Aufgaben

Bestimme den Schnittpunkt beider Geraden und zeichne diesen in ein Koordinatensystem.

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-3\mathrm x+\frac54;\;\mathrm g\left(\mathrm x\right)=-\mathrm x-1%%

Schnittpunkte linearer Funktionen

Setze die Funktionen f(x) und g(x) gleich, um den Schnittpunkt zu bestimmen.

%%-3\mathrm x+\frac54=-\mathrm x-1%%

%%\left|+3\mathrm x+1\right.%%

     %%-\mathrm x+3\mathrm x=\frac54+1%%

                %%2x=\frac94%%

%%\left|:2\right.%%

                  %%x=\frac98%%

Setze x in eine der beiden Geraden ein.

%%y=-\frac98-1%%

%%\mathrm y=-2,125%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(1,25/-2,125\right)%%

 

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8300_JGhKHfd6a2.xml

%%\mathrm f:\;2\mathrm y-\mathrm x=3;\;\mathrm g\left(\mathrm x\right)=-\frac12\mathrm x+4%%

Schnittpunkte linearer Funktionen

Setze die Funktionen f(x) und g(x) gleich, um den Schnittpunkt zu bestimmen.

Löse zunächst die Funktion f nach y auf.

f:  %%2\mathrm y-\mathrm x=3%%

%%\left|+\mathrm x\right.%%

            %%2\mathrm y=3+\mathrm x%%

%%\left|:2\right.%%

               %%\mathrm y=\frac32+\frac{\mathrm x}2%%

Setze f und g gleich

%%\frac32+\frac x2=-\frac12x+4%%

%%\left|+\frac{\mathrm x}2-1,5\right.%%

%%\frac{\mathrm x}2+\frac{\mathrm x}2=4-1,5%%

               %%\mathrm x=2,5%%

Setze x in eine der beiden Geradengleichungen ein.

%%\mathrm y=\frac32+\frac{2,5}2%%

%%\mathrm y=2,75%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(2,5/2,75\right)%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8302_bqlww9BzWx.xml

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-\frac23\mathrm x-1;\;\mathrm g\left(\mathrm x\right)=\frac16\mathrm x-4%%

Schnittpunkte linearer Funktionen

Setze die Funktionen f(x) und g(x) gleich, um den Schnittpunkt zu bestimmen.

%%-\frac23\mathrm x-1=\frac16\mathrm x-4%%

%%\left|+\frac23\mathrm x+4\right.%%

%%\frac16\mathrm x+\frac23\mathrm x=-1+4%%

%%\frac56\mathrm x=3%%

%%\left|:\frac56\right.%%

%%\mathrm x=3\;:\;\frac56%%

Dividiere durch einen Bruch  %%\rightarrow%%   Multipliziere mit dem Kehrwert

%%\mathrm x=3\cdot\frac65%%

%%x=\frac{18}5%%

Setze x in eine der beiden Geraden ein.

%%\mathrm y=\frac16\cdot\frac{18}5-4%%

%%\mathrm y=\frac35-4%%

%%\mathrm y=-3,4%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(3,6/-3,4\right)%%

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8304_HEiTvk0rjn.xml

%%\mathrm f:\;\mathrm x=2;\;\mathrm g\left(\mathrm x\right)=-\frac34\mathrm x-\frac32%%

Schnittpunkte linearer Funktionen

Setze  %%\mathrm x=2%%  in  %%\mathrm g\left(\mathrm x\right)%%  ein.

%%\mathrm y=-\frac34\cdot2-\frac32%%

%%\mathrm y=-\frac32-\frac32%%

%%y=-\frac62%%

%%\mathrm y=-3%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(2/-3\right)%%

 

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8313_8XGwdXRpUM.xml

Bestimme den Schnittpunkt beider Geraden und zeichne die Graphen in ein Koordinatensystem.

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=0,05\mathrm x+20;\;\;\;\;\;\mathrm g\left(\mathrm x\right)=0,15\mathrm x+15%%

Bestimmung des Schnittpunkts

Setze f(x) und g(x) gleich.

