Eine Gerade ist die unendliche Verlängerung der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten. Anschaulich ist eine Gerade eine unendlich lange, gerade Linie. Zwischen zwei Punkten gibt es immer genau eine Gerade.
Alle Geraden können durch eine lineare Gleichung dargestellt werden, daher nennt man Geraden auch lineare Funktionen .
Dieser Artikel befasst sich mit Geraden in der gewöhnlichen Analysis. Für Geraden in der analytischen Geometrie siehe: Artikel zum Thema

Allgemeine Geradengleichung

Um die Gerade aufzustellen, braucht man lediglich die Steigung und den Schnittpunkt der Gerade mit der y-Achse.
y=mx+t\displaystyle y=\textcolor{ff6600}{m}\cdot x+\textcolor{009999}{t}
Bei dieser Gleichung ist m\textcolor{ff6600}{m} die Steigung der Geraden und t\textcolor{009999}{t} der y-Wert, in dem die Gerade die y-Achse schneidet.

Bestandteile der Geradengleichung

Eine Geradengleichung besteht aus einer Steigung und dem y-Achsenabschnitt t. Diese Bestandteile werden im folgenden näher erläutert.
Als Beispiel betrachten wir die Gerade:
y=2x+3\displaystyle y=2x+3

Steigung

Die Steigung gibt an, wie schnell eine Gerade steigt oder fällt. Aus der gegebenen Gleichung kann man hier die Steigung m=2m=2 herauslesen.
Wüsste man das nicht, könnte man die Steigung auch anhand eines Steigungsdreiecks bestimmen. Dazu benötigt man mindestens zwei verschiedene Punkte, die man durch Einsetzen verschiedener x-Werte erhalten kann.

Der y-Achsenabschnitt t

Der y-Achsenabschnitt t gibt an, in welchem y-Wert die Gerade die y-Achse schneidet. Man erhält den Wert auch, indem man für x Null in die Geradengleichung einsetzt, da mxm\cdot x für den Fall x=0x=0 wegfällt und von der ursprünglichen Gleichung nur noch y=ty=t übrigbleibt.
Dass der y-Achsenabschnitt t im Beispiel den Wert 3 hat, erkennt man in der Zeichnung auch daran, dass die Gerade die y-Achse im Punkt B schneidet. B hat die Koordinaten (03)\left(0\left|3\right.\right).

Geradengleichung durch zwei verschiedene Punkte berechnen

Beispiel: Gegeben sind die Punkte A(-1|1) und B(2|3). Berechne die Gleichung der Geraden, die durch A und B verläuft.
  1. Berechne die Steigung mit dem Differenzenquontienten                 m=    1312=23=23m=\frac{\;\;1-3}{-1-2}=\frac{-2}{-3}=\frac23
  2. Setze m und einen beliebigen Punkt in die Geradengleichung ein, um t zu bestimmen. Wir verwenden den Punkt B. y=mx+t3=232+t                    43  343=t                                    t=53              \begin{array}{l}\begin{array}{ccccc}\mathrm y&=&\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t&&\\3&=&\frac23\cdot2+\mathrm t&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left|-\frac43\right.&\;\\3-\frac43&=&\mathrm t\;\;\;\;\;\;\;\;&\;\;&\;\end{array}\\\begin{array}{ccc}\;\;\;\;\;\;\;\mathrm t&=&\frac53\;\;\;\;\;\;\;\end{array}\\\\\end{array}
  3. Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.         y=23x+53\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm y=\frac23\mathrm x+\frac53
Stelle die Gleichung der Geraden durch die zwei Punkte auf und zeichne sie.

Berechne die Geradengleichung,  wenn die Steigung mm und ein Punkt PP gegeben sind.

Beispiel: Gegeben sind die Steigung m=4m=4 und der Punkt P(11)P(-1\vert1). Berechne die zugehörende Geradengleichung.

1. Setze mm und die Koordinaten des Punktes PP in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach tt auf.

y=mx+t1=4(1)+t          +4  1+4=t                                                  t=5              \displaystyle \begin{array}{l}\begin{array}{ccccc}\mathrm y&=&\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t&&\\1&=&4\cdot(-1)+\mathrm t&\;\;\;\;\;\left|+4\right.&\;\\1+4&=&\mathrm t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&\;\;&\;\end{array}\\\begin{array}{ccc}\;\;\;\;\;\;\;\mathrm t&=&5\;\;\;\;\;\;\;\end{array}\\\\\end{array}
\displaystyle
2. Setze mm und tt in die allgemeine Geradengleichung ein     y=4x+5\Rightarrow \;\;y=4x+5

Berechne die Geradengleichung,  wenn der yy-Achsenabschnitt tt und ein Punkt PP gegeben sind.


