Aufgaben

Löse die quadratische Gleichung  %%3x^2+2x+1=(m+1)x+4%%  in Abhängigkeit vom Parameter %%m%%

Mitternachtsformel mit Parametern

3x2+2x+1=(m+1)x+43x^2+2x+1=(m+1)x+4
Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht, und fasse zusammen.
3x2+2x(m+1)x3=03x^2+2x-(m+1)x-3=0
Fasse die Terme mit xx zusammen indem du den Faktor x ausklammerst.
3x2+(1m)x3=03x^2+(1-m)x-3=0
Lies aa, bb und cc ab.
a=3,  b=1m,  c=3a=3,\;b=1-m,\;c=-3
Berechne die Diskriminante D=b24acD=b^2-4ac der Gleichung.
D=(1m)243(3)=(1m)2+36\begin{array}{l}D=(1-m)^2-4\cdot3\cdot(-3)=(1-m)^2+36\\\end{array}
Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von mm auf ihr Vorzeichen, indem du beachtest, dass ein Quadrat immer größer oder gleich als Null ist, und leite daraus die Anzahl der Lösungen her.
D=(1m)2+36>0D=(1-m)^2+36>0
\Rightarrow zwei Lösungen für alle m
Wende nun die Mitternachtsformel an.
x1,2=1+m±(1m)2+366x_{1,2}=\frac{-1+m\pm\sqrt{(1-m)^2+36}}6


Löse die quadratische Gleichung  %%4t^2x^2+4tx+1=0%%  in Abhängigkeit vom Parameter  %%t\neq0%%

Mitternachtsformel mit Parametern

Artikel zum Thema

%%4t^2x^2+4tx+1=0%%

  1. Erkenne, dass auf einer Seite bereits die Null steht.

  2. Erkenne, dass du nichts ausklammern kannst.

  3. Lies %%a%%, %%b%% und %%c%% ab.

%%a=4t^2,\;b=4t,\;c=1%%

Der Fall %%t=0%% ist laut Aufgabenstellung ausgeschlossen. Er muss also nicht explizit untersucht werden.

%%D=16t^2-4\cdot4t^2\cdot1=0%%

Berechne die Diskriminante %%D=b^2-4ac%% der Gleichung.

Untersuche das Vorzeichenverhalten von %%D%% und leite daraus die Anzahl der Lösungen her.

%%D=0\Rightarrow%% eine Lösung

Setze in die Mitternachtsformel ein.

%%x_1=\frac{-4t}{8t^2}=-\frac1{2t}%%

Löse die quadratische Gleichung  %%tx^2+tx+t=0%%  in Abhängigkeit vom Parameter %%t%%

Mitternachtsformel mit Parametern

Artikel zum Thema

%%tx^2+tx+t=0%%

  1. Erkenne, dass auf einer Seite bereits die Null steht.
  2. Erkenne, dass du nichts mehr zusammenfassen kannst.
  3. Lies %%a%%, %%b%% und %%c%% ab.

%%a=t,\;b=t,\;c=t%%

Berechne die Diskriminante %%D=b^2-4ac%% der Gleichung.

%%D=t^2-4\cdot t\cdot t=-3t^2%%

Betrachte das Vorzeichen der Diskriminante in Abhängigkeit vom Parameter %%t%% und leite daraus die Anzahl der Lösungen her. Beachte dabei, dass im Fall %%t=0%% die allgemeingültige Gleichung %%0=0%% entsteht und du somit jedes %%x%% einsetzen kannst.

%%t\neq0:\;-3t^2<0 \Rightarrow%%

%%t=0:\;0=0\Rightarrow%% richtige Aussage für jedes x

Löse die quadratische Gleichung  %%(m+1)x^2+x+m+1=0%%  in Abhängigkeit vom Parameter  %%m>0%%

Mitternachtsformel mit Parametern

Artikel zum Thema

%%(m+1)x^2+x+m+1=0%%

mit %%m>0%%

Da auf einer Seite bereits Null steht, kannst du sofort %%a%%, %%b%% und %%c%% ab.

%%a=m+1,\;b=1,\;c=m+1%%

Berechne die Diskriminante %%D=b^2-4ac%% der Gleichung.

%%\begin{array}{l}D=1^2-4\cdot(m+1)\cdot(m+1)\\=1-4\cdot(m+1)^2\end{array}%%

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von %%m%% auf ihr Vorzeichen:

Da %%m>0%% gilt, ist %%m+1>1%% und ebenso das Quadrat %%(m+1)^2%% größer als %%1%%. Somit ist der Term %%4\cdot(m+1)^2%% größer als %%4%%. Folglich ist die Diskriminante für jeden Wert von %%m%% kleiner als Null. Daran kannst du also erkennen, dass es keine Lösungen gibt.

