Aufgaben zur Flächenberechnung am Dreieck

Übe hier mit verschiedenen Aufgaben die Flächenberechnung von Dreiecken.

1
Berechne den Flächeninhalt folgender Dreiecke.
1. Gegeben ist die Höhe $h = 5 cm$ und die Grundlinie $g = 8 cm$ .
  cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks an.
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h .$
  In diesem Fall ist $g = 8 cm$ und $h = 5 cm$ , also ist der Flächeninhalt
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot 8 cm \cdot 5 cm = 20 {cm}^{2} .$
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2. Gegeben ist die Höhe $h = 7 cm$ und die Grundlinie $g = 14 cm$ .
  cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks an.
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h .$
  In diesem Fall ist $g = 14 cm$ und $h = 7 cm$ , also ist der Flächeninhalt
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot 14 cm \cdot 7 cm = 49 {cm}^{2} .$
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4. Gegeben ist die Höhe $h = 6 cm$ und die Grundlinie $g = 6,4 cm$ .
  cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks an.
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h .$
  In diesem Fall ist $g = 6,4 cm$ und $h = 6 cm$ , also ist der Flächeninhalt
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot 6,4 cm \cdot 6 cm = 19,2 {cm}^{2} .$
  
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5. Gegeben ist die Höhe $h = 4,5 cm$ und die Grundlinie $g = 10 cm$ .
  cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks an.
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h .$
  In diesem Fall ist $g = 10 cm$ und $h = 4,5 cm$ , also ist der Flächeninhalt
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot 10 cm \cdot 4,5 cm = 22,5 {cm}^{2} .$
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6. Gegeben ist die Höhe $h = 7 cm$ und die Grundlinie $g = 3,7 cm$ .
  cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks an.
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h .$
  In diesem Fall ist $g = 3,7 cm$ und $h = 7 cm$ , also ist der Flächeninhalt
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot 3,7 cm \cdot 7 cm = 12,95 {cm}^{2} .$
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2
Berechne das Gesuchte im gegebenen Dreieck.
1. Gegeben ist die Höhe $h = 5 cm$ und der Flächeninhalt $A_{Δ} = 25 {cm}^{2}$ . Berechne die Grundseite $g$ .
  cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  Benutze die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks.
  $A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  Hier willst du aber die Länge der Grundseite $g$ und nicht $A$ berechnen. Die Formel hilft dir trotzdem weiter. :)
  $A_{Δ}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  ↓
  Setze alles, was du weißt, in die Formel ein.
  $25 c m^{2}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot g \cdot 5 c m$
  ↓
  Teile beide Seiten durch $5 cm$ .
  $5 c m$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot g$
  ↓
  Multipliziere mit 2.
  $10 c m$ $=$ $g$
  Die Grundseite $g$ ist also $10 cm$ lang.
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2. Gegeben ist die Grundlinie $g = 10 cm$ und der Flächeninhalt $A_{Δ} = 8 {cm}^{2}$ . Berechne die Höhe $h$ .
  cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  Benutze die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks.
  $A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  Hier willst du aber die Höhe $h$ und nicht $A$ berechnen. Die Formel hilft dir trotzdem weiter. :)
  $A_{Δ}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  ↓
  Setze alles, was du weißt, in die Formel ein.
  $8 c m^{2}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot 10 c m \cdot h$
  ↓
  Teile beide Seiten durch $10 cm$ .
  $0,8 c m$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot h$
  ↓
  Multipliziere beide Seiten mit $2$ .
  $1,6 c m$ $=$ $h$
  Die gesuchte Höhe $h$ ist also $1,6 cm$ lang.
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3. Gegeben ist der Flächeninhalt $A_{Δ} = 64 {cm}^{2}$ und die Grundlinie $g = 8 cm$ . Berechne die Höhe $h$ .
  cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  Benutze die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks.
  $A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  Hier willst du aber die Länge der Grundlinie $g$ und nicht $A$ berechnen. Die Formel hilft dir trotzdem weiter. :)
  $A_{Δ}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  ↓
  Setze alles, was du weißt, in die Formel ein.
  $64 c m^{2}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot g \cdot 8 c m$
  ↓
  Teile beide Seiten durch $8 cm$ .
  $8 c m$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot g$
  ↓
  Multipliziere beide Seiten mit $2$ .
  $16 c m$ $=$ $g$
  Damit hat also die Grundlinie die gesuchte Länge $g = 16 cm$ .
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4. Gegeben ist der Flächeninhalt $A_{Δ} = 16 {cm}^{2}$ und die Höhe $h = 8 cm$ . Berechne die Grundseite $g$ .
  cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  Benutze die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks.
  $A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  Hier willst du aber die Länge der Grundlinie $g$ und nicht $A$ berechnen. Die Formel hilft dir trotzdem weiter. :)
  $A_{Δ}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  ↓
  Setze alles, was du weißt, in die Formel ein.
  
