Aufgaben

Wähle die richtige Antwort aus.

Wie berechnet man den Flächeninhalt AA von einem Kreis mit Radius rr?
A=πr2A=\pi \cdot r^2
A=π2rA=\pi^2 \cdot r
A=r2πA=\dfrac{r}{2}\cdot \pi
A=2πrA = 2\cdot \pi \cdot r

Radius

Die Formel findest du im Artikel zum Radius.
Die richtige Antwort ist A=πr2A=\pi \cdot r^2. Sie ist die einzige Formel unter den Antwortmöglichkeiten, bei der du eine Fläche als Ergebnis erhältst. Rechne zum Beispiel mit r=1 cmr=1\text{ cm}. Dann erhältst du A=π1 cm23,14 cm2A=\pi \cdot 1 \text{ cm}^2 \approx 3,14 \text{ cm}^2. In den anderen Formeln kommt der Radius rr ohne Quadrat vor und dein Ergebnis wird keine Fläche.
Welche Formel stimmt? (Mit AA ist der Flächeninhalt vom Kreis gemeint.)
Kreis Kreisbegriffe
A=Ur2A =\dfrac{U\cdot r}{2}
A=πrA=\dfrac{\pi}{r}
r=2dr=2 \cdot d
U=πrU=\pi \cdot r

Berechnungen am Kreis

Für die Lösung brauchst du Wissen über die Formeln zum Kreis.
Die richtige Antwort ist A=Ur2A=\dfrac{U\cdot r}{2}.
Um zu überprüfen, dass die Antwort stimmt, kannst du die Formel für den Umfang U=2πrU=2 \cdot \pi \cdot r einsetzen.
A=Ur2=2πrr2A=\dfrac{U\cdot r}{2} =\dfrac{2 \cdot \pi \cdot r \cdot r}{2}
Kürze den Bruch.
A=πrr=πr2A=\pi \cdot r \cdot r = \pi \cdot r^2
Das ist die richtige Formel für den Flächeninhalt. Es wurden nur Äquivalenzumformungen verwendet. Deshalb ist auch die Ausgangsformel A=Ur2A=\frac{U \cdot r}{2} richtig.

Auf welchem Bild ist ein Kreissegment dargestellt?

Falsch. Das ist ein Kreisbogen.

Leider falsch. Das ist ein Kreissektor.

Falsch. Das hier hat keinen besonderen Namen.

Richtig. Gut gemacht!

Bestimme den Flächeninhalt der folgenden Kreissektoren. Gib deine Lösungen auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet ein.
Kreissektor  mit Mittelpunktswinkel

Der Flächeninhalt eines Kreissektors

Du benötigst die Formel für die Berechnung der Kreissektorfläche um diese Aufgabe zu lösen:
A=r2πα360\displaystyle A=r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac\alpha{360^\circ}
Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen. Rechne anschließend den Term aus:

A=r2πα360°=102π25°360°=100π57221,82\displaystyle \begin{array}{rl}A&= r^2\cdot \pi \cdot \frac{\alpha}{360°}\\&=10^2\cdot \pi \cdot \frac{25°}{360°}\\&=100\cdot \pi \cdot \frac{5}{72}\\&\approx 21,82\end{array}

Kreissektor mit Bogenlänge

Der Flächeninhalt eines Kreissektors

Um diese Aufgabe zu lösen, musst du wissen, wie man den Flächeninhalt eines Kreissektors berechnet.
ASektor=br2\displaystyle \displaystyle A_\text{Sektor}=\frac{b\cdot r}2
Setze die Bogenlänge und den Radius in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
ASektor=br2=5,8262=17,46  \displaystyle \displaystyle A_\text{Sektor}=\frac{b\cdot r}2=\:\frac{5,82\cdot6}2=17,46\;
Kreissektor mit Mittelpunktswinkel

