Aufgaben

Wähle die richtige Antwort aus.

Wie berechnet man den Flächeninhalt %%A%% von einem Kreis mit Radius %%r%%?

Das ist leider falsch.

Fast! Aber leider trotzdem falsch. :(

Falsch. %%U=2\pi r%% ist der Umfang von einem Kreis.

Richtig! Sehr gut!

Die richtige Antwort ist %%A=\pi \cdot r^2%%. Sie ist die einzige Formel unter den Antwortmöglichkeiten, bei der du eine Fläche als Ergebnis erhältst. Rechne zum Beispiel mit %%r=1\text{ cm}%%. Dann erhältst du %%A=\pi \cdot 1 \text{ cm}^2 \approx 3,14 \text{ cm}^2%%. In den anderen Formeln kommt der Radius %%r%% ohne Quadrat vor und dein Ergebnis wird keine Fläche.

Welche Formel stimmt? (Mit %%A%% ist der Flächeninhalt vom Kreis gemeint.)

Kreis Kreisbegriffe

Das ist falsch. Es gilt %%U=\pi \cdot d%% oder %%U = 2 \cdot \pi \cdot r%%.

Leider falsch. Die richtige Formel für den Flächeninhalt lautet %%A=\pi \cdot r^2%%.

Leider falsch. Es ist genau anders rum. Der Radius ist nur die Hälfte vom Durchmesser.

Richtig! Dein Lehrer wäre stolz auf dich!

Die richtige Antwort ist %%A=\dfrac{U\cdot r}{2}%%.

Um zu überprüfen, dass die Antwort stimmt, kannst du die Formel für den Umfang %%U=2 \cdot \pi \cdot r%% einsetzen.

%%A=\dfrac{U\cdot r}{2} =\dfrac{2 \cdot \pi \cdot r \cdot r}{2}%%

Kürze den Bruch.

%%A=\pi \cdot r \cdot r = \pi \cdot r^2%%

Das ist die richtige Formel für den Flächeninhalt. Es wurden nur Äquivalenzumformungen verwendet. Deshalb ist auch die Ausgangsformel %%A=\frac{U \cdot r}{2}%% richtig.

Auf welchem Bild ist ein Kreissegment dargestellt?

Falsch. Das hier hat keinen besonderen Namen.

Falsch. Das ist ein Kreisbogen.

Leider falsch. Das ist ein Kreissektor.

Richtig. Gut gemacht!

Bestimme den Flächeninhalt der folgenden Kreissektoren:

$$A=r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac\alpha{360^\circ}$$

Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.

$$A=r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac\alpha{360^\circ}=10^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac{25^\circ}{360^\circ}$$

$$=\;100\cdot\mathrm\pi\cdot\frac{5}{72}\approx21,82$$

$$A=r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac\alpha{360^\circ}$$

Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.

$$A=r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac\alpha{360^\circ}=8^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac{60^\circ}{360^\circ}$$

$$=\;64\cdot\mathrm\pi\cdot\frac{1}{6}\approx33,51$$

Hier gibt es zwei Lösungsmöglichkeiten.

1. Möglichkeit: Mit dem Radius und dem Mittelpunktswinkel

$$A=r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac\alpha{360^\circ}$$

Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.

$$A=r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac\alpha{360^\circ}=8^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac{125^\circ}{360^\circ}$$

$$=\;64\cdot\mathrm\pi\cdot\frac{25}{72}\approx69.81$$

2. Möglichkeit: Mit dem Radius und der Länge des Kreisbogens

$$\displaystyle A_\text{Sektor}=\frac{b\cdot r}2$$

Setze die Bogenlänge und den Radius in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bstimmen.

$$\displaystyle A_\text{Sektor}=\frac{b\cdot r}2=\:\frac{17,44\cdot8}2=69,76\;$$

Die kleine Abweichung zum vorherigen Ergebniss kommt vom Runden der Länge des Kreisbogens.

Der Rasensprenger

Der abgebildete Rasensprenger schwenkt um 40° und besprüht so eine Rasenfläche von %%20\:m^2%%.

Wie groß ist seine Reichweite?

Die besprühte Rasenfläche bildet einen Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel %%\varphi=40^\circ%% und dem gesuchten Radius r.

%%\dfrac{r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm\varphi}{360^\circ}=20\;m^2%%

Setze den Wert %%\varphi = 40^\circ%% in die Formel ein.

%%\dfrac{r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm40^\circ}{360^\circ}=20\;m^2%%

Kürze die Winkel

%%\dfrac{r^2\cdot\mathrm\pi}{9}=20\;m^2%%

Löse die Gleichung nach r auf.

%%r=\sqrt{\dfrac{180\;m^2}{\pi}} = \sqrt{\dfrac{180}{\pi}}m \approx 7,57\ m%%

Berechne den Umfang der abgebildeten Figuren.

Umfang des Kreises: %%U\;=\;2\cdot\pi\cdot r%%

Bei der Figur handelt es sich um einen rechtwinkligen Kreisausschnitt, also einen Kreisausschnit mit %%90^\circ%%.

Du kannst demnach diese Gleichung durch 4 teilen bzw. mal ein Viertel nehmen, um den Umfang des Kreisbogens %%U_{Kreisbogen}%% zu bestimmen.

%%U_{Kreisbogen}\;=\;\frac14\cdot2\cdot\pi\cdot r%%

Alternativ:

%%U_{Kreisbogen}\;=\;2\cdot\pi\cdot r \cdot \frac{90^\circ}{360^\circ} = \frac14\cdot2\cdot\pi\cdot r%%

Alternativ kannst du aber auch gleich die Formel für die Kreisbogenlänge mit dem Winkel %%\varphi = 90^\circ%% verwenden.

Jetzt fehlen noch die 2 geraden Stücke. Diese haben gerade jeweils die Länge des Radius %%r%% des Kreises. Also musst du noch zwei Mal den Radius des Kreises addieren, um den gesamten Umfang der Figur %%U_{Figur}%% zu bekommen.

%%U_{Figur}\;=\;\frac14\cdot2\cdot\pi\cdot r\;+\;2\cdot r%%

Jetzt muss nur noch für %%r = 3 \, cm%% eingesetzt werden.

%%U_{Figur}\;=\;\frac14\cdot2\cdot\pi\cdot3\;+\;2\cdot3%%

%%U_{Figur}\;=\;10,712\,cm%%

Das Ergebnis ist gerundet.

Der Umfang der Figur %%U_{Figur}%% besteht aus der Länge eines Kreisbogens mit dem Winkel %%60^\circ%% und den 2 geraden Stücke.

Diese geraden Stücke haben gerade jeweils die Länge des Radius %%r%% des Kreissektors. Also musst du noch zwei Mal den Radius des Kreissektors addieren, um den gesamten Umfang der Figur zu erhalten.

%%U_{Figur}= 2\cdot3,7\cdot\mathrm\pi\cdot\frac{60^\circ}{360^\circ}+2\cdot3,7\approx 11.3%%

Der Umfang dieser Figur %%U_{Figur}%% besteht aus zwei geraden Stücke jeweils der Länge %%5,8\,cm%% und aus dem Umfang der zwei Halbkreise mit jeweils dem Radius %%1,2\,cm%%.

Wenn du die zwei Halbkreise nebeneinander legst, erkennst du, dass ein Kreis mit dem Radius %%1.2\,cm%% ensteht.

Du kannst folglich gleich den Umfang des Kreises (%%U_{Kreis}=2\cdot \pi \cdot r%%) mit dem Radius %%r= 1.2\,cm%% statt die Umfänge der zwei Halbkreise hernehmen.

%%U_{gerade \, Stücke} = 2 \cdot 5,8 \, cm%% %%U_{Halbkreise}=U_{Kreis}= 2 \cdot \pi \cdot 1,2 \,cm%%

Ingesamt erhält man

%%U_{Figur}=2\cdot5,8\,cm+2\cdot \pi \cdot 1,2\,cm\approx19,1\,cm% %%

Begründe, wie sich jeweils Umfang und Flächeninhalt eines Kreises ändern, wenn man seinen Radius verdoppelt, verdreifacht bzw. vervierfacht.