  $16 c m^{2}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot g \cdot 8 c m$
  ↓
  Teile beide Seiten durch $8 cm$ .
  $2 c m$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot g$
  ↓
  Multipliziere beide Seiten mit $2$ .
  $4 c m$ $=$ $g$
  Damit hat die Grundlinie die gesuchte Länge $g = 4 cm$ .
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5. Gegeben ist die Höhe $h = 5 m$ und die Grundseite $g = 2 dm$ . Berechne den Flächeninhalt $A_{Δ}$ .
  dm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks
  $A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  an. In diesem Fall ist $g = 2 dm$ und $h = 5 m$ . Diese Zahlen müssen erst in dieselbe Einheit umgerechnet werden.
  $h = 5 m = 50 dm$
  Dann wird daraus $g = 2 dm$ und $h = 50 dm$ , also ist der Flächeninhalt
  $A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot 2 dm \cdot 50 dm = 50 {dm}^{2} .$
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6. Gegeben ist die Höhe $h = 45 cm$ und die Grundseite $g = 5,25 cm$ . Berechne den Flächeninhalt $A_{Δ}$ .
  cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks
  $A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  an. In diesem Fall ist $g = 5,25 cm$ und $h = 45 cm$ , also ist der Flächeninhalt
  $A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot 5,25 cm \cdot 45 cm = 118,125 {cm}^{2} .$
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3
Berechne den Flächeninhalt folgender Dreiecke.
1. $a = 5 cm, b = 4 cm, γ = 53^{\circ}$
  cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin (γ)$
  $A = \frac{1}{2} \cdot 5 cm \cdot 4 cm \cdot \sin (53^{\circ})$
  $A = 10 {cm}^{2} \cdot \sin (53^{\circ})$
  $A \approx 7,99 {cm}^{2}$
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2. $a = 23 cm, b = 12 cm, γ = 36^{\circ}$
  cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin (γ)$
  $A = \frac{1}{2} \cdot 23 cm \cdot 12 cm \cdot \sin (36^{\circ})$
  $A = 138 {cm}^{2} \cdot \sin (36^{\circ})$
  $A = 81,11436482 {cm}^{2}$
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3. $a = 600 mm, b = 24 cm, γ = 40^{\circ}$
  cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  $600 mm = 60 cm$
  $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin (γ)$
  $A = \frac{1}{2} \cdot 60 cm \cdot 24 cm \cdot \sin (40^{\circ})$
  $A = 720 {cm}^{2} \cdot \sin (40^{\circ})$
  $A \approx 463 {cm}^{2}$
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4. $a = 15 c m, b = 31 c m, γ = \frac{1}{2} π$
  cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  Der Winkel $γ$ ist hier im Bogenmaß angegeben, rechne ihn zunächst ins Gradmaß um.
  $\frac{1}{2}$ π $= 30^{\circ}$
  $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin (γ)$
  $A = \frac{1}{2} \cdot 15 cm \cdot 31 cm \cdot \sin (30^{\circ})$
  $A = 232,5 {cm}^{2} \cdot \sin (30^{\circ})$
  $A = 116,25 {cm}^{2}$
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4
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $Δ A B C$ , wenn die Punkte $A$ , $B$ und $C$ folgendermaßen gegeben sind:
1. $A (0 | 1), B (5 | 1), C (4 | 4)$
  Flächeneinheiten
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecksfläche
  $A_{Δ A B C} = ?$
  Die Formel für die Fläche eines Dreiecks ist:
  $A_{Δ A B C} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  Dabei ist $g$ die Grundlinie und $h$ die Höhe des Dreiecks.
  Dreieck $Δ A B C$ im Koordinatensystem eingezeichnet:
  Bei dem Dreieck in dieser Aufgabe ist
  $c$ parallel zur $x$ -Achse ("waagrecht" im Koordinatensystem) und
  $h_{c}$ parallel zur $y$ -Achse ("senkrecht" im Koordinatensystem).
  Bei solchen "gerade" im Koordinatensystem liegenden Strecken kann man die Länge leicht aus den Koordinaten berechnen; daher wählst du die Seite $c$ als Grundlinie.
  $A_{Δ A B C} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_{c}$
  Um $c$ zu bestimmen, berechnest du die Differenz der $x$ -Koordinaten von $A$ und $B$ ,
  $c = 5 - 0 = 5$
  und um $h_{c}$ zu berechnen, subtrahierst du die $y$ -Koordinaten von $C$ und $A$ (oder $B$ ).
  $h_{c} = 4 - 1 = 3$
  Das brauchst du jetzt beides nur noch einzusetzen, und dann kannst du das Ergebnis ausrechnen.
  $A_{Δ A B C} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_{c} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 = \frac{15}{2} = 7,5$
  Antwort: Die Dreiecksfläche ist $7,5$ Flächeneinheiten groß.
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2. $A (2 | 0), B (5 | 1), C (2 | 4)$
  Flächeneinheiten
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecksfläche
  $A_{Δ A B C} = ?$
  Die Formel für die Fläche eines Dreiecks ist:
  $A_{Δ A B C} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  Dabei ist $g$ die Grundlinie und $h$ die Höhe des Dreiecks.
  Bei dem Dreieck in dieser Aufgabe ist
  $h_{b}$ parallel zur $x$ -Achse ("waagrecht" im Koordinatensystem) und
  $b$ parallel zur $y$ -Achse ("senkrecht" im Koordinatensystem).
  Bei solchen "gerade" im Koordinatensystem liegenden Strecken kann man die Länge leicht aus den Koordinaten berechnen; daher wählst du die Seite $b$ als Grundlinie.
  $A_{Δ A B C} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{b}$
  Um $b$ zu bestimmen, berechnest du die Differenz der $y$ -Koordinaten von $C$ und $A$ ,
  $b = 4 - 0 = 4$
  und um $h_{b}$ zu berechnen, subtrahierst du die $x$ -Koordinaten von $B$ und $A$ (oder $C$ ).
  $h_{b} = 5 - 2 = 3$
  Das brauchst du jetzt beides nur noch einzusetzen, und dann kannst du das Ergebnis ausrechnen.
  $A_{Δ A B C} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{b} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = \frac{12}{2} = 6$
  Antwort: Die Dreiecksfläche ist $6$ Flächeneinheiten groß.
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3. $A (0 | 1), B (6 | 1), C (7 | 4)$
  cm²
  
