Aufgaben
Auf einem Bauernhof möchte der Bauer eine rechteckige Koppel für seine Pferde anlegen.
Die Koppel liegt an einem Fluss und soll deshalb nur an drei Seiten eingezäunt werden.
Der zur Verfügung stehende Zaun ist 120m lang.
Wie muss der Bauer die Koppel anlegen, damit sie eine möglichst große Weidefläche hat?
Wie groß ist die Weidefläche dieser Koppel?

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Die Gemeinde Haar weist neues Bauland aus.

Herr Meier hat die dreieckige Fläche gekauft, muss aber nun (wie vorgeschrieben) ein rechteckiges Baugrundstück festlegen.

Wie sollte sich Herr Meier entscheiden, wenn er ein möglichst großes Baugrundstück haben will?

Fläche eines einbeschriebenen Rechtecks berechnen

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Lege einige Bezeichnungen fest

%%a = 32 m%%

%%b = 48 m%%

%%x%% siehe Skizze, Rechteckseite parallel zu %%b%%

%%y%% Rechteckseite parallel zu %%a%%

%%y(x)%% ist gegeben durch das Dreieck

%%A(x, y(x)) = x y%% ist die gesuchte Fläche als Funktion von %%x%%

 

Wende den Strahlensatz auf das gegebene Dreieck an

 

 

 

%%\frac ab=\frac{a-y}x%% (Strahlensatz V-Figur)

 

Löse nach y auf

 

%%y\;=\;\frac ab\left(b-x\right)%%

 

Setze in die Flächenfunktion ein

 %%A(x)\;=\;\frac abx\left(b-x\right)=-\frac{a}{b}x^2+ax%%

 

Bestimme den Extremwert, indem du %%A(x)%% zweimal ableitest, die Nullstelle der ersten Ableitung ermittelst und dann über das negative Vorzeichen der zweiten Ableitung nachweist, dass es sich dabei um das gesuchte Maximum handelt.

%%A'(x)=-2\frac abx+a%%

Nullstelle: %%x=\frac{b}2%%

%%A''(\frac b2)=-2\frac ab<0%%

(Anmerkung: Hier ließe sich auch direkter argumentieren, dass %%x=\frac{b}2%% Maximalstelle ist, da der Graph von %%A%% eine nach unten geöffnete Parabel ist.)

Setze in die Formel ein

%%A\;=\;\frac{ab}4%%

Setze die Werte ein und berechne die Fläche

 %%A\;=\;\frac{32\;m\;\times\;48\;m}4\;=\;384\;m^2%%

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Aus einem diagonal halbierten DIN A4 Blatt soll entsprechend der Zeichnung ein möglichst großflächiges Rechteck geschnitten werden.
           
Finde die Breite a, für die der Flächeninhalt des Rechtecks maximal ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe

Stelle die allgemeine Flächenformel eines Rechtecks auf.
A=ab\mathrm A=\mathrm a\cdot\mathrm b
Bestimme b. Benutze dazu, dass das ganze Dreieck ähnlich zu dem schraffierten Dreieck ist und berechne mit dem SWS-Satz (oder: Strahlensatz V-Figur) die Seite b.
b(21a)=29,721\Rightarrow\frac{\mathrm b}{\left(21-\mathrm a\right)}=\frac{29,7}{21}
Löse nach b auf.
b=29,721(21a)\mathrm b=\frac{29,7}{21}\cdot\left(21-\mathrm a\right)
Setze b in die allgemeine Form für den Flächeninhalt des Rechtecks ein.
A=a29,721(21a)\mathrm A=\mathrm a\cdot\frac{29,7}{21}\cdot\left(21-\mathrm a\right)
Multipliziere aus.
=a(29,729,721a)=\mathrm a\left(29,7-\frac{29,7}{21}\mathrm a\right)

=29,7a29,721a2=29,7\mathrm a-\frac{29,7}{21}\mathrm a^2
Dies ist nun die Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit von a.
Bestimme nun den maximalen Flächeninhalt.
Da es sich um eine nach unten geöffnete Parabel handelt, liegt das Maximum der Funktion bei ihrem Scheitelpunkt .
Dieser liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen.
Bestimme die Nullstellen der Funktion.
29,721a2+29,7a=0-\frac{29,7}{21}\mathrm a^2+29,7\mathrm a=0
a(29,729,721a)=0\mathrm a\left(29,7-\frac{29,7}{21}\mathrm a\right)=0
Bestrachte die beiden Faktoren getrennt.
    a1=0\Rightarrow\;\;{\mathrm a}_1=0
Betrachte den 2. Faktor.
29,729,721a=029,7-\frac{29,7}{21}\mathrm a=0
+29,721a\left|+\frac{29,7}{21}\mathrm a\right.
29,7=29,721a29,7=\frac{29,7}{21}\mathrm a
:29,721\left|:\frac{29,7}{21}\right.
    a2=21\Rightarrow\;\;{\mathrm a}_2=21
Bestimme die Stelle, an der der Scheitelpunkt liegt (Mitte der Nullstellen).
\Rightarrow   Scheitel bei a=10,5\mathrm a=10,5
Formuliere einen Antwortsatz.
Für a=10,5\mathrm a=10,5 wird der Flächeninhaltdes Rechtecks maximal.
Aus einem 36m36\,\mathrm{m} langen Draht soll das Kantenmodell einer quadratischen Säule hergestellt werden.
Wie lang sind die Kanten zu wählen, damit die Säule maximales Volumen hat?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe

Gegeben: Gesamtkantenlänge einer quadratischen Säule 
Gesucht: Kantenlängen für maximales Volumen
V=a2hV=a^2\cdot h
Stelle die Zielfunktion auf, die maximiert werden soll; in diesem Fall ist das das Volumen einer quadratischen Säule mit der Grundseitenlänge aa und der Höhe hh.
4a+4h+4a=364\cdot a+4\cdot h+4\cdot a=36
Bestimme die Nebenbedingung, die durch die Gesamtkantenlänge gegeben ist.
h=92ah=9-2a
Stelle die Nebenbedingung nach hh um.
V(a)=a2(92a)V(a)=a^2\cdot\left(9-2a\right)  mit  a>0a>0
Setze die Nebenbedingung in die Zielfunktion ein, um die Extremalfunktion zu erhalten. Beachte dabei, dass a positiv sein muss. Leite die Extremfunktion zweimal ab.
V(a)=18a6a2V(a)=1812a\begin{array}{ccc}V'(a)&=&18a-6a^2\\V''(a)&=&18-12a\end{array}
Setze die erste Ableitung gleich Null, berechne die Grundseitenlänge und setze ihn in die zweite Ableitung ein, um zu erkennen, dass es sich tatsächlich um ein Maximum handelt.
V(a)=18a6a2=a(183a)=0V'(a)=18a-6a^2=a(18-3a)=0
a=0a=0 oder a=3a=3
a=0a=0 muss nicht weiter untersucht werden, da nur positive Grundseitenlängen betrachtet werden.
V(3)=18123=18<0\begin{array}{l}V''(3)=18-12\cdot3=-18<0\\\\\end{array}
Da die zweite Ableitung negativ ist, handelt es sich bei a=3a=3 um das gesuchte Maximum.
Gib nun endgültig aa und hh an und berechne das Volumen (nicht verlangt).
a=3  h=3V=27a=3\;\Rightarrow h=3\Rightarrow V=27
Aus einem 120cm langen Draht ist das Kantenmodell eines Quaders herzustellen, so dass eine Kante dreimal so lang wie eine andere und der Rauminhalt maximal ist.
Wie lang sind die Kanten zu wählen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe

