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Aufgaben
Die Händler A, B, C und D beliefern eine Nudelfabrik mit insgesamt 48 700 Eiern.
Händler B liefert 4600 Eier mehr als Händler A. Händler C liefert doppelt so vieleEier wie Händler B. Händler D bringt 4100 Eier.
Wie viele Eier liefert jeder Händler an?
Löse mithilfe einer Gleichung. (4 Punkte)

Berechnung der Anzahl der Eier mithilfe einer Gleichung

Hier musst du wissen, wie du lineare Gleichungssysteme löst. In diesem Fall bietet sich das Einsetzungsverfahren an.
Gegeben sind 44 Händler AA, BB, CC, DD, die eine Nudelfabrik mit 48  70048 \; 700 Eiern beliefern.
Du sollst nun mit einer Gleichung herausfinden, wie viele Eier jeder einzelne Händler anliefert.
Dazu nutzt du die gegebenen Informationen, wandelst diese in Gleichungen um und bastelst daraus wiederum eine Gleichung, die du lösen kannst.

Erste Information: "Händler AA, BB, CC und DD beliefern die Nudelfabrik mit 48  70048 \;700."

Zunächst einmal erhälst du aus der Information, dass die Händler AA, BB, CC und DD die Nudelfabrik mit 48  70048 \;700 beliefern, die Gleichung:
(I)    A+B+C+D=48  700\mathrm{(I)} \;\;A + B + C + D = 48 \; 700
A, B, C und D stehen jeweils für die Anzahl der gelieferten Eier der entsprechenden Händler.

Zweite Information: "Händler BB liefert 46004600 Eier mehr als Händler AA."

Als Nächstes schauen wir uns die folgende Information an: "Händler BB liefert 46004600 Eier mehr als Händler AA." und wandeln diese in eine Gleichung um. Die Gleichung lautet:
(II)    B=A+4600\mathrm{(II)}\;\;\color{#009999}{B = A + 4600}


Dritte Information: "Händler CC liefert doppelt so viele Eier wie Händler BB."

Und nun schaue dir die Information "Händler CC liefert doppelt so viele Eier wie Händler BB." an und wandle auch diese in eine Gleichung um. Es ergibt sich die Gleichung:
(III)    C=2B\mathrm{(III)}\;\;\color{#660099}{C = 2 \cdot B}


Vierte Information: "Händler DD bringt 41004100 Eier."

Die letzte Information "Händler DD bringt 41004100 Eier." lässt sich sehr schnell in eine Gleichung umwandeln ;) Die Gleichung lautet nämlich:
(IV)    D=4100\mathrm{(IV)}\;\;\color{#006400}{D= 4100}


Eine Gleichung

Wenn du dir die aufgestellten Gleichungen anschaust, siehst du, dass der Wert von D\color{#006400}{D} bereits bekannt ist, B\color{#009999}{B} in Form von AA dargestellt ist und C\color{#660099}{C} in Form von B\color{#009999}{B}.
Damit du nun eine einzige Gleichung daraus basteln kannst, solltest du auch am Besten C\color{#660099}{C} in Form von AA darstellen. Dazu musst du nur B\color{#009999}{B} in der Gleichung für C\color{#660099}{C} ersetzen.
(II)\mathrm{(II)} in (III)\mathrm{(III)} eingesetzt, ergibt:
(III)    \mathrm{(III')}\;\; C=2B=2(A+4600)=2A+9200\color{#660099}{C} = 2 \cdot \color{#009999}{B} = 2 \cdot \color{#009999}{(A + 4600)} = \color{#660099}{2 \cdot A + 9200}