Änderung des Umfangs beim Vervielfachen des Radius:

Stelle zuerst die Formel für den ursprünglichen, kleinen Umfang des Kreises auf.

%%U_1=2\cdot r_1\cdot\pi%%

Ebenfalls die Formel für den neuen Umfang aufstellen:

%%U_2=2\cdot r_2\cdot\pi%%

%%r_1%% wird um den neuen Umfang %%U_2%% zu erhalten vervielfacht: %%r_2=n\cdot r_1%%.
Setze ein.

%%U_2=2\cdot\left(r_1\cdot n\right)\cdot\pi=n\cdot2\cdot r_1\cdot\pi%%

Benutze %%2\cdot r_1\cdot\pi=U_1%% um den Ausdruck zu vereinfachen.

%%U_2=n\cdot U_1%%

%%\Rightarrow%% Das heißt der Umfang, des Kreises vergrößert sich um den Faktor %%n%%.

Also wird der Umfang beispielsweise doppelt so groß, wenn der Radius verdoppelt wird.

Änderung des Flächeninhalts beim Vielfachen des Radius:

Stelle zuerst die Formel für den ursprünglichen Flächeninhalt des Kreises auf.

%%A_1=r_1^2\pi%%

Ebenfalls die Formel für den neuen Flächeninhalt aufstellen:

%%A_2=r_2^2\pi%%

%%r_1%% wird um den neuen Flächeinhalt %%A_2%% zu erhalten vervielfacht: %%r_2=n\cdot r_1%%

%%A_2=\left(n\cdot r_1\right)^2\pi=n^2\cdot r_1^2\cdot\pi%%

Benutze %%r_1^2\pi=A_1%%, um den Zusammenhang zu vereinfachen.

%%A_2=n^2\cdot{A}_1%%

%%\Rightarrow%% Multipliziert man den Radius %%r%% mit %%n%%, so wird der Flächeninhalt des Kreises immer mit %%n^2%% vervielfacht.
Zum Beispiel wird der Flächeninhalt bei Verdoppelung des Radius viermal so groß.

In einem Kreis mit Radius  %%r=5\mathrm{cm}%% ist ein Sektor mit Mittelpunktswinkel %%\varphi=45^\circ%% eingezeichnet.

Gib die Fläche des Sektors und die Länge des zugehörigen Bogens an.

%%r=5\text{ cm}%%

%%\varphi=45^\circ%%

Formel für die Bogenlänge anwenden um die Länge des Bogens zu berechnen.

%%b=\pi\cdot5\text{cm}\cdot\frac{45^\circ}{180^\circ}%%

%%=\frac54\pi\text{cm}%%

Formel für den Kreissektorflächeninhalt anwenden.

%%A_{ks}=\frac12\cdot5\text{cm}\cdot\frac54\pi\text{cm}%%

%%=\frac{28}8\pi\text{cm}^2\approx9,82\text{cm}^2%%

Ein runder Tisch zum Ausziehen hat einen Durchmesser von 1,20 m. Er kann durch rechteckige Einlegeplatten, die jeweils 50 cm breit sind, vergrößert werden (siehe Skizze).

  1. Berechne den Flächeninhalt und den Umfang der vergrößerten Tischplatte.

  2. Für den ausgezogenen Tisch soll eine Tischdecke gekauft werden, die überall mindestens 15 cm überhängt. Welche der angebotenen Tischdecken eignet sich?

Breite

Länge

Tischdecke A

140 cm

260 cm

Tischdecke B

150 cm

250 cm

Tischdecke C

160 cm

240 cm

Teilaufgabe 1

Berechnungen am Kreis

%%U_{vergrößerte\;Tischplatte}=2\cdot r\cdot\pi+2\cdot2\cdot b%%

Der Umfang der Tischplatte setzt sich aus dem Umfang des Vollkreises und der Breite %%b%% der zwei gleichen Rechtecke zusammen.

