Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Überlege dir, welche Funktionen einen eingeschränkten Definitionsbereich haben. Der $\ln (x)$ gehört dazu, er ist nur in ${ℝ}^{+}$ definiert. Sonst gibt es keine Einschränkungen, also ist $𝔻={ℝ}^{+}$.

Um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen, musst du die Funktion gleich Null setzen.

$(x^3-8)\cdot (2+\ln x)=0$

Ein Produkt ergibt Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist (Satz vom Nullprodukt).

Überlege dir, wann der erste Faktor $(x^3-8)$ Null ergibt:

$\begin{array}{ll}{x}^3-8& =0\\ x^3& =8& |\sqrt[3]{}\\ x& =2\end{array}$

Überlege dir, wann der zweite Faktor $(2+\ln x)$ Null ergibt. Achte dabei darauf, dass $e^{\ln x}=x$ ist.

$\begin{array}{ll}2+\ln x& =0\\ \ln x& =-2& |e^{()}\\ x& =e^{-2}\end{array}$

Die Nullstellen von $f$ sind also $x=2$ und $x=e^{-2}$.

Bei dieser Aufgabe sollst du ganzrationale Funktionen aufgrund charakteristischer Eigenschaften eines gegebenen Graphen unterscheiden.

Lösung

Der abgebildete Graph gehört zur Funktion $g$.

Begründung durch eine Nullstellenbetrachtung:

$g$ hat (mindestens) eine Nullstelle.

$f$ hat keine Nullstelle, da die Diskriminante des quadratischen Funktionsterms negativ ($-3$) ist. Auch $h$ hat keine Nullstelle (positive Summanden wegen geradzahliger Exponenten).

Alternative Begründung durch Betrachtung lokaler Extrema und des Symmetrieverhaltens:

$g$ hat in $ℝ$ (mindestens) zwei lokale Extrema. $f$ hat aber als quadratische Funktion in $ℝ$ genau ein lokales Extremum (den Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel).

$h$ ist wegen der geradzahligen Exponenten im Funktionsterm zur y-Achse symmetrisch ($h(x)=h(-x)$). $g$ dagegen nicht.

Bemerkung zu einer eventuellen Entscheidung für $g$ aufgrund des asymptotischen Verhaltens der Funktion für $x$ gegen $\pm \infty$:

Die in Frage kommenden Funktionen $f$, $g$ und $h$ sind in ganz $ℝ$ definiert. Der vorliegende Graph ist aber nur für ein begrenztes Intervall gezeichnet. Ob sich der Graph außerhalb dieses Intervalls nochmals qualitativ ändert, indem z.B. weitere Wendpunkte oder Extrema vorliegen, ist nicht bekannt.

Unter der Annahme, dass dies nicht der Fall ist - aber nur dann - kann man sich auch so für $g$ entscheiden:

Die Funktionswerte von $f$ und $h$ gehen für $x$ gegen $\pm \infty$ wegen des positiven und geradzahligen Leitkoeffizienten in den Funktionstermen gegen $+\infty$. Bei $g$ aber gehen sie gegen $-\infty$ bzw. gegen $+\infty$.

Um das Integral zu berechnen, brauchst du eine Stammfunktion von $h^{\prime }(x)$. Da $h^{\prime }(x)$ die Ableitungsfunktion von $h(x)$ ist, ist $h(x)$ eine Stammfunktion von $h^{\prime }(x)$.

Mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung kannst du nun das Integral berechnen:

$${\displaystyle {\int }_0^1{h}^{\prime }(x)dx=[h(x){]}_0^1=[x^4+x^2+1{]}_0^1=(1^4+1^2+1)-(0^4+0^2+1)=3-1=2}$$

Überlege dir zunächst, um was für eine Funktion es sich bei $f(x)=\sin (ax)$ handelt. Dies ist eine veränderte Sinusfunktion. Die Nullstellen der Sinusfunktionen $\sin (x)$ liegen bei $k\cdot \pi$ mit $k\in \mathbb{Z}$.

Denke nun darüber nach, wann die Gleichung $f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\sin (a\cdot \frac{\pi }{6})=0$ eine Lösung besitzt. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn $a\cdot \frac{\pi }{6}=\pi$ erfüllt ist, also für $a=6$.

Für $a=6$ hat die Funktion $f:x\mapsto \sin (ax)$ also eine Nullstelle in $x=\frac{\pi }{6}$.

Anmerkung: Die Lösung ist nicht eindeutig! Die Gleichung $f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\sin (a\cdot \frac{\pi }{6})=0$ ist natürlich lösbar für alle $a$, die die Gleichung $a\cdot \frac{\pi }{6}=k\cdot \pi$ erfüllen, also für alle Zahlen, die die Form $a=6\cdot k$ haben mit $k\in \mathbb{Z}$.

