Teil B, Gruppe 1

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Aufgaben
Löse folgende Gleichung.
x2−4⋅(7−x)=15⋅(75−3x)+8\frac x2-4\cdot(7-x)=\frac15\cdot(75-3x)+8

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichungen

Videolösung

Textlösung

Bei dieser Aufgabe musst du eine lineare Gleichung lösen. Dafür musst du hier Klammern ausmultiplieren und Brüche multiplizieren und addieren können.
x2−4⋅(7−x)=15⋅(75−3x)+8\frac x2-4\cdot(7-x)=\frac15\cdot(75-3x)+8
Multipliziere zuerst die Klammern aus.
x2−28+4x=755−35x+8\frac x2-28+4x=\frac{75}5-\frac35 x+8
Für die weitere Rechnung ist eine Umwandlung in Dezimalzahlen günstig, kürze den Bruch.
0,5x−28+4x=15−0,6x+80,5x-28+4x=15-0,6 x+8
Addiere auf der linken Seite die xx-Ausdrücke. Addiere auf der rechten Seite die Zahlen (ohne xx).
−28+4,5x=23−0,6x∣+0,6x+28-28+4,5x=23-0,6 x\qquad |+0,6x+28
Addiere auf beiden Seiten 0,6x0,6x und 2828, um Zahlen und Ausdrücke mit xx auf beiden Seiten zu trennen.
5,1x=51∣:5,15,1x=51\qquad|:5,1
Teile durch den Faktor 5,15,1.
x=51:5,1=510:51=10x=51:5,1=510:51=10

Das Ergebnis ist x=10x=10.
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Ein Kegel hat die Körperhöhe hKh_K = 24cm.Die Grundfläche hat den Radius r = 10 cm. (4 Punkte)

Kegel

a) Berechne das Volumen des Kegels.
b) Ermittle rechnerisch die Länge der Mantellinie s des Kegels.
c) Ein anderer Kegel hat eine Grundfläche mit einem Flächeninhalt vonG = 706,52706,5^2 cm .
Berechne den Umfang der Grundfläche des zweiten Kegels.

Lösung zur Teilaufgabe a)

Für diese Teilaufgabe brauchst du die Volumenformel für einen Kegel.
Diese Formel ist V=13⋅G⋅h=13⋅π⋅r2⋅hV=\frac13\cdot G\cdot h=\frac13 \cdot \pi \cdot r^2\cdot h.
Setze die Werte aus der Aufgabenstellung r=10 cmr=10\, cm und h=24 cmh=24\, cm in die Formel ein.
V=13⋅π⋅(10 cm)2⋅24 cm≈2513 cm3V=\frac13 \cdot\pi\cdot (10\,\text{cm})^2 \cdot 24\,\text{cm}\approx 2513\,\text{cm}^3
Das Volumen beträgt 2513 cm32513\, \text{cm}^3.

Lösung zur Teilaufgabe b)

Hier benötigst du den Satz des Pythagoras.
In dem rechtwinkligen Dreieck sind hKh_K und rr die Katheten und ss die Hypothenuse. Mit diesen Informationen kannst du den Satz des Pythagoras aufstellen.
s2=hk2+r2s^2=h_k^2+r^2
Setze die Werte ein.
s2=(24 cm)2+(10 cm)2=676 cm2s^2=(24 \,\text{cm})^2+(10 \,\text{cm})^2=676 \,\text{cm}^2
Ziehe die Wurzel.
s=26 cms=26\,\text{cm}
Die Mantellinie ist 26 cm26\,\text{cm} lang.

Lösung der Teilaufgabe c)

Für diese Teilaufgabe solltest du Berechnungen am Kreis beherrschen.
Eine Grundfläche von einem Kegel ist ein Kreis.
Die Formel für den Umfang eines Kreises ist U=2π⋅rU=2\pi \cdot r, du musst also den Radius ausrechnen.
Von einem Kreis ist die Flächeninhaltsformel G=r2⋅πG=r^2\cdot \pi, berechne mit Hilfe dieser Formel den Radius.
G=r2⋅πG=r^2\cdot \pi
Stelle nach rr um, indem du durch π\pi teilst.
r2=G:πr^2=G:\pi
Setze den Wert für GG ein.
r2=706,5 cm2:π≈224,886 cm2r^2=706,5 \,\text{cm}^2:\pi\approx 224,886\,\text{cm}^2
Ziehe die Wurzel.
r≈14,996 cmr\approx14,996\,\text{cm}

Setze diesen Wert in die Formel für den Umfang ein.
U=2π⋅r=2π⋅14,996 cm=94,22 cmU=2\pi \cdot r=2\pi \cdot 14,996\,\text{cm}=94,22\,\text{cm}
Der Umfang von dem zweiten Kegel ist 94,22 cm94,22\,\text{cm}.
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Zeichne in ein Koordinatensystem (Einheit: 1cm): (4 Punkte)
a) Zeichne die Punkte A (1| 2) undC (6 | 7) ein und verbinde sie zur Strecke [AC].
(Hinweis zum Platzbedarf: x-Achse von -1 bis 9, y-Achse von -1 bis 9)
b) Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck AFC mit der Basis [AC]. Der Punkt Fsoll auf der x-Achse des Koordinatensystems liegen.
c) Die Strecke [AC] ist eine Diagonale des Quadrats ABCD.Zeichne dieses Quadrat und beschrifte es.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Koordinatensystem

Lösung zur Teilaufgabe a)

