Aufgaben
Berechne den Flächeninhalt folgender Dreiecke.
Gegeben ist die Höhe h=5cmh=5\,\mathrm{cm} und die Grundlinie g=8cmg=8\,\mathrm{cm}.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks

Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks an.
A=12gh.\displaystyle A_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h.
In diesem Fall ist g=8cmg = 8\,\mathrm{cm} und h=5cmh = 5\,\mathrm{cm}, also ist der Flächeninhalt
A=128cm5cm=20cm2.\displaystyle A_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \text{cm} \cdot 5 \text{cm} = 20 \text{cm}^2.
Gegeben ist die Höhe h=7cmh=7\,\mathrm{cm} und die Grundlinie g=14cmg=14\,\mathrm{cm}.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks

Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks an.
A=12gh.\displaystyle A_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h.
In diesem Fall ist g=14cmg = 14\,\mathrm{cm} und h=7cmh = 7\,\mathrm{cm}, also ist der Flächeninhalt
A=1214cm7cm=49cm2.\displaystyle A_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot 14 \text{cm} \cdot 7 \text{cm} = 49 \text{cm}^2.
Gegeben ist die Höhe h=6cmh=6\,\mathrm{cm} und die Grundlinie g=6,4cmg=6{,}4\,\mathrm{cm}.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks

Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks an.
A=12gh.\displaystyle A_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h.
In diesem Fall ist g=6,4cmg = 6{,}4\,\mathrm{cm} und h=6cmh = 6\,\mathrm{cm}, also ist der Flächeninhalt
A=126,4cm6cm=19,2cm2.\displaystyle A_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot 6,4 \text{cm} \cdot 6 \text{cm} = 19,2 \text{cm}^2.
Gegeben ist die Höhe h=4,5cmh=4{,}5\,\mathrm{cm} und die Grundlinie g=10cmg=10\,\mathrm{cm}.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks

Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks an.
A=12gh.\displaystyle A_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h.
In diesem Fall ist g=10cmg = 10\,\mathrm{cm} und h=4,5cmh = 4{,}5\,\mathrm{cm}, also ist der Flächeninhalt
A=1210cm4,5cm=22,5cm2.\displaystyle A_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \text{cm} \cdot 4,5 \text{cm} = 22,5 \text{cm}^2.
Gegeben ist die Höhe h=7cmh=7\,\mathrm{cm} und die Grundlinie g=3,7cmg=3{,}7\,\mathrm{cm}.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks

Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks an.
A=12gh.\displaystyle A_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h.
In diesem Fall ist g=3,7cmg = 3{,}7\,\mathrm{cm} und h=7cmh = 7\,\mathrm{cm}, also ist der Flächeninhalt
A=123,7cm7cm=12,95cm2.\displaystyle A_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot 3,7 \text{cm} \cdot 7 \text{cm} = 12,95 \text{cm}^2.

Berechne das Gesuchte im gegebenen Dreieck.

Gegeben ist die Höhe %%h=5\,\mathrm{cm}%% und der Flächeninhalt %%A_{\Delta}=25\,\mathrm{cm}^2%%. Berechne die Grundseite %%g%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Benutze die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks. $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$

Hier willst du aber die Länge der Grundseite %%g%% und nicht %%A%% berechnen. Die Formel hilft dir trotzdem weiter. :)

%%A_\Delta = \dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h%%

Setze alles, was du weißt, in die Formel ein.

%%25\,\mathrm{cm}^2 = \dfrac{1}{2}\cdot g\cdot 5\,\mathrm{cm}%%

Teile beide Seiten durch %%5\,\mathrm{cm}%%.

%%5\,\mathrm{cm} = \dfrac{1}{2}\cdot g%%

Multipliziere mit 2.

%%10\,\mathrm{cm}=g%%

Die Grundseite %%g%% ist also %%10\,\mathrm{cm}%% lang.

Gegeben ist die Grundlinie %%g=10\,\mathrm{cm}%% und der Flächeninhalt %%A_{\Delta}=8\,\mathrm{cm}^2%%. Berechne die Höhe %%h%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Benutze die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks. $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$

Hier willst du aber die Höhe %%h%% und nicht %%A%% berechnen. Die Formel hilft dir trotzdem weiter. :)

%%A_\Delta = \dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h%%

Setze alles, was du weißt, in die Formel ein.

%%8\,\mathrm{cm}^2= \dfrac{1}{2}\cdot 10\,\mathrm{cm}\cdot h%%

Teile beide Seiten durch %%10\,\mathrm{cm}%%.

