Aufgaben zu Bruchgleichungen, die auf lineare Gleichungen führen

Wie gut kennst du dich mit Bruchgleichungen aus? Lerne Bruchgleichungen zu lösen, die nach Auslösen des Hauptnenners zu linearen Gleichungen werden!

1
Löse folgende Bruchgleichung $\displaystyle\frac{1570}{x}=4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge
Definitionsmenge bestimmen
Der Nenner darf nie 0 werden! Daher muss $x=0$ ausgeschlossen werden.
$D=\mathbb{Q} \backslash \{0\}$
Bruchgleichung lösen
Bei dieser Aufgabe musst du nur das $x$ auf die andere Seite bringen. Da $x$ im Nenner steht, musst du mit $x$ multiplizieren
$\frac{1570}{x}=4$
Mit $x$ multiplizieren.
$1570=4\cdot x$
Durch 4 dividieren.
$x=\frac{1570}{4}=392{,}5$
Da $392{,}5$ in der Definitionsmenge liegt, ist dies die Lösung der Bruchgleichung.

Bestimme jeweils die Lösungsmenge:

(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

$\displaystyle \frac2{x^2}+\frac1{x+1}=\frac1x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen

Definitionsmenge bestimmen

$\dfrac2{x^2}+\dfrac {1}{x+1}=\dfrac1x$

Keiner der Nenner darf $0$ werden.

Aus der Definitionsmenge musst du alle Zahlen ausschließen, für die sich $0$ im Nenner ergeben würde.

Verboten ist hier also:

$x^2=0$
$x+1=0$
$x=0$

Daher müssen ausgeschlossen werden: $0$ und $-1$ .

Die Definitionsmenge ist $\mathbb D =\mathbb {Q}\backslash\left\{0;-1\right\}$ , wenn als Grundmenge die Menge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen verwendet wird.

Die Defintionsmenge ist $\mathbb{D}=ℝ\backslash\left\{0;-1\right\}$ , wenn als Grundmenge die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen verwendet wird.

Bruchgleichung lösen

$\dfrac2{x^2}+\dfrac {1}{x+1}=\dfrac1x$

Bilde den Hauptnenner. Der Hauptnenner ist bei dieser Gleichung: $x^2(x+1)$ . Bringe nun alle Brüche durch Erweitern auf den Hauptnenner und multipliziere anschließend die gesamte Gleichung mit dem Hauptnenner, damit alle Brüche wegfallen.

$\displaystyle \frac{2}{x^2}+\frac{1}{x+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x}$
	↓	Bilde den Hauptnenner.
$\displaystyle \frac{2(x+1)}{x^2(x+1)}+\frac{x^2}{x^2(x+1)}$	$=$	$\displaystyle \frac{x(x+1)}{x^2(x+1)}$	$\displaystyle \cdot x^2(x+1)$
$\displaystyle 2\left(x+1\right)+x^2$	$=$	$\displaystyle x\left(x+1\right)$
	↓	Löse die Klammern auf, und forme die Gleichung dann geeignet um.
$\displaystyle 2x+2+x^2$	$=$	$\displaystyle x^2+x$	$\displaystyle -x^2-x$
$\displaystyle x+2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2$

Überprüfe nun noch, ob $-2$ in der Definitionsmenge enthalten ist.

$x=-2 \in \mathbb D$

Damit ist $-2$ Lösung der Gleichung und du kannst die Lösungsmenge angeben.

$\Rightarrow\ \mathbb L = \{-2\}$

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$\displaystyle\frac2{x-2}-2=\frac1{4-2x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen

Definitionsbereich bestimmen

$\displaystyle\frac2{x-2}-2=\frac1{4-2x}$

Keiner der Nenner darf $0$ werden.

Aus der Definitionsmenge musst du alle Zahlen ausschließen, für die sich $0$ im Nenner ergeben würde.

$D_f=ℝ\backslash\left\{2\right\}$

Die Definitionsmenge ist $\mathbb D =\mathbb {Q}\backslash\left\{2\right\}$ , wenn als Grundmenge die Menge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen verwendet wird.

Die Defintionsmenge ist $\mathbb{D}=ℝ\backslash\left\{2\right\}$ , wenn als Grundmenge die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen verwendet wird.

Lösungsmenge bestimmen

$\displaystyle\frac2{x-2}-2=\frac1{4-2x}$

Bilde wieder den Hauptnenner der Brüche. Hier musst du den Faktor $-2$ ausklammern im rechten Nenner.

