Aufgaben
Berechne den Flächeninhalt folgender Dreiecke.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks

Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks an.
A=12gh.\displaystyle A_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h.
In diesem Fall ist g=8cmg = 8\,\mathrm{cm} und h=5cmh = 5\,\mathrm{cm}, also ist der Flächeninhalt
A=128cm5cm=20cm2.\displaystyle A_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \text{cm} \cdot 5 \text{cm} = 20 \text{cm}^2.
Gegeben ist die Höhe h=6cmh=6\,\mathrm{cm} und die Grundlinie g=6,4cmg=6{,}4\,\mathrm{cm}.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks

Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks an.
A=12gh.\displaystyle A_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h.
In diesem Fall ist g=6,4cmg = 6{,}4\,\mathrm{cm} und h=6cmh = 6\,\mathrm{cm}, also ist der Flächeninhalt
A=126,4cm6cm=19,2cm2.\displaystyle A_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot 6,4 \text{cm} \cdot 6 \text{cm} = 19,2 \text{cm}^2.
Gegeben ist die Höhe h=7cmh=7\,\mathrm{cm} und die Grundlinie g=3,7cmg=3{,}7\,\mathrm{cm}.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks

Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks an.
A=12gh.\displaystyle A_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h.
In diesem Fall ist g=3,7cmg = 3{,}7\,\mathrm{cm} und h=7cmh = 7\,\mathrm{cm}, also ist der Flächeninhalt
A=123,7cm7cm=12,95cm2.\displaystyle A_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot 3,7 \text{cm} \cdot 7 \text{cm} = 12,95 \text{cm}^2.

Berechne das Gesuchte im gegebenen Dreieck.

Gegeben ist die Höhe %%h=5\,\mathrm{cm}%% und der Flächeninhalt %%A_{\Delta}=25\,\mathrm{cm}^2%%. Berechne die Grundseite %%g%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Benutze die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks. $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$

Hier willst du aber die Länge der Grundseite %%g%% und nicht %%A%% berechnen. Die Formel hilft dir trotzdem weiter. :)

%%A_\Delta = \dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h%%

Setze alles, was du weißt, in die Formel ein.

%%25\,\mathrm{cm}^2 = \dfrac{1}{2}\cdot g\cdot 5\,\mathrm{cm}%%

Teile beide Seiten durch %%5\,\mathrm{cm}%%.

%%5\,\mathrm{cm} = \dfrac{1}{2}\cdot g%%

Multipliziere mit 2.

%%10\,\mathrm{cm}=g%%

Die Grundseite %%g%% ist also %%10\,\mathrm{cm}%% lang.

Gegeben ist die Grundlinie %%g=10\,\mathrm{cm}%% und der Flächeninhalt %%A_{\Delta}=8\,\mathrm{cm}^2%%. Berechne die Höhe %%h%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Benutze die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks. $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$

Hier willst du aber die Höhe %%h%% und nicht %%A%% berechnen. Die Formel hilft dir trotzdem weiter. :)

%%A_\Delta = \dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h%%

Setze alles, was du weißt, in die Formel ein.

%%8\,\mathrm{cm}^2= \dfrac{1}{2}\cdot 10\,\mathrm{cm}\cdot h%%

Teile beide Seiten durch %%10\,\mathrm{cm}%%.

%%0{,}8\,\mathrm{cm}= \dfrac{1}{2}\cdot h%%

Multipliziere beide Seiten mit %%2%%.

%%1{,}6\,\mathrm{cm}=h%%

Die gesuchte Höhe %%h%% ist also %%1{,}6\,\mathrm{cm}%% lang.

Gegeben ist der Flächeninhalt %%A_{\Delta}=64\,\mathrm{cm}^2%% und die Grundlinie %%g=8\,\mathrm{cm}%%. Berechne die Höhe %%h%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Benutze die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks. $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$

Hier willst du aber die Länge der Grundlinie %%g%% und nicht %%A%% berechnen. Die Formel hilft dir trotzdem weiter. :)

$$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$

Setze alles, was du weißt, in die Formel ein.

$$64\,\mathrm{cm}^2 = \frac{1}{2}\cdot g\cdot 8\,\mathrm{cm}$$

Teile beide Seiten durch %%8\,\mathrm{cm}%%.

$$8\,\mathrm{cm} = \frac{1}{2}\cdot g$$

Multipliziere beide Seiten mit %%2%%.

$$16\,\mathrm{cm} = g$$

Damit hat also die Grundlinie die gesuchte Länge %%g = 16\,\mathrm{cm}%%.