%%0{,}8\,\mathrm{cm}= \dfrac{1}{2}\cdot h%%

Multipliziere beide Seiten mit %%2%%.

%%1{,}6\,\mathrm{cm}=h%%

Die gesuchte Höhe %%h%% ist also %%1{,}6\,\mathrm{cm}%% lang.

Gegeben ist der Flächeninhalt %%A_{\Delta}=64\,\mathrm{cm}^2%% und die Grundlinie %%g=8\,\mathrm{cm}%%. Berechne die Höhe %%h%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Benutze die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks. $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$

Hier willst du aber die Länge der Grundlinie %%g%% und nicht %%A%% berechnen. Die Formel hilft dir trotzdem weiter. :)

$$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$

Setze alles, was du weißt, in die Formel ein.

$$64\,\mathrm{cm}^2 = \frac{1}{2}\cdot g\cdot 8\,\mathrm{cm}$$

Teile beide Seiten durch %%8\,\mathrm{cm}%%.

$$8\,\mathrm{cm} = \frac{1}{2}\cdot g$$

Multipliziere beide Seiten mit %%2%%.

$$16\,\mathrm{cm} = g$$

Damit hat also die Grundlinie die gesuchte Länge %%g = 16\,\mathrm{cm}%%.

Gegeben ist der Flächeninhalt %%A_{\Delta}=16\,\mathrm{cm}^2%% und die Höhe %%h=8\,\mathrm{cm}%%. Berechne die Grundseite %%g%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Benutze die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks. $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$

Hier willst du aber die Länge der Grundlinie %%g%% und nicht %%A%% berechnen. Die Formel hilft dir trotzdem weiter. :)

$$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$

Setze alles, was du weißt, in die Formel ein.

$$16\,\mathrm{cm}^2 = \frac{1}{2}\cdot g\cdot 8\,\mathrm{cm}$$

Teile beide Seiten durch %%8\,\mathrm{cm}%%.

%%2\,\mathrm{cm} = \dfrac{1}{2}\cdot g%%

Multipliziere beide Seiten mit %%2%%.

%%4\,\mathrm{cm} = g%%.

Damit hat die Grundlinie die gesuchte Länge %%g = 4\,\mathrm{cm}%%.

Gegeben ist die Höhe %%h=5\,\mathrm m%% und die Grundseite %%g=2\,\mathrm{dm}%%. Berechne den Flächeninhalt %%A_{\Delta}%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$ an. In diesem Fall ist %%g = 2\,\mathrm{dm}%% und %%h = 5\,\mathrm m%%. Diese Zahlen müssen erst in dieselbe Einheit umgerechnet werden.

$$h = 5\,\mathrm m = 50\,\mathrm{dm}$$

Dann wird daraus %%g = 2\,\mathrm{dm}%% und %%h = 50\,\mathrm{dm}%%, also ist der Flächeninhalt $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot 2\,\mathrm{dm}\cdot 50\,\mathrm{dm} = 50\,\mathrm{dm}^2.$$

Gegeben ist die Höhe %%h=45\,\mathrm{cm}%% und die Grundseite %%g=5{,}25\,\mathrm{cm}%%. Berechne den Flächeninhalt %%A_{\Delta}%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$ an. In diesem Fall ist %%g = 5{,}25\,\mathrm{cm}%% und %%h = 45\,\mathrm{cm}%%, also ist der Flächeninhalt $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot 5{,}25\,\mathrm{cm}\cdot 45\,\mathrm{cm} = 118{,}125\,\mathrm{cm}^2.$$

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ΔABC\Delta ABC, wenn die Punkte AA, BB und CC folgendermaßen gegeben sind:
A(01),B(51),C(44)A(0|1), B(5|1), C(4|4)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecksfläche

AΔABC=?A_{\Delta ABC}=?
AΔABC=12gh\displaystyle A_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h
Dabei ist gg die Grundlinie und hh die Höhe des Dreiecks.
Dreieck ΔABC\Delta ABC im Koordinatensystem eingezeichnet:
Graphik: Dreieck ins Koordinatensystem eingetragen
Bei dem Dreieck in dieser Aufgabe ist
  • cc parallel zur xx-Achse ("waagrecht" im Koordinatensystem) und
  • hch_{c} parallel zur yy-Achse ("senkrecht" im Koordinatensystem).
Bei solchen "gerade" im Koordinatensystem liegenden Strecken kann man die Länge leicht aus den Koordinaten berechnen; daher wählst du die Seite cc als Grundlinie.
AΔABC=12chcA_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot c \cdot h_c
Um cc zu bestimmen, berechnest du die Differenz der xx-Koordinaten von AA und BB,
c=50=5c=5-0=5
und um hch_c zu berechnen, subtrahierst du die yy-Koordinaten von CC und AA (oder BB).
hc=41=3h_c= 4-1=3
Das brauchst du jetzt beides nur noch einzusetzen, und dann kannst du das Ergebnis ausrechnen.
AΔABC=12chc=1253=152=7,5\displaystyle A_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot c \cdot h_c=\frac{1}{2}\cdot 5 \cdot 3=\frac{15}{2}=7,5
Antwort: Die Dreiecksfläche ist 7,57,5 Flächeneinheiten groß.
A(20),B(51),C(24)A(2|0), B(5|1), C(2|4)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecksfläche

AΔABC=?A_{\Delta ABC}=?
AΔABC=12gh\displaystyle A_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h
Dabei ist gg die Grundlinie und hh die Höhe des Dreiecks.
Bei dem Dreieck in dieser Aufgabe ist
  • hbh_{b} parallel zur xx-Achse ("waagrecht" im Koordinatensystem) und
  • bb parallel zur yy-Achse ("senkrecht" im Koordinatensystem).
Bei solchen "gerade" im Koordinatensystem liegenden Strecken kann man die Länge leicht aus den Koordinaten berechnen; daher wählst du die Seite bb als Grundlinie.
AΔABC=12bhbA_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot b \cdot h_b
Um bb zu bestimmen, berechnest du die Differenz der yy-Koordinaten von CC und AA,
b=40=4b=4-0=4
und um hbh_b zu berechnen, subtrahierst du die xx-Koordinaten von BB und AA (oder CC).
hb=52=3h_b=5-2=3
Das brauchst du jetzt beides nur noch einzusetzen, und dann kannst du das Ergebnis ausrechnen.
AΔABC=12bhb=1243=122=6\displaystyle A_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot b \cdot h_b=\frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 3=\frac{12}{2}=6
Antwort: Die Dreiecksfläche ist 66 Flächeneinheiten groß.
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ΔPQR\Delta PQR, wenn die Punkte PP, QQ und RR folgendermaßen gegeben sind:
Berechne den Flächeninhalt folgender Dreiecke.
a=5cm,b=4cm,γ=53a= 5\,\mathrm{cm},\, b= 4\,\mathrm{cm},\,\gamma=53^\circ

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks

A=12absin(γ)\displaystyle A\,=\frac12\cdot a\cdot b\cdot\sin(\gamma)
A=125cm4cmsin(53)\displaystyle A=\frac12\cdot 5\,\mathrm{cm}\cdot4\,\mathrm{cm}\cdot\sin(53^\circ)
A=10cm2sin(53)\displaystyle A=10\,\mathrm{cm}^2\cdot\sin(53^\circ)
A=7,9863551cm2\displaystyle A=7{,}9863551\,\mathrm{cm}^2
a=23cm,b=12cm,γ=36a=23\,\mathrm{cm},\, b=12\,\mathrm{cm},\, \gamma=36^\circ

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks

A=12absin(γ)\displaystyle A=\frac12\cdot a\cdot b\cdot\sin(\gamma)
A=1223cm12cmsin(36)\displaystyle A=\frac12\cdot23\,\mathrm{cm}\cdot12\,\mathrm{cm}\cdot\sin(36^\circ)
A=138cm2sin(36)\displaystyle A=138\,\mathrm{cm}^2\cdot\sin(36^\circ)
A=81,11436482cm2\displaystyle A=81{,}11436482\,\mathrm{cm}^2
a=600mm,b=24cm,γ=40a=600\,\mathrm{mm},\,b=24\,\mathrm{cm},\,\gamma=40^\circ

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks

600mm=60cm\displaystyle 600\,\mathrm{mm} = 60\,\mathrm{cm}
A=12absin(γ)\displaystyle A=\frac12\cdot a\cdot b\cdot\sin(\gamma)
A=1260cm24cmsin(40)\displaystyle A=\frac12\cdot60\,\mathrm{cm}\cdot24\,\mathrm{cm}\cdot \sin(40^\circ)
A=720cm2sin(40)\displaystyle A= 720\,\mathrm{cm}^2\cdot\sin(40^\circ)
A=462,807079cm2\displaystyle A=462{,}807079\,\mathrm{cm}^2
a=15cm,b=31cm,γ=12πa\,=15\,cm\,, b=\,31\,cm,\,\gamma =\frac12\,\pi