  Lösung
  Zur Hilfe kannst du ein Koordinatensystem zeichnen mit
  Länge der x-Achse: max. 8cm;
  Länge von y-Achse: 5cm
  Wähle die Grundseite des Dreiecks, bspw. die Seite $[A B]$ mit der Länge $A B = 6 cm$ .
  Skizze des Dreiecks
  Die Höhe, in dem Fall $h_{C}$ ist $3 cm$ lang.
  Mit der Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks folgt:
  $A = \frac{1}{2} g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9 {cm}^{2}$
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  Als Hilfe kannst du ein Koordinatensystem zeichnen: Länge der x-Achse: max. 8cm; Länge der y-Achse: 5cm
  Bestimme die Länge der Grundseite $[A B]$ .
  Bestimme die Länge der Höhe (von $C$ auf die Seite $[A B]$ ).
  Wende die Formel für den Flächeninhalt an: $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
4. $A (0 | 1), B (5 | 7), C (2 | 7)$
5
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $Δ P Q R$ , wenn die Punkte $P$ , $Q$ und $R$ folgendermaßen gegeben sind:
1. $P (- 2 | 0), Q (5 | 0), R (2 | 4)$
6
Berechne den Flächeninhalt des grünen Achtecks ABCDEFGH.
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren
Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, um diese Aufgabe zu lösen.
Die vermutlich üblichste Möglichkeit ist es, das Achteck in Figuren zu zerlegen, deren Flächeninhalt du leichter berechnen kannst.
Die Berechnung über eine Zerlegung in Drei- und Rechtecke ist hier näher ausgeführt.
Der Flächeninhalt $A_{A c h t e c k}$ ergibt sich dann aus der Summe der Flächeninhalte der Drei- und Rechtecke der Zerlegung, also:
$A_{A c h t e c k} = A_{Δ_{1}} + A_{Δ_{2}} + A_{Δ_{3}} + A_{Δ_{4}} + A_{□_{1}} + A_{□_{2}} + A_{□_{3}}$
Nun kannst du die Flächeninhalte der Dreiecke und Rechtecke berechnen.
Flächeninhalt der Dreiecke
Zur Bestimmung des Flächeninhalts der Dreiecke $A_{Δ_{1}}$ , $A_{Δ_{2}}$ , $A_{Δ_{3}}$ und $A_{Δ_{4}} $ benötigst du die Flächeninhaltsformel für Dreiecke.
$A_{Δ_{1}} = \frac{1}{2} \cdot 2 cm \cdot 1 cm = 1 {cm}^{2}$
$A_{Δ_{2}} = \frac{1}{2} \cdot 1 cm \cdot 1 cm = \frac{1}{2} {cm}^{2}$
$A_{Δ_{3}} = \frac{1}{2} \cdot 2 cm \cdot 2 cm = 2 {cm}^{2}$
$A_{Δ_{4}} = \frac{1}{2} \cdot 1 cm \cdot 2 cm = 1 {cm}^{2}$
Flächeninhalt der Rechtecke
Zur Bestimmung des Flächeninhalts der Rechtecke $A_{□_{1}}$ , $A_{□_{2}}$ und $A_{□_{3}}$ brauchst du die Flächeninhaltsformel für Rechtecke.
$A_{□_{1}} = 3 cm \cdot 1 cm = 3 {cm}^{2}$
$A_{□_{2}} = 6 cm \cdot 2 cm = 12 {cm}^{2}$
$A_{□_{3}} = 3 cm \cdot 2 cm = 6 {cm}^{2}$
Berechnung des Flächeninhalts des Achtecks
Nun kannst du die Flächeninhalte der Dreiecke und Rechtecke addieren, um $A_{A c h t e c k}$ zu bestimmen.
$A_{A c h t e c k} = A_{Δ_{1}} + A_{Δ_{2}} + A_{Δ_{3}} + A_{Δ_{4}} + A_{□_{1}} + A_{□_{2}} + A_{□_{3}} = 1 {cm}^{2} + \frac{1}{2} {cm}^{2} + 2 {cm}^{2} + 1 {cm}^{2} + 3 {cm}^{2} + 12 {cm}^{2} + 6 {cm}^{2} = 25,5 {cm}^{2}$
Der gesuchte Flächeninhalt ist also $A_{A c h t e c k} = 25,5 {cm}^{2}$
Versuche das Vieleck in Formen zu zerlegen, deren Flächeninhalt du leicht berechnen kannst.