Beispiel: Gegeben sind der yy-Achsenabschnitt t=3t =-3 und der Punkt P(21)P(2\vert1). Berechne die zugehörende Geradengleichung.

1. Setze tt und die Koordinaten des Punktes PP in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach mm auf.
 y=mx+t1=m23+3  1+3=            m2              :2                m  =  2              \displaystyle \begin{array}{l}\begin{array}{ccccc}\ y&=&\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t&&\\1&=&\mathrm m\cdot2-3&\left|+3\right.&\;\\1+3&=&\;\;\;\;\;\;\mathrm m\cdot 2\;\;\;\;\;\;\;\left|:2\right.&\;\end{array}\\\begin{array}{ccc}\;\;\;\;\;\;\;\mathrm m\;=\;2\;\;\;\;\;\;\;\end{array}\\\\\end{array}
2. Setze mm und tt in die allgemeine Geradengleichung ein     y=2x3\Rightarrow \;\;y=2x-3

Allgemeine Geraden (interaktiv)

GeoGebra

Besondere Geraden

Ursprungsgeraden

Eine Gerade, die durch den Nullpunkt (oder auch Koordinatenursprung) geht, bezeichnet man als Ursprungsgerade. Eine solche Gerade hat immer die Geradengleichung y=mxy=m\cdot x , da t=0t=0 gilt.
Eine Ursprungsgerade ist der Funktionsgraph einer direkten Proportionalität .

Konstante Funktionen

Eine Gerade, die parallel zur x-Achse verläuft, hat die Form y=cy=c und wird als konstante Funktion bezeichnet, da sie immer den gleichen, konstanten Wert annimmt.

Senkrechte Geraden

Eine Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft, ist keine Funktion (siehe Definition einer Funktion), sondern eine Relation. Sie kann nicht mit der allgemeinen Geradengleichung beschrieben werden, da die Steigung unendlich wäre.
Eine Gleichung für eine Senkrechte hat die Form x=c\mathrm x=\mathrm c .

Die Identität

Die Ursprungsgerade mit der Funktion y=xy=x nennt man Identität. Sie ist die Winkelhalbierende des ersten und dritten Quadranten des Koordinatensystems.
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Zu article Geradengleichung:
JulianWR 2020-07-27 15:30:04+0200
Hallo, es wäre bestimmt hilfreich, hier auch noch zu erwähnen, wie man die Geradengleichung aufstellt, wenn man nur EINEN Punkt und dafür noch die Steigung m oder den y-Achsenabschnitt t gegeben hat.
LG
Julian
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Zu article Geradengleichung:
Europhia 2017-02-12 15:15:33+0100
Hallo, ich würde mich sehr freuen, wenn es die Möglichkeit gäbe, diese übersichtliche Darstellung als PDF abzuspeichern. Ist das möglich?
Nish 2017-02-12 16:34:49+0100
Hallo Europhia,

leider gibt es auf Serlo diese Möglichkeit noch nicht und hat momentan, soweit ich weiß, auch keine hohe Priorität im Technik Team. Sorry! Danke dennoch für deine Mitteilung.
Da mir schon mehrere Leute, diesen Wunsch mitgeteilt haben, versuche ich immer mal wieder das Technik Team darauf anzusprechen.
Ich setze es mir mal auf meine Aufgaben-Liste und spreche das Technik Team demnächst darauf an und gib dir Rückmeldung.

Eine Idee, die mir hier einfällt, wie du dir den Artikel dennoch als PDF abspeichern könntest: Du könntest ein Screenshot von dem Artikel machen (z.B. mit dem Programm Snipping Tool) (wahrscheinlich geht es aber nur stückweise). Diese Screenshots kannst du dann als Bild speichern und aus diesem Bild kannst du wiederum mit einem PDF Creater Progamm ein PDF daraus machen. Ob das gut funktioniert, musst du einfach ausprobieren.

LG,
Nish
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Zu article Geradengleichung: Geogebra
Nessa 2015-11-26 19:53:32+0100
Statt Graphiken wird mir "Illegal Injection found" angezeigt. Ist das nur temporär/ bei mir so?