%%=\;2\cdot0,6\cdot\mathrm\pi+4\cdot0,5%%

%%\approx5,77\;m%%

%%A_{vergrößerte\;Tischplatte}=\;r^2\cdot\mathrm\pi+2\cdot\left(b\cdot l\right)%%

Auch der Flächeninhalt berechnet sich aus einem Vollkreis und den beiden Rechtecken. Beachte, dass die Länge %%l%% der Rechtecke genau gleich groß wie der Durchmesser des Kreises ist.

%%=\;0,6^2\cdot\mathrm\pi+2\cdot\left(0,5\cdot1,2\right)%%

%%=1,56\;m^2%%

Teilaufgabe 2

Tischdecke A

Damit die Tischdecke an allen Seiten %%15cm%% übersteht, muss sie um %%30cm%% länger und breiter sein, als der Tisch.

%%b_{Tischdecke\;A}-b_{Tisch}\overset?\geq30\;cm%%

Betrachte die Differenz aus Breite der Tischdecke und Breite des Tisches.

%%140cm-120cm=20cm%%

%%20cm\leq30\;cm%%

Der erhaltene Überhang ist kleiner als die gewünschten %%30cm%%.

%%\Rightarrow%% Also fällt Tischdecke A weg.

Tischdecke B

%%150cm-120cm\;=30\;cm%%

Auch hier wird wieder die Differenz der beiden Breiten betrachtet.

%%30cm\geq30cm%%

Von der Breite her ist die Tischdecke groß genug. Deshalb musst du hier auch die Länge betrachten.

%%l_{Tischdecke\;B}-d_{Tisch}\overset?\geq30cm%%

Berechne also die Differenz der jeweiligen Längen.

%%250cm-\left(2\cdot60cm+2\cdot50cm\right)=%%

%%250cm-220cm\geq30cm%%

%%30cm=30cm%%

Auch die Länge dieser Tischdecke ist groß genug, um %%30cm%% über zu stehen.

In den Ecken der Tischdecke steht sogar mehr als %%30cm%% über, da der Tisch abgerundet ist.
%%\Rightarrow%% Dass heißt: Tischdecke B ist ideal. 

Prüfe Tischdecke C

Zuerst wird die Breite überprüft.

%%160cm-120cm\geq30cm%%

%%40cm\geq30cm%%

%%\Rightarrow%% Tischdecke C ist breit genug.

Anschließend wird die Länge betrachtet.

%%240cm-220cm\geq30cm%%

%%20cm\leq30cm%%

%%\Rightarrow%% Jedoch ist sie nicht lang genug, um %%30cm%% über zu stehen.

%%\Rightarrow%% Deshalb ist auch C nicht geeignet. 

A: Tischdecke B eignet sich.

Stelle jeweils einen Funktionsterm auf, der den Flächeninhalt A und den Umfang U eines Viertelkreises in Abhängigkeit vom Radius r beschreibt.

Viertelkreissektor

$$A=\frac14\cdot A_{Kreis}=\frac14\cdot\pi r^2=\frac{\pi r^2}4$$

$$U=\frac14\cdot U_{Kreis}+r+r=\frac{2\pi r}4+2r=\frac{\pi r}2+2r$$

Achtung: Zum Umfang eines Kreissektors wie einem Viertelkreis gehört nicht nur der Kreisbogen, sondern auch die begrenzenden Radien.

Berechne von den folgenden geometrischen Körpern/Figuren den Radius %%r%%. Runde das Ergebnis auf drei Dezimalstellen genau.

Ein Kreis hat den Umfang %%U=6,283 \text{ cm}%%. Berechne den Radius %%r%%.

gegeben: %%U=6,283 \text{ cm}%%

gesucht: %%r%%

Um den Radius zu berechnen, wenn der Umfang gegeben ist, benutzt du die passende Formel und forme nach %%r%% um.

%%U=2\pi r%%

%%\mid : 2\pi%%

%%\dfrac{U}{2\pi}=r%%

Setze den Wert für den Umfang %%U%% ein.

%%r=\dfrac{6,283 \text{ cm}}{2\pi}%%

Berechne mit den Taschenrechner und runde das Ergebnis.