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks

Der Winkel γ\gamma ist hier im Bogenmaß angegeben, rechne ihn zunächst ins Gradmaß um.
12\displaystyle\frac12π=30{}=30^\circ
A=12absin(γ)\displaystyle A=\frac12\cdot a\cdot b\cdot \sin(\gamma)
A=1215cm31cmsin(30)\displaystyle A=\frac12\cdot 15\,\mathrm{cm}\cdot 31\,\mathrm{cm}\cdot \sin(30^\circ)
A=232,5cm2sin(30)\displaystyle A= 232{,}5\,\mathrm{cm}^2\cdot \sin(30^\circ)
A=116,25cm2\displaystyle A=116{,}25\,\mathrm{cm}^2
Berechne den Flächeninhalt des grünen Achtecks ABCDEFGH.
cm^2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren

Versuche das Vieleck in Formen zu zerlegen, deren Flächeninhalt du leicht berechnen kannst.
Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, um diese Aufgabe zu lösen.
Die vermutlich üblichste Möglichkeit ist es, das Achteck in Figuren zu zerlegen, deren Flächeninhalt du leichter berechnen kannst.
Zerlegungen des Achtecks
Die Berechnung über eine Zerlegung in Drei- und Rechtecke ist hier näher ausgeführt.
Zerlegung in Drei- und Vierecke
Der Flächeninhalt AAchteckA_{Achteck} ergibt sich dann aus der Summe der Flächeninhalte der Drei- und Rechtecke der Zerlegung, also:
AAchteck=AΔ1  +  AΔ2  +  AΔ3  +  AΔ4  +  A1  +  A2  +  A3\displaystyle A_{Achteck}=A_{\Delta_1}\;+\;A_{\Delta_2}\;+\;A_{\Delta_3}\;+\;A_{\Delta_4}\;+\;A_{\square_1}\;+\;A_{\square_2}\;+\;A_{\square_3}
Nun kannst du die Flächeninhalte der Dreiecke und Rechtecke berechnen.

Flächeninhalt der Dreiecke

Zur Bestimmung des Flächeninhalts der Dreiecke AΔ1A_{\Delta_1}, AΔ2A_{\Delta_2}​​, AΔ3A_{\Delta_3}​​ und AΔ4​​A_{\Delta_4}​​ benötigst du die Flächeninhaltsformel für Dreiecke.
AΔ1=122cm1cm=1cm2A_{\Delta_1}= \frac{1}{2} \cdot 2\,\mathrm{cm} \cdot1\,\mathrm{cm} =1\,\mathrm{cm}^2
AΔ2=121cm1cm=12cm2A_{\Delta_2}=\frac12\,\cdot1\,\mathrm{cm}\cdot1\,\mathrm{cm}=\frac{1}{2}\,\mathrm{cm}^2
AΔ3=122cm2cm=2cm2A_{\Delta_3}=\frac{1}{2} \cdot 2\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} = 2\,\mathrm{cm}^2
AΔ4=121cm2cm=1cm2A_{\Delta_4}=\frac{1}{2} \cdot 1\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} = 1\,\mathrm{cm}^2

Flächeninhalt der Rechtecke

Zur Bestimmung des Flächeninhalts der Rechtecke A1A_{\square_1}, A2A_{\square_2} und A3A_{\square_3} brauchst du die Flächeninhaltsformel für Rechtecke.
A1=3cm1cm=3cm2A_{\square_1}= 3\,\mathrm{cm} \cdot 1\,\mathrm{cm} =3\,\mathrm{cm}^2
A2=6cm2cm=12cm2A_{\square_2}= 6\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} =12\,\mathrm{cm}^2
A3=3cm2cm=6cm2A_{\square_3}= 3\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} =6\,\mathrm{cm}^2

