Aufgaben

Löse die quadratische Gleichung  %%3x^2+2x+1=(m+1)x+4%%  in Abhängigkeit vom Parameter %%m%%

Mitternachtsformel mit Parametern

Artikel zum Thema

%%3x^2+2x+1=(m+1)x+4%%

Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht, und fasse zusammen.

%%3x^2+2x-(m+1)x-3=0%%

Fasse die Terme mit %%x%% zusammen indem du den Faktor x ausklammerst.

%%3x^2+(1-m)x-3=0%%

Lies %%a%%, %%b%% und %%c%% ab.

%%a=3,\;b=1-m,\;c=-3%%

Berechne die Diskriminante %%D=b^2-4ac%% der Gleichung.

%%\begin{array}{l}D=(1-m)^2-4\cdot3\cdot(-3)=(1-m)^2+36\\\end{array}%%

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von %%m%% auf ihr Vorzeichen, indem du beachtest, dass ein Quadrat immer größer oder gleich als Null ist, und leite daraus die Anzahl der Lösungen her.

%%D=(1-m)^2+36>0%%

%%\Rightarrow%% zwei Lösungen für alle m

Wende nun die Mitternachtsformel an.

%%x_{1,2}=\frac{-1+m\pm\sqrt{(1-m)^2+36}}6%%

Löse die quadratische Gleichung  %%4t^2x^2+4tx+1=0%%  in Abhängigkeit vom Parameter  %%t\neq0%%

Mitternachtsformel mit Parametern

Artikel zum Thema

%%4t^2x^2+4tx+1=0%%

  1. Erkenne, dass auf einer Seite bereits die Null steht.

  2. Erkenne, dass du nichts ausklammern kannst.

  3. Lies %%a%%, %%b%% und %%c%% ab.

%%a=4t^2,\;b=4t,\;c=1%%

Der Fall %%t=0%% ist laut Aufgabenstellung ausgeschlossen. Er muss also nicht explizit untersucht werden.

%%D=16t^2-4\cdot4t^2\cdot1=0%%

Berechne die Diskriminante %%D=b^2-4ac%% der Gleichung.

Untersuche das Vorzeichenverhalten von %%D%% und leite daraus die Anzahl der Lösungen her.

%%D=0\Rightarrow%% eine Lösung

Setze in die Mitternachtsformel ein.

%%x_1=\frac{-4t}{8t^2}=-\frac1{2t}%%

Löse die quadratische Gleichung  %%tx^2+tx+t=0%%  in Abhängigkeit vom Parameter %%t%%

Mitternachtsformel mit Parametern

Artikel zum Thema

%%tx^2+tx+t=0%%

  1. Erkenne, dass auf einer Seite bereits die Null steht.
  2. Erkenne, dass du nichts mehr zusammenfassen kannst.
  3. Lies %%a%%, %%b%% und %%c%% ab.

%%a=t,\;b=t,\;c=t%%

Berechne die Diskriminante %%D=b^2-4ac%% der Gleichung.

%%D=t^2-4\cdot t\cdot t=-3t^2%%

Betrachte das Vorzeichen der Diskriminante in Abhängigkeit vom Parameter %%t%% und leite daraus die Anzahl der Lösungen her. Beachte dabei, dass im Fall %%t=0%% die allgemeingültige Gleichung %%0=0%% entsteht und du somit jedes %%x%% einsetzen kannst.

%%t\neq0:\;-3t^2<0 \Rightarrow%%

%%t=0:\;0=0\Rightarrow%% richtige Aussage für jedes x

Löse die quadratische Gleichung  %%(m+1)x^2+x+m+1=0%%  in Abhängigkeit vom Parameter  %%m>0%%

Mitternachtsformel mit Parametern

Artikel zum Thema

%%(m+1)x^2+x+m+1=0%%

mit %%m>0%%

Da auf einer Seite bereits Null steht, kannst du sofort %%a%%, %%b%% und %%c%% ab.

%%a=m+1,\;b=1,\;c=m+1%%

Berechne die Diskriminante %%D=b^2-4ac%% der Gleichung.

%%\begin{array}{l}D=1^2-4\cdot(m+1)\cdot(m+1)\\=1-4\cdot(m+1)^2\end{array}%%

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von %%m%% auf ihr Vorzeichen:

Da %%m>0%% gilt, ist %%m+1>1%% und ebenso das Quadrat %%(m+1)^2%% größer als %%1%%. Somit ist der Term %%4\cdot(m+1)^2%% größer als %%4%%. Folglich ist die Diskriminante für jeden Wert von %%m%% kleiner als Null. Daran kannst du also erkennen, dass es keine Lösungen gibt.

