauptnenner-Methode.

Hauptnenner finden

Suche zunächst nach dem Hauptnenner.

Dazu schaust du dir beide Terme der Gleichung an. Der Nenner von $\dfrac{1}{10}$ ist $10$ und der Nenner von $\dfrac2{5x+15}$ ist $5x+15$ .

Man bekommt die faktorisierten Bausteine:

$[10]\ \ \ \ \ \ \ \ \ =[2]\cdot[5]$
$[5x+15]=\ \ \ \ [5]\cdot[x+3]$

Der Baustein $5$ kommt zweimal vor, für die Bildung des Hauptnenners braucht man es nur einmal. Alle anderen Bausteine kommen nur einmal vor.

Es ergibt sich für den Hauptnenner:

$[2]\cdot[5]\cdot[x+3]=10(x+3)$

Brüche auf Hauptnenner erweitern

Zweiter Schritt der Hauptnenner-Methode ist es die Bruchterme so zu erweitern, dass der Hauptnenner im Nenner steht.

$\displaystyle \frac{2}{5x+15}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{5\left(x+3\right)}\cdot\frac{2}{3}$
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{10\left(x+3\right)}$

\displaystyle \frac{1}{10}\cdot\frac{x+3}{x+3}

=

\displaystyle \frac{x+3}{10\left(x+3\right)}

Gleichung bruchtermfrei machen

Nun kannst du mit dem Hauptnenner die Gleichung multiplizieren. So bekommst du eine bruchtermfreie Gleichung.

$\displaystyle \frac{2}{5x+15}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{10}$
	↓	Auf den Hauptnenner $10(x+3)$ erweitern.
$\displaystyle \frac{4}{10\left(x+3\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{x+3}{10\left(x+3\right)}$	$\displaystyle \cdot10\left(x+3\right)$
	↓	mit dem Hauptnenner multiplizieren
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle x+3$

Bruchtermfreie Gleichung lösen

Du hast die Bruchgleichung in eine äquivalente lineare Gleichung umgeformt. Diese kannst du nun mit deinem Vorwissen lösen.

$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle x+3$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

$1$ ist in der Definitionsmenge enthalten, also ist die Lösungsmenge $\mathbb L=\{1\}$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

$\dfrac{3x^2}{x-1}-3x=\dfrac1{x-1}+2$ mit der Definitionsmenge $D=\mathbb Q\backslash \{1\}$ .

$\dfrac5{2x+6}-\dfrac{1-0{,}25x^2}{x^2+3x}=\dfrac14$ mit der Definitionsmenge $D=\mathbb Q\backslash\{-3{,}0\}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen

Bruchgleichungen

Es handelt sich hier um eine Bruchgleichung, also wende dein Wissen zur Lösung von Bruchgleichungen an.

Bestimme zunächst den Hauptnenner. Schaue dir dafür explizit jeden Nenner einzeln an und faktorisiere falls möglich:

$2x+6=2(x+3)$
$x^2+3x=x(x+3)$
$4=2\cdot2$

Aus den Faktoren ergibt sich für den Hauptnenner: $4x(x+3)$ .

Es folgt:

$\displaystyle \frac{5}{2x+6}-\frac{1-0{,}25x^2}{x^2+3x}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}$
	↓	Im $1$ . Bruch den Faktor $2$ und im $2$ . Bruch $x$ ausklammern.
$\displaystyle \frac{5}{2\left(x+3\right)}-\frac{1-0{,}25x^2}{x\left(x+3\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}$
	↓	Auf den Hauptnenner $4x\left(x+3\right)$ erweitern.
$\displaystyle \frac{5}{2\left(x+3\right)}\cdot\frac{2x}{2x}-\frac{1-0{,}25x^2}{x\left(x+3\right)}\cdot\frac{4}{4}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\frac{x\left(x+3\right)}{x\left(x+3\right)}$
	↓	Vereinfache
$\displaystyle \frac{10x}{4x\left(x+3\right)}-\frac{4-x^2}{4x\left(x+3\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{x\left(x+3\right)}{4x\left(x+3\right)}$	$\displaystyle \cdot4x\left(x+3\right)$
	↓	Mit dem Hauptnenner multiplizieren.
$\displaystyle 10x-4+x^2$	$=$	$\displaystyle x^2+3x$	$\displaystyle -x^2\ -3x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 7x-4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle 7x$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle :7$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{7}$