$\displaystyle \frac{2}{x-2}-2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4-2x}$
$\displaystyle \frac{2}{x-2}-2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{-2\left(x-2\right)}$
	↓	Bilde den Hauptnenner beider Brüche: $-2(x-2)$
$\displaystyle \frac{2\cdot(-2)}{(-2)(x-2)}+\frac{(-2)(-2)(x-2)}{(-2)(x-2)}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{(-2)(x-2)}$	$\displaystyle \cdot(-2)(x-2))$
	↓	Multipliziere nun mit dem Hauptnenner.
$\displaystyle -4+4\cdot(x-2)$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle -4+4x-8$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle -12+4x$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle +12$
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle 13$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{13}{4}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3{,}25$

Überprüfe nun noch, ob $3{,}25$ in der Definitionsmenge enthalten ist.

$x=3{,}25 \in \mathbb D$

Damit ist $3{,}25$ Lösung der Gleichung, und du kannst die Lösungsmenge angeben.

$\Rightarrow\ \mathbb L = \{3{,}25\}$

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Löse folgende Bruchgleichungen:

(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

$\dfrac2{x-3}=\dfrac3{x-1}$ mit der Definitionsmenge $D=\mathbb Q \backslash\{1{,}3\}$ .

$\dfrac2{5x+15}=\dfrac1{10}$

Mit der Definitionsmenge $D=\mathbb Q\backslash \{-3\}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen

Lösen der Bruchgleichung

Es handelt sich hier um eine Bruchgleichung, also wende dein Wissen zur Lösung von Bruchgleichungen an.

Ziel ist es die Gleichung Bruchtermfrei zu machen.Dazu benutzt du die Hauptnenner-Methode.

Hauptnenner finden

Suche zunächst nach dem Hauptnenner.

Dazu schaust du dir beide Terme der Gleichung an. Der Nenner von $\dfrac{1}{10}$ ist $10$ und der Nenner von $\dfrac2{5x+15}$ ist $5x+15$ .

Man bekommt die faktorisierten Bausteine:

$[10]\ \ \ \ \ \ \ \ \ =[2]\cdot[5]$
$[5x+15]=\ \ \ \ [5]\cdot[x+3]$

Der Baustein $5$ kommt zweimal vor, für die Bildung des Hauptnenners braucht man es nur einmal. Alle anderen Bausteine kommen nur einmal vor.

Es ergibt sich für den Hauptnenner:

$[2]\cdot[5]\cdot[x+3]=10(x+3)$

Brüche auf Hauptnenner erweitern

Zweiter Schritt der Hauptnenner-Methode ist es die Bruchterme so zu erweitern, dass der Hauptnenner im Nenner steht.

$\displaystyle \frac{2}{5x+15}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{5\left(x+3\right)}\cdot\frac{2}{3}$
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{10\left(x+3\right)}$

\displaystyle \frac{1}{10}\cdot\frac{x+3}{x+3}

=

\displaystyle \frac{x+3}{10\left(x+3\right)}

Gleichung bruchtermfrei machen

Nun kannst du mit dem Hauptnenner die Gleichung multiplizieren. So bekommst du eine bruchtermfreie Gleichung.

$\displaystyle \frac{2}{5x+15}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{10}$
	↓	Auf den Hauptnenner $10(x+3)$ erweitern.
$\displaystyle \frac{4}{10\left(x+3\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{x+3}{10\left(x+3\right)}$	$\displaystyle \cdot10\left(x+3\right)$
	↓	mit dem Hauptnenner multiplizieren
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle x+3$

Bruchtermfreie Gleichung lösen

Du hast die Bruchgleichung in eine äquivalente lineare Gleichung umgeformt. Diese kannst du nun mit deinem Vorwissen lösen.

$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle x+3$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

$1$ ist in der Definitionsmenge enthalten, also ist die Lösungsmenge $\mathbb L=\{1\}$ .

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$\dfrac{3x^2}{x-1}-3x=\dfrac1{x-1}+2$ mit der Definitionsmenge $D=\mathbb Q\backslash \{1\}$ .

$\dfrac5{2x+6}-\dfrac{1-0{,}25x^2}{x^2+3x}=\dfrac14$ mit der Definitionsmenge $D=\mathbb Q\backslash\{-3{,}0\}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen

Bruchgleichungen

Es handelt sich hier um eine Bruchgleichung, also wende dein Wissen zur Lösung von Bruchgleichungen an.

Bestimme zunächst den Hauptnenner. Schaue dir dafür explizit jeden Nenner einzeln an und faktorisiere falls möglich:

$2x+6=2(x+3)$
$x^2+3x=x(x+3)$
$4=2\cdot2$

Aus den Faktoren ergibt sich für den Hauptnenner: $4x(x+3)$ .