Zuerst musst du dir die Frage stellen, wann eine Wurzel definiert ist. Dies ist der Fall, wenn die Zahl unter der Wurzel (auch Radikand genannt) größer oder gleich Null ist. Die Wurzel $\sqrt{x^2-b}$ ist also definiert für alle $x$, die die Gleichung $x^2-b\ge 0$ erfüllen und nicht definiert für alle $x$, die der Gleichung $x^2-b<0$ genügen.

Schaue dir nun den gegebenen maximalen Definitionsbereich $𝔻=ℝ\backslash ]-\mathrm{2,2}[$ an. Dieser sagt aus, dass die Funktion $g:x\mapsto \sqrt{x^2-b}$ für alle reellen Zahlen außer denen des Intervalls $]-\mathrm{2,2}[$ definiert ist. Dies bedeutet, dass die Gleichung $x^2-b<0$ genau für $x\in ]-\mathrm{2,2}[$ stimmen soll. Umgeformt ergibt sich $x^2<b$. Die kleinste reelle Zahl $b$, die dies für alle $x\in ]-\mathrm{2,2}[$ erfüllt, ist $4$, da $2^2=4$.

Der Wert des Parameters $b$ muss also $4$ sein.

Die Funktion $h(x):x\mapsto 4-e^x$ ist eine veränderte e-Funktion. Überlege dir deswegen zuerst, welchen Wertebereich die natürliche $e$-Funktion hat. Dieser ist $𝕎={ℝ}^{+}$.

In der Funktion $h(x)$ steht ein Minuszeichen vor der e-Funktion. Dies bedeutet, dass der Graph der $e$-Funktion an der $x$-Achse gespiegelt ist. Der Wertebereich der Funktion $-e^x$ spiegelt sich somit auch an der $x$-Achse und ist $𝕎={ℝ}^{-}$.

Gegenüber der Funktion $-e^x$ ist die Funktion $h(x):x\mapsto 4-e^x$ noch um $4$ nach oben verschoben. Alle Werte, die die Funktion $h(x)$ annehmen kann, liegen also um $4$ höher als diejenigen der Funktion $-e^x$. Der Wertebereich der Funktion $h(x):x\mapsto 4-e^x$ ist also $]-\infty ;4[$.

Überlege dir zunächst, was ein Wendepunkt ist. An diesem Punkt ändert sich die Krümmungsrichtung des Graphen. Du berechnest ihn, indem du alle Punkte bestimmst, an denen die zweite Ableitung Null ergibt, und die dritte Ableitung ungleich Null ist.

Leite nun die Funktion $f(x)=x^3-6x^2+11x-6$ drei mal nach x ab. Dies ergibt:

Um nun alle Punkte zu erhalten, an denen die zweite Ableitung Null ergibt, musst du $f^{\prime \prime }(x)$ gleich Null setzen:

Nur für $x=2$ ist die zweite Ableitung, also Null. Des Weiteren ist die dritte Ableitung immer ungleich Null, weswegen bei $x=2$ ein Wendepunkt vorliegt.

Um zu überprüfen, ob dieser auf der Geraden mit der Gleichung $y=x-2$ liegt, musst du die y-Koordinate des Funktionsgraphen von $f(x)$ an der Stelle $x=2$ ausrechnen, und dann in die Geradengleichung einsetzen.Es ergibt sich:

$f(2)=2^3-6\cdot 2^2+11\cdot 2-6=8-24+22-6=0$

Die Koordinaten des Wendepunktes sind also $W(2|0)$. Dieser Punkt erfüllt die Geradengleichung $y=x-2$: $2$ als x-Koordinate und $0$ als y-Koordinate eingesetzt ergibt $0=2-2$. Dies ist eine wahre Aussage.

Deswegen liegt der Wendepunkt $W(2|0)$ der Funktion $f(x)=x^3-6x^2+11x-6$ auf der Geraden $y=x-2$.

Denke zuerst darüber nach, um wie viel der Graph der Funktion $f$ in x- und in y-Richtung verschoben wurde. Der Punkt $(2|0)$ besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten $(3|2)$. Der x-Wert hat also um 1 zugenommen und der y-Wert hat sich um 2 vergrößert.

Im Artikel Verschiebung von Funktionen, kannst du noch mal genau nachlesen, wie sich das Verschieben von Funktionen auf den Funktionsterm auswirkt.

Der Graph der Funktion $h(x)$ ist also um 1 nach rechts verschoben gegenüber der Funktion $f(x)$. Um den Funktionsterm von $h(x)$ zu bestimmen, müssen wir also $f(x-1)$ betrachten.

Da der Graph der Funktion $h(x)$ noch um 2 nach oben verschoben ist, ergibt sich insgesamt für den Funktionsterm von $h(x)$:

Die Gleichung von $h$ ist also: $h(x)=(x-1{)}^3-6\cdot (x-1{)}^2+11\cdot (x-1)-4$