%%D=1-4\cdot(m+1)^2<0%%

%%\Rightarrow%% Keine Lösung

Löse die quadratische Gleichung  %%4x^2+c^2=-mx%%  in Abhängigkeit von den Parametern  %%c>0%%  und %%m%%

Mitternachtsformel mit Parametern

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%%4x^2+c^2=-mx%% mit %%c>0%% und %%m%%.

Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht.

%%4x^2+mx+c^2=0%%

Lese %%a%%, %%b%% und %%c%% ab. Beachte, dass das %%c%% auf der linken Seite aus der allgemeinen Form stammt und das %%c%% auf der rechten Seite der Parameter in der Gleichung ist.

%%a=4,\;b=m,\;c=c^2%%

Berechne die Diskriminante %%D=b^2-4ac%% der Gleichung.

%%\begin{array}{l}D=m^2-4\cdot4\cdot c^2=\\m^2-16c^2=(m+4c)(m-4c)\end{array}%%

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von %%m%% und %%c%% auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.

%%\begin{array}{l}D=(m+4c)\cdot(m-4c)=0\\\end{array}%% %%\Leftrightarrow\;m=-4c%% oder %%m=4c%%

Da die Diskriminante %%D(m)%% eine nach oben geöffnete Parabel darstellt, kannst du daran das Vorzeichenverhalten ablesen.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9363_f01k9kxAgf.xml

%%m<-4c%% oder %%m>4c%% :

zwei Lösungen

%%m=-4c%% oder %%m=4c%% :

eine Lösung

%%m\in(-4c,\;4c)\Rightarrow D<0%% :

keine Lösung

Wende nun die Mitternachtsformel an.

%%m<-4c%% oder %%m>4c%% :

%%x_{1,2}=\frac{-m\pm\sqrt{m^2-16c}}8%%

%%m=-4c%% oder %%m=4c%% :

%%x_{}=\frac{-m\pm0}8=\frac{-m}8%%

%%m\in(-4c,\;4c)%% :

keine Lösung

Löse die quadratische Gleichung  %%2x^2+5x+t=3x^2+3x-t%%  in Abhängigkeit vom Parameter %%t%%

Mitternachtsformel mit Parametern

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%%2x^2+5x+t=3x^2+3x-t%%

Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht, und fasse so weit wie möglich zusammen.

%%-x^2+2x+2t=0%%

Lese %%a%%, %%b%% und %%c%% abliest.

%%a=-1,\;b=2,\;c=2t%%

Berechne die Diskriminante %%D=b^2-4ac%% der Gleichung.

%%\begin{array}{l}D=2^2-4\cdot(-1)\cdot2t\\=4+8t\end{array}%%

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von %%t%% auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.

%%D=4(1+2t)=0\Leftrightarrow t=-\frac12%%

Da %%1+2t%% eine Gerade mit positiver Steigung ist, kannst du das Vorzeichenverhalten der Diskriminante bestimmen und erhältst somit eine Aussage über die Anzahl der Lösungen.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9359_r5SAfHzM25.xml

%%t>-\frac12\Rightarrow D>0\Rightarrow%% zwei Lösungen

%%t=-\frac12\Rightarrow D=0\Rightarrow%% eine Lösung

%%t<-\frac12\Rightarrow D<0\Rightarrow%% keine Lösung

Wende nun die Mitternachtsformel an.

%%t>-\frac12:\;x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{4(1+2t)}}{-2}=1\pm\sqrt{1+2t}%%

%%t=-\frac12:\;x_1=1%%

%%t<-\frac12:%% keine Lösung

Löse die quadratische Gleichung  %%3x^2+mx-3=4x+m%%  in Abhängigkeit vom Parameter %%m%%

Mitternachtsformel mit Parametern

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%%3x^2+mx-3=4x+m%%

Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht.

%%3x^2+mx-4x-3-m=0%%

Fasse die Summanden mit %%x%% zusammen indem du %%x%% ausklammerst.

%%3x^2+(m-4)x-3-m=0%%

Lies %%a%%, %%b%% und %%c%% ab.

%%a=3,\;b=m-4,\;c=-3-m%%

Berechne die Diskriminante %%D=b^2-4ac%% der Gleichung. Dabei hilft dir die zweite binomische Formel .

%%\begin{array}{l}D=(m-4)^2-4\cdot3(-3-m)\\=m^2-8m+16+36+12m\\=m^2+4m+52\end{array}%%

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von %%m%% auf ihr Vorzeichen, indem du quadratisch ergänzt .