Es folgt:

$\displaystyle \frac{5}{2x+6}-\frac{1-0{,}25x^2}{x^2+3x}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}$
	↓	Im $1$ . Bruch den Faktor $2$ und im $2$ . Bruch $x$ ausklammern.
$\displaystyle \frac{5}{2\left(x+3\right)}-\frac{1-0{,}25x^2}{x\left(x+3\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}$
	↓	Auf den Hauptnenner $4x\left(x+3\right)$ erweitern.
$\displaystyle \frac{5}{2\left(x+3\right)}\cdot\frac{2x}{2x}-\frac{1-0{,}25x^2}{x\left(x+3\right)}\cdot\frac{4}{4}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\frac{x\left(x+3\right)}{x\left(x+3\right)}$
	↓	Vereinfache
$\displaystyle \frac{10x}{4x\left(x+3\right)}-\frac{4-x^2}{4x\left(x+3\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{x\left(x+3\right)}{4x\left(x+3\right)}$	$\displaystyle \cdot4x\left(x+3\right)$
	↓	Mit dem Hauptnenner multiplizieren.
$\displaystyle 10x-4+x^2$	$=$	$\displaystyle x^2+3x$	$\displaystyle -x^2\ -3x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 7x-4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle 7x$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle :7$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{7}$

$\dfrac47$ ist in der Definitionsmenge enthalten und somit eine Lösung der Gleichung. Also ist die Lösungsmenge $\mathbb L=\left\{\dfrac47\right\}.$

