Eine quadratische Funktion ist ein Polynom zweiten Grades, also eine Funktion der Form:
f(x)=ax2+bx+c\boldsymbol f\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol)\boldsymbol=\boldsymbol a\boldsymbol x^\mathbf2\boldsymbol+\boldsymbol b\boldsymbol x\boldsymbol+\boldsymbol c   mit     a0\;\;a\neq0\\
 

Graph    

Der Graph einer quadratischen Funktion ist immer eine Parabel.
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Nullstellen

Quadratische Funktionen sind Polynome zweiten Grades und haben deswegen höchstens zwei reelle Nullstellen.
Die Anzahl der Nullstellen wird durch die Diskriminante   D=b24acD=b^2-4\mathrm{ac} der Funktion angegeben:
Vorzeichen der Diskriminante
D<0
D=0
D>0
Graph der Funktion (schematisch)
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1447.xml
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1441.xml
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1449.xml
Anzahl der Nullstellen
keine Nullstellen
eine doppelte Nullstelle
zwei einfache Nullstellen
Um die Lage der Nullstellen zu bestimmen, muss man eine quadratische Gleichung lösen, z.B. mithilfe der Mitternachtsformel, bei der die Funktion gleich 0 gesetzt werden muss.
 

Scheitel

Als Scheitel einer Parabel bezeichnet man ihr Extremum. Es liegt immer bei x=b2ax=-\frac b{2a}.
Man erhält den Scheitelpunkt einer Parabel entweder durch quadratische Ergänzung oder wie bei allen Funktionen durch die erste Ableitung.
Setzt man den x-Wert wieder in die Gleichung der quadratischen Funktion ein, erhält man den Scheitelpunkt, dieser hat dann die Koordinaten:
S=(b2a  cb24a)\displaystyle S = \bigg( -\frac{b}{2\cdot a}\bigg|\; c-\frac{b^2}{4\cdot a}\bigg)\\
   

Darstellungsformen einer quadratischen Funktion

Der Funktionsterm einer quadratischen Funktion kann - ggf. nach Umformung bzw. Zusammenfassung - vorliegen in:
f(x)=ax2+bx+c\boldsymbol f\left(\mathbf x\right)\boldsymbol=\boldsymbol a\boldsymbol x^\mathbf2\boldsymbol+\boldsymbol b\boldsymbol x\boldsymbol+\boldsymbol c
f(x)=a(xd)2+e\boldsymbol f\left(\mathbf x\right)\boldsymbol=\boldsymbol a\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol-\boldsymbol d\boldsymbol)^\mathbf2\boldsymbol+\boldsymbol e
f(x)=a(xx1)(xx2)\boldsymbol f\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol)\boldsymbol=\boldsymbol a\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol-{\boldsymbol x}_\mathbf1\boldsymbol)\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol-{\boldsymbol x}_\mathbf2\boldsymbol)
Bedeutung der Koeffizienten einer quadratischen Funktion    
Eine quadratische Funktion hat in allgemeiner Form eine Gleichung der Form f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^2+bx+c .
Die Koeffizienten a, b und c verformen und / oder verschieben die Parabel. Welchen genauen Einfluss sie auf die Form des Graphen haben, kann aber nur anhand der Scheitelform gesehen werden.
Vergleiche dazu den Artikel Einfluss der Parameter in der Scheitelform.

Video zur Scheitelform

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Zu article Quadratische Funktion: Bespiele
Seiman108 2015-10-21 15:16:29+0200
Hallo! Ich wollte
Fragen ob villeicht jemand eine paar gute Beispiel zu Quadratischen Funktionen mit Lösungen und erklärungen hat. Dankeschön schonmal!
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Zu article Quadratische Funktion:
Simon 2018-03-26 19:59:09+0200
Hi zusammen. Hier etwas Feedback auf den ersten Blick:
- Die Hierarchie der Überschriften wird nicht eingehalten.
- Sind Begriffe wie "Polynom" und "reell" bei der Einführung der quadratischen Funktion schon bekannt? Der Artikel wirkt insgesamt sehr fachlich und wenig an den Bedarfen und dem Kenntnisstand der SchülerInnen ausgerichtet.
- Es fehlen Beispiele und Beispielaufgaben.
- Es fehlt ein Einführungsvideo.
- Es fehlt die Verlinkung zu einem Einführungskurs.
Liebe Grüße!
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Zu article Quadratische Funktion:
WilliRoeste 2020-01-13 07:38:20+0100
Also ich finde diese Seite nicht gut erklärt. Konnte meiner 3-jährigen Tochter die quadratischen Funktionen einfach nicht beibringen! Schade... Vielleicht liegt das aber auch an meinen Erklärkünsten... Danke... Könnte ich Sterne geben, wäre ich 2/10.
Nish 2020-01-13 23:12:44+0100
Hallo WilliRoeste,

danke erstmal für das wertvolle Feedback! Wir schauen bei Gelegenheit nochmal drüber, was man alles noch besser machen kann. Man sieht, dass hier Bedarf ist (siehe auch Kommentar vom Autor Simon), allerdings ist wohl bisher noch niemand dazu gekommen, diesen zu überarbeiten.

Was fehlt ihnen noch oder welche Abschnitte konkret sind schwer verständlich?

Meinen sie wirklich 3-jährige Tochter? Da ist es kein Wunder ;) Falls sie oder ihre Tochter konkrete Fragen haben, können Sie diese hier natürlich stellen, und ich oder andere aus der Community helfen Ihnen gerne weiter.

Zur Info: Es handelt sich hier um einen Artikel, der das Thema nur kurz zusammenfassen soll. Ausführlichere Erklärungen und Einführungen zu den Themen sollen dann in einem Kurs ausgearbeitet werden. Wenn Sie mir sagen, was sie genau suchen, können wir auch mal im gesamten Themenbaum schauen, ob es nicht passende Inhalt und v.a. passende Übungsaufgaben mit guten Müsterlösungen gibt.

LG,
Nish
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