%%r\approx 1 \text{ cm}%%

Ein Kreis hat die Fläche %%A=7,35 \text{ m}^2%%. Berechne den Radius %%r%% in %%\text{cm}%%!

gegeben: %%A=7,35 \text{ m}^2%%

gesucht: %%r%% in %%\text{cm}%%

Um den Radius zu berechnen, wenn die Fläche gegeben ist, benutzt du die passende Formel und forme nach %%r%% um.

%%A=\pi r^2%%

%%\mid :\pi%%

%%\dfrac{A}{\pi}=r^2%%

Ziehe die Wurzel.

%%\pm \sqrt{\dfrac{A}{\pi}}=r%%

Der Radius kann nur positiv sein. Daher kannst du das negtive Ergebnis ignorieren.

%%r=\sqrt{\dfrac{A}{\pi}}%%

Setze den Wert für die Fläche %%A%% ein.

%%r=\sqrt{\dfrac{7,35 \text{ m}^2}{\pi}}%%

Rechne mit dem Taschenrechner und runde das Ergebnis.

%%r\approx1,53 \text{ m}%%

Rechne in %%\text{cm}%% um.

%%r\approx 153 \text{ cm}%%

Bei einem Kreisring beträgt der Außenradius 10 cm. Stelle einen Funktionsterm auf, der den Flächeninhalt A des Kreisrings in Abhängigkeit vom Innenradius r beschreibt. Welche Werte für r ergeben eine sinnvolle Einsetzung?

Ein Kreisring kann man sich vorstellen als einen Kreis, aus dem ein kleinerer Kreis ausgeschnitten wurde, der denselben Mittelpunkt hat wie der große Kreis. Damit ist der Flächeninhalt:

%%A=A_{Kreis}-A_{kleiner\;Kreis}%%

Der Radius des größeren Kreises ist %%R=10\text{ cm}%%.

%%A=\pi\cdot R^2-\pi\cdot r^2=\pi\cdot10^2-\pi\cdot r^2=\pi\cdot\left(100-r^2\right)%%

Es ist nur sinnvoll, dass der Radius des kleineren Kreises kleiner ist als der des größeren Kreises, d.h. %%r\in%% ]0;10[ .

Berechne die Fläche des markierten Kreissegments. Dabei ist der Radius %%r=20cm%% und %%\varphi = 108°%%.

Kreissegment

r=20cm

%%\varphi%% =108°

ges: %%A_{Segment}%%

Zunächst den Flächeninhalt des Kreissektors berechnen.

%%A_{Kreisbogen}=\left(20\text{cm}\right)^2\cdot\pi\cdot\frac{108^\circ}{360^\circ}%%

%%=400cm^2\cdot\pi\cdot\frac3{10}=377\text{cm}^2%%

Die Höhe h berechnen, indem man das geteilte, rechtwinklige Dreieck betrachtet und den Cosinus anwendet.

%%\cos\left(\varphi\right)=\frac hr%%

%%\mid\cdot r%%

Die Gleichung nach h umstellen.

%%h=\cos\left(54^\circ\right)\cdot20cm=11,8\text{cm}%%

Jetzt mit dem Satz von Pythagoras %%\frac s2%% berechnen.

%%h^2+\left(\frac s2\right)^2=r^2%%

%%\mid -h^2%%

Nach %%\left(\frac s2\right)^2%% umstellen.

%%\left(\frac s2\right)^2=r^2-h^2%%

Werte einsetzen.

%%=400\text{cm}^2-139,24\text{cm}^2%%

Subtrahieren und die Wurzel ziehen.

%%\frac s2=16,1\text{cm}%%

s berechnen, indem man %%\frac s2%% mit 2 multipliziert.

%%s=16,1\text{cm}\cdot2=32,2\text{cm}%%

Den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen, dessen Seiten r, r und s sind.

%%A_{Dreieck}=\frac12\cdot s\cdot h%%

Werte einsetzen.

%%=\frac12\cdot32,2\text{cm}\cdot11,8\text{cm}=190\text{cm}^2%%

Den Flächeninhalt des Dreiecks von dem, des Kreisbogens subtrahieren.

%%A_{Segment}=A_{Kreisbogen}-A_{Dreieck}%%

%%=377\text{cm}^2-190\text{cm}^2=187\text{cm}^2%%

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