Der Flächeninhalt eines Kreissektors

Um diese Aufgabe zu lösen, musst du wissen, wie man den Flächeninhalt eines Kreissektors berechnet:
A=r2πα360\displaystyle A=r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac\alpha{360^\circ}
Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
A=r2πα360=82π60360\displaystyle A=r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac\alpha{360^\circ}=8^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac{60^\circ}{360^\circ}
Rechne aus und runde auf zwei Stellen nach dem Komma.
=  64π1633,51\displaystyle =\;64\cdot\mathrm\pi\cdot\frac{1}{6}\approx33,51
Kreissektor mit Mittelpunktswinkel und Bogenlänge

Der Flächeninhalt eines Kreissektors

Hier gibt es zwei Lösungsmöglichkeiten. Die benötigten Formeln findest du im Artikel zum Flächeninhalt eines Kreissektors.

1. Möglichkeit: Mit dem Radius und dem Mittelpunktswinkel

Benutze die Formel, in der α\alpha und rr vorkommen:
A=r2πα360\displaystyle A=r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac\alpha{360^\circ}
Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
A=r2πα360=82π125360\displaystyle A=r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac\alpha{360^\circ}=8^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac{125^\circ}{360^\circ}
Berechne.
=  64π257269,81\displaystyle =\;64\cdot\mathrm\pi\cdot\frac{25}{72}\approx69,81

2. Möglichkeit: Mit dem Radius und der Länge des Kreisbogens

Benutze die Formel, in der bb und rr vorkommen:
ASektor=br2\displaystyle \displaystyle A_\text{Sektor}=\frac{b\cdot r}2
Setze die Bogenlänge und den Radius in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
ASektor=br2=17,4482=69,76  \displaystyle \displaystyle A_\text{Sektor}=\frac{b\cdot r}2=\:\frac{17,44\cdot8}2=69,76\;
Die kleine Abweichung zum vorherigen Ergebnis kommt vom Runden der Länge des Kreisbogens.
Der abgebildete Rasensprenger schwenkt um 40° und besprüht so eine Rasenfläche von 20m220\:m^2.
Wie groß ist seine Reichweite?
Gib das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet ein.
m
Bei dieser Aufgabe musst du den Radius eines Kreissektors berechnen.
Die besprühte Rasenfläche bildet einen Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel φ=40\varphi=40^\circ und dem gesuchten Radius r.
r2πφ360=20  m2\dfrac{r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm\varphi}{360^\circ}=20\;m^2
Setze den Wert φ=40\varphi = 40^\circ in die Formel ein.
r2π40360=20  m2\dfrac{r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm40^\circ}{360^\circ}=20\;m^2
Kürze die Winkel
r2π9=20  m2\dfrac{r^2\cdot\mathrm\pi}{9}=20\;m^2
Löse die Gleichung nach r auf.
r=180  m2π=180πm7,57 mr=\sqrt{\dfrac{180\;m^2}{\pi}} = \sqrt{\dfrac{180}{\pi}}m \approx 7,57\ m

Der Rasensprenger reicht also 7,57m7,57\,\text{m} weit.

Berechne den Umfang der abgebildeten Figuren.

Beachte bei der Eingabe der Ergebnisse ins entsprechende Eingabefeld auf Folgendes:

Gib die Ergebnisse auf eine Stelle nach dem Komma gerundet und ohne Einheit ein.

Fläche eines Viertelkreises

Berechnungen am Kreis

In dieser Aufgabe geht es um Berechnungen am Kreis.

Umfang des Kreises: %%U\;=\;2\cdot\pi\cdot r%%

Bei der Figur handelt es sich um einen rechtwinkligen Kreisausschnitt, also einen Kreisausschnitt mit %%90^\circ%%.

Du kannst demnach diese Gleichung durch 4 teilen bzw. mal ein Viertel nehmen, um den Umfang des Kreisbogens %%U_{Kreisbogen}%% zu bestimmen.

%%U_{Kreisbogen}\;=\;\frac14\cdot2\cdot\pi\cdot r%%

Alternativ

%%U_{Kreisbogen}\;=\;2\cdot\pi\cdot r \cdot \frac{90^\circ}{360^\circ} = \frac14\cdot2\cdot\pi\cdot r%%

Alternativ kannst du aber auch gleich die Formel für die Kreisbogenlänge mit dem Winkel %%\varphi = 90^\circ%% verwenden.