Gegeben ist der Flächeninhalt %%A_{\Delta}=16\,\mathrm{cm}^2%% und die Höhe %%h=8\,\mathrm{cm}%%. Berechne die Grundseite %%g%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Benutze die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks. $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$

Hier willst du aber die Länge der Grundlinie %%g%% und nicht %%A%% berechnen. Die Formel hilft dir trotzdem weiter. :)

$$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$

Setze alles, was du weißt, in die Formel ein.

$$16\,\mathrm{cm}^2 = \frac{1}{2}\cdot g\cdot 8\,\mathrm{cm}$$

Teile beide Seiten durch %%8\,\mathrm{cm}%%.

%%2\,\mathrm{cm} = \dfrac{1}{2}\cdot g%%

Multipliziere beide Seiten mit %%2%%.

%%4\,\mathrm{cm} = g%%.

Damit hat die Grundlinie die gesuchte Länge %%g = 4\,\mathrm{cm}%%.

Gegeben ist die Höhe %%h=5\,\mathrm m%% und die Grundseite %%g=2\,\mathrm{dm}%%. Berechne den Flächeninhalt %%A_{\Delta}%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$ an. In diesem Fall ist %%g = 2\,\mathrm{dm}%% und %%h = 5\,\mathrm m%%. Diese Zahlen müssen erst in dieselbe Einheit umgerechnet werden.

$$h = 5\,\mathrm m = 50\,\mathrm{dm}$$

Dann wird daraus %%g = 2\,\mathrm{dm}%% und %%h = 50\,\mathrm{dm}%%, also ist der Flächeninhalt $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot 2\,\mathrm{dm}\cdot 50\,\mathrm{dm} = 50\,\mathrm{dm}^2.$$

Gegeben ist die Höhe %%h=45\,\mathrm{cm}%% und die Grundseite %%g=5{,}25\,\mathrm{cm}%%. Berechne den Flächeninhalt %%A_{\Delta}%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$ an. In diesem Fall ist %%g = 5{,}25\,\mathrm{cm}%% und %%h = 45\,\mathrm{cm}%%, also ist der Flächeninhalt $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot 5{,}25\,\mathrm{cm}\cdot 45\,\mathrm{cm} = 118{,}125\,\mathrm{cm}^2.$$

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ΔABC\Delta ABC, wenn die Punkte AA, BB und CC folgendermaßen gegeben sind:
A(20),B(51),C(24)A(2|0), B(5|1), C(2|4)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecksfläche

AΔABC=?A_{\Delta ABC}=?
AΔABC=12gh\displaystyle A_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h
Dabei ist gg die Grundlinie und hh die Höhe des Dreiecks.
Bei dem Dreieck in dieser Aufgabe ist
  • hbh_{b} parallel zur xx-Achse ("waagrecht" im Koordinatensystem) und
  • bb parallel zur yy-Achse ("senkrecht" im Koordinatensystem).
Bei solchen "gerade" im Koordinatensystem liegenden Strecken kann man die Länge leicht aus den Koordinaten berechnen; daher wählst du die Seite bb als Grundlinie.
AΔABC=12bhbA_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot b \cdot h_b
Um bb zu bestimmen, berechnest du die Differenz der yy-Koordinaten von CC und AA,
b=40=4b=4-0=4
und um hbh_b zu berechnen, subtrahierst du die xx-Koordinaten von BB und AA (oder CC).
hb=52=3h_b=5-2=3
Das brauchst du jetzt beides nur noch einzusetzen, und dann kannst du das Ergebnis ausrechnen.
AΔABC=12bhb=1243=122=6\displaystyle A_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot b \cdot h_b=\frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 3=\frac{12}{2}=6
Antwort: Die Dreiecksfläche ist 66 Flächeneinheiten groß.
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ΔPQR\Delta PQR, wenn die Punkte PP, QQ und RR folgendermaßen gegeben sind:
Berechne den Flächeninhalt folgender Dreiecke.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks

A=12absin(γ)\displaystyle A=\frac12\cdot a\cdot b\cdot\sin(\gamma)
A=1223cm12cmsin(36)\displaystyle A=\frac12\cdot23\,\mathrm{cm}\cdot12\,\mathrm{cm}\cdot\sin(36^\circ)
A=138cm2sin(36)\displaystyle A=138\,\mathrm{cm}^2\cdot\sin(36^\circ)
A=81,11436482cm2\displaystyle A=81{,}11436482\,\mathrm{cm}^2
a=600mm,b=24cm,γ=40a=600\,\mathrm{mm},\,b=24\,\mathrm{cm},\,\gamma=40^\circ