Gegeben: Gesamtkantenlänge, eine Kante dreimal so lang wie eine andere Kante
Gesucht: Kantenlänge so, dass Volumen maximal
Stelle die Volumenfunktion des Quaders  mit den Kanten aa, bb und cc auf; das ist die Zielfunktion, die es zu maximieren gilt.
V=abcV=a\cdot b\cdot c
Bestimme die Nebenbedingung, welche durch die Gesamtkantenlänge und die Tatsache, dass eine Kante dreimal so lang wie eine andere Kante sein soll, gegeben ist. Wähle dabei z. B. b=3a.
4a+43a+4c=1204\cdot a+4\cdot3\cdot a+4\cdot c=120
Stelle die Nebenbedingung um.
c=304ac=30-4a
Setze die Nebenbedingung in die Zielfunktion ein und erhalte die Extremalfunktion. Beachte dabei, dass negative Längen keinen Sinn machen.
V(a)=3a2(304a)V(a)=3\cdot a^2\cdot(30-4a)  mit  a>0a>0
Leite die Extremalfunktion zweimal ab, um im nächsten Schritt den Extremwert und die Art des Extremwertes bestimmen zu können.
V(a)=180a36a2V(a)=18072a\begin{array}{ccc}V'(a)&=&180a-36a^2\\V''(a)&=&180-72a\end{array}
Setze die erste Ableitung gleich Null und setze die Lösung dieser Gleichung in die zweite Ableitung ein. Du erkennst dann, dass der Extremwert tatsächlich wie gewünscht ein Maximum ist.
V(a)=0V'(a)=0
a=5a=5
V(5)=180<0V''(5)=-180<0
Berechne nun noch die Kantenlängen bb und cc.
            a=5b  =35=15c  =3045=10\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;a=5\\\Rightarrow b\;=3\cdot5=15\\\Rightarrow c\;=30-4\cdot5=10\end{array}
Kante aa ist 5cm5cm, Kante bb 15cm15cm und Kante cc 10cm10cm zu wählen.
Eine oben offene zylinderförmige Dose mit dem Volumen V soll aus Blech hergestellt werden. Dabei soll der Blechverbrauch möglichst gering sein. Bestimme die Höhe und den Durchmesser der Dose, sowie den minimalen Blechverbrauch.
Wir suchen aus allen Konservendosen mit Volumen V diejenige mit minimalem Oberflächeninhalt.
Volumenformel: V=Gh\mathrm V=\mathrm G\cdot\mathrm h (Grundseite mal Höhe) wobei die Grundseite eines Zylinders ein Kreis ist, d.h. GKreis=r2π{\mathrm G}_\mathrm{Kreis}=\mathrm r^2\cdot\mathrm\pi .
Oberflächeninhalt eines Zylinders ist gegeben durch AZylinder=AMantel+AKreis=2rπh+r2π{\mathrm A}_\mathrm{Zylinder}=A_{Mantel}+A_{Kreis}=2\cdot\mathrm r\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm h+\mathrm r^2\cdot\mathrm\pi .
  1. Zielfunktion bestimmen: Der Oberflächeninhalt des Zylinders ist zu minimieren. Unsere Funktion ist von r und h abhängig. AZylinder=2rπh+r2π{\mathrm A}_\mathrm{Zylinder}=2\cdot\mathrm r\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm h+\mathrm r^2\cdot\mathrm\pi .
  2. Nebenbedingungen formulieren und einsetzen: Der Oberflächeninhalt des Zylinders ist zu minimieren unter der Bedingung, dass das Volumen erhalten bleibt. Wir können nun also die Höhe in Abhängkeit vom Radius ermitteln, indem wir die Formel V=GKreish=r2πh\mathrm V={\mathrm G}_\mathrm{Kreis}\cdot\mathrm h=\mathrm r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm h nach h auflösen. Es ergibt sich die Nebenbedingung h=Vr2πh=\frac V{r^2\cdot\mathrm\pi} . Einsetzen in die Zielfunktion ergibt: A=2rπ(Vr2π)+r2π=2Vr+r2π=2V1r+πr2\mathrm A=2\cdot\mathrm r\cdot\mathrm\pi\cdot{\textstyle\left({\displaystyle\frac{\mathrm V}{\mathrm r^2\cdot\mathrm\pi}}\right)}+r^2\cdot\mathrm\pi=2\cdot\frac Vr+r^2\cdot\mathrm\pi=2V\cdot\frac1r+\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2 . Unsere Zielfunktion hängt jetzt nur noch von r ab, also können wir auch schreiben A(r)=2V1r+πr2\mathrm A(\mathrm r)=2\mathrm V\cdot\frac1{\mathrm r}+\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2 .
  3. Für die Extremalfunktion A(r)\mathrm A(\mathrm r) den Definitionsbereich DA\mathbb{D}_\mathrm A bestimmen: DA=R\{0}\mathbb {D}_A=\mathbb{R}\backslash\{0\}. Allerdings muss r > 0 sein.
  4.  Wir suchen das Minimum von A(r)\mathrm A(\mathrm r) mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung.
Erste Ableitung
Zweite Ableitung
(1r)=1r2(\frac1r)'=-\frac1{\mathrm r^2}
(1r)=2r3(\frac1r)''=\frac2{r^3}
(r2)=2r\left(\mathrm r^2\right)'=2\mathrm r
(r2)=(2r)=2\left(\mathrm r^2\right)''=\left(2\mathrm r\right)`=2
A(r)=2V(1r2)+π2r\Rightarrow A'(r)=2V\cdot\left(-\frac{1}{r^2}\right)+\mathrm{\pi}\cdot2r
A(r)=2V(21r3)+π2\Rightarrow A''(r)=2V\cdot\left(2\cdot\frac1{r^3}\right)+\mathrm\pi\cdot2
Für ein mögliches Minimum muss die erste Ableitung gleich Null werden. Setze also A(r)=2V(1r2)+π2rA'\left(r\right)=2V\cdot\left(-\frac{1}{r^2}\right)+\pi\cdot2r gleich 00.
A(r)=02V(1r2)+π2r=02Vr2+π2r=0+2Vr22πr=2Vr2r22πr3=2V:2πr3=Vπ3r=Vπ3\begin{array}{rcll}A'(r)&=&0\\2V\cdot\left(-\frac{1}{r^2}\right)+\mathrm{\pi}\cdot2r&=&0\\-\frac{2V}{r^2}+\mathrm{\pi}\cdot2r&=&0&|+\frac{2V}{r^2}\\2\pi r&=&\frac{2V}{r^2}&|\cdot r^2\\2\pi r^3&=&2V&|:2\pi\\r^3&=&\frac V\pi&|\sqrt[3]{}\\r&=&\sqrt[3]{\frac V \pi}\end{array}
Einsetzen in die 2. Ableitung ergibt:
A(Vπ3)=2V(21(Vπ3)3)+π2=4VπV=4π+2π=6π>0\displaystyle A''(\sqrt[3]{\frac V{\mathrm\pi}})=2V\cdot\left(2\cdot\frac1{\left(\sqrt[3]{\displaystyle\frac V{\mathrm\pi}}\right)^3}\right)+\mathrm\pi\cdot2=\underbrace{4V\cdot\frac{\mathrm\pi}V}_{=4\cdot\mathrm\pi}+2\cdot\mathrm\pi=6\cdot\mathrm\pi>0
Also liegt tatsächlich ein Minimum vor an dieser Stelle.