Extremwertaufgaben der Flächenberechnung von Dreiecken

In den folgenden Aufgaben werden verschiedene Dreiecke beobachtet. Ziel der gesamten Aufgabe ist es, dasjenige Dreieck zu finden, das die maximale ( = größtmögliche ) Fläche hat.

Zeichne das gleichschenklige Dreieck $A B C$ mit $A (1 | 0), B (5 | 0)$ und Höhe $h = 3 LE$ in ein Koordinatensystem ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Konstruktion des gleichschenkligen Dreiecks $A B C$ mit $A (1 | 0)$ , $B (5 | 0)$ und der Höhe $h = 3 LE .$
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Nun sollen Dreiecke $A_{x} B_{x} C_{x}$ aus dem Dreieck $A B C$ entstehen, indem die Grundseite $A B$ von beiden Seiten um $0,2 x c m$ verkürzt werden und die Höhe $h$ um $\frac{1}{2} x$ verlängert wird.
Zeichne die Dreiecke $A_{x} B_{x} C_{x}$ für $x = 1$ , $x = 5$ und $x = 6$ in dasselbe Koordinatensystem wie das Dreieck $A B C$ ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenklige Dreiecke
Konstruktion der Dreiecke $A_{1} B_{1} C_{1}$ , $A_{5} B_{5} C_{5}$ und $A_{6} B_{6} C_{6}$ .
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Für welchen Wert von $x$ hat das Dreieck $A_{x} B_{x} C_{x}$ die maximale Fläche?

8
In Bild A sieht man sofort, dass der Flächeninhalt des gelben Dreiecks halb so groß ist wie der des umgebenden Rechtecks. Gilt dies auch für die Bilder B und C? Begründe deine Antwort mit Hilfe geeigneter Skizzen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalte
Das Dreieck B wird durch die Mitte in zwei geteilt. Das Dreieck AEF nimmt genau soviel Platz ein wie das Dreieck ADF, da es die Hälfte vom Dreieck AEF ist. Setzt man beide Dreiecke nun in eine Hälfte des Vierecks, ist das Viereck zur Hälfte gefüllt.
Wenn du das Rechteck an der richtigen Stelle unterteilst, siehst du sofort, dass jeweils ein gelbes und weißes Dreieck deckungsgleich (kongruent) ist.
Da die Grundseite $g$ und die Höhe $h$ immer gleich bleiben, bleibt auch der Flächeninhalt des Dreiecks immer gleich. Egal wo die Spitze des Dreiecks ist, der Flächeninhalt ist immer die Hälfte des Rechtecks.
Um die Aufgabe zu lösen, hilft es sehr, sich das Dreieck vorzustellen oder eine Skizze anzufertigen. Es ist dann möglich zu sehen wie die Dreiecke umgebaut werden können. Wenn es einem nicht direkt auffällt, kann man - falls Zahlen angegeben sind - den Flächeninhalt ausrechnen und somit eine klare Lösung erhalten.
9
Trage die Punkte $A (2 | - 1)$ und $B (6 | - 1)$ in ein Koordinatensystem (1 LE = 1 cm) ein.
a) Gib 3 Möglichkeiten für die Koordinaten des Punktes $C$ an, so dass das Dreieck $A B C$ einen Flächeninhalt von $4 {cm}^{2}$ hat.