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Löse die folgende Bruchgleichung:
(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)
$\displaystyle\frac{7}{x}=\frac{1}{3\cdot x}-\frac{5x}{x\cdot(x+1)}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
Tipp: Hier kann dir der Artikel Bruchgleichungen lösen helfen. Wenn du dir noch unsicher bist, dann schau mal in den Kurs Bruchgleichungen rein.
Bruchgleichungen lösen
In dieser Lösung wirst du Wissen aus den Artikeln Über Kreuz multiplizieren und Buchgleichungen lösen brauchen.
Du möchtest diese Bruchgleichung lösen:
$\displaystyle\frac{7}{x}=\frac{1}{3\cdot x}-\frac{5x}{x\cdot(x+1)}$ .
Definitionsmenge bestimmen
Zum Beginn musst du die Definitionsmenge der Bruchgleichung bestimmen. Diese kannst du bestimmen, indem du die Definitionslücken der Bruchgleichung bestimmst.
Wie du dich vielleicht erinnerst, entsteht eine Lücke genau bei der Zahl, wo einer der Nenner $0$ werden würde. Man darf nämlich nicht durch $0$ teilen.
Setzte nun die einzelnen Nenner nacheinander gleich $0$ :
Nenner des ersten Bruchs
$x=0$
Also wird dieser Nenner $0$ für $x=0$
Der Nenner des zweiten Bruchs
$3\cdot x=0$
$|:3$
$x=0$
Also wird dieser Nenner $0$ für $x=0$
Der Nenner des dritten Bruchs
$x\cdot(x+1)=0$
Diese Gleichung gilt, wenn entweder $x=0$ oder $x+1=0$ .
Also ist der Nenner des zweiten Bruchs genau dann gleich $0$ , wenn entweder $x=0$ oder $x=-1$ .
Du erkennst also, dass hier $0$ und $-1$ die Definitionslücken von der Bruchgleichung sind.
Insgesamt ist die Definitionsmenge der Bruchgleichung $D=\mathbb{Q}\backslash\{0,-1\}$ .
Gleichung bruchterm-frei machen
Der nächste Schritt ist die Gleichung von Brüchen zu befreien. Dies schafft man, indem man Über Kreuz multipliziert.
Der erste Schritt ist beide Seiten der Gleichung auf jeweils einen gleichen Nenner zu bringen:
$\displaystyle\frac{7}{x}=\frac{1}{3\cdot x}-\frac{5\cdot x}{x\cdot(x+1)}$
$\displaystyle\frac{7}{x}=\frac{x+1}{3\cdot x\cdot(x+1)}-\frac{3\cdot5\cdot x}{3\cdot x\cdot(x+1)}$
Jetzt subtrahierst du die beiden Brüche auf der rechten Seite der Bruchgleichung voneinander:
$\displaystyle\frac{7}{x}=\frac{x+1-3\cdot5\cdot x}{3\cdot x\cdot(x+1)}$
$\displaystyle\frac{7}{x}=\frac{-14\cdot x+1}{3\cdot x\cdot(x+1)}$
Dann multplizierst du die Gleichung mit den beiden Nennern der Brüche:
$\displaystyle\frac{7}{x}=\frac{-14\cdot x+1}{3\cdot x\cdot(x+1)}$
$|\cdot3\cdot x\cdot(x+1)$ und $\cdot x$
$7\cdot3\cdot x\cdot(x+1)=x\cdot(-14\cdot x+1)$
Hier teilt man durch $x$ . Dies darf man, da $x=0$ nicht in der Definitionsmenge liegt.
$7\cdot3\cdot x\cdot(x+1)=x\cdot(-14\cdot x+1)$
$|:x$
$7\cdot3\cdot (x+1)=-14\cdot x+1$
Als letzter Schritt löst du nach x auf:
$21\cdot x+21=-14\cdot x+1$
$|+14\cdot x-21$
$35\cdot x=-20$
$|:35$
$\displaystyle x=-\frac{20}{35}=-\frac{4}{7}$
Also ist die Lösungsmenge der Bruchgleichung $L=\{-\frac{4}{7}\}$ und die Definitionsmenge ist $D=\mathbb{Q}\backslash\{0,-1\}$ .
5
Gegeben ist die folgende Bruchgleichung:
$\displaystyle\frac7x+\frac8x-1=\frac12-6\left(\frac2x-2\right)$
Bestimme die Defintionsmenge und die Lösungsmenge!
(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösen von Bruchgleichungen
Bestimme die Definitionsmenge der Bruchgleichung
Zur Lösung der Bruchgleichung musst du zuerst die Defintionsmenge bestimmen. Dafür musst du die Nenner der einzelnen Brüche herausschreiben und gleich $0$ setzen. Da in jedem vorkommenden Bruch der Nenner $x$ ist, reicht es diesen Nenner $x$ gleich $0$ zu setzen.
$x=0$
Setze den Nenner $x$ gleich $0$ .
Du siehst jetzt, dass diese Gleichung bereits nach $x$ aufgelöst ist. Daher ist die Bruchgleichung nur für $x=0$ nicht definiert. Daher hat die Gleichung die Definitionslücke bei $x=0$ und du siehst:
$D =\mathbb{Q} \backslash \{0\}$
Gleichung bruchterm-frei machen
Nun musst du die Gleichung bruchterm-frei machen. Dafür kannst du zunächst die Gleichung vereinfachen:
$\displaystyle \frac7x+\frac8x-1=\frac12-6\left(\frac2x-2\right)$
Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle\frac7x+\frac8x-1=\frac12-\frac{12}x+12$
Addiere $1$ auf beiden Seiten.
$\displaystyle\frac7x+\frac8x=\frac12-\frac{12}x+12+1$
Vereinfache:
$\frac 12 +12+1=13{,}5$
$\displaystyle\frac7x+\frac8x=-\frac{12}x+13{,}5$
Alle vorkommenden Nenner sind gleich, nämlich $x$ . Der einzige Baustein ist $x$ , daher ist auch der Hauptnenner $x$ . Indem du jetzt die Gleichung mit diesem Hauptnenner multiplizierst, erhältst du eine bruchterm-freie Gleichung:
$\displaystyle\frac7x+\frac8x=-\frac{12}x+13{,}5$
Multipliziere die Gleichung mit dem Hauptnenner $x$ .
$7+8=-12+13{,}5x$
Löse die bruchterm-freie Gleichung
Jetzt kannst du die lineare bruchterm-freie Gleichung lösen.
$7+8=-12+13{,}5x$
Addiere auf beiden Seiten der Gleichung $12$ .
$7+8+12=13{,}5x$
Vereinfache den Term auf der linken Seite.
$27=13{,}5x$
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch $13{,}5$ .
$2=x$
Als Lösung der Gleichung erhältst du also $2$ .
Angabe der Lösungsmenge
Du musst jetzt noch überprüfen, ob die Lösung der Gleichung auch in der Definitionsmenge liegt. Wegen $D=\mathbb{Q}\backslash \{ 0\}$ liegt $2$ in der Definitionsmenge und daher auch in der Lösungsmenge. Daher erhältst du: $\mathbb L=\{ 2\}$ .
Die Lösungsmenge der Bruchgleichung ist also gegeben durch $\mathbb L=\{ 2\}$ .
Versuche die Gleichung Bruchterm-frei zu machen. Dafür kannst du verschiedenen Methoden nutzen.
6
Bestimme die Definitions- und Lösungsmenge der Bruchgleichung:
(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)
$\dfrac{1}{x}=\dfrac{4}{2x+2}+\dfrac{1}{x+1}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge
Bestimme zunächst die Definitionsmenge.Keiner der drei Nenner darf $0$ sein. Nicht erlaubt sind also:
$x=0$
$2x+2=0 \ \Leftrightarrow 2x=-2 \Leftrightarrow x=-1$
$x+1=0\ \ \ \Leftrightarrow x=-1$
Es müssen also die $0$ und die $-1$ ausgeschlossen werden. Die Definitionsmenge der Gleichung ist somit $D=\mathbb Q \setminus\{0,-1\}$ .
Nun zur Lösungsmenge. Versuche zunächst die Bruchgleichung durch Über-Kreuz-Multiplizieren auf eine äquivalente bruchtermfreie Gleichung zu bringen. Danach kannst du die lineare Gleichung wie gewohnt lösen.
$\dfrac{1}{x}=\dfrac{4}{2x+2}+\dfrac{1}{x+1}$
Klammere die $2$ aus, auf der rechten Seite der Bruchgleichung im ersten Nenner.
$\dfrac{1}{x}=\dfrac{4}{2(x+1)}+\dfrac{1}{x+1}$
Kürze.
$\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}$
Addiere.
$\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{x+1}$
Über-Kreuz-Multiplizieren
$1(x+1)=3x$
Ausmultiplizieren.
$x+1=3x$
Subtrahiere x.
$1=2x$
Dividiere durch 2.
$x=\dfrac{1}{2}$
Da $\dfrac{1}{2}$ in der Definitionsmenge enthalten ist, ist die Lösungsmenge $\mathbb L=\left\{\dfrac{1}{2}\right\}$ .
7
Bestimme die Definitionsmenge und Lösungsmenge der Bruchgleichung:
(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)
$-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x}=5+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x}$