%%0,05\mathrm x+20=0,15\mathrm x+15%%

%%\left|-0,05\mathrm x-15\right.%%

%%20-15=0,15\mathrm x-0,05\mathrm x%%

Subtrahiere und vertausche die Seiten.

%%0,10\mathrm x=5%%

%%\left|:0,1\right.%%

%%\mathrm x=\frac5{0,1}%%

%%\mathrm x_S=50%%

Setze x in eine der beiden Funktionsgleichungen ein.

%%\mathrm y=0,05\cdot50+20%%

%%\mathrm y=2,5+20%%

%%\mathrm y_S=22,5%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(x_S;y_S\right)=\mathrm S(50;22,5)%%

%%\mathrm S%% ist der Schnittpunkt.

  

Zeichnung

Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt.

AufgabenLineareFunktionen2

Geradenschnittpunkte berechnen.

Gegeben sind die Funktionsgleichungen zweier Geraden  %%g_1(x)%%  und  %%g_2\left(x\right)%% . Berechnen Sie den Schnittpunkt beider Geraden und zeichnen Sie die Geraden in ein Koordinatensystem.

%%{\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)=\frac12\mathrm x+2\;\;\;\;\;{\mathrm g}_2\left(\mathrm x\right)=-\frac12\mathrm x+4%%

Geradenschnittpunkte berechnen

Setze dafür %%g_1(x)%% und %%g_2(x)%% gleich.

%%\frac12\mathrm x+2=-\frac12\mathrm x+4\\%%

%%\left|+\frac12x-2\right.%%

%%\frac12\mathrm x+\frac12\mathrm x=4-2\\%%

%%\mathrm x_S=2\\%%

Setze x in %%{\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)%% ein.

%%\mathrm y=\frac12\cdot2+2\\%%

%%\mathrm y=1+2\\%%

%%\mathrm y_S=3\\%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(x_S|y_S\right)=\mathrm S\left(2|3\right)%%

Zeichung

Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt S. Diese legen die Geraden eindeutig fest.

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%%{\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)=2\mathrm x-1\;\;\;\;\;{\mathrm g}_2\left(\mathrm x\right)=-2\mathrm x+1%%

Geradenschnittpunkt berechnen

Setze %%{\mathrm g}_1(\mathrm x)%% und %%{\mathrm g}_2(\mathrm x)%% gleich.

%%2\mathrm x-1=-2\mathrm x+1\\%%

%%\left|+2\mathrm x\right.+1%%

%%2\mathrm x+2\mathrm x=1+1\\%%

%%4\mathrm x=2\\%%

%%\left|:4\right.%%

%%\mathrm x_S=\frac12\\%%

Setze x in %%{\mathrm g}_1(\mathrm x)%% ein.

%%\mathrm y=2\cdot\frac12-1\\%%

%%\mathrm y=1-1\\%%

%%\mathrm y_S=0\\%%

  %%\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(x_S|y_S\right)=\mathrm S\left(\frac12|0\right)%%

S ist der Schnittpunkt der Geraden.

Zeichnung

Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt S. Diese legen die Geraden eindeutig fest.

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%%{\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)=\frac34\mathrm x-4\;\;\;\;\;{\mathrm g}_2\left(\mathrm x\right)=-\frac12\mathrm x-1%%

Geradenschnittpunkt berechnen

Setze %%{\mathrm g}_1(\mathrm x)%% und %%{\mathrm g}_2(\mathrm x)%% gleich.

%%g_1(x)=g_2(x)\\%%

%%\frac34\mathrm x-4=-\frac12\mathrm x-1\\%%

%%\left|+\frac12\mathrm x+4\right.%%

%%\frac34\mathrm x+\frac12\mathrm x=-1+4\\%%

%%1,25\mathrm x=3\\%%

%%\left|:1,25\right.%%

%%\mathrm x=\frac3{1,25}\\%%

%%\mathrm x_S=2,4\\%%

Setze %%x_S%% in %%{\mathrm g}_1(\mathrm x)%% ein.

%%\mathrm y=\frac34\cdot2,4-4\\%%

%%\mathrm y=1,8-4\\%%

%%\mathrm y_S=-2,2\\%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(x_S|y_S\right)=\mathrm S\left(2,4|-2,2\right)%%

Zeichnung

Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt S. Diese legen die Geraden eindeutig fest.