Setze nun (II)\mathrm{(II)}, (III)\mathrm{(III')} und (IV)\mathrm{(IV)} in die erste Gleichung (I)\mathrm{(I)} ein und du erhältst eine Gleichung:
A+(A+4600)+(2A+9200)+4100=48  700A + \color{#009999}{(A + 4600)} + \color{#660099}{(2 \cdot A + 9200)} + \color{#006400}{4100} = 48 \; 700
Fasse soweit wie möglich zusammen. Fasse zunächst die AsA's zusammen.
4A+4600+9200+4100=48  7004 \cdot A + 4600 + 9200 + 4100 =48 \; 700
Rechne 4600+9200+41004600 + 9200 + 4100.
4A+17900=48  70017  9004 \cdot A + 17 \,900 =48 \;700 \quad \quad | - 17 \;900
Subtrahiere auf beiden Seiten 17900.
4A=30  800:44 \cdot A =30 \;800 \quad \quad | : 4
Rechne mit Hilfe der Schriftlichen Division oder einem erlaubten Taschenrechner 30800:430800:4 aus.
A=7700\Rightarrow A = 7700
Benutze Gleichung (II)\mathrm{(II)} um B\color{#009999}{B} zu bestimmen.
B=A+4600=7700+4600=12  300\Rightarrow \color{#009999}{B = A + 4600} = 7700 + 4600 = 12\;300
Benutze Gleichung (III)\mathrm{(III)} um C\color{#660099}{C} zu bestimmen.
C=2B=212  300=24  600\Rightarrow \color{#660099}{C = 2 \cdot B} = 2 \cdot 12 \; 300 = 24\;600

Ergebnis:
Händler AA liefert 77007700 Eier, Händler BB 12  30012\;300 Eier, Händler CC 24  60024\;600 Eier an und Händler DD liefert, wie schon in der Angabe verraten, 41004100 Eier an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrat

Bestimmung des Flächeninhalts und Umfangs eines Quadrates.

Thema dieser Aufgabe ist der Flächeninhalt und Umfang eines Quadrats. In dieser Aufgabe werden aber auch der Flächeninhalt eines Dreiecks und der Satz des Pythagoras gebraucht.
Bild zur Aufgabe
Gegeben:
  • Flächeninhalt des hellgrauen Dreiecks: ADreieck=144  [cm2]A_{Dreieck}=144\; [cm^2]
  • Aus der Skizze: Höhe des hellgrauen Dreiecks h=12  [cm]h= 12 \;[cm]
  • Aus der Skizze: Seitenlänge eines der Seiten des weißen Dreiecks b=40  [cm]b = 40 \; [cm]
Gesucht: Flächeninhalt und Umfang des dunkelgrauen Quadrats

Vorüberlegung

Um den Flächeninhalt und den Umfang des Quadrats zu berechnen, musst du zunächst die Seitenlänge aa des Quadrats bestimmen.
Um aa wiederum zu bestimmen, kannst du das weiße Dreieck benutzen. In diesem rechtwinkligen Dreieck ist die Seitenlänge bb gegeben, aber gg wiederum nicht.
gg kann jedoch bestimmt werden, wenn du das hellgraue Dreieck genauer betrachtest (siehe obige Skizze).

Die Grundseite g des hellgrauen Dreiecks bestimmen

Berechne gg, indem du den Flächeninhalt des hellgrauen Dreiecks ADreieckA_{Dreieck} und dessen Höhe hh verwendest (siehe obige Skizze).
Die Formel für den Flächeninhalt lautet:
ADreieck=12ghA_{Dreieck}= \frac 1 2 \cdot g \cdot h
Multipliziere mit 2.
Dividiere durch h.

g=2ADreieckh=2144  cm212  cm=21212  cm212  cm\Rightarrow \displaystyle g=\frac{2 \cdot A_{Dreieck}}{h} = \frac{2 \cdot 144 \; cm^2}{12 \; cm}=\frac{2 \cdot 12 \cdot 12\;cm^2}{12\;cm}
Kürze durch 12  cm12 \;cm.
g=212  cm=24  cm\Rightarrow g = 2 \cdot 12\;cm = 24 \; cm


Die Seite a des Quadrats bestimmen

Um aa zu bestimmen, benutze das weiße Dreieck. In diesem Dreieck sind nämlich die Seitenlängen bb und gg nun gegeben, und du kannst die Seitenlänge aa mit Hilfe des Satzes des Phythagoras berechnen (siehe obige Skizze):
b2=a2+g2b^2 = a^2 + g^2
Nun setze die Länge für aa und gg ein.
(40  cm)2=a2+(24  cm)2(40\;cm)^2 = a^2 + (24 \; cm)^2
(24  cm)2 - (24 \;cm)^2
a2=(40  cm)2(24  cm)2a^2= (40\;cm)^2 - (24 \;cm)^2
Berechne die Quadrate.
a2=1600  cm2576  cm2a^2= 1600\;cm^2 - 576 \;cm^2
Fasse zusammen.
a2=1024  cm2a^2= 1024 \;cm^2
Ziehe die Wurzel.
a1,2=±1024  cm2a_{1,2}= \pm\sqrt{1024\;cm^2}
Da aa eine Länge ist, ist nur die positive Lösungsinnvoll.
a=1024  cm2=3232  cm2=32  cma=\sqrt{1024\;cm^2}=\sqrt{32\cdot32\;cm^2}= 32\;cm