b) Gib auch die Koordinaten eines Punktes $D$ an, so dass das Dreieck einen doppelt so großen Flächeninhalt wie das Dreieck $A B C$ hat.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Teilaufgabe a)
Trage zuerst die Punkte $A (2 | - 1)$ und $B (6 | - 1)$ in Koordinatensystem ein. Verbinde die beiden Punkte, um eine Seite des Dreiecks $A B C$ einzuzeichnen.
Danach sollst du einen Punkt $C$ finden, sodass das Dreieck $A B C$ einen Flächeninhalt von $4 {cm}^{2}$ hat.
Wenn du $[A B]$ als Grundseite wählst und $h$ die Höhe des Dreiecks ist, berechnest du den Flächeninhalt des Dreiecks $A_{Δ}$ über:
$A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot h$
Berechne $h$ , indem du die Werte für $A B$ und $A_{Δ}$ einsetzt und nach $h$ auflöst:
$A_{Δ}$ soll $4 {cm}^{2}$ sein.
Die Seitenlänge $A B$ kannst du aus dem Koordinatensystem ablesen.
$\Rightarrow A B = 4 cm$
$A_{Δ}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot A B \cdot h$
↓
Setze $A B = 2 cm$ und $A_{Δ} = 4 {cm}^{2}$ ein.
$4 {cm}^{2}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot 4 cm \cdot h$
$4 {cm}^{2}$ $=$ $2 cm \cdot h$ $: 2 cm$
$2 cm$ $=$ $h$
Das Dreieck benötigt also eine Höhe von $2 cm$ . Zeichne 3 verschiedene Varianten eines Dreiecks mit der Höhe ein.
Teilaufgabe b)
In Teilaufgabe b) sollst du einen Punkt D angeben, sodass das Dreieck ABD einen doppelt so großen Flächeninhalt wie das Dreieck ABC hat. Das Dreieck ABD soll also folgenden Flächeninhalt $A_{Δ}^{'}$ haben:
$A_{Δ}^{'} = 2 \cdot A_{Δ} = 2 \cdot 4 {cm}^{2} = 8 {cm}^{2}$
Nun nutzt du wieder die Flächeninhaltsformel für Dreiecke. Auch hier kannst du $A B$ als Grundseite wählen. Bestimme die Höhe $h^{'}$ so , dass das Dreieck $A B D$ einen Flächeninhalt von $8 {cm}^{2}$ hat.
$A_{Δ}^{'}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot A B \cdot h^{'}$
↓
Setze $A B = 4 cm$ und $A_{Δ}^{'} = 8 {cm}^{2}$ ein.
$8 {cm}^{2}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot 4 cm \cdot h^{'}$
$8 {cm}^{2}$ $=$ $2 cm \cdot h^{'}$ $: 2 cm$
$4 cm$ $=$ $h^{'}$
Das Dreieck $A B D$ mit der Grundseite $A B$ muss also eine Höhe $h^{'} = 4 cm$ besitzen. Zeichne einen Punkt $D$ ein, der diese Bedingung erfüllt.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$A_{x} (x)$	$=$	$0,5 \cdot g_{x} \cdot h_{x}$
	↓	Setze die Grundseite und die Höhe ein.
	$=$	$0,5 \cdot (4 - 0,4 x) \cdot (3 + 0,5 x)$
	↓	Löse die Klammern auf.
	$=$	$0,5 (12 + 2 x - 1,2 x - 0,2 x^{2})$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$0,5 (12 + 0,8 x - 0,2 x^{2})$
	↓	Multipliziere.
	$=$	$6 + 0,4 x - 0,1 x^{2}$