Tipp: Für die bestimmung der Definitionsmenge musst du explizit die Nenner anschauen.
Versuche Überkreuz zu multiplizieren.
Die Idee ist die Bruchtermgleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen in eine lineare Gleichung zu bringen. Dafür muss man zunächst die Definitionsmenge bestimmen und an geeigneter Stelle über Kreuz multiplizieren.
Bestimme also zunächst die Definitionmenge. Sowohl auf der linken Seite als auch auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen ist der Nenner der Terme $x$ .
Man darf also die $0$ nicht einsetzen.Für die Definitionsmenge gilt: $D=\mathbb Q\backslash\{0\}$ .
Nun zur Lösungsmenge:
Versuche zunächst die Gleichung Bruchfrei zu machen.
$-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x}=5+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x}$
Auf den gleichen Nenner bringen
$-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x}=\frac{\displaystyle 5x}{\displaystyle x}+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x}$
Addiere
$-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x}=\frac{\displaystyle 5x+1}{\displaystyle x}$
Überkreuzmultiplizieren
$-x=5x^2+x$
$|:x$ (Man darf durch $x$ teilen, weil $0$ nicht in der Definitionsmenge ist)
$-1=5x+1$
$|-1$
$-2=5x$
$|:5$
$x=-\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5}$
$-\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5}$ ist in der Definitionsmenge enthalten und somit eine Lösung der Gleichung.Es gibt keine weiteren Lösungen.
Also ist die Lösungsmenge $\mathbb L$ der Gleichung $\mathbb L=\{ -\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5}\}$ .

Löse die Bruchgleichung.

\displaystyle \frac2{x-2}+\frac4{x+3}=\frac6{6+2x}-\frac3{6-3x}

Tipp: Versuche die Nenner zu faktorisieren und kürze die Brüche anschließend.

Definitionsmenge bestimmen

Kein Nenner darf $0$ werden, deshalb muss man bestimmte Werte ausschließen.

$x-2=0\Leftrightarrow x=2$

$x+3=0\Leftrightarrow x=-3$

$6+2x=0\Leftrightarrow x=-3$

$6-3x=0 \Leftrightarrow x=2$

Es müssen die Zahlen $2$ und $-3$ ausgeschlossen werden. Daher ist die Definitionsmenge $D=\mathbb{Q}\backslash\{-3;2\}$

Bruchgleichung lösen

Für diese Bruchgleichung muss man den Hauptnenner finden. Es bietet sich aber an, zuerst alle Nenner zu faktorisieren.

