Da Quadrate nie negativ sein können, hat keine Nullstellen. Und die Definitionslücke ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
Da der Zähler nie negativ wird, entscheidet nur der Nenner
über das Vorzeichen von .
Links von x=1 ist und rechts von x=1 ist .
Also und
Bestimmung der Asymptote
Da der Zählergrad, nämlich 2, größer als der Nennergrad, nämlich 1, ist, liegt eine schiefe Asymptote vor. Die asymtote wird durch Polynomdivision errechnet. Damit diese Polynomdivision "einfacher" klammere ich den Faktor aus.
Somit
Somit gilt für die Asymtote und man schreibt den Term für g(x) in der Form:
Um die Schnittpunkte mit der Asymtote zu berechnen, setzt man g(x)=a(x).
Somit gibt es keinen Schnittpunkt mit der Asymptote.
Extrema
Zur Ermittlung der Extrema berechnet man die 1. Ableitung und sucht deren Nullstellen.
Graphisch ergibt sich für die vorzeichengleiche Funktion für eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen und
Aus dem Graphen liest man ab: links von verläuft z oberhalb der x-Achse
und zwischen und verläuft z unterhalb der x- Achse
Wir bestimmen zunächst den Definitionsbereich: Der Funktionsterm ist ein Bruch. Bei einem Bruch darf der Nenner
nicht null werden.
Ein Produkt ist genau dann gleich null, wenn wenigstens einer der Faktoren gleich null wird. Setze daher den Nenner der Funktion gleich 0, um die Definitionslücke zu bestimmen.
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen sind die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse.