Aufgaben

Berechne den Flächeninhalt folgender Dreiecke.

Gegeben ist die Höhe %%h=5 \, cm%% und die Grundlinie %%g=8 \, cm%%.

Gegeben ist die Höhe %%h=7\,cm%% und die Grundlinie %%g=14\,cm%%.

Gegeben ist die Höhe %%h=6\,cm%% und die Grundlinie %%g=6.4\,cm%%.

Gegeben ist die Höhe %%h=4.5\, cm%% und die Grundlinie %%g=10\,cm%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$ an. In diesem Fall ist %%g = 10cm%% und %%h = 4,5cm%%, also ist der Flächeninhalt $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot 10cm\cdot 4,5cm = 22,5cm^2$$

Gegeben ist die Höhe %%h=7\,cm%% und die Grundlinie %%g=3.7\,cm%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$ an. In diesem Fall ist %%g = 3,7cm%% und %%h = 7cm%%, also ist der Flächeninhalt $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot 3,7cm\cdot 7cm = 12,95cm^2$$

Berechne das Gesuchte im gegebenen Dreieck.

Gegeben ist die Höhe %%h=5\,cm%% und der Flächeninhalt %%A_{\Delta}=25\,cm^2%%. Berechne die Grundseite %%g%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Benutze die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$

Hier willst du aber die Länge der Grundseite %%g%% und nicht %%A%% berechnen. Die Formel hilft dir trotzdem weiter :)

%%A_\Delta = \dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h%%

Setze alles was du weißt in die Formel ein

%%25 cm^2 = \dfrac{1}{2}\cdot g\cdot 5cm%%

Teile beide Seiten durch %%5cm%%

%%5 cm = \dfrac{1}{2}\cdot g%%

Multipliziere mit 2

%%10 cm= g%%

Die Grundseite %%g%% ist also %%10cm%% lang.

Gegeben ist die Grundlinie %%g=10\,cm%% und der Flächeninhalt %%A_{\Delta}=8\,cm^2%%. Berechne die Höhe %%h%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Benutze die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$

Hier willst du aber die Höhe %%h%% und nicht %%A%% berechnen. Die Formel hilft dir trotzdem weiter :)

%%A_\Delta = \dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h%%

Setze alles was du weißt in die Formel ein

%%8cm^2= \dfrac{1}{2}\cdot 10cm\cdot h%%

Teile beide Seiten durch %%10cm%%

%%0,8cm= \dfrac{1}{2}\cdot h%%

Multipliziere beide Seiten mit %%2%%

%%1,6cm= h%%

Die gesuchte höhe %%h%% ist also %%1,6cm%% lang.

Gegeben ist der Flächeninhalt %%A_{\Delta}=64\,cm^2%% und die Grundlinie %%g=8\,cm%%. Berechne die Höhe %%h%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Benutze die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$

Hier willst du aber die Länge der Grundlinie %%g%% und nicht %%A%% berechnen. Die Formel hilft dir trotzdem weiter :)

$$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$

Setze alles was du weißt in die Formel ein

$$64cm^2 = \frac{1}{2}\cdot g\cdot 8cm$$

Teile beide Seiten durch %%8cm%%

$$8cm = \frac{1}{2}\cdot g$$

Multipliziere beide Seiten mit %%2%%

$$16cm = g$$

Damit hat also die Grundlinie die gesuchte Länge %%g = 16cm%%.

Gegeben ist der Flächeninhalt %%A_{\Delta}=16\,cm^2%% und die Höhe %%h=8\,cm%%. Berechne die Grundseite %%g%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Benutze die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$

Hier willst du aber die Länge der Grundlinie %%g%% und nicht %%A%% berechnen. Die Formel hilft dir trotzdem weiter :)

$$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$

Setze alles was du weißt in die Formel ein

$$16cm^2 = \frac{1}{2}\cdot g\cdot 8cm$$

Teile beide Seiten durch %%8cm%%

%%2cm = \dfrac{1}{2}\cdot g%%

Multipliziere beide seiten mit %%2%%

%%4cm = g%%

Damit hat die Grundlinie die gesuchte Länge %%g = 4cm%%.

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks %%\Delta ABC%%, wenn die Punkte %%A%%, %%B%% und %%C%% folgendermaßen gegeben sind:

%%A(0|1), B(5|1), C(4|4)%%

%%A_{\Delta ABC}=?%%

Die Formel für die Fläche eines Dreiecks ist:

$$A_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h$$

Dabei ist %%g%% die Grundlinie und %%h%% die Höhe des Dreiecks.

Dreieck %%\Delta ABC%% im Koordinatensystem eingezeichnet: Graphik: Dreieck ins Koordinatensystem eingetragen

Bei dem Dreieck in dieser Aufgabe ist

  • %%c%% parallel zur x-Achse
    ("waagrecht" im Koordinatensystem)
    und
  • %%h_{c}%% parallel zur y-Achse
    ("senkrecht" im Koordinatensystem).

Bei solchen "gerade" im Koordinatensystem liegenden Strecken kann man die Länge leicht aus den Koordinaten berechnen;
daher wählst du die Seite %%c%% als Grundlinie.

%%A_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot c \cdot h_c%%

Um %%c%% zu bestimmen, berechnest du die Differenz der x-Koordinaten von A und B,

%%c=5-0=5%%

und um %%h_c%% zu berechnen, subtrahierst du die y-Koordinaten von C und A (oder B).