%%D=1-4\cdot(m+1)^2<0%%

%%\Rightarrow%% Keine Lösung

Löse die quadratische Gleichung  %%4x^2+c^2=-mx%%  in Abhängigkeit von den Parametern  %%c>0%%  und %%m%%

Mitternachtsformel mit Parametern

Artikel zum Thema

%%4x^2+c^2=-mx%% mit %%c>0%% und %%m%%.

Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht.

%%4x^2+mx+c^2=0%%

Lese %%a%%, %%b%% und %%c%% ab. Beachte, dass das %%c%% auf der linken Seite aus der allgemeinen Form stammt und das %%c%% auf der rechten Seite der Parameter in der Gleichung ist.

%%a=4,\;b=m,\;c=c^2%%

Berechne die Diskriminante %%D=b^2-4ac%% der Gleichung.

%%\begin{array}{l}D=m^2-4\cdot4\cdot c^2=\\m^2-16c^2=(m+4c)(m-4c)\end{array}%%

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von %%m%% und %%c%% auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.

%%\begin{array}{l}D=(m+4c)\cdot(m-4c)=0\\\end{array}%% %%\Leftrightarrow\;m=-4c%% oder %%m=4c%%

Da die Diskriminante %%D(m)%% eine nach oben geöffnete Parabel darstellt, kannst du daran das Vorzeichenverhalten ablesen.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9363_f01k9kxAgf.xml

%%m<-4c%% oder %%m>4c%% :

zwei Lösungen

%%m=-4c%% oder %%m=4c%% :

eine Lösung

%%m\in(-4c,\;4c)\Rightarrow D<0%% :

keine Lösung

Wende nun die Mitternachtsformel an.

%%m<-4c%% oder %%m>4c%% :

%%x_{1,2}=\frac{-m\pm\sqrt{m^2-16c}}8%%

%%m=-4c%% oder %%m=4c%% :

%%x_{}=\frac{-m\pm0}8=\frac{-m}8%%

%%m\in(-4c,\;4c)%% :

keine Lösung

Löse die quadratische Gleichung  %%2x^2+5x+t=3x^2+3x-t%%  in Abhängigkeit vom Parameter %%t%%

Mitternachtsformel mit Parametern

Artikel zum Thema

%%2x^2+5x+t=3x^2+3x-t%%

Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht, und fasse so weit wie möglich zusammen.

%%-x^2+2x+2t=0%%

Lese %%a%%, %%b%% und %%c%% abliest.

%%a=-1,\;b=2,\;c=2t%%

Berechne die Diskriminante %%D=b^2-4ac%% der Gleichung.

%%\begin{array}{l}D=2^2-4\cdot(-1)\cdot2t\\=4+8t\end{array}%%

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von %%t%% auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.

%%D=4(1+2t)=0\Leftrightarrow t=-\frac12%%

Da %%1+2t%% eine Gerade mit positiver Steigung ist, kannst du das Vorzeichenverhalten der Diskriminante bestimmen und erhältst somit eine Aussage über die Anzahl der Lösungen.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9359_r5SAfHzM25.xml

%%t>-\frac12\Rightarrow D>0\Rightarrow%% zwei Lösungen

%%t=-\frac12\Rightarrow D=0\Rightarrow%% eine Lösung

%%t<-\frac12\Rightarrow D<0\Rightarrow%% keine Lösung

Wende nun die Mitternachtsformel an.

%%t>-\frac12:\;x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{4(1+2t)}}{-2}=1\pm\sqrt{1+2t}%%

%%t=-\frac12:\;x_1=1%%

%%t<-\frac12:%% keine Lösung

Löse die quadratische Gleichung  %%3x^2+mx-3=4x+m%%  in Abhängigkeit vom Parameter %%m%%

Mitternachtsformel mit Parametern

Artikel zum Thema

%%3x^2+mx-3=4x+m%%

Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht.

%%3x^2+mx-4x-3-m=0%%

Fasse die Summanden mit %%x%% zusammen indem du %%x%% ausklammerst.

%%3x^2+(m-4)x-3-m=0%%

Lies %%a%%, %%b%% und %%c%% ab.

%%a=3,\;b=m-4,\;c=-3-m%%

Berechne die Diskriminante %%D=b^2-4ac%% der Gleichung. Dabei hilft dir die zweite binomische Formel .

%%\begin{array}{l}D=(m-4)^2-4\cdot3(-3-m)\\=m^2-8m+16+36+12m\\=m^2+4m+52\end{array}%%

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von %%m%% auf ihr Vorzeichen, indem du quadratisch ergänzt .

