Aufgaben

Berechne den Flächeninhalt folgender Dreiecke.

Gegeben ist die Höhe %%h=5\,\mathrm{cm}%% und die Grundlinie %%g=8\,\mathrm{cm}%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$ an. In diesem Fall ist %%g = 8\,\mathrm{cm}%% und %%h = 5\,\mathrm{cm}%%, also ist der Flächeninhalt $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot 8\,\mathrm{cm}\cdot 5\,\mathrm{cm} = 20\,\mathrm{cm}^2.$$

Gegeben ist die Höhe %%h=7\,\mathrm{cm}%% und die Grundlinie %%g=14\,\mathrm{cm}%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$ an. In diesem Fall ist %%g = 14\,\mathrm{cm}%% und %%h = 7\,\mathrm{cm}%%, also ist der Flächeninhalt $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot 14\,\mathrm{cm}\cdot 7\,\mathrm{cm} = 49\,\mathrm{cm}^2.$$

Gegeben ist die Höhe %%h=6\,\mathrm{cm}%% und die Grundlinie %%g=6{,}4\,\mathrm{cm}%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$ an. In diesem Fall ist %%g = 6{,}4\,\mathrm{cm}%% und %%h = 6\,\mathrm{cm}%%, also ist der Flächeninhalt $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot 6{,}4\,\mathrm{cm}\cdot 6\,\mathrm{cm} = 19{,}2\,\mathrm{cm}^2.$$

Gegeben ist die Höhe %%h=4{,}5\,\mathrm{cm}%% und die Grundlinie %%g=10\,\mathrm{cm}%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$ an. In diesem Fall ist %%g = 10\,\mathrm{cm}%% und %%h = 4{,}5\,\mathrm{cm}%%, also ist der Flächeninhalt $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot 10\,\mathrm{cm}\cdot 4{,}5\,\mathrm{cm} = 22{,}5\,\mathrm{cm}^2.$$

Gegeben ist die Höhe %%h=7\,\mathrm{cm}%% und die Grundlinie %%g=3{,}7\,\mathrm{cm}%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$ an. In diesem Fall ist %%g = 3{,}7\,\mathrm{cm}%% und %%h = 7\,\mathrm{cm}%%, also ist der Flächeninhalt $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot 3{,}7\,\mathrm{cm}\cdot 7\,\mathrm{cm} = 12{,}95\,\mathrm{cm}^2.$$

Berechne das Gesuchte im gegebenen Dreieck.

Gegeben ist die Höhe %%h=5\,\mathrm{cm}%% und der Flächeninhalt %%A_{\Delta}=25\,\mathrm{cm}^2%%. Berechne die Grundseite %%g%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Benutze die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks. $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$

Hier willst du aber die Länge der Grundseite %%g%% und nicht %%A%% berechnen. Die Formel hilft dir trotzdem weiter. :)

%%A_\Delta = \dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h%%

Setze alles, was du weißt, in die Formel ein.

%%25\,\mathrm{cm}^2 = \dfrac{1}{2}\cdot g\cdot 5\,\mathrm{cm}%%

Teile beide Seiten durch %%5\,\mathrm{cm}%%.

%%5\,\mathrm{cm} = \dfrac{1}{2}\cdot g%%

Multipliziere mit 2.

%%10\,\mathrm{cm}=g%%

Die Grundseite %%g%% ist also %%10\,\mathrm{cm}%% lang.

Gegeben ist die Grundlinie %%g=10\,\mathrm{cm}%% und der Flächeninhalt %%A_{\Delta}=8\,\mathrm{cm}^2%%. Berechne die Höhe %%h%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Benutze die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks. $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$

Hier willst du aber die Höhe %%h%% und nicht %%A%% berechnen. Die Formel hilft dir trotzdem weiter. :)

%%A_\Delta = \dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h%%

Setze alles, was du weißt, in die Formel ein.

%%8\,\mathrm{cm}^2= \dfrac{1}{2}\cdot 10\,\mathrm{cm}\cdot h%%

Teile beide Seiten durch %%10\,\mathrm{cm}%%.

%%0{,}8\,\mathrm{cm}= \dfrac{1}{2}\cdot h%%

Multipliziere beide Seiten mit %%2%%.

%%1{,}6\,\mathrm{cm}=h%%

Die gesuchte Höhe %%h%% ist also %%1{,}6\,\mathrm{cm}%% lang.

Gegeben ist der Flächeninhalt %%A_{\Delta}=64\,\mathrm{cm}^2%% und die Grundlinie %%g=8\,\mathrm{cm}%%. Berechne die Höhe %%h%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Benutze die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks. $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$

Hier willst du aber die Länge der Grundlinie %%g%% und nicht %%A%% berechnen. Die Formel hilft dir trotzdem weiter. :)

$$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$

Setze alles, was du weißt, in die Formel ein.

$$64\,\mathrm{cm}^2 = \frac{1}{2}\cdot g\cdot 8\,\mathrm{cm}$$

Teile beide Seiten durch %%8\,\mathrm{cm}%%.

$$8\,\mathrm{cm} = \frac{1}{2}\cdot g$$

Multipliziere beide Seiten mit %%2%%.

$$16\,\mathrm{cm} = g$$

Damit hat also die Grundlinie die gesuchte Länge %%g = 16\,\mathrm{cm}%%.

Gegeben ist der Flächeninhalt %%A_{\Delta}=16\,\mathrm{cm}^2%% und die Höhe %%h=8\,\mathrm{cm}%%. Berechne die Grundseite %%g%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Benutze die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks. $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$

Hier willst du aber die Länge der Grundlinie %%g%% und nicht %%A%% berechnen. Die Formel hilft dir trotzdem weiter. :)

$$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$

Setze alles, was du weißt, in die Formel ein.

$$16\,\mathrm{cm}^2 = \frac{1}{2}\cdot g\cdot 8\,\mathrm{cm}$$

Teile beide Seiten durch %%8\,\mathrm{cm}%%.

%%2\,\mathrm{cm} = \dfrac{1}{2}\cdot g%%

Multipliziere beide Seiten mit %%2%%.

%%4\,\mathrm{cm} = g%%.

Damit hat die Grundlinie die gesuchte Länge %%g = 4\,\mathrm{cm}%%.

Gegeben ist die Höhe %%h=5\,\mathrm m%% und die Grundseite %%g=2\,\mathrm{dm}%%. Berechne den Flächeninhalt %%A_{\Delta}%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$ an. In diesem Fall ist %%g = 2\,\mathrm{dm}%% und %%h = 5\,\mathrm m%%. Diese Zahlen müssen erst in dieselbe Einheit umgerechnet werden.

$$h = 5\,\mathrm m = 50\,\mathrm{dm}$$

Dann wird daraus %%g = 2\,\mathrm{dm}%% und %%h = 50\,\mathrm{dm}%%, also ist der Flächeninhalt $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot 2\,\mathrm{dm}\cdot 50\,\mathrm{dm} = 50\,\mathrm{dm}^2.$$

Gegeben ist die Höhe %%h=45\,\mathrm{cm}%% und die Grundseite %%g=5{,}25\,\mathrm{cm}%%. Berechne den Flächeninhalt %%A_{\Delta}%%.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$ an. In diesem Fall ist %%g = 5{,}25\,\mathrm{cm}%% und %%h = 45\,\mathrm{cm}%%, also ist der Flächeninhalt $$A_\Delta = \frac{1}{2}\cdot 5{,}25\,\mathrm{cm}\cdot 45\,\mathrm{cm} = 118{,}125\,\mathrm{cm}^2.$$

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks %%\Delta ABC%%, wenn die Punkte %%A%%, %%B%% und %%C%% folgendermaßen gegeben sind:

%%A(0|1), B(5|1), C(4|4)%%

%%A_{\Delta ABC}=?%%

Die Formel für die Fläche eines Dreiecks ist:

$$A_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h$$

Dabei ist %%g%% die Grundlinie und %%h%% die Höhe des Dreiecks.

Dreieck %%\Delta ABC%% im Koordinatensystem eingezeichnet: Graphik: Dreieck ins Koordinatensystem eingetragen

Bei dem Dreieck in dieser Aufgabe ist

  • %%c%% parallel zur x-Achse
    ("waagrecht" im Koordinatensystem)
    und
  • %%h_{c}%% parallel zur y-Achse
    ("senkrecht" im Koordinatensystem).

Bei solchen "gerade" im Koordinatensystem liegenden Strecken kann man die Länge leicht aus den Koordinaten berechnen;
daher wählst du die Seite %%c%% als Grundlinie.

%%A_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot c \cdot h_c%%

Um %%c%% zu bestimmen, berechnest du die Differenz der x-Koordinaten von A und B,

%%c=5-0=5%%

und um %%h_c%% zu berechnen, subtrahierst du die y-Koordinaten von C und A (oder B).

%%h_c= 4-1=3%%

Das brauchst du jetzt beides nur noch einzusetzen, und dann kannst du das Ergebnis ausrechnen.

$$A_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot c \cdot h_c=\frac{1}{2}\cdot 5 \cdot 3=\frac{15}{2}=7,5$$

Antwort: Die Dreiecksfläche ist %%7,5%% Flächeneinheiten groß.

%%A(2|0), B(5|1), C(2|4)%%

Dreiecksfläche berechnen

%%A_{\Delta ABC}=?%%

Die Formel für die Fläche eines Dreiecks ist:

$$A_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h$$

Dabei ist %%g%% die Grundlinie und %%h%% die Höhe des Dreiecks.

Bei dem Dreieck in dieser Aufgabe ist

  • %%h_{b}%% parallel zur x-Achse
    ("waagrecht" im Koordinatensystem)
    und
  • %%b%% parallel zur y-Achse
    ("senkrecht" im Koordinatensystem).

Bei solchen "gerade" im Koordinatensystem liegenden Strecken kann man die Länge leicht aus den Koordinaten berechnen;
daher wählst du die Seite %%b%% als Grundlinie.

%%A_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot b \cdot h_b%%

Um %%b%% zu bestimmen, berechnest du die Differenz der y-Koordinaten von C und A,

%%b=4-0=4%%

und um %%h_b%% zu berechnen, subtrahierst du die x-Koordinaten von B und A (oder C).

%%h_b=5-2=3%%

Das brauchst du jetzt beides nur noch einzusetzen, und dann kannst du das Ergebnis ausrechnen.

$$A_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot b \cdot h_b=\frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 3=\frac{12}{2}=6$$

Antwort: Die Dreiecksfläche ist %%6%% Flächeneinheiten groß.

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks %%\Delta PQR%%, wenn die Punkte %%P%%, %%Q%% und %%R%% folgendermaßen gegeben sind:

Berechne den Flächeninhalt folgender Dreiecke.

%%a= 5\,\mathrm{cm},\, b= 4\,\mathrm{cm},\,\gamma=53^\circ%%

%%a=23\,\mathrm{cm},\, b=12\,\mathrm{cm},\, \gamma=36^\circ%%

%%a=600\,\mathrm{mm},\,b=24\,\mathrm{cm},\,\gamma=40^\circ%%

%%a\,=15\,cm\,, b=\,31\,cm,\,\gamma =\frac12\,\pi%%

Berechne den Flächeninhalt des grünen 8-Ecks ABCDEFGH.

Siehe rechts.

1LE = 1cm

1. Übers Rechteck

Ansatz

Man zeichnet ein Rechteck um das 8-Eck. Von diesem können wir leicht den Flächeninhalt ermitteln. Nun muss man die überschüssige Fläche, also die Fläche, die das 8-Eck nicht bedeckt, in diesem Fall vier Dreiecke, von der Fläche des Rechtecks abziehen. $$A_\mathrm{Achteck}=A_\mathrm{Rechteck}-A_{\mathrm{Summe}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Dreiecke}}$$

Rechnung

$$A_{IJLK}=6\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm}=30\,\mathrm{cm}^2$$

$$A_{IBA}=\frac12\cdot2\,\mathrm{cm} \cdot 1\,\mathrm{cm} = 1\,\mathrm{cm}^2$$

$$A_{CJD}=\frac12\cdot1\,\mathrm{cm}\cdot1\,\mathrm{cm}=\frac12\,\mathrm{cm}^2$$

$$A_{EKF}=\frac12 \cdot 2\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} = 2\,\mathrm{cm}^2$$

$$A_{HGL}=\frac12\cdot 1\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} =1\,\mathrm{cm}^2$$

%%A_{ABCDEFGH}=A_{IJLK}-\left(A_{IBA}+A_{CJD}+A_{EKF}+A_{HGL}\right)%%

$$A_{ABCDEFGH}=30\,\mathrm{cm}^2-(1\,\mathrm{cm}^2+\frac12\,\mathrm{cm}^2+2\,\mathrm{cm}^2 +1\,\mathrm{cm}^2)$$

$$A_{ABCDEFGH}= 30\,\mathrm{cm}^2 - 4{,}5\,\mathrm{cm}^2 =25{,}5\,\mathrm{cm}^2$$

Unterteilung

Ansatz

Man unterteilt sich das 8-Eck in kleinere Teile, z. B. Dreiecke oder Rechtecke, die einfach zu berechnen sind.

Rechnung

$$A_{ABI}= \frac{1}{2} \cdot 2\,\mathrm{cm} \cdot1\,\mathrm{cm} =1\,\mathrm{cm}^2$$

$$A_{CDJ}=\frac12\,\cdot1\,\mathrm{cm}\cdot1\,\mathrm{cm}=\frac{1}{2}\,\mathrm{cm}^2$$

$$A_{HLG}=\frac{1}{2} \cdot 1\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} = 1\,\mathrm{cm}^2$$

$$A_{KEF}=\frac{1}{2} \cdot 2\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} = 2\,\mathrm{cm}^2$$

$$A_{BCJI}= 3\,\mathrm{cm} \cdot 1\,\mathrm{cm} = 3\,\mathrm{cm}^2$$

$$A_{LKFG}= 3\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} =6\,\mathrm{cm}^2$$

%%A_{ADEH}= 6\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} = 12\,\mathrm{cm}^2%%

$$A_{ABCDEFGH}= A_{ABI} +A_{CDJ} +A_{HLG} +A_{KEF} +A_{BCJI} +A_{LKFG} +A_{ADEH}$$

$$A_{ABCDEFGH}= 1\,\mathrm{cm}^2 + \frac{1}{2}\,\mathrm{cm}^2 + 1\,\mathrm{cm}^2 + 2\,\mathrm{cm}^2 + 3\,\mathrm{cm}^2 + 6\,\mathrm{cm}^2 + 12\,\mathrm{cm}^2 = 25{,}5\,\mathrm{cm}^2$$

Extremwertaufgaben der Flächenberechnung von Dreiecken

In den folgenden Aufgaben werden verschiedene Dreiecke beobachtet. Ziel der gesamten Aufgabe ist es, dasjenige Dreieck zu finden, das die maximale ( = größtmögliche ) Fläche hat.

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