Lösung

Den minimale Oberflächeninhalt erhält man für die Dose mit dem Radius rmin=Vπ3\mathrm{r}_{\min}=\sqrt[3]{\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{\pi}}} . Also ist der Durchmesser d=2r=2Vπ3\mathrm d=2\mathrm r=2\sqrt[3]{\frac{\mathrm V}{\mathrm\pi}} . Die Höhe h erhält man aus der Nebenbedingung h=Vr2πh=\frac V{r^2\cdot\mathrm\pi} durch einsetzen von rmin\mathrm{r}_{\min} , also 
h=V(Vπ)23π=V33V2π23π33=V3V2π3=(Vπ3)\displaystyle h=\frac V{\sqrt[3]{\left({\displaystyle\frac{\mathrm V}{\mathrm\pi}}\right)^2}\cdot\mathrm\pi}=\frac{\sqrt[3]{V^3}}{\sqrt[3]{\displaystyle\frac{V^2}{\mathrm\pi^2}}\cdot\sqrt[3]{\mathrm\pi^3}}=\sqrt[3]{\frac{V^3}{V^2\cdot\mathrm\pi}}=\left(\sqrt[3]{\frac V{\mathrm\pi}}\right)
Der minimale Oberflächeninhalt ist 3π(Vπ3)23\mathrm\pi\cdot\left(\sqrt[3]{\frac{\mathrm V}{\mathrm\pi}}\right)^2 (Einsetzen in die Zielfunktion.)
romanisches Fenster
Eine romanische Fensterform ist zusammengesetzt aus einem Rechteck und einem oben anschließenden Halbkreis.
Das nebenstehende romanische Fenster habe den Umfang u=5LEu\,=\,5\,LE und die Rechtecksseiten aLEa\,LE und bLEb\,LE.
Bei welchen Werten für aa und bb hat das Fenster den größtmöglichen Flächeninhalt?