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%%{\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)=-\frac12\mathrm x+2\;\;\;\;\;{\mathrm g}_2\left(\mathrm x\right)=\frac12\mathrm x+3%%

Geradenschnittpunkt berechnen

Setze %%{\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)%% und %%{\mathrm g}_2\left(\mathrm x\right)%% gleich.

%%g_1(X)=g_2(X)\\%%

%%-\frac12\mathrm x+2=\frac12\mathrm x+3\\%%

%%\left|+\frac12\mathrm x\right.-3%%

%%2-3=\frac12\mathrm x+\frac12\mathrm x\\%%

%%\mathrm x_S=-1\\%%

Setze %%x_S%% in %%{\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)%% ein.

%%\mathrm y=-\frac12\cdot\left(-1\right)+2\\%%

%%\mathrm y=\frac12+2\\%%

%%\mathrm y_S=2,5\\%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm S(x_S|y_S)=\mathrm S\left(-1|2,5\right)%%

S ist der Schnittpunkt der Geraden.

Zeichnung

Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt S. Diese legen die Geraden eindeutig fest.

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%%{\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)=\frac23\mathrm x+2\;\;\;\;\;{\mathrm g}_2\left(\mathrm x\right)=\frac12\mathrm x+3%%

Geradenschnittpunkt berechnen

Setze %%{\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)%% und %%{\mathrm g}_2\left(\mathrm x\right)%% gleich.

%%g_1(x)=g_2(x)\\%%

%%\frac23\mathrm x+2=\frac12\mathrm x+3\\%%

%%\left|-\frac12\mathrm x-2\right.%%

%%\frac23\mathrm x-\frac12\mathrm x=3-2\\%%

Bringe die Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner .

%%\frac46\mathrm x-\frac36\mathrm x=3-2\\%%

%%\frac16\mathrm x=1\\%%

%%\left|:\frac16\right.%%

%%\mathrm x=\displaystyle\frac1{\frac16}\\%%

Du dividierst durch einen Bruch %%\rightarrow%% Multipliziere mit dem Kehrwert.

%%\mathrm x_S=6\\%%

Setze %%x_S%% in %%{\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)%% ein.

%%\mathrm y=\frac23\cdot6+2\\%%

%%\mathrm y=4+2\\%%

%%\mathrm y_S=6%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm S(x_S|y_S)=\mathrm S\left(6|6\right)%%

Zeichnung

Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt S. Diese legen die Geraden eindeutig fest.

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%%{\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)=\frac34\mathrm x+1\;\;\;\;\;{\mathrm g}_2\left(\mathrm x\right)=\frac12\mathrm x+2%%

Geradenschnittpunkt berechnen

Setze %%{\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)%% und %%{\mathrm g}_2\left(\mathrm x\right)%% gleich.

%%g_1(x)=g_2(x)\\%%

%%\frac34\mathrm x+1=\frac12\mathrm x+2\\%%

%%\left|-\frac12x-1\right.%%

%%\frac34\mathrm x-\frac12\mathrm x=2-1\\%%

Bringe die Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner .

%%\frac34\mathrm x-\frac24\mathrm x=2-1\\%%

%%\frac14\mathrm x=1\\%%

%%\left|:\frac14\right.%%

%%\mathrm x=\displaystyle\frac1{\frac14}\\%%

Du dividierst durch einen Bruch %%\rightarrow%% Multipliziere mit dem Kehrwert.

%%\mathrm x_S=4\\%%

Setze %%x_S%% in %%{\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)%% ein.

%%\mathrm y=\frac34\cdot4+1\\%%

Kürze mit 4.

%%\mathrm y=3+1\\%%

%%y_S=4\\%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm S(x_S|y_S)=\mathrm S\left(4|4\right)%%

S ist der Schnittpunkt der Geraden

Zeichnung

Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt S. Diese legen die Geraden eindeutig fest.