Den Flächeninhalt des Quadrats bestimmen

Der Flächeninhalt eines Quadrats berechnet sich wie folgt:
AQuadrat=aa=32  cm32  cm=1024  cm2A_{Quadrat}= a \cdot a = 32\;cm \cdot 32\;cm = 1024 \; cm^2


Den Umfang des Quadrats bestimmen

Der Umfang eines Quadrats berechnet sich wie folgt:
UQuadrat=a+a+a+a=4a=432  cm=128  cmU_{Quadrat} = a + a + a + a = 4 \cdot a = 4 \cdot 32\;cm = 128 \; cm


Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreisatz

Anwendung des Dreisatzes

Für diese Aufgabe musst du den Dreisatz beherrschen.
Gegeben: 1350  kg1350 \; kg Äpfel =^  500  l\hat=\;500 \;l Apfelsaft

Teilaufgabe a)

Gesucht: xx mit x  kg  x \; kg \; Äpfel =^  35  l\hat= \; 35 \; l Apfelsaft?

Wende den Dreisatz an

1350  kg1350 \; kg Äpfel =^  500  l\hat=\;500 \;l Apfelsaft
Dividiere durch 500
1350:500  kg1350 :500 \; kg Äpfel =^  1  l\hat=\;1 \;l Apfelsaft

Berechne in einer Nebenrechnung 1350  kg:5001350 \; kg:500 mit Hilfe der Schriftlichen Division oder einem erlaubten Taschenrechner.
1350  kg:500=2,7  kg1350 \; kg:500=2,7 \; kg

2,7  kg\Rightarrow 2,7 \; kg Äpfel =^  1  l\hat=\;1 \;l Apfelsaft
Multipliziere mit 35.
2,735  kg2,7 \cdot 35 \; kg Äpfel =^  35  l\hat=\;35 \;l Apfelsaft

Berechne in einer Nebenrechnung 2,735  kg2,7 \cdot 35 \; kg mit Hilfe der Schriftlichen Multiplikation oder einem erlaubten Taschenrechner.
2,735  kg=94,5  kg2,7 \cdot 35 \; kg=94,5 \; kg

94,5  kg\Rightarrow 94,5 \; kg Äpfel =^  35  l\hat=\;35 \;l Apfelsaft

\Rightarrow Du benötigst 94,5  kg94,5 \;kg Äpfel für 35  l35 \;l Apfelsaft.

Teilaufgabe b)

Gesucht: xx mit 540  kg  =^  x  l  540 \; kg \;\hat=\; x \;l \; Apfelsaft?

Gegeben: 1350  kg1350 \; kg Äpfel =^  500  l\hat=\;500 \;l Apfelsaft
1350  kg1350 \; kg Äpfel =^  500  l\hat=\;500 \;l Apfelsaft
Dividiere durch 1350.
1  kg\Rightarrow 1 \; kg Äpfel =^  500:1350  l\hat=\;500:1350 \;l Apfelsaft

Berechne in einer Nebenrechnung 500:1350  l500 : 1350 \; l mit Hilfe der Schriftlichen Division oder einem erlaubten Taschenrechner.
500:1350  l=0,370  l500 : 1350 \; l= 0,370\;l

1  kg\Rightarrow 1 \; kg Äpfel =^  0,370  l\hat=\;0,370 \;l Apfelsaft
Multipliziere mit 540.
540  kg\Rightarrow 540 \; kg Äpfel =^  0,370540  l\hat=\;0,370 \cdot 540 \;l Apfelsaft

Berechne in einer Nebenrechnung   0,370540  l\;0,370 \cdot 540 \;l mit Hilfe der Schriftlichen Multiplikation von Dezimalzahlen oder einem erlaubten Taschenrechner.
  0,370540  l=200  l\;0,370 \cdot 540 \;l=200 \;l