$A_{x} (x)$	$=$	$- 0,1 x^{2} + 0,4 x + 6$
	↓	Klammere $- 0,1$ aus.
	$=$	$- 0,1 (x^{2} - 4 x - 60)$
	↓	Ergänze die Funktion quadratisch.
	$=$	$- 0,1 (x^{2} - 4 x + 4 - 4 - 60)$
	↓	Benutze die 2. binomische Formel.
	$=$	$- 0,1 ((x - 2)^{2} - 4 - 60)$
	↓	Fasse in der Klammer zusammen.
	$=$	$- 0,1 ((x - 2)^{2} - 64)$
	↓	Löse die Klammer auf.
	$=$	$- 0,1 \cdot (x - 2)^{2} + 6,4$

$A_{Δ}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
	↓	Setze alles, was du weißt, in die Formel ein.
$25 c m^{2}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot g \cdot 5 c m$
	↓	Teile beide Seiten durch $5 cm$ .
$5 c m$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot g$
	↓	Multipliziere mit 2.
$10 c m$	$=$	$g$

$A_{Δ}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot A B \cdot h$
	↓	Setze $A B = 2 cm$ und $A_{Δ} = 4 {cm}^{2}$ ein.
$4 {cm}^{2}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 4 cm \cdot h$
$4 {cm}^{2}$	$=$	$2 cm \cdot h$	$: 2 cm$
$2 cm$	$=$	$h$

$A_{Δ}^{'}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot A B \cdot h^{'}$
	↓	Setze $A B = 4 cm$ und $A_{Δ}^{'} = 8 {cm}^{2}$ ein.
$8 {cm}^{2}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 4 cm \cdot h^{'}$
$8 {cm}^{2}$	$=$	$2 cm \cdot h^{'}$	$: 2 cm$
$4 cm$	$=$	$h^{'}$

Aufgaben zur Flächenberechnung am Dreieck

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Lösung

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Flächeninhalt der Dreiecke

Flächeninhalt der Rechtecke

Berechnung des Flächeninhalts des Achtecks

Extremwertaufgaben der Flächenberechnung von Dreiecken

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Teilaufgabe a)

Teilaufgabe b)