$\dfrac47$ ist in der Definitionsmenge enthalten und somit eine Lösung der Gleichung. Also ist die Lösungsmenge $\mathbb L=\left\{\dfrac47\right\}.$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

$\displaystyle \dfrac{2x+4}8$	$=$	$\displaystyle \dfrac{8x-7}{20}$	$\displaystyle \cdot 20; \cdot 8$
$\displaystyle 40x+80$	$=$	$\displaystyle 64x-56$	$\displaystyle +56 -40x$
$\displaystyle 136$	$=$	$\displaystyle 24x$	$\displaystyle :24$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{17}{3}$

$\displaystyle \dfrac29\cdot\dfrac x{11}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{27}{22}$
	↓	Brüche auf der linken Seite multiplizieren
$\displaystyle \dfrac{2x}{99}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{27}{22}$	$\displaystyle \cdot 99; \cdot 22$
$\displaystyle 44x$	$=$	$\displaystyle 27\cdot 99$	$\displaystyle :44$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 60{,}75$

$\displaystyle \frac{4}{x}-\frac{x}{4}$	$=$	$\displaystyle \frac{8}{x}-\frac{3x}{4}$
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{0\right\}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen, Auf den Hauptnenner $4x$ erweitern
$\displaystyle \frac{4\cdot4}{4x}-\frac{x\cdot x}{4x}$	$=$	$\displaystyle \frac{8\cdot4}{4x}-\frac{3x^2}{4x}$	$\displaystyle \cdot4x$
$\displaystyle 16-x^2$	$=$	$\displaystyle 32-3x^2$	$\displaystyle -32\ +3x^2$
$\displaystyle 2x^2-16$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +16$
$\displaystyle 2x^2$	$=$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle \left\|\sqrt{\;\;}\right.$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \sqrt{8}\approx2{,}8$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -\sqrt{8}\approx-2{,}8$
$\displaystyle ⇒L$	$=$	$\displaystyle \left\{-\sqrt{8};\sqrt{8}\right\}$

$\displaystyle \frac{x-2}{x^2-4}$	$=$	$\displaystyle \frac{x+2}{x^2+4x+4}$
	↓	Wende die Binomischen Formeln an, um die Nenner jeweils zu vereinfachen.
$\displaystyle \frac{x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{x+2}{\left(x+2\right)^2}$
	↓	Betrachte nun die Nenner auf beiden Seiten und bestimme die sogenannten Definitionslücken. Der Nenner links
$\displaystyle \left(x-2\right)\cdot\left(x+2\right)\$	$=$	$\displaystyle 0\ ⇔\ x\ =\ 2\ oder\ x\ =-2$
	↓	Der Nenner rechts
$\displaystyle \left(x+2\right)^2$	$=$	$\displaystyle 0\ ⇔\ x\ =-2$
	↓	$\Rightarrow$ Die Defintionslücken sind also bei $+2$ und $-2$ .
$\displaystyle \Rightarrow D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{+2,-2\right\}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen
$\displaystyle \frac{x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{x+2}{\left(x+2\right)^2}$
	↓	Kürze auf beiden Seiten
$\displaystyle \frac{1}{x+2}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x+2}$	$\displaystyle \cdot\left(x+2\right)$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle \;\;\Rightarrow\;\;L=D$	$=$	$\displaystyle \;\;ℝ\backslash\left\{+2,-2\right\}$
	↓	d.h. die Gleichung ist für alle Zahlen der Definitionsmenge gültig.

$\displaystyle \frac{2}{x-3}$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{x-1}$
	↓	Erweitere beide Brüche auf den Hauptnenner $(x-3)(x-1)$
$\displaystyle \frac{2(x-1)}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{3\left(x-3\right)}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}$	$\displaystyle \cdot\left(x-3\right)\left(x-1\right)$
	↓	Multipliziere die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner
$\displaystyle 2\left(x-1\right)_{ }$	$=$	$\displaystyle 3\left(x-3\right)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 2x-2$	$=$	$\displaystyle 3x-9$	$\displaystyle -2x\ +9$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 7$

$\displaystyle \dfrac1x + 2$	$=$	$\displaystyle \dfrac9x$	$\displaystyle -\dfrac1x$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle \dfrac8x$	$\displaystyle \cdot x$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 4$

Als erstes multiplizierst du mit $x$ , um das aus dem Nenner zu bekommen:
	↓
$\displaystyle \frac{15}{x}\cdot\frac{12}{21}$	$=$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle \cdot x$
$\displaystyle \frac{15\cdot 12}{21}$	$=$	$\displaystyle 6x$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle \frac{15\cdot 12}{21\cdot6}$	$=$	$\displaystyle x$
	↓	vertausche die Seiten und kürze 12 und 6 mit 6 und dann 15 und 21 mit 3
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{10}{7}$

$\displaystyle \frac{x}{x^2-4x}$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Den Nenner gleich $0$ setzen
$\displaystyle x^2-4x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Den Faktor x ausklammern
$\displaystyle x\left(x-4\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \;\;\Rightarrow\;\;D$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{0;4\right\}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen; es handelt sich um eine Quadratische Gleichung.
$\displaystyle \frac{x}{x^2-4x}$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Klammere $x$ im Nenner wieder aus.
$\displaystyle \frac{x}{x\cdot\left(x-4\right)}$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Kürze mit $x$ .
$\displaystyle \frac{1}{x-4}$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle \cdot\left(x-4\right)$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(x-4\right)$
	↓	Ausmultiplizieren.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 2x-8$	$\displaystyle +8$
$\displaystyle 9$	$=$	$\displaystyle 2x$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle \frac{9}{2}$	$=$	$\displaystyle x$
$\displaystyle \;\;\Rightarrow\;L$	$=$	$\displaystyle \left\{\frac92\right\}$

$\displaystyle \frac{3x^2}{x-1}-3x$	$=$	$\displaystyle \frac{3x^2}{x-1}-\frac{3x\left(x-1\right)}{x-1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{3x^2}{x-1}-\frac{3x^2-3x}{x-1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{3x}{x-1}$

$\displaystyle \frac{1}{x-1}+2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x-1}+\frac{2\left(x-1\right)}{x-1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x-1}+\frac{2x-2}{x-1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2x-1}{x-1}$

$\displaystyle \frac{3x^2}{x-1}-3x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x-1}+2$
	↓	Auf den Hauptnenner $(x-1)$ erweitern und vereinfachen (siehe oben).
$\displaystyle \frac{3x}{x-1}$	$=$	$\displaystyle \frac{2x-1}{x-1}$
	↓	Mit dem Hauptnenner $(x-1)$ multiplizieren.
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle 2x-1$	$\displaystyle -2x$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1$

Bestimme die Definitionsmenge der Bruchgleichung

Gleichung bruchterm-frei machen

Löse die bruchterm-freie Gleichung

Angabe der Lösungsmenge

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Definitionsmenge bestimmen

Bruchgleichung lösen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Definitionsbereich bestimmen

Lösungsmenge bestimmen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Definitionsmenge bestimmen

Erste Gleichung lösen!

Zweite Gleichung lösen!

Bruchgleichung lösen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Definitionsbereich bestimmen

Löse die erste Gleichung!

Löse die zweite Gleichung!

Bruchgleichung lösen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Definitionsbereich bestimmen

Löse die erste Gleichung.

Löse die zweite Gleichung.

Bruchgleichung lösen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Definitionsbereich bestimmen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Definitionsmenge bestimmen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Definitionsmenge bestimmen

Videolösung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Definitionsbereich bestimmen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Definitionsbereich bestimmen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bruchgleichungen lösen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Lösen der Bruchgleichung

Hauptnenner finden

Brüche auf Hauptnenner erweitern

Gleichung bruchtermfrei machen

Bruchtermfreie Gleichung lösen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bruchgleichungen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bruchgleichungen

Hast du eine Frage oder Feedback?