540  kg\Rightarrow 540 \; kg Äpfel =^  200  l\hat=\;200\;l Apfelsaft

\Rightarrow Aus 540  kg540 \;kg Äpfeln kannst du 200  l200 \; l Apfelsaft herstellen.
Alternativlösung
Aus Teilaufgabe a) wissen wir bereits: 2,7  kg2,7 \; kg Äpfel =^  1  l\hat=\;1 \;l Apfelsaft
Um zu berechnen wie viel Liter aus 540  kg540\;kg Äpfeln gewonnen werden kann, teile 540540 durch 2,72,7.
540:2,7=200540 : 2,7 = 200
540  kg\Rightarrow 540 \; kg Äpfel =^  200  l\hat=\;200\;l Apfelsaft
\Rightarrow Aus 540  kg540 \;kg Äpfeln kannst du 200  l200 \; l Apfelsaft herstellen.

Teilaufgabe c)

Gesucht: 35  l  =^  x35 \; l \; \hat= \; x Kisten Apfelsaft?
Gegeben: 0,7  l  =^  10,7 \; l \; \hat= \; 1 Flasche Apfelsaft

Berechne zunächst: x  l  =^  1x \; l \; \hat= \; 1 Kiste Apfelsaft?

In einer Kiste sind 1212 Flaschen Apfelsaft.

0,7  l  =^  1\Rightarrow0,7 \; l \; \hat= \; 1 Flasche Apfelsaft
Multipliziere mit 12.
0,712  l  =^  1\Rightarrow 0,7 \cdot 12\; l \; \hat= \; 1 Kiste Apfelsaft

Berechne in einer Nebenrechnung 0,712  l0,7 \cdot 12\; l mit Hilfe der Schriftlichen Multiplikation von Dezimalzahlen oder einem erlaubten Taschenrechner.
0,712  l=8,4  l0,7 \cdot 12\; l = 8,4 \;l

8,4  l  =^  1\Rightarrow 8,4\; l \; \hat= \; 1 Kiste Apfelsaft

\Rightarrow In einer Kiste sind also 8,4  l8,4 \;l Apfelsaft.
Gesucht war 35  l  =^  x35 \; l \; \hat= \; x Kisten Apfelsaft?

Berechne in einer Nebenrechnung 35  l:8,4  l35 \; l:8,4\;l mit Hilfe der Schriftlichen Division von Dezimalzahlen oder einem erlaubten Taschenrechner.
35  l:8,4  l=4,1635 \; l:8,4\;l=4,1\overline6 Kisten

35l\Rightarrow 35 \, l Apfelsaft ergeben 44 volle Kisten Apfelsaft.

Bild zur Aufgabe

(4 Punkte)

a) Berechne den durchschnittlichen Monatslohn einer Floristin in den drei Ausbildungsjahren.

b) Ermittle, wie viel Prozent ein Bäcker im 2. Ausbildungsjahr mehr verdient als im 1. Ausbildungsjahr.

c) Der Monatslohn eines Friseurs ist im 3. Ausbildungsjahr um 21 % höher als im 2. Ausbildungsjahr. Berechne seinen Monatslohn im 2. Ausbildungsjahr. Runde auf ganze Euro.

Berechnung von Durchschnittswerten und prozentualen Unterschieden

Thema dieser Aufgabe ist das Auslesen von Daten aus einer Tabelle und das Rechnen mit Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz. Außerdem musst du wissen, wie du einen Durchschnitt berechnest.

Teilaufgabe a)

Durchschnitt berechnen

Aus der Tabelle entnimmst du, dass eine Floristin

  • im ersten Ausbildungsjahr 539 Euro,
  • im zweiten Ausbildungsjahr 580 Euro und
  • im dritten Ausbildungsjahr 642 Euro

verdient. Den durchschnittlichen Monatslohn (Durchschnitt) bestimmst du, indem du den Monatslohn der drei Ausbildungsjahre zusammenrechnest und durch drei teilst.

%%\displaystyle\frac{539 \; \text{Euro}+580 \; \text{Euro}+642 \; \text{Euro}}{3}=\;\;?%%

Berechne in zwei Nebenrechnungen oder gleich mit einem erlaubten Taschenrechner einmal den Zähler und teile diesen dann durch %%3%%.

Nebenrechnung 1

%%539 \; \text{Euro}+580 \; \text{Euro}+642 \; \text{Euro}=?%%

Nutze die schriftliche Addition von Zahlen oder gleich einen erlaubten Taschenrechner um das Ergebnis zu bestimmen.