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Betrachte folgende Graphen.
AufgabeLineareFunktionen3
Bestimme die Funktionsgleichungen von allen 4 Geraden.

f(x):y=mfx+bf\text f(x):y=m_fx+b_f

Um die Geradengleichung von f zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden f liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel A(03)A(0|3) und B(42)B(4|2). Bestimme mit diesen die Steigung von f mit der Formel.
mf=yByAxBxA\displaystyle m_f=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}
Setz die Werte ein.
mf=2340=14\displaystyle m_f=\frac{2-3}{4-0}=-\frac14

Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt bfb_f, indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf f liegt, oder abliest, bei welchem Wert f die y-Achse schneidet.
f(x):y=mfx+bf\text f(x):y=m_fx+b_f
Setz zum Beispiel AA ein.
3=140+bf\displaystyle 3=-\frac14\cdot0+b_f
Vereinfache.
3=bfbf=33=b_f\Rightarrow b_f=3
Also lautet die Geradengleichung f(x)=14x+3\displaystyle\text f(x)=-\frac14\cdot x+3.

g(x):y=mgx+bg\text g(x):y=m_gx+b_g

Um die Geradengleichung von g zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden g liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel C(40)C(-4|0) und D(01)D(0|1). Bestimme mit diesen die Steigung von g mit der Formel.
mg=yDyCxDxC\displaystyle m_g=\frac{y_D-y_C}{x_D-x_C}
Setz die Werte ein.
mg=100(4)=14\displaystyle m_g=\frac{1-0}{0-(-4)}=\frac14

Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt bgb_g, indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf g liegt, oder abliest, bei welchem Wert g die y-Achse schneidet.
g(x):y=mgx+bg\text g(x):y=m_gx+b_g
Setz zum Beispiel DD ein.
1=140+bg\displaystyle 1=\frac14\cdot0+b_g
Vereinfache.
1=bgbg=1\displaystyle 1=b_g\Rightarrow b_g=1
Also lautet die Geradengleichung g(x)=14x+1\displaystyle\text g(x)=\frac14\cdot x+1.

h(x):y=mhx+bh\text h(x):y=m_hx+b_h

Um die Geradengleichung von h zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden h liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel E(10)E(-1|0) und A(03)A(0|3). Bestimme mit diesen die Steigung von h mit der Formel.
mh=yAyExAxE\displaystyle m_h=\frac{y_A-y_E}{x_A-x_E}
Setz die Werte ein.
mh=300(1))=3\displaystyle m_h=\frac{3-0}{0-(-1))}=3

Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt bhb_h, indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf h liegt, oder abliest, bei welchem Wert h die y-Achse schneidet.
h(x):y=mhx+bh\text h(x):y=m_hx+b_h
Setz zum Beispiel AA ein.
3=30+bh3=3\cdot0+b_h
Vereinfache.
3=bhbh=33=b_h\Rightarrow b_h=3
Also lautet die Geradengleichung h(x)=3x+3\displaystyle\text h(x)=3\cdot x+3.

i(x):y=mix+bi\text i(x):y=m_ix+b_i

Um die Geradengleichung von i zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden i liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel F(03)F(0|-3) und S(60)S(6|0). Bestimme mit diesen die Steigung von i mit der Formel.
mi=ySyFxSxF\displaystyle m_i=\frac{y_S-y_F}{x_S-x_F}
Setz die Werte ein.
mi=0(3)60=12\displaystyle m_i=\frac{0-(-3)}{6-0}=\frac12

Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt bib_i, indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf i liegt, oder abliest, bei welchem Wert i die y-Achse schneidet.
i(x):y=mix+bi\text i(x):y=m_ix+b_i
Setz zum Beispiel FF ein.
3=120+bi\displaystyle-3=\frac12\cdot0+b_i
Vereinfache.
3=bibi=3-3=b_i\Rightarrow b_i=-3
Also lautet die Geradengleichung i(x)=12x3\displaystyle\text i(x)=\frac12\cdot x-3.
Bestimme den Schnittpunkt von  g  und  h , sowie  die Nullstelle von f.