Jetzt fehlen noch die 2 geraden Stücke. Diese haben gerade jeweils die Länge des Radius %%r%% des Kreises. Also musst du noch zwei Mal den Radius des Kreises addieren, um den gesamten Umfang der Figur %%U_{Figur}%% zu bekommen.

 

%%U_{Figur}\;=\;\frac14\cdot2\cdot\pi\cdot r\;+\;2\cdot r%%

Jetzt muss nur noch für %%r = 3 \, cm%% eingesetzt werden.

 

%%U_{Figur}\;=\;\frac14\cdot2\cdot\pi\cdot3\;+\;2\cdot3%%

 

%%U_{Figur}\;\approx\;10,7\,%%

Das Ergebnis ist gerundet.

Der Umfang beträgt %%10,7 \, cm%%. .

Fläche eines Sechstel-Kreises

Berechnungen am Kreis

In dieser Aufgabe geht es um Berechnungen am Kreis.

Fläche eines Sechstel-Kreises

Der Umfang der Figur %%U_{Figur}%% besteht aus der Länge eines Kreisbogens mit dem Winkel %%60^\circ%% und den 2 geraden Stücken.

Diese geraden Stücke haben gerade jeweils die Länge des Radius %%r%% des Kreissektors. Also musst du noch zwei Mal den Radius des Kreissektors addieren, um den gesamten Umfang der Figur zu erhalten.

%%U_{Figur}= 2\cdot3,7\cdot\mathrm\pi\cdot\frac{60^\circ}{360^\circ}+2\cdot3,7\approx 11,3%%

 

Der Umfang beträgt %%11,3 \, cm%%.

Flächenberechnung am Rechteck mit zwei fehlenden Halbkreisen

Berechnungen am Kreis

In dieser Aufgabe geht es um Berechnungen am Kreis.

Flächenberechnung am Rechteck mit zwei fehlenden Halbkreisen

Der Umfang dieser Figur %%U_{Figur}%% besteht aus zwei geraden Stücken jeweils der Länge %%5,8\,cm%% und aus dem Umfang der zwei Halbkreise mit jeweils dem Radius %%1,2\,cm%%.

Wenn du die zwei Halbkreise nebeneinander legst, erkennst du, dass ein Kreis mit dem Radius %%1.2\,cm%% entsteht.

Du kannst folglich gleich den Umfang des Kreises (%%U_{Kreis}=2\cdot \pi \cdot r%%) mit dem Radius %%r= 1.2\,cm%% statt die Umfänge der zwei Halbkreise hernehmen.

%%U_{gerade \, Stücke} = 2 \cdot 5,8%% %%U_{Halbkreise}=U_{Kreis}= 2 \cdot \pi \cdot 1,2%%

Ingesamt erhält man

%%U_{Figur}=2\cdot5,8+2\cdot \pi \cdot 1,2\approx19,1% %%

Der Umfang beträgt %%19,1 \, cm%%.

Begründe, wie sich jeweils Umfang und Flächeninhalt eines Kreises ändern, wenn man seinen Radius verdoppelt, verdreifacht bzw. vervierfacht.

Diagramm zum Verhältnis von Radius zum Umfang eines Kreises

Änderung des Umfangs beim Vervielfachen des Radius:

Stelle zuerst die Formel für den ursprünglichen, kleinen Umfang des Kreises auf.

%%U_1=2\cdot r_1\cdot\pi%%

Ebenfalls die Formel für den neuen Umfang aufstellen:

%%U_2=2\cdot r_2\cdot\pi%%

%%r_1%% wird um den neuen Umfang %%U_2%% zu erhalten vervielfacht: %%r_2=n\cdot r_1%%.
Setze ein.

%%U_2=2\cdot\left(r_1\cdot n\right)\cdot\pi=n\cdot2\cdot r_1\cdot\pi%%

Benutze %%2\cdot r_1\cdot\pi=U_1%% um den Ausdruck zu vereinfachen.