%%\;\;\;\;5\;3\;9 \\ + \;5\;8\;0 \\ \underline{+ \; 6_14_1 2 } \\ \;\;1\;7\;6\; 1%%

%%\Rightarrow 539 \; \text{Euro}+580 \; \text{Euro}+642 \; \text{Euro}=1761\; \text{Euro}%%

Nebenrechnung 2

%%1761 \; \text{Euro} : 3 = ?%%

Nutze die schriftliche Division von Zahlen oder gleich einen erlaubten Taschenrechner um das Ergebnis zu bestimmen.

%%\begin{array}{lcr} \;\;\,1\;7\;6\;1 : 3 = 587 \\ - \underline{1\;5} \\ \;\;\;\;\;2\;6 \\ -\underline{\;\;2\;4} \\ \;\;\;\;\;\;\;2\;1 \\ -\;\;\; \underline{\;2\;1} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\; 0 \end{array}%%

%%\Rightarrow 1761 \; \text{Euro} : 3 = 587 \, \text{Euro}%%

Der durchschnittliche Monatslohn einer Floristin ist 587 Euro.

Teilaufgabe b)

Gegeben: Aus der Tabelle entnimmst du, dass ein Bäcker

  • im ersten Ausbildungsjahr 470 Euro, und
  • im zweiten Ausbildungsjahr 600 Euro

verdient.

Gegeben ist also der Grundwert mit G = 470 Euro, da gefragt ist "mehr als im 1. Ausbildungsjahr". Da es darum geht wie viel mehr verdient wird ist der Prozentwert W = 130 Euro. Denn du suchst gerade, wie viel Prozent 600 Euro - 470 Euro = 130 Euro von 470 Euro sind.

Gesucht: Prozentsatz %%p%%

Die Formel für die Berechnung von %%p%%:

%%p=\frac WG \cdot 100 \,\%=\frac{130\;\text{Euro}}{470\;\text{Euro}}\cdot100\,\%%%

Berechne %%p%% in einer Nebenrechnung mit Hilfe der Schriftlichen Division oder mit einem erlaubten Taschenrechner (Hier wird nur das Ergebnis angegeben, schaue in den hier verlinkten Artikel, falls du es nochmal üben möchtest):

%%p=\frac{130\;\text{Euro}}{470\;\text{Euro}}\cdot100\,\% =27,66 \,\%%%

Runde das Ergebnis am Besten auf 1 Stelle nach dem Komma.

%%\Rightarrow p=27,66 \,\% \approx27,7\,\% %%

Der Bäcker verdient im zweiten Ausbildungsjahr ca. 27,7 % mehr Monatslohn als im ersten Ausbildungsjahr.

Teilaufgabe c)

Gegeben: Aus der Tabelle entnimmst du, dass ein Friseur im dritten Ausbildungsjahr 596 Euro verdient. Im dritten Ausbildungsjahr verdient er außerdem 21 % mehr als im zweiten Ausbildungsjahr. Die Überlegungen beziehen sich also auf den Lohn im zweiten Ausbildungsjahr und somit ist dieser der Grundwert, der aber nicht bekannt ist.

Gegeben ist also der Prozentwert mit W = 596 Euro und der Prozentsatz, allerdings nur indirekt (21% mehr). Das Mehr bedeutet in diesem Fall, dass es 21 % zusätzlich zum Ausgangswert 100 % sind, also p = 100 % + 21 % = 121 %.

Ges.: Grundwert %%G%%

Die Formel für die Berechnung von %%G%%:

%%G = \frac{W\cdot 100 \,\%}{p}=\frac{596 \text{ Euro}\cdot 100 \,\%}{121 \,\%}%%

Berechne %%G%% in einer Nebenrechnung mit Hilfe der Schriftlichen Division von Dezimalzahlen oder mit einem erlaubten Taschenrechner (Hier wird nur das Ergebnis angegeben, schaue in den hier verlinkten Artikel, falls du es nochmal üben möchtest):

%%G =\frac{596 \text{ Euro}\cdot 100 \,\%}{121 \,\%} = 492,56 \text{ Euro}%%

Runde noch das Ergebnis.

%%\Rightarrow G=492,56\;\text{Euro}\approx493\;\text{Euro}%%

Der Friseur verdient also im zweiten Ausbildungsjahr ca. %%493 \;\text{Euro}%%.

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