Schnittpunkt P(xpyp)P(x_p|y_p) von g und h

Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach xx um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) g(x):y=14x+1\text g(x):y=\displaystyle\frac14x+1 und h(x):y=3x+3\text h(x):y=3x+3.
14xP+1=!3xP+3\displaystyle\frac14x_P+1\stackrel!=3x_P+3
3xp1|-3x_p-1
Subtrahiere 3xP3x_P und 1.
114xP=2\displaystyle -\frac{11}{4}x_P=2
÷(114)|\div\left(-\frac{11}4\right)
Dividiere durch 114-\frac{11}4.
xP=811\displaystyle x_P=-\frac8{11}
Setz nun 811-\frac8{11} in die Geradengleichung von g oder h ein, um yPy_P zu bestimmen.
h(xP):yP=3xP+3h(x_P):y_P=3\cdot x_P+3
Setz xPx_P ein.
yP=3(811)+3=911\displaystyle y_P=3\cdot\left(-\frac8{11}\right)+3=\frac9{11}
Die Geraden g und h schneiden sich also bei P(811911)\displaystyle P\left(-\frac8{11}\left|\frac9{11}\right.\right).

Die Nullstelle xNfx_{N_f} von f bestimmst du, indem du die Funktionsgleichung f(x):y=14x+3\displaystyle\text f(x):y=-\frac14x+3 mit 0 gleichsetzt und nach xx umformst.
14xNf+3=!0\displaystyle-\frac14x_{N_f}+3\stackrel!=0
3-3
Subtrahiere 3.
14xNf=3\displaystyle -\frac14x_{N_f}=-3
÷(14)|\div\left(-\frac14\right)
Dividiere durch 14-\frac14.
xNf=12\displaystyle x_{N_f}=12
Die Nullstelle von f ist also 12.
Berechne die beiden Schnittpunkte, die außerhalbdes Bildbereichs liegen.
Der Schnittpunkt von h und i und der Schnittpunkt von g und i liegen außerhalb des Bildbereichs.

Schnittpunkt T(xTyT)T(x_T|y_T) von h und i

Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach xx um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) h(x):y=3x+3h(x):y=3x+3 und i(x):y=12x3\displaystyle i(x):y=\frac12x-3.
3xT+3=!12xT3\displaystyle3x_T+3\stackrel!=\frac12x_T-3
12x3\left|-\frac12x-3\right.
Subtrahiere 12xT\frac12x_T und 3.
52xt=6\displaystyle \frac52x_t=-6
÷52|\div\frac52
Dividiere durch 52\frac52.
xT=125\displaystyle x_T=-\frac{12}5
Setz nun 125-\frac{12}5 in die Geradengleichung von h oder i ein, um yTy_T zu bestimmen.
h(xT):yT=3xT+3h(x_T):y_T=3⋅x_T+3
Setz xTx_T ein.
yT=3(125)+3=215\displaystyle y_T=3\cdot\left(-\frac{12}5\right)+3=-\frac{21}5
Die Geraden h und i schneiden sich also bei T(52215)\displaystyle T\left(-\frac52\left|-\frac{21}5\right.\right).

Schnittpunkt Q(xQyQ)Q(x_Q|y_Q) von g und i

Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach xx um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) g(x):y=14x+1\displaystyle g(x):y=\frac14x+1 und i(x):y=12x3\displaystyle i(x):y=\frac12x-3.
14xQ+1=!12xQ3\displaystyle\frac14x_Q+1\stackrel!=\frac12x_Q-3
12x1\left|-\frac12x-1\right.
Subtrahiere 12xT\frac12x_T und 1.
14xQ=4\displaystyle -\frac14x_Q=-4
÷(14)|\div(-\frac14)
Dividiere durch 14-\frac14.
xQ=16\displaystyle x_Q=16
Setz nun 1616 in die Geradengleichung von g oder i ein, um yQy_Q zu bestimmen.
g(xQ):yQ=14xQ+1\displaystyle g(x_Q):y_Q=\frac14⋅x_Q+1
Setz xQx_Q ein.
yQ=1416+1=5\displaystyle y_Q=\frac14\cdot16+1=5
Die Geraden g und i schneiden sich also bei Q(165)\displaystyle Q(16|5).
Wie viele Schnittpunkte gibt es höchstens bei vier Geraden, die jeweils nicht parallel sind?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem

Es gibt insgesamt 6 Schnittpunkte, nämlich die folgenden:
  • f und g
  • f und h
  • f und i
  • g und h
  • g und i
  • h und i
Bei vier Geraden schneidet die erste 3, die zweite noch 2 und die dritte noch 1:3+2+1=63+2+1=6

Berechne den Schnittpunkt der Geradenpaare.

