Aufgaben zur Kurvendiskussion bei gebrochen-rationalen Funktionen
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Führe bei den folgenden Funktionen eine Kurvendiskussion durch.
(Definitionsbereich, Nullstellen, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs, Asymptoten, Extrempunkte)
Skizziere dann die Graphen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Hier musst du eine Kurvendiskussion einer gebrochen-rationalen Funktion durchführen.
Definitionsbereich bestimmen
Bestimme zunächst den Definitionsbereich.
Betrachte für den Definitionsbereich die Nullstellen des Nenners.
Die Nullstellen von sind also und . Daher ist der Defintionbereich von :
.
Nullstellen
Bestimme die Nullstellen der Funktion.
Betrachte für die Nullstellen von die Nullstellen des Zählers.
Es gibt nur eine Nullstelle bei .
Grenzwertbetrachtung
Betrachte den Grenzwert an den Rändern des Definitionsbereichs (Intervallgrenzen, Lücken, im Unendlichen).
Diese Grenzwerte geben dir eine waagerechte Asymptote bei und senkrechte Asymptoten bei und .
Extrempunkte
Bestimme jetzt die Extrempunkte. Leite dafür die Funktion mit der Quotientenregel ab und setze sie gleich null.
Setze die Ergebnisse in die Funktion ein, um die ganzen Koordinaten zu erhalten.
Skizze
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Hier musst du eine Kurvendiskussion einer gebrochen-rationalen Funktion durchführen.
Bestimmung des Definitionsbereichs D
Bestimme den Definitionsbereich. Der vorgelegte Funktionsterm ist ein Quotient. Daher kann der Nenner nicht Null werden. Da aber
Bestimmung der Nullstellen
Um die Nullstellen zu bestimmen, musst du überlegen, wann der Zähler des Quotienten Null ist.
den Wert Null annehmen. Also:
Quadratische Gleichungen kann man mit Hilfe der quadratischen Ergänzung lösen:
Da Quadrate nie negativ sein können, hat keine Nullstellen. Und die Definitionslücke ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
Da der Zähler nie negativ wird, entscheidet nur der Nenner
über das Vorzeichen von .
Links von x=1 ist und rechts von x=1 ist .
Also und
Bestimmung der Asymptote
Da der Zählergrad, nämlich 2, größer als der Nennergrad, nämlich 1, ist, liegt eine schiefe Asymptote vor. Die asymtote wird durch Polynomdivision errechnet. Damit diese Polynomdivision "einfacher" klammere ich den Faktor aus.
Somit
Somit gilt für die Asymtote und man schreibt den Term für g(x) in der Form:
Um die Schnittpunkte mit der Asymtote zu berechnen, setzt man g(x)=a(x).
Somit gibt es keinen Schnittpunkt mit der Asymptote.
Extrema
Zur Ermittlung der Extrema berechnet man die 1. Ableitung und sucht deren Nullstellen.
Graphisch ergibt sich für die vorzeichengleiche Funktion für eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen und
Aus dem Graphen liest man ab: links von verläuft z oberhalb der x-Achse
und zwischen und verläuft z unterhalb der x- Achse
und rechts von verläuft z oberhalb der x-Achse
Somit gilt:
wächst
fällt
wächst
Also hat man ein Maximum bei und ein Minimum
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Gegeben ist die Funktion:
Berechne die Nullstellen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen rationalen Funktionen
Definitionsbereich bestimmen
Wir bestimmen zunächst den Definitionsbereich: Der Funktionsterm ist ein Bruch. Bei einem Bruch darf der Nenner
nicht null werden.
Ein Produkt ist genau dann gleich null, wenn wenigstens einer der Faktoren gleich null wird. Setze daher den Nenner der Funktion gleich 0, um die Definitionslücke zu bestimmen.
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen sind die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse.
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Berechne die Extrema.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen rationalen Funktionen
Ableitungen bilden
1. Ableitung
Berechne die Ableitungen von Zähler () und Nenner (). Für wird die Kettenregel verwendet.
Quotientenregel anwenden:
↓ Mit kürzen .
↓ ↓ Zusammenfassen
2. Ableitung
Berechne die Ableitungen von Zähler () und Nenner (). Für wird die Kettenregel verwendet.
Quotientenregel anwenden:
↓ Mit kürzen .
Extrema bestimmen
Für die Extrema werden mithilfe der 1. Ableitung die x-Werte bestimmt:
Es wird nur der Zähler der ersten Ableitung gleich 0 gesetzt, da mit dem Nenner multipliziert werden kann und dieser dann wegfällt.
Art der Extrema bestimmen
↓ Gefundenes einsetzen.
Da Tiefpunkt
↓ Gefundenes einsetzen.
Da Hochpunkt
y-Wert bestimmen
↓ Gefundenes einsetzen.
Die y-Koordinate des zweiten Extremums ist bereits bekannt, da dieses zusätzlich auch eine Nullstelle ist.
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