%%U_2=n\cdot U_1%%

%%\Rightarrow%% Das heißt der Umfang, des Kreises vergrößert sich um den Faktor %%n%%.

Also wird der Umfang beispielsweise doppelt so groß, wenn der Radius verdoppelt wird.

Änderung des Flächeninhalts beim Vielfachen des Radius:

Stelle zuerst die Formel für den ursprünglichen Flächeninhalt des Kreises auf.

%%A_1=r_1^2\pi%%

Ebenfalls die Formel für den neuen Flächeninhalt aufstellen:

%%A_2=r_2^2\pi%%

%%r_1%% wird um den neuen Flächeinhalt %%A_2%% zu erhalten vervielfacht: %%r_2=n\cdot r_1%%

%%A_2=\left(n\cdot r_1\right)^2\pi=n^2\cdot r_1^2\cdot\pi%%

Benutze %%r_1^2\pi=A_1%%, um den Zusammenhang zu vereinfachen.

%%A_2=n^2\cdot{A}_1%%

%%\Rightarrow%% Multipliziert man den Radius %%r%% mit %%n%%, so wird der Flächeninhalt des Kreises immer mit %%n^2%% vervielfacht.
Zum Beispiel wird der Flächeninhalt bei Verdoppelung des Radius viermal so groß.

In einem Kreis mit Radius  %%r=5\mathrm{cm}%% ist ein Sektor mit Mittelpunktswinkel %%\varphi=45^\circ%% eingezeichnet.

Gib die Fläche des Sektors und die Länge des zugehörigen Bogens an.

Kreissektor

Thema dieser Aufgabe ist der Kreissektor.

%%r=5\text{ cm}%%

%%\varphi=45^\circ%%

Formel für die Bogenlänge anwenden um die Länge des Bogens zu berechnen.

%%b=\pi\cdot5\text{cm}\cdot\frac{45^\circ}{180^\circ}%%

%%=\frac54\pi\text{cm}\approx 3,93\text{cm}%%

Formel für den Kreissektorflächeninhalt anwenden.

%%A_{ks}=\frac12\cdot5\text{cm}\cdot\frac54\pi\text{cm}%%

%%=\frac{25}8\pi\text{cm}^2\approx9,82\text{cm}^2%%

Ein runder Tisch zum Ausziehen hat einen Durchmesser von 1,20 m. Er kann durch rechteckige Einlegeplatten, die jeweils 50 cm breit sind, vergrößert werden (siehe Skizze).

 

  1. Berechne den Flächeninhalt und den Umfang der vergrößerten Tischplatte.

  2. Für den ausgezogenen Tisch soll eine Tischdecke gekauft werden, die überall mindestens 15 cm überhängt. Welche der angebotenen Tischdecken eignet sich?

 

 

Breite

Länge

Tischdecke A

140 cm

260 cm

Tischdecke B

150 cm

250 cm

Tischdecke C

160 cm

240 cm

Teilaufgabe 1

Berechnungen am Kreis

%%U_{vergrößerte\;Tischplatte}=2\cdot r\cdot\pi+2\cdot2\cdot b%%

Der Umfang der Tischplatte setzt sich aus dem Umfang des Vollkreises und der Breite %%b%% der zwei gleichen Rechtecke zusammen.

%%=\;2\cdot0,6\cdot\mathrm\pi+4\cdot0,5%%

%%\approx5,77\;m%%

 

%%A_{vergrößerte\;Tischplatte}=\;r^2\cdot\mathrm\pi+2\cdot\left(b\cdot l\right)%%

Auch der Flächeninhalt berechnet sich aus einem Vollkreis und den beiden Rechtecken. Beachte, dass die Länge %%l%% der Rechtecke genau gleich groß wie der Durchmesser des Kreises ist.

%%=\;0,6^2\cdot\mathrm\pi+2\cdot\left(0,5\cdot1,2\right)%%

 

%%=2,33\;m^2%%

 

Teilaufgabe 2

Tischdecke A

 

Damit die Tischdecke an allen Seiten %%15cm%% übersteht, muss sie um %%30cm%% länger und breiter sein, als der Tisch.