Für diese Teilaufgabe musst du ein Koordinatensystem zeichnen und anschließend Punkte einzeichnen.
Zeichne die Punkte A(1∣2)A (1| 2) und C(6∣7)C (6 | 7) ein.
Wichtig: Markierung der Punkte
In der Schule werden die Punkte oft mit einem Kreuz (x) markiert! Dies wird sogar von manchen LehrerInnen oder Schulen verlangt!
Für die folgenden Skizzen wurde Geogebra eingesetzt und dort standardmäßig, verwendete "kleine Kreise" für Punkte benutzt.
Achtet also bitte darauf, was von euch verlangt wird. Ggf. werden die folgenden Skizzen auch nochmal überarbeitet und die Punkte als Kreuze (x) gesetzt.
Koordinatensystem mit Punkten
Verbinde die Punkte zu einer Strecke.
Koordinatensystem mit Strecke

Lösung zur Teilaufgabe b)

Hier musst du wissen, was ein gleichschenkliges Dreieck ist. Für die Lösung braucht man die Mittelsenkrechte.
Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleich lange Seiten. Die bereits eingezeichnete Seite ist die Basis, das heißt die anderen beiden Seiten müssen gleich lang sein. Punkte, die gleich weit von AA und CC entfernt sind, liegen auf der Mittelsenkrechte.
Zeichne also die Mittelsenkrechte ein.
Koordinatensystem mit Mittelsenkrechte
In der Aufgabenstellung heißt es, dass FF auf der xx-Achse liegen soll. Das heißt, FF ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechte mit der xx-Achse. Zeichne FF ein.
Koordinatensystem mit Mittelsenkrechte
Verbinde je AA und FF und CC und FF zu Strecken. Nun hast das Dreieck ACF erhalten.
Koordinatensystem mit Dreieck

Lösung der Teilaufgabe c)

Hier musst du wissen, was ein Quadrat ist.
Die zwei weiteren Eckpunkte des Quadrats liegen auf der Mittelsenkrechte, weil sie gleich weit von AA und CC liegen müssen.
Sie müssen von dem Schnittpunkt der Diagonale und der Mittelsenkrechten gleich weit entfernt sein wie die Punkte AA und CC, also zweieinhalb schräge Kästchen.
Koordinatensystem mit Quadrat
Geometrische Figuren werden alphabetisch gegen den Uhrzeigersinn benannt. Das heißt, der Punkt rechts unten ist BB und der Punkt links oben ist DD.
Koordinatensystem mit Quadrat
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(4 Punkte) Die insgesamt 51 Schülerinnen und Schüler der 9. Klassen einer Mittelschule wurden zu ihren Plänen nach dem Abschluss befragt.
Statistik
a) Gib die Anzahl der Schülerinnen und Schüler der Klasse 9 a an, die einen mittlerenSchulabschluss erwerben wollen.
b) Berechne, um wie viel Prozent die Anzahl der Jugendlichen, die eine Ausbildungbeginnen wollen, in Klasse 9 a größer ist als in Klasse 9 b.
c) Stelle die Angaben der Klasse 9 b in einem Kreisdiagramm (Radius r = 6 cm)dar.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Przent- und Zinsrechnung

Teilaufgabe a)

Es wurden insgesamt 5151 Schüler befragt. Ziehe alle eingetragenen Schülerzahlen davon ab, um die fehlende Lücke ausrechnen.
51−18−4−16−2−6=551-18-4-16-2-6=5
Es wollen 55 Schüler der Klasse 9 a einen mittleren Schulabschluss erwerben.

Teilaufgabe b)

Berechne zuerst, wie viele Schüler in der 9 a mehr eine Ausbildung beginnen wollen als in der 9 b.
18−16=218-16=2
In der Aufgabe ist der Bezugspunkt die Anzahl der Schüler der 9 b, die eine Ausbildung beginnen möchten. 1616 Schüler entspricht also 100%100\% . Teile deswegen 100100 durch 1616, um zu ermitteln, wie viele Prozent einem Schüler entsprechen.
100:16=6,25100:16=6,25
In der 9 a gibt es 22 Schüler mehr, also multipliziere die gerade berechnete Prozentzahl mit 22.
6,25⋅2=12,56,25\cdot 2=12,5
Es sind 12,5%12,5\% mehr Schüler in der 9 a als in der 9 b, die eine Ausbildung beginnen wollen.

Teilaufgabe c)

Für diese Teilaufgabe solltest du ein Kreisdiagramm zeichnen können, außerdem brauchst du wieder die Prozentrechnung mittels Dreisatz.
Berechne die Winkel für die jeweilige Antwort. Berechne, wie groß der Winkel für einen Schüler ist, indem du den Vollwinkel 360°360° durch die Gesamtzahl der Schüler 16+2+6=2416+2+6=24 teilst.
360°:24=15°360°:24=15°
Ein Schüler entspricht also einem Winkel von 15°15°. Multipliziere die Schülerangaben aus der Aufgabe mit 15°15°.
Ausbildung ⇒\Rightarrow 15°⋅16=240°15° \cdot 16 = 240°
Mittlerer Schulabschluss ⇒\Rightarrow 15°⋅2=30°15° \cdot 2 = 30°
Sonstiges ⇒\Rightarrow 15°⋅6=90°15° \cdot 6 = 90°
Zeichne einen Kreis mit dem Radius 6 cm. Trage die oben berechneten Winkel ein.
Kreisdiagramm
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