Extremwertaufgabe

Für die Form eines romanischen Fensters (Rechteck mit oben angefügtem Halbkreis) soll bei gegebenem Umfang die größtmögliche Fläche berechnet werden.
romanisches Fenster
Die Zielfunktion, deren Maximum zu berechnen ist, ergibt sich als Summe der Rechtecksfläche mit den Seitenlängen aLEa\,LE und bLEb\,LE und der Fäche des Halbkreises mit Radius b/2LEb/2\,LE.
Zielfunktion:
A(a;b)=ab+12(b2)2π\displaystyle A(a;b)=a\cdot b+\frac12\cdot(\frac{b}{2})^2\pi
Der gegebene Umfang u=5LEu=5\,LE ist für die Zielfunktion die "Nebenbedingung".
Nebenbedingung
2a+b+k=52a+b+k=5
Berechne kk als Kreisbogenlänge des Halbkreises.
k=122(b2)πk=\frac 12 \cdot 2\cdot (\frac {b}{2})\cdot \pi
k=12bπk=\frac 12 b\pi
Setze kk in die Nebenbedingung ein und löse diese nach aa (oder auch nach bb) auf.
2a+b+12bπ=5b ausklammern2a+b(1+12π)=5b()2a=5b(1+12π)  :2a=2,512b(1+12π)Setze a in A(a;b) ein.\begin {array} {r c l l}2a+b+\frac 12 b\pi&=&5&|\,\text{b ausklammern}\\2a+b(1+\frac 12 \pi)&=&5&|-\,b( …)\\2a&=&5-b(1+ \frac 12\pi)&|\;:2\\a&=&2,5-\frac 12 b(1+\frac 12 \pi)&\text{Setze a in A(a;b) ein.}\\\end{array}
%%A(b)=(2,512b(1+12π))b+12(b2)2π=2,5b12b2(1+12π)+18b2πD-Gesetz fu¨r  12b2(1+12π)=2,5b12b214b2π+18b2π  b2zusammenfassen=2,5bb2(12+14π18π)zusammenfassenA(b)=2,5b(12+18π)b2Berechne A’(b) und A”(b).\begin{array}{rcl}A(\color{red}{b})&=&\color{red}{(}2,5-\frac12 b(1+\frac 12 \pi)\color{red}{)}\cdot b+ \frac 12\cdot (\frac {b}{2})^2\pi\\ &=&2,5b-\frac 12b^2(1+\frac12\pi)+\frac18b^2\pi&|\,\text{D-Gesetz für}\;\frac12b^2(1+\frac12\pi)\\ &=&2,5b-\frac12b^2-\frac14b^2\pi+\frac18b^2\pi&|\;b^2\,\text{zusammenfassen}\\&=&2,5b-b^2(\frac12+\frac14\pi-\frac18\pi)&|\text{zusammenfassen}\\A(b)&=&2,5b-(\frac12+\frac18\pi)b^2&|\,\text{Berechne A'(b) und A''(b)}.\end{array}
A(b)=2,5b(1+14π)A'(b)\,=2,5-b(1+\frac14\pi)
A(b)=114π  <0A''(b)=-1-\frac14\pi\;\color{red}{<}0
Setze A(b)A'(b) gleich Null und löse nach bb auf.
Da A(b)A''(b) für jedes bb negativ ist, ergibt sich ein Maximum.
2,5b(1+14π)=0b4+π4=2,5  :4+π4bmax=104+π\begin{array}{rcll}2,5-b(1+\frac14\pi)&=&0\\\displaystyle b\cdot\frac{4+\pi}{4}&=&2,5&|\;:\displaystyle \frac{4+\pi}{4}\\ b_{max}&=&\displaystyle \frac{10}{4+\pi}&\Rightarrow\end{array}
amax=2,512(104+π)(1+12π)=2,554+π2+π2=2,52,52+π4+π=2,5(4+π)2,5(2+π)4+πamax=54+π\begin{array}{rcll}a_{max}&=&\displaystyle 2,5-\frac12\color{red}{(\frac{10}{4+\pi})}(1+\frac12\pi)\\&=&\displaystyle 2,5-\frac{5}{4+\pi}\cdot\frac{2+\pi}{2}\\&=&\displaystyle 2,5-2,5\cdot \frac{2+\pi}{4+\pi}\\&=&\displaystyle \frac{2,5\cdot (4+\pi)-2,5\cdot (2+\pi)}{4+\pi}\\a_{max}&=&\displaystyle \frac{5}{4+\pi}\end{array}
Setze bmaxb_{max} und amaxa_{max} in A(a;b)A(a;b) ein, um die maximale Fläche des romanischen Fensters mit dem Umfang 5LE5\,LE zu erhalten.
(Du kannst auch bmaxb_{max} alleine in A(b)A(b) einsetzen.)
Amax=54+π104+π+12(54+π)2π=50(4+π)2+25π2(4+π)2=100+25π2(4+π)2=25(4+π)2(4+π)2Amax=12,54+πAmax1,75\begin{array}{rcll}A_{max}&=&\displaystyle \frac{5}{4+\pi}\cdot \frac{10}{4+\pi}+\frac12 \cdot \left(\frac{5}{4+\pi}\right)^2\cdot \pi\\&=&\displaystyle\frac{50}{(4+\pi)^2}+\frac{25\pi}{2\cdot (4+\pi)^2}\\&=&\displaystyle \frac{100+25\pi}{2(4+\pi)^2}\\&=&\displaystyle \frac{25(4+\pi)}{2(4+\pi)^2}\\A_{max}&=&\displaystyle \frac{12,5}{4+\pi}\\A_{max}&\approx&1,75\end{array}
Ergebnis:
Das romanische Fenster mit dem Umfang 5LE5\,LE hat seine größte Fläche von rund 1,75FE1,75\,FE, wenn die Grundseite gerade doppelt so groß ist wie die Höhe des Rechtecks.
Anhand des beigefügten Applets kannst du durch Verschieben des unteren rechten Eckpunkts das Ergebnis überprüfen.
GeoGebra
Schafe auf Weide hinter Zaun
Ein Schäfer  möchte für seine Schafe eine rechteckige Weidefläche mit einem Zaun begrenzen.
Die Weidefläche grenzt direkt an eine Felswand.
Der Schäfer hat insgesamt 4040 je 1m1 m lange zusammensteckbare Zaunelemente zur Verfügung.