%%b_{Tischdecke\;A}-b_{Tisch}\overset?\geq30\;cm%%

Betrachte die Differenz aus Breite der Tischdecke und Breite des Tisches.

%%140cm-120cm=20cm%%

 

%%20cm\leq30\;cm%%

Der erhaltene Überhang ist kleiner als die gewünschten %%30cm%%.

%%\Rightarrow%% Also fällt Tischdecke A weg.

 

Tischdecke B

 

%%150cm-120cm\;=30\;cm%%

Auch hier wird wieder die Differenz der beiden Breiten betrachtet.

%%30cm\geq30cm%%

Von der Breite her ist die Tischdecke groß genug. Deshalb musst du hier auch die Länge betrachten.

%%l_{Tischdecke\;B}-d_{Tisch}\overset?\geq30cm%%

Berechne also die Differenz der jeweiligen Längen.

%%250cm-\left(2\cdot60cm+2\cdot50cm\right)=%%

 

%%250cm-220cm\geq30cm%%

 

%%30cm=30cm%%

Auch die Länge dieser Tischdecke ist groß genug, um %%30cm%% über zu stehen.

In den Ecken der Tischdecke steht sogar mehr als %%30cm%% über, da der Tisch abgerundet ist.
%%\Rightarrow%% Dass heißt: Tischdecke B ist ideal. 

Prüfe Tischdecke C

 

Zuerst wird die Breite überprüft.

%%160cm-120cm\geq30cm%%

%%40cm\geq30cm%%

%%\Rightarrow%% Tischdecke C ist breit genug.

Anschließend wird die Länge betrachtet.

%%240cm-220cm\geq30cm%%

 

%%20cm\leq30cm%%

%%\Rightarrow%% Jedoch ist sie nicht lang genug, um %%30cm%% über zu stehen.

%%\Rightarrow%% Deshalb ist auch C nicht geeignet. 

A: Tischdecke B eignet sich.

Stelle jeweils einen Funktionsterm auf, der den Flächeninhalt A und den Umfang U eines Viertelkreises in Abhängigkeit vom Radius r beschreibt.

Viertelkreissektor

$$A=\frac14\cdot A_{Kreis}=\frac14\cdot\pi r^2=\frac{\pi r^2}4$$

$$U=\frac14\cdot U_{Kreis}+r+r=\frac{2\pi r}4+2r=\frac{\pi r}2+2r$$

Achtung: Zum Umfang eines Kreissektors wie einem Viertelkreis gehört nicht nur der Kreisbogen, sondern auch die begrenzenden Radien.

Berechne von den folgenden geometrischen Körpern/Figuren den Radius %%r%%.

Ein Kreis hat den Umfang %%U=6,283 \text{ cm}%%. Berechne den Radius %%r%%. Runde das Ergebnis auf drei Dezimalstellen genau.

gegeben: %%U=6,283 \text{ cm}%%

gesucht: %%r%%

Um den Radius zu berechnen, wenn der Umfang gegeben ist, benutzt du die passende Formel und forme nach %%r%% um.

%%U=2\pi r%%

%%\mid : 2\pi%%

%%\dfrac{U}{2\pi}=r%%

Setze den Wert für den Umfang %%U%% ein.

%%r=\dfrac{6,283 \text{ cm}}{2\pi}%%

Berechne mit dem Taschenrechner und runde das Ergebnis.

%%r\approx 1,000 \text{ cm}%%

Ein Kreis hat die Fläche %%A=7,35 \text{ m}^2%%. Berechne den Radius %%r%% in %%\text{cm}%%, runde dabei auf ganze %%\text{cm}%%!

gegeben: %%A=7,35 \text{ m}^2%%

gesucht: %%r%% in %%\text{cm}%%

Um den Radius zu berechnen, wenn die Fläche gegeben ist, benutzt du die passende Formel und forme nach %%r%% um.

%%A=\pi r^2%%

%%\mid :\pi%%

%%\dfrac{A}{\pi}=r^2%%

Ziehe die Wurzel.