%%y=3x+4%%

und %%\;%%

%%y=-2x+14%%

%%y=3x+4%% ; %%y=-2x+14%%  

Die Geraden werden gleichgesetzt um die x-Koordinate des zu berechnen.

%%3x+4=-2x+14%%

  %%\left|{+2x\;\;\;\left|{-4}\right.}\right.%%

     %%5x=10%%

  %%\left|{:5}\right.%%

       %%x=2%%

Den x-Wert in eine der beiden Geraden einsetzen, um die y-Koordinate des zu berechnen.

%%y=3\cdot2+4%%

Punkt vor Strich!

%%y=10%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Schnittpunkt: S(2|10)

 

%%y=6x-3%%

und %%\;%%

%%y=7x-11%%

%%y=6x-3%% ; %%y=7x-11%%

Die Geraden werden gleichgesetzt um die x-Koordinate zu berechnen.

%%6x-3=7x-11%%

%%\left|{+3\;\;\;\left|{-7x}\right.}\right.%%

     %%-x=-8%%

%%\left|{\;:(-1)}\right.%%

         %%x=8%%

Den x-Wert in eine der beiden Geraden einsetzen, um die y-Koordinate zu berechnen.

%%y=6\cdot8-3%%

Punkt vor Strich!

%%y=45%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Schnittpunkt: S(8|45)

 

%%y=8x+3%%

und %%\;%%

%%y=-4x+6%%

%%y=8x+3%% ; %%y=-4x+6%%

Die Geraden werden gleichgesetzt um die x-Koordinate des zu berechnen.

%%8x+3=-4x+6%%

%%\left|{-3\;\;\;\left|{+4x}\right.}\right.%%

    %%12x=3%%

%%\left|{\;:12}\right.%%

         %%x=\frac3{12}=\frac14%%

Den x-Wert in eine der beiden Geraden einsetzen, um die y-Koordinate des zu berechnen.

%%y=8\cdot\frac14+3%%

Punkt vor Strich!

%%y=5%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Schnittpunkt: S( %%\frac14%% | %%5%%)

 

%%y=\frac16x-4%%

und %%\;%%

%%y=\frac13x-10%%

%%y=\frac16x-4%% ; %%y=\frac13x-10%%

Die Geraden werden gleichgesetzt um die x-Koordinate zu berechnen.

%%\frac16x-4=\frac13x-10%%

%%\left|{-\frac13x\;\;\;\;\left|{+4}\right.}\right.%%

  %%-\frac16x=-6%%

%%\left|{\;:\left(-\frac16\right)}\right.%%

          %%x=36%%

Den x-Wert in eine der beiden Geraden einsetzen, um die y-Koordinate zu berechnen.

%%y=\frac13\cdot36-10%%

Punkt vor Strich!

%%y=2%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Schnittpunkt: S(36 | 2)

 

%%y=\frac12x+\frac32%%

und %%\;%%

%%y=\frac12%%

%%y=\frac12x+\frac32%% ; %%y=\frac12%%

Die Geraden werden gleichgesetzt um die x-Koordinate zu berechnen.

%%\frac12x+\frac32=\frac12%%

%%\left|{-\frac32}\right.%%

        %%\frac12x=-1%%

%%\left|{\;\cdot2}\right.%%

             %%x=-2%%

Den x-Wert in eine der beiden Geraden einsetzen, um die y-Koordinate zu berechnen.