Berechnung des Flächeninhalts des Achtecks

Nun kannst du die Flächeninhalte der Dreiecke und Rechtecke addieren, um AAchteckA_{Achteck} zu bestimmen.
AAchteck=AΔ1  +  AΔ2  +  AΔ3  +  AΔ4  +  A1  +  A2  +  A3=1cm2+12cm2+2cm2+1cm2+3cm2+12cm2+6cm2=25,5cm2\displaystyle A_{Achteck}=A_{\Delta_1}\;+\;A_{\Delta_2}\;+\;A_{\Delta_3}\;+\;A_{\Delta_4}\;+\;A_{\square_1}\;+\;A_{\square_2}\;+\;A_{\square_3} = 1\,\mathrm{cm}^2 + \frac{1}{2}\,\mathrm{cm}^2 + 2\,\mathrm{cm}^2 + 1\,\mathrm{cm}^2 + 3\,\mathrm{cm}^2 + 12\,\mathrm{cm}^2 + 6\,\mathrm{cm}^2 = 25{,}5\,\mathrm{cm}^2
Der gesuchte Flächeninhalt ist also AAchteck=25,5  cm2A_{Achteck}=25,5\; \mathrm{cm}^2
Anstatt das Achteck zu zerlegen, um dessen Flächeninhalt zu bestimmen, kannst du es auch zu einem Rechteck ergänzen. Von diesem können wir leicht den Flächeninhalt AA_\square ermitteln.
Nun muss man die überschüssige Fläche von der Fläche des Rechtecks abziehen, also in diesem Fall den Flächeninhalt der vier Dreiecke an den Ecken des Rechtecks, vom Flächeninhalt des Rechtecks subtrahieren.
Also berechnest du:
AAchteck=AAΔ1AΔ2AΔ3AΔ4\displaystyle A_{Achteck}=A_\square - A_{\Delta_1} - A_{\Delta_2} - A_{\Delta_3} - A_{\Delta_4}
Berechne zuerst den Flächeninhalt des Rechtecks:
A=6cm5cm=30cm2A_{\square}=6\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm}=30\,\mathrm{cm}^2

Nun kannst du noch den Flächeninhalt der Dreiecke bestimmen, also AΔ1A_{\Delta_1}, AΔ2A_{\Delta_2}, AΔ3A_{\Delta_3} und AΔ4A_{\Delta_4}.
AΔ1=122cm1cm=1cm2A_{\Delta_1}=\frac12\cdot2\,\mathrm{cm} \cdot 1\,\mathrm{cm} = 1\,\mathrm{cm}^2
AΔ2=121cm1cm=12cm2A_{\Delta_2}=\frac12\cdot1\,\mathrm{cm} \cdot 1\,\mathrm{cm} = \frac12\,\mathrm{cm}^2
AΔ3=122cm2cm=2cm2A_{\Delta_3}=\frac12\cdot2\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} = 2\,\mathrm{cm}^2
AΔ4=121cm2cm=1cm2A_{\Delta_4}=\frac12\cdot1\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} = 1\,\mathrm{cm}^2AHGL=121cm2cm=1cm2A_{HGL}=\frac12\cdot 1\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} =1\,\mathrm{cm}^2
Jetzt lässt sich der Flächeninhalt des Achtecks bestimmen.
AAchteck=AAΔ1AΔ2AΔ3AΔ4=30cm21cm212cm22cm21cm2=25,5cm2\displaystyle \begin{array}{lcl} A_{Achteck}& = & A_\square - A_{\Delta_1} - A_{\Delta_2} - A_{\Delta_3} - A_{\Delta_4} \\ & = & 30\,\mathrm{cm}^2-1\,\mathrm{cm}^2-\frac12\,\mathrm{cm}^2-2\,\mathrm{cm}^2 -1\,\mathrm{cm}^2 \\ & = & 25,5\,\mathrm{cm}^2 \end{array}
Du erhältst also auch durch dieses Verfahren das Ergebnis AAchteck=25,5cm2A_{Achteck}=25,5 \, \mathrm{cm}^2

Extremwertaufgaben der Flächenberechnung von Dreiecken

In den folgenden Aufgaben werden verschiedene Dreiecke beobachtet. Ziel der gesamten Aufgabe ist es, dasjenige Dreieck zu finden, das die maximale ( = größtmögliche ) Fläche hat.

Nun sollen Dreiecke %%A_x B_x C_x%% aus dem Dreieck %%ABC%% entstehen, indem die Grundseite %%[AB]%% von beiden Seiten um %%0,2x\ cm%% verkürzt werden und die Höhe %%h%% um %%\frac{1}{2}x%% verlängert wird.

Zeichne die Dreiecke %%A_x B_x C_x%% für %%x = 1%%, %%x = 5%% und %%x = 6%% in dasselbe Koordinatensystem wie das Dreieck %%ABC%% ein.

