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Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion f:x(x38)(2+lnx) mit maximalem Definitionsbereich 𝔻.

    1. Geben Sie 𝔻 an. (1 BE)

    2. Bestimmen Sie die Nullstellen von f. (2 BE)

  2. 2

    Gegeben sind die in definierten Funktionen f, g und h mit f(x)=x2x+1, g(x)=x3x+1 und h(x)=x4+x2+1.

    1. Abbildung 1 zeigt den Graphen einer der drei Funktionen. Geben Sie an, um welche Funktion es sich handelt. Begründen Sie, dass der Graph die anderen beiden Funktionen nicht darstellt. (3 BE)

      Abb. 1
    2. Die erste Ableitungsfunktion von h ist h.Bestimmen Sie den Wert von 01h(x)dx. (2 BE)

  3. 3

    Löse die Aufgabe.

    1. Geben Sie einen positiven Wert für den Parameter a an, sodass die in definierte Funtion f:xsin(ax) eine Nullstelle in x=π6 hat. (1 BE)

    2. Ermitteln Sie den Wert des Parameters b, sodass die Funktion g:xx2b den maximalen Definitionsbereich ]2;2[ besitzt. (2 BE)

    3. Erläutern Sie, dass die in definierte Funktion h:x4ex den Wertebereich ];4[ besitzt. (2 BE)

  4. 4

    Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in definierten differenzierbaren Funktion g:xg(x). Mithilfe des Newton-Verfahrens soll ein Näherungswert für die Nullstelle a von g ermittelt werden. Begründen Sie, dass weder die x-Koordinate des Hochpunkts H noch die x-Koordinate des Tiefpunkts T als Startwert des Newton-Verfahrens gewählt werden kann. (2 BE)

    Bild
  5. 5

    Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=x36x2+11x6 und x.

    1. Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von f auf der Geraden mit der Gleichung y=x2 liegt. (3 BE)

    2. Der Graph von f wird verschoben. Der Punkt (2|0) des Graphen der Funktion f besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten (3|2). Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion h. Geben Sie eine Gleichung von h an. (2 BE)


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