%%h_c= 4-1=3%%

Das brauchst du jetzt beides nur noch einzusetzen, und dann kannst du das Ergebnis ausrechnen.

$$A_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot c \cdot h_c=\frac{1}{2}\cdot 5 \cdot 3=\frac{15}{2}=7,5$$

Antwort: Die Dreiecksfläche ist %%7,5%% Flächeneinheiten groß.

%%A(2|0), B(5|1), C(2|4)%%

Dreiecksfläche berechnen

%%A_{\Delta ABC}=?%%

Die Formel für die Fläche eines Dreiecks ist:

$$A_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h$$

Dabei ist %%g%% die Grundlinie und %%h%% die Höhe des Dreiecks.

Bei dem Dreieck in dieser Aufgabe ist

  • %%h_{b}%% parallel zur x-Achse
    ("waagrecht" im Koordinatensystem)
    und
  • %%b%% parallel zur y-Achse
    ("senkrecht" im Koordinatensystem).

Bei solchen "gerade" im Koordinatensystem liegenden Strecken kann man die Länge leicht aus den Koordinaten berechnen;
daher wählst du die Seite %%b%% als Grundlinie.

%%A_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot b \cdot h_b%%

Um %%b%% zu bestimmen, berechnest du die Differenz der y-Koordinaten von C und A,

%%b=4-0=4%%

und um %%h_b%% zu berechnen, subtrahierst du die x-Koordinaten von B und A (oder C).

%%h_b=5-2=3%%

Das brauchst du jetzt beides nur noch einzusetzen, und dann kannst du das Ergebnis ausrechnen.

$$A_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot b \cdot h_b=\frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 3=\frac{12}{2}=6$$

Antwort: Die Dreiecksfläche ist %%6%% Flächeneinheiten groß.

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks %%\Delta PQR%%, wenn die Punkte %%P%%, %%Q%% und %%R%% folgendermaßen gegeben sind:

Berechne den Flächeninhalt folgender Dreiecke.

%%a\,=15\,cm\,, b=\,31\,cm,\,\gamma =\frac12\,\pi%%

Berechne den Flächeninhalt des grünen 8-Ecks ABCDEFGH.

Siehe rechts.

1LE = 1cm

1. Übers Rechteck

Ansatz

Man zeichnet ein Rechteck um das 8-Eck. Von diesem können wir leicht den Flächeninhalt ermitteln. Nun muss man die Überschüssige Fläche, also die Fläche die das 8-Eck nicht bedeckt, in diesem Fall vier Dreiecke, von der Fläche des Rechtecks abziehen. $$A_\mathrm{Achteck}=A_\mathrm{Rechteck}-A_{\mathrm{Summe}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Dreiecke}}$$

Rechnung

$$A_{IJLK}=6\,cm\cdot5\,cm\,=30\,cm^2$$

$$A_{IBA}=\frac12\cdot\,2\,cm \cdot 1\,cm = 1\,cm^2$$

$$A_{CJD}=\frac12\,\cdot1\,cm\cdot1\,cm=\frac12 cm^2$$

$$A_{EKF}=\frac12 \cdot 2\,cm \cdot 2\,cm = 2\,cm^2$$

$$A_{HGL}=\frac12\cdot 1\,cm \cdot 2\,cm =1\,cm^2$$

%%A_{ABCDEFGH}= \;A_{IJLK}-\left(A_{IBA}+A_{CJD}+A_{EKF}+A_{HGL}\right)%%

$$A_{ABCDEFGH}=30\,cm^2-(1\,cm^2+\frac12 cm^2\, +2\,cm^2 +1\,cm^2)$$

$$A_{ABCDEFGH}= 30\,cm^2 - 4,5\,cm^2 =25,5\,cm^2$$

Unterteilung

Ansatz

Man unterteilt sich das 8-Eck in kleinere Teile z.B. Dreiecke oder Rechtecke die einfach zu berechnen sind.

Rechnung

$$A_{ABI}= \frac{1}{2} \cdot 2\,cm \cdot1\,cm =1\,cm^2$$

$$A_{CDJ}=\frac12\,\cdot1\,cm\cdot1\,cm=\frac{1}{2} cm^2$$

$$A_{HLG}=\frac{1}{2} \cdot 1\,cm \cdot 2\,cm = 1\,cm^2$$

$$A_{KEF}=\frac{1}{2} \cdot 2\,cm \cdot \,2cm = 2\,cm^2$$

$$A_{BCJI}= 3\,cm \cdot 1\,cm = 3\,cm^2$$

$$A_{LKFG}= 3\,cm \cdot 2\,cm =6\,cm^2$$

%%A_{ADEH}= 6\,cm \cdot 2\,cm = 12\,cm^2%%

$$A_{ABCDEFGH}= A_{ABI} +A_{CDJ} +A_{HLG} +A_{KEF} +A_{BCJI} +A_{LKFG} +A_{ADEH}$$

$$A_{ABCDEFGH}= 1\,cm^2 + \frac{1}{2} cm^2 + 1\,cm^2 + 2\,cm^2 + 3\,cm^2 + 6\,cm^2 + 12\,cm^2 = 25,5\,cm^2$$

Extremwertaufgaben der Flächenberechnung von Dreiecken

In den folgenden Aufgaben werden verschiedene Dreiecke beobachtet. Ziel der gesamten Aufgabe ist es, dasjenige Dreieck zu finden, das die maximale ( = größtmögliche ) Fläche hat.

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