%%y=\frac12%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Schnittpunkt: S(-2 | 0,5)

 

Zeige rechnerisch, dass sich die drei Geraden g1: y=0,5xy=0,5x   ;  g2: y=x1,5y=x-1,5   ;  g3: y=2x+7,5y=-2x+7,5    in genau einem Punkt schneiden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt zweier Geraden

g2: y=x1,5y=x-1,5   ;  g3: y=2x+7,5y=-2x+7,5
Es ist hier zu empfehlen, zunächst den Schnittpunkt von zwei Geraden zu berechnen und dann zu prüfen, ob der Schnittpunkt auch ein Punkt auf der anderen Gerade ist.
Zwei der drei Geraden werden gleichgesetzt um die x-Koordinate des Schnittpunktes zu berechnen.
x1,5=2x+7,5x-1,5=-2x+7,5
Addiere zunächst 2x und anschließend 1,5.
3x=93x=9
Dividiere durch 3.
x=3x=3
Den x-Wert in eine der beiden gleichgesetzten Geraden einsetzen (z. B. g2) um die y-Koordinate des Schnittpunktes von g2 und g3 zu berechnen.
y=31,5=1,5y=3-1,5=1,5
        \;\;\Rightarrow\;\; S(3|1,5)
Gerade überprüfen
g1: y=0,5xy=0,5x
Der Schnittpunkt wird nun in g1 eingesetzt. Das heißt, das x und y der Gerade g1 durch 3 und 1,5 ersetzt werden.
1,5=0,531,5=0,5\cdot3
Prüfe ob die so entstandene Aussage wahr ist, um festzustellen, ob g1 durch S läuft.
1,5=1,51,5=1,5
        \;\;\Rightarrow\;\; Dies ist eine wahre Aussage, also ist S der gemeinsame und einzige Schnittpunkt aller drei Geraden.
Prüfe, ob die Geraden g,h,ig, h, i durch einen Punkt verlaufen.
g(x)=x+1;          h:  2y+x+4=0;          i:  3y5x=7\mathrm g\left(\mathrm x\right)=\mathrm x+1;\;\;\;\;\;\mathrm h:\;2\mathrm y+\mathrm x+4=0;\;\;\;\;\;\mathrm i:\;3\mathrm y-5\mathrm x=7

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt von Geraden

Bringe zuerst alle Geraden in die allgeimeine Form y=mx+ty=mx+t.
Gerade g:
g(x)=x+1g(x)=x+1
y=x+1\Leftrightarrow y=x+1
Gerade h:
2y+x+4=02y +x +4=0
2y=x4\Leftrightarrow 2y=-x-4
y=12x2\Leftrightarrow y=-\frac12x-2
Gerade i:
3y5x=73y-5x=7
3y=5x+7\Leftrightarrow 3y=5 x+7
y=53x+73\Leftrightarrow y=\frac53 x+\frac73

Bestimme den Schnittpunkt von g und h

Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.
x+1=12x2+12x1x+1=-\frac12x-2\quad|+\frac12x-1
Sortiere nach xx-Termen und Zahlen.
x+12x=21x+\frac12x=-2-1
Fasse zusammen.
32x=3:32\frac32x=-3\quad|:\frac32
x=2x=-2
Setze in gg ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.
y=2+1=1y=-2+1=-1
Der Schnittpunkt ist Sgh(21).S_{gh}(-2\,|\,-1).

Bestimme den Schnittpunkt von g und i

Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.
x+1=53x+7353x1x+1=\frac53x+\frac73\quad|-\frac53x-1
Sortiere nach xx-Termen und Zahlen.
x53x=731x-\frac53x=\frac73-1
Fasse zusammen.
23x=43:(23)-\frac23x=\frac43\quad|:(-\frac23)

x=2x=-2
Setze in gg ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.
y=2+1=1y=-2+1=-1
Der Schnittpunkt ist Sgi(21).S_{gi}(-2\,|\,-1).
Da sich gg mit hh und mit ii im selben Punkt schneidet, schneiden sich auch hh und ii in diesem Punkt. Die Geraden laufen also alle durch den Punkt (21)(-2|-1).
g(x)=16x+32;          h(x)=23x+2;          i:  2xy=3\mathrm g\left(\mathrm x\right)=\frac16\mathrm x+\frac32;\;\;\;\;\;\mathrm h\left(\mathrm x\right)=-\frac23\mathrm x+2;\;\;\;\;\;\mathrm i:\;2\mathrm x-\mathrm y=3