$\displaystyle \frac{2}{x-2}+\frac{4}{x+3}$	$=$	$\displaystyle \frac{6}{6+2x}-\frac{3}{6-3x}$
	↓	Die Nenner auf der linken Seite können nicht mehr faktorisiert werden, rechts allerdings schon.
$\displaystyle \frac{2}{x-2}+\frac{4}{x+3}$	$=$	$\displaystyle \frac{6}{2\cdot\left(3+x\right)}-\frac{3}{3\cdot\left(2-x\right)}$
	↓	kürzen
$\displaystyle \frac{2}{x-2}+\frac{4}{x+3}$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{3+x}-\frac{1}{2-x}$
	↓	Nun kann man beim letzten Bruch das Minuszeichen vor dem Bruch mit dem Nenner verarbeiten, sodass sich dessen Summanden vertauschen.
$\displaystyle \frac{2}{x-2}+\frac{4}{x+3}$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{x+3}+\frac{1}{x-2}$

Die Bausteine des Hauptnenners sind damit:

$[x-2]$
$[x+3]$

Mit dem Hauptnenner muss nun multipliziert werden und gleich gekürzt werden.

$\displaystyle 2\cdot\left(x+3\right)+4\cdot\left(x-2\right)$	$=$	$\displaystyle 3\cdot\left(x-2\right)+1\cdot\left(x+3\right)$
	↓	Ausmultiplizieren
$\displaystyle 2x+6+4x-8$	$=$	$\displaystyle 3x-6+x+3$
	↓	Terme zusammenfassen
$\displaystyle 6x-2$	$=$	$\displaystyle 4x-3$	$\displaystyle +2-4x$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{1}{2}$

Da $-\frac12$ in der Definitionsmenge liegt, lautet die Lösungsmenge::

$L=\{-\frac12\}$

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Gib die Lösungsmenge folgender Gleichungen an.

$\dfrac1x+2=\dfrac9x$

$\dfrac{2x+4}8=\dfrac{8x-7}{20}$

$\dfrac29\cdot\dfrac x{11}=\dfrac{27}{22}$

$\frac{15}x\cdot\frac{12}{21}=6$

Beim Lösen einer Gleichung der Form $\displaystyle\frac ab=\frac cd$ muss man „Über-Kreuz-Multiplizieren“. Das heißt $\displaystyle\frac ab=\frac cd$ ist das Gleiche wie $\displaystyle a\cdot d=b\cdot c$ .

Wende dieses Vorgehen bei den folgenden Bruchgleichungen an.

$\displaystyle\frac3{2x+1}=\frac2{2-x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Über-Kreuz-Multiplizieren

Definitionsmenge bestimmen

Zunächst musst du die Definitionsmenge der Gleichung bestimmen.

$\dfrac{3}{2x+1}=\dfrac{2}{2-x}$

Keiner der beiden Nenner darf $0$ werden.

Deshalb musst du aus der Definitionsmenge alle Zahlen ausschließen, für die $0$ in einem der Nenner ergeben würde.

Verboten sind hier also:

$2x+1=0$
$2-x=0$

Erste Gleichung lösen!

$\displaystyle 2x+1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}$

Zweite Gleichung lösen!

$\displaystyle 2-x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle :\left(-1\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

Daher müssen die Zahlen $-\dfrac{1}{2}$ und $2$ aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden.

Die Definitionsmenge ist $D =\mathbb {Q}\backslash\left\{-0{,}5;\ 2\right\}$ , wenn als Grundmenge die Menge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen verwendet wird.

Bruchgleichung lösen

Nun löst du die Bruchgleichung mit der Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens:

$\dfrac{3}{2x+1}=\dfrac{2}{2-x}\quad$

Über-Kreuz-Multiplizieren! $\dfrac ab=\dfrac cd \Leftrightarrow a\cdot d=c\cdot b$

$\displaystyle \frac{3}{2x+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{2-x}$	$\displaystyle \cdot\left(2x+1\right)\left(2-x\right)$
$\displaystyle 3\cdot\left(2-x\right)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(2x+1\right)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 6-3x$	$=$	$\displaystyle 4x+2$	$\displaystyle -2+3x$
	↓	Löse dann die Gleichung durch Umformen nach $x$ auf.
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 7x$	$\displaystyle :7$
$\displaystyle \frac{4}{7}$	$=$	$\displaystyle x$

Überprüfe jetzt noch, ob $x=\frac{4}{7}$ in der Definitionsmenge enthalten ist. Es gilt $x=\dfrac{4}{7} \in D$ , also ist die Lösungsmenge $\mathbb L= \left\{ \dfrac{4}{7}\right\}$ .

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$\displaystyle\frac{x-2}{3+x}=\frac{2x}{2x-3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Über-Kreuz-Multiplizieren

Definitionsbereich bestimmen

Zunächst musst du die Definitionsmenge der Gleichung bestimmen.