Skizze zur Aufgabe
Ermittle die Abmessungen xx und yy so, dass die abgesteckte Fläche einen maximalen Flächeninhalt A A  hat.
Quellen
Abb 1: https://pixabay.com/de/schaf-berg-ranch-japan-zaun-680217/

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunktsform Extremum

Lösung:
Der Inhalt der Fläche AA ist sowohl von xx als auch von yy abhängig.
Zielfunktion : A=xyA = x\cdot y
Der Zaun soll eine Länge von 40m40 m haben, deshalb muss die Summe der Zaunteilstücke 4040 betragen.
Nebenbedingung: x+2y=40 x + 2y = 40 
Die Nebenbedingung nach yy aufgelöst ergibt: y=200,5x.y = 20 – 0,5 x. 
Setzt man yy in die Zielfunktion ein, so erhält man den Flächeninhalt in Abhängigkeit von xx: A(x)=x(200,5x)=20x0,5x2=0,5x2+20x A(x) = x\cdot (20 – 0,5 x) = 20x – 0,5 x^2 = -0,5 x^2 +20x 
A(x)A(x) ist nun eine quadratische Funktion der Rechtecksbreite xx.
Von dieser Funktion soll das Maximum bestimmt werden.
Dies kannst du auf folgende zwei Arten machen:
a)a) mit Scheitelpunktsbestimmung und mit dem Wissen über quadratische Funktionen
b)b) mit der Ableitung

Lösung zu a) mit Scheitelpunktsbestimmung

A(x)=0,5x2+20xA(x) = - 0,5 x^2 +20x

Der Koeffizient vor dem x2x^2 ist negativ , somit handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel. Der Scheitelpunkt ist ein Maximum.


Klammere zuerst (0,5)(-0,5) aus:  A(x)=(0,5)(x240x)A(x) = (-0,5)\cdot (x^2 - 40x)
Der gemischte Term in der Klammer ist 40x- 40x, d.h. die quadratische
Ergänzung ist (402)2=202 (\dfrac{40}{2})^2 = 20^2.
Addiere in der Klammer 20220^2 und subtrahiere diesen Term gleich wieder: 
A(x)=(0,5)(x240x+202202)A(x) = (-0,5)\cdot (x^2 - 40x + 20^2 -20^2)
Fasse die ersten drei Terme in der Klammer mit Hilfe der 2. binomischen Formel zusammen: A(x)=(0,5)((x20)2202)A(x) = (-0,5)\cdot ((x - 20)^2 -20^2) 
Löse die Klammer wieder auf:
A(x)=(0,5)(x20)2+(0,5)(202)=(0,5)(x20)2+200A(x) = (-0,5)\cdot (x - 20)^2+(-0,5)\cdot(-20^2)=(-0,5)\cdot (x - 20)^2+200 Lies den Scheitelpunkt ab: S(20200)S(20\vert 200)

Antwort: Die Länge des waagrechten Zaunstückes beträgt x=20m x= 20\, \mathrm{m}
und der maximale Flächeninhalt 200m2200\, \mathrm{m^2}.

Es fehlt noch die Angabe der Zaunlänge yy.
Setze x=20 x=20 in y=200,5xy = 20-0,5\cdot x ein.
y=200,520=2010=10y = 20-0,5\cdot 20 =20-10 = 10.
Antwort: Die Länge des senkrechten Zaunstückes beträgt 10m10\, \mathrm{m}.
Lösung zu b) mit der Ableitung
 
A(x)=0,5x2+20xA(x) = - 0,5 x^2 +20x 

Der Definitionsbereich der Variablen xx ist das Intervall 0<x<400\lt x\lt40 .
Für x=0x=0  und für x=40x=40 erhält man ein "entartetes" Rechteck (mit dem Flächeninhalt 0m20\,\mathrm{m^2}), d.h. eine Strecke der Länge 40m40\, \mathrm{m}.

Bedingung für ein Maximum: A(x)=0A'(x) = 0 und A(x)<0A''(x) \lt 0 
Die beiden Ableitungen lauten:
A(x)=x+20A'(x) = - x +20
A(x)=1<0A''(x) = -1< 0

Setze A(x) A'(x) gleich Null: 0=x+20x=20 0 = - x +20 \Rightarrow x=20         
x=20x=20 ist im Definitionsbereich von A(x)A(x) enthalten.

Da A(x)<0A''(x)<0_{ } ist, handelt es sich um ein Maximum.

Es fehlt noch die Angabe der zweiten Zaunlänge yy.

Setze x=20 x=20 in y=200,5xy = 20-0,5\cdot x ein: y=200,520=2010=10y=20-0,5\cdot 20 = 20-10 = 10 
Nun kann die maximale Fläche berechnet werden: A=xy=2010=200.A = x\cdot y=20\cdot 10 = 200.

Antwort: Die Länge des waagrechten Zaunstückes beträgt x=20mx= 20\, \mathrm{m}, die Länge des senkrechten Zaunstückes yy ist 10m10\, \mathrm{m} und der maximale Flächeninhalt beträgt 200m2200\, \mathrm{m}^2.