%%\begin{array}{l}D=m^2+4m+52\\=m^2+4m+4+48\\=(m+2)^2+48\end{array}%%

Du erkennst, dass %%(m+2)^2%% als Quadrat immer größer oder gleich Null ist und somit die Diskriminante insgesamt immer größer als Null ist, so dass für alle %%m%% zwei Lösungen existieren.

%%D=(m+2)^2+48>0%% %%\Rightarrow%% zwei Lösungen für alle %%m%%

Wende nun die Mitternachtsformel an.

%%x_{1,2}=\frac{-m+4\pm\sqrt{(m+2)^2+48}}6%%

Löse die quadratische Gleichung  %%ax^2+4x+4=2x+3%%  in Abhängigkeit vom Parameter %%a%%

Mitternachtsformel mit Parametern

Artikel zum Thema

%%ax^2+4x+4=2x+3%%

Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht, und fasse so weit wie möglich zusammen.

%%ax^2+2x+1=0%%

Lies die Werte der Koeffizienten %%a%%, %%b%% und %%c%% ab. Beachte, dass das %%a%% auf der linken Seite dem %%a%% aus der allgemeinen Form entspricht.

%%a=a,\;b=2,\;c=1%%

Im Sonderfall %%a=0%% fällt der Term mit %%x^2%% weg und es ergibt sich eine lineare Gleichung. Diesen Fall betrachtest du unten gesondert.

Sei nun %%\boldsymbol a\boldsymbol\neq\mathbf0%%:

Berechne die Diskriminante %%D=b^2-4ac%% der Gleichung.

%%D=2^2-4\cdot a\cdot1=4-4a=4(1-a)%%

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von %%a%% auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.

%%D=4(1-a)=0\Leftrightarrow a=1%%

Du kannst %%1-a%% als eine Gerade mit negativer Steigung betrachten und so das Vorzeichenverhalten der Diskriminante bestimmen. Dadurch erhältst du eine Aussage über die Anzahl der Lösungen.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9357_k5VXuRFeQ7.xml

Dabei ist %%a=0%% ein Spezielfall, den du getrennt betrachten musst.

%%a<1\;\Rightarrow\;D>0\;\Rightarrow%%

%%a=1\;\Rightarrow\;D=0\;\Rightarrow%%

%%a>1\;\Rightarrow\;D<0\;\Rightarrow%%

%%a=1\;\Rightarrow%%

zwei Lösungen

eine Lösungen

keine Lösung

Spezialfall

Wende die nun Mitternachtsformel an.

%%a<1:\:x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{4(1-a)}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{1-a}}a%%

%%a=1:\:x=\frac{-2\pm0}{2\cdot1}=-1%%

%%a>1:\;keine\;Lösung%%

Sei nun %%\boldsymbol a\boldsymbol=\mathbf0%%:

In diesem Fall fällt der Term mit %%x^2%% weg und es ergibt sich eine lineare Gleichung.

Diese kannst du durch Äquivalenzumformung lösen.

%%\begin{array}{l}\begin{array}{ccc}0\cdot x^2+2x+1&=&0\\2x+1&=&0\\x&=&-\frac12\end{array}\\\end{array}%%

Ergebnis:

%%a<1\;\Rightarrow\;x_{1,2=}\frac{-1\pm\sqrt{1-a}}a%%

%%a=1\;\Rightarrow\;x=-1%%

%%a>1\;\Rightarrow\;keine\;Lösung%%

%%a=1\;\Rightarrow x=\frac12%%

Löse die quadratische Gleichung  %%(a+1)x^2+ax+a=0%%  in Abhängigkeit vom Parameter %%a%%

Mitternachtsformel mit Parametern

Artikel zum Thema

%%(a+1)x^2+ax+a=0%%

Erkenne, dass auf einer Seite die Null steht und du nichts mehr ausklammern kannst.

Lies %%a%%, %%b%% und %%c%% ab. Beachte, dass %%a%% auch als Parameter in der allgemeinen Form der quadratischen Gleichungen vorkommt.

%%a=a+1,\;b=a,\;c=a%%

Im Sonderfall %%a=-1%% fällt der Term mit %%x^2%% weg und es ergibt sich eine lineare Gleichung. Diesen Fall betrachtest du unten gesondert.

Sei nun %%\boldsymbol a\boldsymbol\neq\boldsymbol-\mathbf1%%:

Berechne die Diskriminante %%D=b^2-4ac%% der Gleichung.

%%\begin{array}{ccc}D&=&a^2-4\cdot(a+1)\cdot a\\&=&a^2-4a^2-4a\\&=&a\cdot(-3a-4)\end{array}%%

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von %%a%% auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.