$\displaystyle\frac{x-2}{3+x}=\frac{2x}{2x-3}$

Keiner der beiden Nenner darf $0$ werden.

Aus der Definitionsmenge musst du deshalb alle Zahlen ausschließen, für die einer der Nenner $0$ ergeben würde.

Verboten sind hier also:

$3+x=0$
$2x-3=0$

Löse die erste Gleichung!

$\displaystyle 3+x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3$

Löse die zweite Gleichung!

$\displaystyle 2x-3$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +3$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{2}$

Daher müssen die Zahlen $-3$ und $\dfrac{3}{2}$ aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden.

Die Definitionsmenge ist $D =\mathbb {Q}\backslash\left\{-3,\dfrac{3}{2}\right\}$ , wenn als Grundmenge die Menge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen verwendet wird.

Bruchgleichung lösen

Nun löst du die Bruchgleichung mit der Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens:

$\displaystyle \frac{x-2}{3+x}$	$=$	$\displaystyle \frac{2x}{2x-3}$	$\displaystyle \cdot\left(3+x\right)\left(2x-3\right)$
$\displaystyle \left(x-2\right)\cdot\left(2x-3\right)$	$=$	$\displaystyle 2x\cdot\left(3+x\right)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren.
$\displaystyle 2x^2-3x-4x+6$	$=$	$\displaystyle 6x+2x^2$
	↓	Löse nun die Gleichung nach $x$ auf!
$\displaystyle 2x^2-7x+6$	$=$	$\displaystyle 6x+2x^2$	$\displaystyle -2x^2+7x$
$\displaystyle 6$	$=$	$\displaystyle 13x$	$\displaystyle :13$
$\displaystyle \frac{6}{13}$	$=$	$\displaystyle x$

Überprüfe jetzt noch, ob $x=\dfrac{6}{13}$ in der Definitionsmenge enthalten ist. $x=\dfrac{6}{13} \in D$ also ist die Lösungsmenge $\mathbb L= \left\{ \dfrac{6}{13}\right\}$ .

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$\displaystyle 1+\frac2{2x-1}=\frac x{x+2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Über-Kreuz-Multiplizieren

Definitionsbereich bestimmen

Zunächst musst du die Definitionsmenge der Gleichung bestimmen.

$\displaystyle1+\frac2{2x-1}=\frac x{x+2}$

Keiner der beiden Nenner darf $0$ werden.

Aus der Definitionsmenge musst du deshalb alle Zahlen ausschließen, für die einer der Nenner $0$ ergeben würde.

Verboten ist hier:

$2x-1=0$
$x+2=0$

Löse die erste Gleichung.

$\displaystyle 2x-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$

Löse die zweite Gleichung.

$\displaystyle x+2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2$

Daher müssen die Zahlen $-2$ und $\dfrac{1}{2}$ aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden.

Die Definitionsmenge ist $D =\mathbb {Q}\backslash\left\{-2,\dfrac{1}{2}\right\}$ , wenn als Grundmenge die Menge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen verwendet wird.

Bruchgleichung lösen

Nun löst du die Bruchgleichung mit der Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens:

Zunächst musst du die linke Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Bruch bringen.

$\displaystyle 1+\frac{2}{2x-1}$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{x+2}$
	↓	Den Summanden $1$ mit $2x-1$ erweitern.
$\displaystyle \frac{2x-1}{2x-1}+\frac{2}{2x-1}$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{x+2}$
	↓	Brüche auf der linken Seite addieren.
$\displaystyle \frac{2x-1+2}{2x-1}$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{x+2}$
	↓	Auf der linken Seite den Zähler zusammenfassen.
$\displaystyle \frac{2x+1}{2x-1}$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{x+2}$	$\displaystyle \cdot\left(2x-1\right)\left(x+2\right)$
	↓	Nun wendest du die Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens an.
$\displaystyle (2x+1)\cdot(x+2)$	$=$	$\displaystyle x\cdot(2x-1)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$\displaystyle 2x^2+4x+x+2$	$=$	$\displaystyle 2x^2-x$
	↓	Linke Seite zusammenfassen.
$\displaystyle 2x^2+5x+2$	$=$	$\displaystyle 2x^2-x$	$\displaystyle -2x^2+x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 6x+2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle 6x$	$=$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{6}$
	↓	Kürzen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{3}$

Überprüfe jetzt noch, ob $x=-\dfrac{1}{3}$ in der Definitionsmenge enthalten ist. Wegen $x=-\dfrac{1}{3} \in D$ ist die Lösungsmenge $\mathbb L= \left\{ -\dfrac{1}{3}\right\}$ .