Jana und Nish basteln zu ihrer Einschulung Schultüten.
Ihre Eltern haben ihnen bereits rundes dickes Papier bereit gelegt mit einem Radius von R=50  cmR=50\;\text{cm}.
Dieses malen sie bunt an und schneiden einen Kreissektor aus dem Papier aus, um einen Kegel zu formen.
Jana schneidet einen Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel φ=120°φ=120° aus. Nish wählt für seine Schultüte φ=60°\varphi=60°.
Aus dem ausgeschnitten Kreissektor formen Nish und Jana den Kegelmantel ihrer Schultüten.
Kreissektor und Kegelmantel
a) Jana ist der Meinung, dass in ihre Tüte doppelt so viel Inhalt passt wie in Nishs Tüte, da sie einen doppelt so großen Winkel gewählt hat. Berechne, ob Jana mit ihrer Annahme richtig liegt.
b) Lina kommt später zum Basteln dazu und bekommt die Diskussion zwischen Nish und Jana mit. Sie möchte beide übertrumpfen und eine Schultüte basteln, in die am meisten Süßes reinpasst. Sie benutzt ein übriges rundes Papier mit R=50  cmR=50\;\text{cm} und schneidet einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel φ\varphi aus dem Papier aus. Bestimme den Winkel φ\varphi, für den das Kegelvolumen maximal wird.
c) Beurteile an Hand von Durchmesser und Höhe des Kegels, ob sich die gebastelten Kegelmäntel auch als Schultüten eignen.
Kreis mit Bezeichnungen
Die Bogenlänge bb des ausgeschnittenen
Kreissektors (Kreisausschnitt) ist der
Umfang des Kegelgrundkreises mit dem Radius rr.

b=Rπφ180b=\dfrac{R \cdot \pi \cdot \varphi}{180^\circ}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegelvolumen

Teillösung a)

Das Volumen eines Kegels ist gegeben durch:
V=13πr2h      (I)V=\frac{1}{3}\pi\cdot r^2\cdot h \;\;\; \mathrm{(I)}
Dabei ist rr der Radius des Kegelgrundkreises und hh die Höhe des Kegels.
Die Bogenlänge bb des Kreissektors ist der Umfang des Kegelgrundkreises mit dem Radius rr.

b=Rπφ1802πr=Rπφ180r=Rπφ1802πr=Rφ360        (II)\begin{array}{rcl}b&=&\dfrac{R \cdot \pi \cdot \varphi}{180^\circ}\\\\ 2 \cdot \pi \cdot r &=&\dfrac{R \cdot \pi \cdot \varphi}{180^\circ}\\\\r&=&\dfrac{R \cdot \pi \cdot \varphi}{180^\circ \cdot 2 \cdot \pi}\\\\r &=&\dfrac{R \cdot \varphi}{360^\circ}\;\;\;\; \mathrm{(II)}\end{array}

Volumen von Nishs Schultüte

Nish hat einen Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel φ=60φ = 60 ^\circ ausgeschnitten, d.h. der Radius seiner Schultüte beträgt:
r=R60360=R6\displaystyle r=\dfrac{R \cdot 60^\circ}{360^\circ}= \dfrac {R}{6}
Da R=50cmR=50 \mathrm{cm} ist, beträgt ihr Kegelradius : r=506cmr = \dfrac {50}{6}\mathrm{cm}.
In der Abbildung des Kegels gilt für das eingezeichnete rechtwinklige Dreieck der Satz des Pythagoras:
r2+h2=R2    (III)\displaystyle r^2+h^2=R^2 \;\; \mathrm{(III)}
h=R2r2      (IV)\displaystyle h= \sqrt{R^2-r^2} \;\;\;\mathrm{(IV)}
Mit R=50cmR= 50 \mathrm{cm} und r=506cmr = \dfrac {50}{6}\mathrm{cm} erhält man für die Höhe hh: 

h=502(506)2\displaystyle h= \sqrt{50^2-(\dfrac{50}{6})^2}
h=50635cm\displaystyle h= \dfrac{50}{6} \cdot \sqrt{35} \mathrm{cm}
Setzt man rr und hh in Gleichung (I)\mathrm{(I)} ein, ergibt sich ein Volumen von:
V=13π(506)2506353585,25cm3\displaystyle V= \dfrac{1}{3}\pi\cdot (\dfrac{50}{6})^2\cdot \dfrac{50}{6} \cdot \sqrt{35} \approx 3585,25 \mathrm{cm^3}

Volumen von Janas Schultüte

Jana hat einen Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel φ=120φ = 120 ^\circ ausgeschnitten, d.h. der Radius ihrer Schultüte beträgt:
r=R120360=R3\displaystyle r=\dfrac{R \cdot 120^\circ}{360^\circ}= \dfrac {R}{3}
Da R=50cmR= 50 \mathrm{cm} ist, beträgt ihr Kegelradius :
r=503cm\displaystyle r = \dfrac {50}{3}\mathrm{cm}

Für die Höhe hh erhält man gemäß Gleichung (IV)\mathrm{(IV)}:
h=502(503)2\displaystyle h= \sqrt{50^2-(\dfrac{50}{3})^2}
h=5038cm\displaystyle h= \dfrac{50}{3} \cdot \sqrt{8} \mathrm{cm}
Setzt man rr und hh in Gleichung (I)\mathrm{(I)} ein, ergibt sich ein Volumen von:

V=13π(503)2503813712,60cm3V= \dfrac{1}{3}\pi\cdot (\dfrac{50}{3})^2\cdot \dfrac{50}{3} \cdot \sqrt{8} \approx 13712,60 \mathrm{cm^3}


Antwort

Jana liegt falsch. Ihr Kegelvolumen ist rund viermal so groß wie das Kegelvolumen von Nish.