%%\begin{array}{l}D=m^2+4m+52\\=m^2+4m+4+48\\=(m+2)^2+48\end{array}%%

Du erkennst, dass %%(m+2)^2%% als Quadrat immer größer oder gleich Null ist und somit die Diskriminante insgesamt immer größer als Null ist, so dass für alle %%m%% zwei Lösungen existieren.

%%D=(m+2)^2+48>0%% %%\Rightarrow%% zwei Lösungen für alle %%m%%

Wende nun die Mitternachtsformel an.

%%x_{1,2}=\frac{-m+4\pm\sqrt{(m+2)^2+48}}6%%

Löse die quadratische Gleichung  %%ax^2+4x+4=2x+3%%  in Abhängigkeit vom Parameter %%a%%

Mitternachtsformel mit Parametern

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%%ax^2+4x+4=2x+3%%

Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht, und fasse so weit wie möglich zusammen.

%%ax^2+2x+1=0%%

Lies die Werte der Koeffizienten %%a%%, %%b%% und %%c%% ab. Beachte, dass das %%a%% auf der linken Seite dem %%a%% aus der allgemeinen Form entspricht.

%%a=a,\;b=2,\;c=1%%

Im Sonderfall %%a=0%% fällt der Term mit %%x^2%% weg und es ergibt sich eine lineare Gleichung. Diesen Fall betrachtest du unten gesondert.

Sei nun %%\boldsymbol a\boldsymbol\neq\mathbf0%%:

Berechne die Diskriminante %%D=b^2-4ac%% der Gleichung.

%%D=2^2-4\cdot a\cdot1=4-4a=4(1-a)%%

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von %%a%% auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.

%%D=4(1-a)=0\Leftrightarrow a=1%%

Du kannst %%1-a%% als eine Gerade mit negativer Steigung betrachten und so das Vorzeichenverhalten der Diskriminante bestimmen. Dadurch erhältst du eine Aussage über die Anzahl der Lösungen.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9357_k5VXuRFeQ7.xml

Dabei ist %%a=0%% ein Spezielfall, den du getrennt betrachten musst.

%%a<1\;\Rightarrow\;D>0\;\Rightarrow%%

%%a=1\;\Rightarrow\;D=0\;\Rightarrow%%

%%a>1\;\Rightarrow\;D<0\;\Rightarrow%%

%%a=1\;\Rightarrow%%

zwei Lösungen

eine Lösungen

keine Lösung

Spezialfall

Wende die nun Mitternachtsformel an.

%%a<1:\:x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{4(1-a)}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{1-a}}a%%

%%a=1:\:x=\frac{-2\pm0}{2\cdot1}=-1%%

%%a>1:\;keine\;Lösung%%

Sei nun %%\boldsymbol a\boldsymbol=\mathbf0%%:

In diesem Fall fällt der Term mit %%x^2%% weg und es ergibt sich eine lineare Gleichung.

Diese kannst du durch Äquivalenzumformung lösen.

%%\begin{array}{l}\begin{array}{ccc}0\cdot x^2+2x+1&=&0\\2x+1&=&0\\x&=&-\frac12\end{array}\\\end{array}%%

Ergebnis:

%%a<1\;\Rightarrow\;x_{1,2=}\frac{-1\pm\sqrt{1-a}}a%%

%%a=1\;\Rightarrow\;x=-1%%

%%a>1\;\Rightarrow\;keine\;Lösung%%

%%a=1\;\Rightarrow x=\frac12%%

Löse die quadratische Gleichung  %%(a+1)x^2+ax+a=0%%  in Abhängigkeit vom Parameter %%a%%

Mitternachtsformel mit Parametern

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%%(a+1)x^2+ax+a=0%%

Erkenne, dass auf einer Seite die Null steht und du nichts mehr ausklammern kannst.

Lies %%a%%, %%b%% und %%c%% ab. Beachte, dass %%a%% auch als Parameter in der allgemeinen Form der quadratischen Gleichungen vorkommt.

%%a=a+1,\;b=a,\;c=a%%

Im Sonderfall %%a=-1%% fällt der Term mit %%x^2%% weg und es ergibt sich eine lineare Gleichung. Diesen Fall betrachtest du unten gesondert.

Sei nun %%\boldsymbol a\boldsymbol\neq\boldsymbol-\mathbf1%%:

Berechne die Diskriminante %%D=b^2-4ac%% der Gleichung.

%%\begin{array}{ccc}D&=&a^2-4\cdot(a+1)\cdot a\\&=&a^2-4a^2-4a\\&=&a\cdot(-3a-4)\end{array}%%

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von %%a%% auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.