%%\begin{array}{l}D=a\cdot(-3a-4)=0\\\Leftrightarrow a=0\;\vee a=-\frac43\end{array}%%

Da %%-3a-4%% eine Gerade mit negativer Steigung in %%a%% ist, kannst du das Vorzeichenverhalten der Diskriminante bestimmen und erhältst somit eine Aussage über die Anzahl der Lösungen.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9369_6N52Op5BNQ.xml

%%a<-\frac43\;\Rightarrow\;D>0\;\;\Rightarrow%% zwei Lösungen

%%a=-\frac43\vee a=0\;\Rightarrow\;D=0\;\Rightarrow%% eine Lösung

%%a>-\frac43\;\Rightarrow\;D<0\;\Rightarrow%% keine Lösung

Wende nun die Mitternachtsformel an.

%%a<-\frac43:%%

%%\Rightarrow\;x_{1,2}=\frac{-a\pm\sqrt{a\cdot(-3a-4)}}{2(a+1)}%%

%%\begin{array}{l}a=-\frac43\vee a=0:\\\end{array}%%

%%\begin{array}{l}\\\Rightarrow\;x=\frac{-a\pm0}{2(a+1)}=\frac{-a}{2(a+1)}\end{array}%%

%%\begin{array}{l}a>-\frac43:\;\\\end{array}%%

%%\begin{array}{l}\\\Rightarrow\;keine\;Lösung\end{array}%%

Sei nun %%\boldsymbol a\boldsymbol=\boldsymbol-\mathbf1%% .

In diesem Fall erhältst du eine lineare Gleichung. Setze dazu %%a=-1%% in die Gleichung ein und löse sie auf.

%%\begin{array}{ccc}(-1+1)x^2+(-1)x+(-1)&=&0\\-x-1&=&0\\x&=&-1\end{array}%%

Ergebnis:

%%a<-\frac43:%%

%%\Rightarrow\;x_{1,2}=\frac{-a\pm\sqrt{a\cdot(-3a-4)}}{2(a+1)}%%

%%\begin{array}{l}a=-\frac43\vee a=0:\\\end{array}%%

%%\begin{array}{l}\\\Rightarrow\;x=\frac{-a\pm0}{2(a+1)}=\frac{-a}{2(a+1)}\end{array}%%

%%\begin{array}{l}a>-\frac43:\;\\\end{array}%%

%%\begin{array}{l}\\\Rightarrow\;keine\;Lösung\end{array}%%

%%a=-1:%%

%%\Rightarrow x=-1%%

Löse die quadratische Gleichung  %%x^2+2bx+9=0%%  in Abhängigkeit vom Parameter %%b%%

Mitternachtsformel mit Parametern

Artikel zum Thema

%%x^2+2bx+9=0%%

Erkenne, dass auf einer Seite die Null steht und du nichts mehr ausklammern kannst.

Lies %%a%%, %%b%% und %%c%% ab. Beachte, dass das %%b%% auch als Parameter inder allgemeinen Form der Gleichung vorkommt.

%%a=1,\;b=2b,\;c=9%%

Berechne die Diskriminante %%D=b^2-4ac%% der Gleichung.

%%\begin{array}{l}D=(2b)^2-4\cdot1\cdot9\\=4b^2-36=4(b^2-9)\end{array}%%

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von %%b%% auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt. Dabei ist die dritte binomische Formel hilfreich.

%%D=4(b^2-9)=4(b+3)(b-3)=0%%

%%\Leftrightarrow b=3%% oder %%b=-3%%

Da die Diskriminante in Abhängigkeit von %%b%% eine nach oben geöffnete Parabel darstellt, bestimmst du das Vorzeichenverhalten der Diskriminante anhand ihrer Nullstellen und leitest darüber die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit vom Parameter %%b%% her.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9367_S9ZJJNmii4.xml

%%b<-3%% oder %%b>3\;\Rightarrow D>0\;\Rightarrow%% zwei Lösungen

%%b=-3%% oder %%b=3\;\Rightarrow\;D=0\;\Rightarrow%% eine Lösung

%%b\in(-3,\;3)\;\Rightarrow\;D<0\;\Rightarrow%% keine Lösung

Wende nun die Mitternachtsformel an.

%%b<-3%% oder %%b>3:%%

%%\begin{array}{l}x_{1,2}=\frac{-2b\pm\sqrt{4\cdot(b+3)\cdot(b-3)}}2\\\;\;\;\;\;\;=-b\pm\sqrt{\textstyle(b+3)\cdot(b-3)}\end{array}%%

%%b=-3%% oder %%b=3:%%

%%\begin{array}{l}x=\frac{-2b\pm\sqrt0}2=-b\\\end{array}%%

%%b\in(-3,\;3):%%

keine Lösung

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