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks

600mm=60cm\displaystyle 600\,\mathrm{mm} = 60\,\mathrm{cm}
A=12absin(γ)\displaystyle A=\frac12\cdot a\cdot b\cdot\sin(\gamma)
A=1260cm24cmsin(40)\displaystyle A=\frac12\cdot60\,\mathrm{cm}\cdot24\,\mathrm{cm}\cdot \sin(40^\circ)
A=720cm2sin(40)\displaystyle A= 720\,\mathrm{cm}^2\cdot\sin(40^\circ)
A=462,807079cm2\displaystyle A=462{,}807079\,\mathrm{cm}^2
a=15cm,b=31cm,γ=12πa\,=15\,cm\,, b=\,31\,cm,\,\gamma =\frac12\,\pi

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks

Der Winkel γ\gamma ist hier im Bogenmaß angegeben, rechne ihn zunächst ins Gradmaß um.
12\displaystyle\frac12π=30{}=30^\circ
A=12absin(γ)\displaystyle A=\frac12\cdot a\cdot b\cdot \sin(\gamma)
A=1215cm31cmsin(30)\displaystyle A=\frac12\cdot 15\,\mathrm{cm}\cdot 31\,\mathrm{cm}\cdot \sin(30^\circ)
A=232,5cm2sin(30)\displaystyle A= 232{,}5\,\mathrm{cm}^2\cdot \sin(30^\circ)
A=116,25cm2\displaystyle A=116{,}25\,\mathrm{cm}^2
Berechne den Flächeninhalt des grünen Achtecks ABCDEFGH.
cm^2

Extremwertaufgaben der Flächenberechnung von Dreiecken

In den folgenden Aufgaben werden verschiedene Dreiecke beobachtet. Ziel der gesamten Aufgabe ist es, dasjenige Dreieck zu finden, das die maximale ( = größtmögliche ) Fläche hat.

Nun sollen Dreiecke %%A_x B_x C_x%% aus dem Dreieck %%ABC%% entstehen, indem die Grundseite %%[AB]%% von beiden Seiten um %%0,2x\ cm%% verkürzt werden und die Höhe %%h%% um %%\frac{1}{2}x%% verlängert wird.

Zeichne die Dreiecke %%A_x B_x C_x%% für %%x = 1%%, %%x = 5%% und %%x = 6%% in dasselbe Koordinatensystem wie das Dreieck %%ABC%% ein.

Beispiel zur Flächenberechung eines Dreiecks
In Bild A sieht man sofort, dass der Flächeninhalt des gelben Dreiecks halb so groß ist wie der des umgebenden Rechtecks. Gilt dies auch für die Bilder B und C? Begründe deine Antwort mit Hilfe geeigneter Skizzen.
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2000.xml
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1998_Z3hQIf8E1g.xml

Trage die Punkte A(2|-1) und B(6|-1) in ein Koordinatensystem (1 LE = 1 cm) ein. Die Strecke %%\overline{AB}%% wir hier mit %%c%% bezeichnet. Gib mindestens 3 Möglichkeiten für die Koordinaten des Punktes C an, so dass das Dreieck ABC einen Flächeninhalt von 4 cm² hat. Gib auch die Koordinaten eines Punktes D an, so dass das Dreieck einen doppelt so großen Flächeninhalt wie das Dreieck ABC hat. die Strecke %%\overline{BD}\;%% wird hier mit %%a%% bezeichnet.

Geogebra File: /uploads/legacy/4666_oTSpu92HWE.xml

Rechnen mit Dreiecken

[wiki=38][/wiki]

  

Teilaufgabe a

Punkte in Koordinatensystem einzeichnen.

gegeben sind :  %%\begin{array}{l}A_{Dreieck}=4cm^2\\\overline{AB}=4cm\end{array}%%         gesucht ist : %%x%%

Flächeninhalt Dreieck %%=\frac12ch%% da rechtwinklig.

%%0,5\cdot4cm\cdot x=4cm^2%%

%%\left|:0,5\cdot4\right.%%      

%%x=\frac{4cm^2}{2cm}%% %%=2cm%%

= Länge der Seite %%\overline{BC_1}%%     bzw. Länge der Höhe h      Es gilt: %%\frac12\cdot gh%%

Danach muss also nur erschlossen werden, für welche Koordinaten des Punktes C in Abhängigkeit vom Punkt B bzw. für welche Höhe h dies gilt.

   

Teilaufgabe b

%%2\cdot A_{Dreieck_A}=\frac12\cdot c_{Dreieck_B}\cdot a_{Dreieck_B}%%

%%c=h=\overline{AB}=4cm%%       %%c=h%% da rechtwinkliges Dreieck

%%8cm^2=0,5\cdot4cm\cdot x%%

%%4cm=x%%

= Länge der Seite %%\overline{BD}%%    bzw. Länge der Höhe h wenn gilt: %%A=\frac12gh%%

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