%%\pm \sqrt{\dfrac{A}{\pi}}=r%%

Der Radius kann nur positiv sein. Daher kannst du das negtive Ergebnis ignorieren.

%%r=\sqrt{\dfrac{A}{\pi}}%%

Setze den Wert für die Fläche %%A%% ein.

%%r=\sqrt{\dfrac{7,35 \text{ m}^2}{\pi}}%%

Rechne mit dem Taschenrechner und runde das Ergebnis.

%%r\approx1,53 \text{ m}%%

Rechne in %%\text{cm}%% um.

%%r\approx 153 \text{ cm}%%

Bei einem Kreisring beträgt der Außenradius 10 cm. Stelle einen Funktionsterm auf, der den Flächeninhalt A des Kreisrings in Abhängigkeit vom Innenradius r beschreibt. Welche Werte für r ergeben eine sinnvolle Einsetzung?

Diagramm zum Verhältnis von Radius zur Fläche eines Kreisrings

Ein Kreisring kann man sich vorstellen als einen Kreis, aus dem ein kleinerer Kreis ausgeschnitten wurde, der denselben Mittelpunkt hat wie der große Kreis. Damit ist der Flächeninhalt:

%%A=A_{Kreis}-A_{kleiner\;Kreis}%%

Der Radius des größeren Kreises ist %%R=10\text{ cm}%%.

%%A=\pi\cdot R^2-\pi\cdot r^2=\pi\cdot10^2-\pi\cdot r^2=\pi\cdot\left(100-r^2\right)%%

Es ist nur sinnvoll, dass der Radius des kleineren Kreises kleiner ist als der des größeren Kreises, d.h. %%r\in%% ]0;10[ .

Berechne die Fläche des markierten Kreissegments. Dabei ist der Radius %%r=20cm%% und %%\varphi = 108°%%. Runde deine Lösung auf ganze %%\text{cm}^2%%.

Kreissegment

In dieser Aufgabe geht es um hauptsächlich im die Berechnung des Kreissektors.

r=20cm

%%\varphi%% =108°

ges: %%A_{Segment}%%

Zunächst den Flächeninhalt des Kreissektors berechnen.

%%A_{Kreissektor}=\left(20\text{cm}\right)^2\cdot\pi\cdot\frac{108^\circ}{360^\circ}%%

%%=400cm^2\cdot\pi\cdot\frac3{10}=377\text{cm}^2%%

Die Höhe h berechnen, indem man das geteilte, rechtwinklige Dreieck betrachtet und den Cosinus anwendet.

%%\cos\left(\frac\varphi2\right)=\frac hr%%

%%\mid\cdot r%%

Die Gleichung nach h umstellen.

%%h=\cos\left(54^\circ\right)\cdot20cm=11,8\text{cm}%%

Jetzt mit dem Satz von Pythagoras %%\frac s2%% berechnen.

%%h^2+\left(\frac s2\right)^2=r^2%%

%%\mid -h^2%%

Nach %%\left(\frac s2\right)^2%% umstellen.

%%\left(\frac s2\right)^2=r^2-h^2%%

Werte einsetzen.

%%=400\text{cm}^2-139,24\text{cm}^2%%

Subtrahieren und die Wurzel ziehen.

%%\frac s2=16,1\text{cm}%%

s berechnen, indem man %%\frac s2%% mit 2 multipliziert.

%%s=16,1\text{cm}\cdot2=32,2\text{cm}%%

Den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen, dessen Seiten r, r und s sind.

%%A_{Dreieck}=\frac12\cdot s\cdot h%%

Werte einsetzen.

%%=\frac12\cdot32,2\text{cm}\cdot11,8\text{cm}=190\text{cm}^2%%

Den Flächeninhalt des Dreiecks von dem, des Kreissektors subtrahieren.

%%A_{Segment}=A_{Kreissektor}-A_{Dreieck}%%

%%=377\text{cm}^2-190\text{cm}^2=187\text{cm}^2%%

Kommentieren Kommentare