Beispiel zur Flächenberechung eines Dreiecks
In Bild A sieht man sofort, dass der Flächeninhalt des gelben Dreiecks halb so groß ist wie der des umgebenden Rechtecks. Gilt dies auch für die Bilder B und C? Begründe deine Antwort mit Hilfe geeigneter Skizzen.
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2000.xml
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1998_Z3hQIf8E1g.xml
Trage die Punkte A(21)A(2|-1) und B(61)B(6|-1) in ein Koordinatensystem (1 LE = 1 cm) ein.
a) Gib 3 Möglichkeiten für die Koordinaten des Punktes CC an, so dass das Dreieck ABCABC einen Flächeninhalt von 4cm24\text{cm}^2 hat.

b) Gib auch die Koordinaten eines Punktes DD an, so dass das Dreieck einen doppelt so großen Flächeninhalt wie das Dreieck ABCABC hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck

Teilaufgabe a)

Trage zuerst die Punkte A(21)A(2|-1) und B(61)B(6|-1) in Koordinatensystem ein. Verbinde die beiden Punkte, um eine Seite des Dreiecks ABCABC einzuzeichnen.
Danach sollst du einen Punkt CC finden, sodass das Dreieck ABCABC einen Flächeninhalt von 4cm24\text{cm}^2 hat.
Wenn du [AB][AB] als Grundseite wählst und hh die Höhe des Dreiecks ist, berechnest du den Flächeninhalt des Dreiecks AΔA_\Delta über:
AΔ=12ABh\displaystyle A_\Delta = \frac 12 \cdot\overline{AB}\cdot h
Berechne hh, indem du die Werte für AB\overline{AB} und AΔA_\Delta einsetzst und nach hh auflöst:
  • AΔA_\Delta soll 4cm24\text{cm}^2 sein.
  • Die Seitenlänge AB\overline{AB} kannst du aus dem Koordinatensystem ablesen.
AB=4cm\displaystyle \Rightarrow \overline{AB}=4\text{cm}
AΔA_{\Delta}==12ABh\frac{1}{2}\cdot\overline{AB}\cdot h
Setze AB=2cm\overline{AB}=2\text{cm} und AΔ=4cm2A_\Delta=4\text{cm}^2 ein.
4cm24\text{cm}^2==124cmh\frac{1}{2}\cdot4\text{cm}\cdot h
4cm24\text{cm}^2==2cmh2\text{cm}\cdot h|:2cm :2\text{cm}\
2cm 2\text{cm}\ ==hh
Das Dreieck benötigt also eine Höhe von 2cm2\text{cm}. Zeichne 3 verschiedene Varianten eines Dreiecks mit der Höhe ein.
Um zu überprüfen, ob deine Lösungen stimmen, sieh dir folgendes Bild an:
Deine Lösungen sind korrekt, wenn dein Punkt CC auf der orangen oder roten Gerade liegen. Jedes der Dreiecke ABCABC hat dann eine Höhe h=2cmh=2\text{cm}.

Teilaufgabe b)

In Teilaufgabe b) sollst du einen Punkt D angeben, sodass das Dreieck ABD einen doppelt so großen Flächeninhalt wie das Dreieck ABC hat. Das Dreieck ABD soll also folgenden Flächeninhalt AΔA'_\Delta haben:
AΔ=2AΔ=24cm2=8cm2\displaystyle A'_\Delta=2\cdot A_\Delta = 2\cdot 4\text{cm}^2 = 8\text{cm}^2
Nun nutzt du wieder die Flächeninhaltsformel für Dreiecke. Auch hier kannst du AB\overline{AB} als Grundseite wählen. Bestimme die Höhe hh' so , dass das Dreieck ABDABD einen Flächeninhalt von 8cm28\text{cm}^2 hat.
AΔA'_{\Delta}==12ABh\frac{1}{2}\cdot\overline{AB}\cdot h'
Setze AB=4cm\overline{AB}=4\text{cm} und AΔ=8cm2A'_\Delta= 8\text{cm}^2 ein.
8cm28\text{cm}^2==124cmh\frac{1}{2}\cdot4\text{cm}\cdot h'
8cm28\text{cm}^2==2cmh2\text{cm}\cdot h'|:2cm :2\text{cm}\
4cm4\text{cm}==hh'
Das Dreieck ABDABD mit der Grundseite AB\overline{AB} muss also eine Höhe h=4cmh'=4\text{cm} besitzen. Zeichne einen Punkt DD ein, der diese Bedingung erfüllt.
Auch hier kannst du viele verschiedene Punkte für D finden. Um genau zu sein, gibt es unendlich viele Lösungen. Deine Lösung ist richtig, wenn dein Punkt D auf der grünen oder türkisen Gerade liegt.
Kommentieren Kommentare