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt von Geraden

Bringe zuerst alle Geraden in die allgeimeine Form y=mx+ty=mx+t.
Gerade g:
g(x)=16x+32g(x)=\frac16x+\frac32
y=16x+32\Leftrightarrow y=\frac16x+\frac32
Gerade h:
h(x)=23x+2h(x)=-\frac23x+2
y=23x+2\Leftrightarrow y=-\frac23x+2
Gerade i:
2xy=32x-y=3
y=2x3\Leftrightarrow y=2 x-3

Bestimme den Schnittpunkt von g und h

Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.
16x+32=23x+2+23x32\frac16x+\frac32=-\frac23x+2\quad|+\frac23x-\frac32
Sortiere nach xx-Termen und Zahlen.
16x+23x=232\frac16x+\frac23x=2-\frac32
Fasse zusammen.
56x=12:56\frac56 x=\frac12\quad\left|:\frac56\right.

x=35x=\frac35
Setze in gg ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.
y=1635+32y=\frac16\cdot\frac35+\frac32
    =110+32=1610\;\;\,=\frac{1}{10}+\frac32=\frac{16}{10}
    =85\;\;\,=\frac{8}{5}
Der Schnittpunkt ist Sgh(3585).S_{gh}\left(\frac35\,|\,\frac85\right).

Bestimme den Schnittpunkt von g und i

Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.
16x+32=2x32x32\frac16x+\frac32=2x-3\quad|-2x-\frac32
Sortiere nach xx-Termen und Zahlen.
16x2x=332\frac16x-2x=-3-\frac32
Fasse zusammen.
116x=92:(116)-\frac{11}{6}x=-\frac92\quad\left|:\left(-\frac{11}{6}\right)\right.

x=92611=2711x=\frac92\cdot\frac{6}{11}=\frac{27}{11}
Setze in gg ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.
y=162711+32y=\frac16\cdot\frac{27}{11}+\frac32
    =922+32=4222\;\;\,=\frac{9}{22}+\frac32=\frac{42}{22}
    =2111\;\;\,=\frac{21}{11}
Der Schnittpunkt ist Sgi(27112111).S_{gi}\left(\frac{27}{11}\,|\,\frac{21}{11}\right).
Damit schneidet die Gerade gg die Gerade hh in einem anderen Punkt als die Gerade ii. Also laufen die Geraden nicht durch einen Punkt.

Bestimmung von Schnittpunkten

Gegeben ist eine Gerade g und eine Gerade h.

Zu text-exercise-group 72135:
Renate 2020-08-03 19:00:39+0200
HINWEIS:
Diese Aufgabe ist im Kurs "Einführung in lineare Gleichungssysteme - Teil 1" eingebunden (auf https://de.serlo.org/72131).

Aufgrund des Kontextes dort wurde bei dieser Aufgabe vermutlich auf eine rechnerische Bestimmung des Schnittpunkts (die sich eigentlich anbieten würde, da ja die Geradengleichungen bestimmt werden) verzichtet.
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Bestimme die Geradengleichungen von g und h.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung

y=mx+t\displaystyle y = mx + t
Der Parameter mm ist die Steigung der Geraden. Der Parameter tt ist der y-Achsenabschnitt.
Gerade g:
y=mgx+tgy = m_gx + t_g
Die Gerade g hat die Steigung 32-\frac{3}{2}, das heißt mg=32m_g = -\frac{3}{2}.
y=32x+tgy = -\frac{3}{2}x + t_g
Sie schneidet die y-Achse bei 92\frac{9}{2}, das heißt tg=92t_g = \frac{9}{2}.
y=32x+92y = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2}
Gerade h:
y=mhx+thy = m_hx + t_h
Die Gerade h hat die Steigung 22, das heißt mh=2m_h = 2
y=2x+thy = 2x + t_h
Die Gerade schneidet die y-Achse bei 11, das heißt th=1t_h = 1.
y=2x+1y = 2x + 1
Lies den Schnittpunkt ab.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt

Schnittpunkte ablesen

Wir lesen aus der Zeichnung den Schnittpunkt SP(13)\text{SP} (1|3) ab.
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