Teillösung b)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwert

Aufstellen der Zielfunktion und der Nebenbedingung

Die Zielfunktion bei dieser Aufgabe ist das Volumen eines Kegels:
V=13πr2h      (I)\displaystyle V= \dfrac{1}{3}\pi\cdot r^2\cdot h \;\;\; \mathrm{(I)}
Die Nebenbedingung ergibt sich aus der obigen rechten Abbildung.
Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras:
r2+h2=R2      (III)\displaystyle r^2+h^2=R^2 \;\;\; \mathrm{(III)}

Einsetzen in die Zielfunktion

Die einfachste Lösung der Extremwertaufgabe erhält man, wenn Gleichung (III)\mathrm{(III)} nach r2r^2 aufgelöst und in Gleichung (I)\mathrm{(I)} eingesetzt wird. Mit R=50cmR= 50 \mathrm{cm} folgt:
r2=502h2V(h)=13π(502h2)h\displaystyle r^2 = 50^2-h^2\\\Rightarrow V(h) = \dfrac{1}{3}\pi\cdot (50^2-h^2)\cdot h
V(h)=13π(2500hh3)              (V)\displaystyle V(h) = \dfrac{1}{3}\pi\cdot (2500 \cdot h-h^3) \;\;\;\;\;\;\; \mathrm{(V)}
Für den Definitionsbereich D\mathbb{D} gilt: 0<h<500\lt h\lt 50.
Anmerkung: Für h=0 h=0 und h=50h=50 ist das Volumen gleich Null.

Bestimmung des Extremwertes

Leite die Extremalfunktion (V)\mathrm{(V)} zweimal ab, um den Extremwert und die Art des Extremwertes bestimmen zu können.
V(h)=13π(25003h2)\displaystyle V'(h)=\dfrac{1}{3}\pi\cdot (2500-3h^2)
V(h)=13π(6h)=2πh<0\displaystyle V''(h) = \dfrac{1}{3}\pi\cdot (-6h)= -2\pi h<0
Setze die erste Ableitung gleich Null:
0=13π(25003h2)2500=3h2\displaystyle 0=\dfrac{1}{3}\pi\cdot (2500-3h^2)\Rightarrow 2500=3h^2
Nach h h aufgelöst erhält man :
h=2500328,87cm        (VI)\displaystyle h=\sqrt{\dfrac{2500}{3}} \approx 28,87 \mathrm{cm} \;\;\;\; \mathrm{(VI)}
Da 0<h<500 \lt h \lt 50 ist, gilt: hDh \in \mathbb{D}.
Setze Gleichung (VI)\mathrm{(VI)} in die zweite Ableitung ein:
V(25003)=2π25003<0\displaystyle V''(\sqrt{\dfrac{2500}{3}}) = -2\pi\cdot \sqrt{\dfrac{2500}{3}}<0
Da die zweite Ableitung kleiner Null ist, ist der Extremwert ein Maximum.

Bestimmung des Kegelgrundkreisradius

Setzt man Gleichung (VI)\mathrm{(VI)} h=25003h=\sqrt{\dfrac{2500}{3}} in r2=502h2r^2=50^2-h^2 ein,
so erhält man:
r2=250025003=50003\displaystyle r^2 = 2500-\dfrac{2500}{3}= \dfrac{5000}{3}
Zieht man die Wurzel aus r2r^2, so erhält man für den Radius rr des Grundkreises des Kegels :
r=5000340,82cm        (VII)\displaystyle r= \sqrt{\dfrac{5000}{3}}\approx 40,82 \mathrm{cm} \;\;\;\; \mathrm{(VII)}

Bestimmung des Mittelpunktswinkels

Löse Gleichung (II)\mathrm{(II)} nach φ\varphi auf:
φ=r360R\displaystyle \varphi = \dfrac{r \cdot 360^\circ}{R}
Mit R=50cmR=50\mathrm{cm} und r=50003cmr= \sqrt{\dfrac{5000}{3}} \mathrm{cm} folgt für φ\varphi: φ=5000336050293,94\varphi =\dfrac{\sqrt{\dfrac{5000}{3}}\cdot 360^\circ}{50}\approx 293,94^ \circ