%%\begin{array}{l}D=a\cdot(-3a-4)=0\\\Leftrightarrow a=0\;\vee a=-\frac43\end{array}%%

Da %%-3a-4%% eine Gerade mit negativer Steigung in %%a%% ist, kannst du das Vorzeichenverhalten der Diskriminante bestimmen und erhältst somit eine Aussage über die Anzahl der Lösungen.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9369_6N52Op5BNQ.xml

%%a<-\frac43\;\Rightarrow\;D>0\;\;\Rightarrow%% zwei Lösungen

%%a=-\frac43\vee a=0\;\Rightarrow\;D=0\;\Rightarrow%% eine Lösung

%%a>-\frac43\;\Rightarrow\;D<0\;\Rightarrow%% keine Lösung

Wende nun die Mitternachtsformel an.

%%a<-\frac43:%%

%%\Rightarrow\;x_{1,2}=\frac{-a\pm\sqrt{a\cdot(-3a-4)}}{2(a+1)}%%

%%\begin{array}{l}a=-\frac43\vee a=0:\\\end{array}%%

%%\begin{array}{l}\\\Rightarrow\;x=\frac{-a\pm0}{2(a+1)}=\frac{-a}{2(a+1)}\end{array}%%

%%\begin{array}{l}a>-\frac43:\;\\\end{array}%%

%%\begin{array}{l}\\\Rightarrow\;keine\;Lösung\end{array}%%

Sei nun %%\boldsymbol a\boldsymbol=\boldsymbol-\mathbf1%% .

In diesem Fall erhältst du eine lineare Gleichung. Setze dazu %%a=-1%% in die Gleichung ein und löse sie auf.

%%\begin{array}{ccc}(-1+1)x^2+(-1)x+(-1)&=&0\\-x-1&=&0\\x&=&-1\end{array}%%

Ergebnis:

%%a<-\frac43:%%

%%\Rightarrow\;x_{1,2}=\frac{-a\pm\sqrt{a\cdot(-3a-4)}}{2(a+1)}%%

%%\begin{array}{l}a=-\frac43\vee a=0:\\\end{array}%%

%%\begin{array}{l}\\\Rightarrow\;x=\frac{-a\pm0}{2(a+1)}=\frac{-a}{2(a+1)}\end{array}%%

%%\begin{array}{l}a>-\frac43:\;\\\end{array}%%

%%\begin{array}{l}\\\Rightarrow\;keine\;Lösung\end{array}%%

%%a=-1:%%

%%\Rightarrow x=-1%%

Löse die quadratische Gleichung  %%x^2+2bx+9=0%%  in Abhängigkeit vom Parameter %%b%%

Mitternachtsformel mit Parametern

Artikel zum Thema

%%x^2+2bx+9=0%%

Erkenne, dass auf einer Seite die Null steht und du nichts mehr ausklammern kannst.

Lies %%a%%, %%b%% und %%c%% ab. Beachte, dass das %%b%% auch als Parameter inder allgemeinen Form der Gleichung vorkommt.

%%a=1,\;b=2b,\;c=9%%

Berechne die Diskriminante %%D=b^2-4ac%% der Gleichung.

%%\begin{array}{l}D=(2b)^2-4\cdot1\cdot9\\=4b^2-36=4(b^2-9)\end{array}%%

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von %%b%% auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt. Dabei ist die dritte binomische Formel hilfreich.

%%D=4(b^2-9)=4(b+3)(b-3)=0%%

%%\Leftrightarrow b=3%% oder %%b=-3%%

Da die Diskriminante in Abhängigkeit von %%b%% eine nach oben geöffnete Parabel darstellt, bestimmst du das Vorzeichenverhalten der Diskriminante anhand ihrer Nullstellen und leitest darüber die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit vom Parameter %%b%% her.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9367_S9ZJJNmii4.xml

%%b<-3%% oder %%b>3\;\Rightarrow D>0\;\Rightarrow%% zwei Lösungen

%%b=-3%% oder %%b=3\;\Rightarrow\;D=0\;\Rightarrow%% eine Lösung

%%b\in(-3,\;3)\;\Rightarrow\;D<0\;\Rightarrow%% keine Lösung

Wende nun die Mitternachtsformel an.

%%b<-3%% oder %%b>3:%%

%%\begin{array}{l}x_{1,2}=\frac{-2b\pm\sqrt{4\cdot(b+3)\cdot(b-3)}}2\\\;\;\;\;\;\;=-b\pm\sqrt{\textstyle(b+3)\cdot(b-3)}\end{array}%%

%%b=-3%% oder %%b=3:%%

%%\begin{array}{l}x=\frac{-2b\pm\sqrt0}2=-b\\\end{array}%%

%%b\in(-3,\;3):%%

keine Lösung

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