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$\displaystyle \frac{2}{x-3}$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{x-1}$
	↓	Erweitere beide Brüche auf den Hauptnenner $(x-3)(x-1)$
$\displaystyle \frac{2(x-1)}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{3\left(x-3\right)}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}$	$\displaystyle \cdot\left(x-3\right)\left(x-1\right)$
	↓	Multipliziere die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner
$\displaystyle 2\left(x-1\right)_{ }$	$=$	$\displaystyle 3\left(x-3\right)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 2x-2$	$=$	$\displaystyle 3x-9$	$\displaystyle -2x\ +9$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 7$

$\displaystyle \frac{3x^2}{x-1}-3x$	$=$	$\displaystyle \frac{3x^2}{x-1}-\frac{3x\left(x-1\right)}{x-1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{3x^2}{x-1}-\frac{3x^2-3x}{x-1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{3x}{x-1}$

$\displaystyle \frac{1}{x-1}+2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x-1}+\frac{2\left(x-1\right)}{x-1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x-1}+\frac{2x-2}{x-1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2x-1}{x-1}$

$\displaystyle \dfrac{2x+4}8$	$=$	$\displaystyle \dfrac{8x-7}{20}$	$\displaystyle \cdot 20; \cdot 8$
$\displaystyle 40x+80$	$=$	$\displaystyle 64x-56$	$\displaystyle +56 -40x$
$\displaystyle 136$	$=$	$\displaystyle 24x$	$\displaystyle :24$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{17}{3}$

$\displaystyle \dfrac29\cdot\dfrac x{11}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{27}{22}$
	↓	Brüche auf der linken Seite multiplizieren
$\displaystyle \dfrac{2x}{99}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{27}{22}$	$\displaystyle \cdot 99; \cdot 22$
$\displaystyle 44x$	$=$	$\displaystyle 27\cdot 99$	$\displaystyle :44$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 60{,}75$

$\displaystyle \frac{3x^2}{x-1}-3x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x-1}+2$
	↓	Auf den Hauptnenner $(x-1)$ erweitern und vereinfachen (siehe oben).
$\displaystyle \frac{3x}{x-1}$	$=$	$\displaystyle \frac{2x-1}{x-1}$
	↓	Mit dem Hauptnenner $(x-1)$ multiplizieren.
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle 2x-1$	$\displaystyle -2x$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1$

$\displaystyle \dfrac1x + 2$	$=$	$\displaystyle \dfrac9x$	$\displaystyle -\dfrac1x$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle \dfrac8x$	$\displaystyle \cdot x$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 4$

Als erstes multiplizierst du mit $x$ , um das aus dem Nenner zu bekommen:
	↓
$\displaystyle \frac{15}{x}\cdot\frac{12}{21}$	$=$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle \cdot x$
$\displaystyle \frac{15\cdot 12}{21}$	$=$	$\displaystyle 6x$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle \frac{15\cdot 12}{21\cdot6}$	$=$	$\displaystyle x$
	↓	vertausche die Seiten und kürze 12 und 6 mit 6 und dann 15 und 21 mit 3
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{10}{7}$

Aufgaben zu Bruchgleichungen, die auf lineare Gleichungen führen

Definitionsmenge bestimmen

Bruchgleichung lösen

Definitionsmenge bestimmen

Bruchgleichung lösen

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Definitionsbereich bestimmen

Lösungsmenge bestimmen

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Bruchgleichungen lösen

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Lösen der Bruchgleichung

Hauptnenner finden

Brüche auf Hauptnenner erweitern

Gleichung bruchtermfrei machen

Bruchtermfreie Gleichung lösen

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Bruchgleichungen

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Bruchgleichungen

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Bruchgleichungen lösen

Definitionsmenge bestimmen

Nenner des ersten Bruchs

Der Nenner des zweiten Bruchs

Der Nenner des dritten Bruchs

Gleichung bruchterm-frei machen

Bestimme die Definitionsmenge der Bruchgleichung

Gleichung bruchterm-frei machen

Löse die bruchterm-freie Gleichung

Angabe der Lösungsmenge

Definitionsmenge bestimmen

Bruchgleichung lösen

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Definitionsmenge bestimmen

Erste Gleichung lösen!

Zweite Gleichung lösen!

Bruchgleichung lösen

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Definitionsbereich bestimmen

Löse die erste Gleichung!

Löse die zweite Gleichung!

Bruchgleichung lösen

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Definitionsbereich bestimmen

Löse die erste Gleichung.

Löse die zweite Gleichung.

Bruchgleichung lösen

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